Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Matrizes - Conceito Igualdade e Tipo de Matrizes I

Prévia do material em texto

JACKY12/02/08
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEITO, IGUALDADE E TIPO DE MATRIZES.
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: PIMENTEL 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
01 
4 
01. A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas 
(atleta) e colunas (dia), representa os registros dos 
tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. 
Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e 
jia ji .10.30 += o elemento genérico desta tabela, com 
i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo 
atleta B no terceiro dia foi de: 
 
a) 1 hora e 30 minutos. 
b) 1 hora e 50 minutos. 
c) 2 horas 
d) 2 horas e 10 minutos. 
e) 2 horas e 30 minutos 
 
02. O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário 
mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da 
seguinte forma: 
⎩⎨
⎧
== jcomdiretaligaçãotemnãoioujise,0
jaediretamentligadoestáise,1
aij 
Sabendo-se que i e j referem-se as cidades do mapa e 
variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz A. 
 
03. Uma confecção vai fabricar 2 tipos de roupas 
utilizando 3 materiais diferentes. 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
413
125
A
 
 
Considere a matriz A, onde cada elemento aij representa 
quantas unidades de material j serão empregados para a 
fabricação de roupas do tipo i. Quantas unidades do 
material 3 serão empregados na confecção de uma roupa 
do tipo 2? 
 
04. É dado um quadrado de lado 
medindo 1 unidade, numerado 
conforme a figura. 
 
Determine a matriz 4x4, tal que aij 
é a distância entre os vértices de 
números i e j 
05. Uma rede é composta por 
cinco lojas, numeradas de 1 a 
5. 
A tabela a seguir representa o 
faturamento, em dólares, de 
cada loja nos quatro primeiros 
dias de janeiro: 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
950.1040.2020.2800.1
680.2300.2420.2500.2
050.3700.2800.2010.3
680.1740.1820.1500.1
950.1800.1030.2950.1
 
 
Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i 
no dia j. 
 
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? 
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? 
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias? 
 
06. Uma empresa é formada 
pelas lojas A e B, 
concessionárias de 
automóveis. 
Realizado um estudo sobre a 
aceitação de dois novos 
modelos de veículos nos 
quatros primeiros dias de 
fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
3521
5132
A
 e 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
5424
3203
B
sendo que: 
) A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo 
que cada elemento aij é o número de unidades vendidas 
do modelo i no dia j. 
) A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo 
que cada elemento bij é o número de unidades vendidas 
do modelo i no dia j. 
a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 
3 de fevereiro pela loja A? 
b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 
2 de fevereiro pela loja B? 
c) No período considerado, construa uma matriz que 
descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas 
lojas juntas. 
 
07. Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar 
chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo. 
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um 
consumiu e como a despesa foi dividida: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
513
020
414
s
 e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
312
030
355
D
 
S refere-se às despesas de sábado e D, as de domingo. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1º dia 2º dia 3º dia 
 A 
 
 B 
 
 C 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 – 
20
09
 
 
 
nxn
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
1...000
0...100
0...010
0...001
MMMM
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i 
pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o 
número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o 
elemento da linha i, coluna j de cada matriz). 
Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele 
próprio bebeu; 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( 
primeira linha da matriz S). 
a) Quem bebeu mais chope no final de semana? 
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 
 
TIPOS DE MATRIZES 
01. Matriz Quadrada: é toda matriz, onde o número de 
linhas é igual ao número de colunas. 
Exemplo: 
A = 
2x221
02
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 → matriz quadrada de ordem 2. 
B = 
3x3
247
086
351
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→ matriz quadrada de ordem 3. 
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, 
onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, 
onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. 
A = 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 
 
 
Obs.: 
ƒ Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 → i = j 
ƒ Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 → i + j = 4 + 1 
ƒ Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da 
diagonal principal. 
 
02. Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada A = (aij)n x m, 
onde aij = 0 para todo i ≠ j. 
Exemplo: 
A = 
4x45000
0300
0010
0002
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− B = 
3x3
300
020
000
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
03. Matriz Escalar: é toda matriz diagonal onde os 
elementos da diagonal principal são iguais. 
Exemplo: 
A = 
3x3
200
020
002
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 B = 
3x3
000
000
000
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
04. Matriz Identidade: é toda matriz escalar, onde os 
elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
In = 
 
 
 
 
 
05. Matriz Linha: é toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde 
A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n 
Exemplo: 
A = (2 1 4)1 x 3 
 
06. Matriz Coluna: são matrizes que apresentam uma 
coluna, onde A = (aij)n x 1. 
Exemplo: 
A = 
1xn1n
21
11
a
a
a
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
M B = 
1x46
5
4
2
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
07. Matriz Nula: são matrizes onde todos os seus 
elementos são iguais a zero. 
 
A = 
nxm0...000
0...000
0...000
0...000
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
MMMM
 
 
08. Matriz simétrica: são matrizes quadradas onde cada 
elemento aij = aji. 
Exemplo: 
A = 
3x3
236
354
642
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 B = 
3x3
726
235
651
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
09. Matriz Anti-simétrica: são matrizes quadradas onde 
aij = - aji. 
Exemplo: 
A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
053
502
320
 
 
10. Matriz Transposta: seja uma matriz A = (aij)p x q, 
chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz 
At = (aij)q x p, que se obtem trocando linhas por colunas. 
 
Exemplo: 
 
A = 
4x2
t
2x4
4131
0242
A
40
12
34
12
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⇒
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 
 
B = 
3x4
t
4x3 1094
935
121
803
B
10918
9320
4513
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=⇒⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−− 
 
 
Diagonal principal Diagonal secundário