Exercícios de Geometria Analítica

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Exercícios de Geometria Analítica. 
Hipérbole. 
 
QUESTÃO 1 
Considere-se uma hipérbole de eixo real horizontal 
medindo 8, eixo imaginário medindo 6 e centro C (–
2, 1). Sobre essa hipérbole, é CORRETO afirmar: 
 
A) Os pontos A(2, 1) e B(6, 1) estão na hipérbole 
B) Possui excentricidade e = 
C) Sua equação reduzida é 
D) Os focos são F(1, –2±5) 
E) A distância focal é 10 
QUESTÃO 2 
Em certo sistema marítimo de navegação, duas 
estações de rádio, localizadas na costa, nos pontos 
A e B, transmitem simultaneamente sinais de rádio 
para qualquer embarcação que se encontre no mar, 
na área de alcance dessas estações. Sendo P o 
ponto onde está localizada uma embarcação que 
recebe esses sinais, o computador de bordo da 
embarcação calcula a diferença, , das 
distâncias da embarcação a cada uma das 
estações. 
Um navio que estava ancorado no mar recebeu o 
sinal da estação localizada em B e, 120 
microssegundos (μs) depois, recebeu o sinal da 
estação localizada em A, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Dados: 
• 1s = 10
6
 μs 
• A velocidade do sinal de rádio é de 300.000 km/s 
 
Considere as estações de rádio e o ponto P onde 
esse navio estava ancorado como pontos de um 
plano cartesiano, onde a unidade de comprimento é 
o quilômetro e A(–30,0) e B(30,0) . 
 
Nesse contexto, é correto afirmar que a hipérbole 
com focos nos pontos A e B e que contém o ponto P 
tem como equação a expressão: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 3 
Considere o círculo x
2
 + y
2
 – r
2
 = 0 de raio r e a 
hipérbole x
2
 – y
2
 = 1. Nesse caso, pode-se afirmar 
que: 
 
a) se r < 1, então as curvas se interceptam em 
quatro pontos. 
b) se r = 1, então as curvas têm quatro pontos em 
comum. 
c) se r = 1, as curvas se interceptam em (0, 1) e 
(0, –1). 
d) se r = , então as curvas se interceptam 
apenas nos pontos (3, ) e (–3, ). 
e) se r > , então as curvas se interceptam em 
quatro pontos. 
QUESTÃO 4 
Uma quadra de futsal está representada na figura 
ao lado pelo retângulo ABCD, onde A = (–20, –10) e 
C = (20,10). Cada uma das áreas dos goleiros 
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(regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, ou , e por um dos dois ramos de uma 
hipérbole de focos e . O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o 
raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C. 
 
 
 
Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras: 
 
01. A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12 m. 
02. A quadra tem 800 m
2
 de área. 
04. A equação da hipérbole é . 
08. A excentricidade da hipérbole é igual a . 
16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. 
QUESTÃO 5 
Para cada par ordenado de números reais não nulos (x, y) defina o número complexo , onde i e a 
unidade imaginária ( i
2
 = –1). Se z e z
−1
 têm a mesma parte real, então os pontos (x, y) estão sobre 
 
A) uma circunferência. 
B) uma parábola. 
C) uma elipse. 
D) uma hipérbole. 
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QUESTÃO 1 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o eixo imaginário mede 6, temos b = = 3. O 
eixo real mede 8, então a = = 4. Assim, 
 
 
A distância focal da hipérbole é 2c = 10. 
 
QUESTÃO 2 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o tempo entre a estação B receber a informação 
e a estação A receber a mesma informação foi de 
120 μs, temos a distância 2a entre os vértices A e B 
da hipérbole: 
 
 
Como a distância focal é de 60 km, temos c = 60 ÷ 2 
= 30. 
 
Assim, encontramos o coeficiente b: 
 
Logo, a equação da hipérbole é: 
 
 
QUESTÃO 3 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A figura abaixo mostra o gráfico da hipérbole x
2
 – y
2
 
= 1 
 
Se r < 1, as curvas não se interceptam. 
Se r = 1, as curvas se interceptam em (-1, 0) e (1, 
0). 
Se r > 1, as curvas se interceptam em quatro 
pontos. 
 
Como > 1, a correta é a alternativa E. 
 
QUESTÃO 4 
19 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 16 = 19 
 
Se a assíntota da hipérbole passa pelos pontos A e 
C, seu coeficiente angular é , e sua 
equação é ou . 
01. (Verdadeira) A distância entre o centro do 
círculo (origem) e o vértice da hipérbole mede a 
(que é a metade do eixo real). O eixo imaginário tem 
comprimento 2b. Como (a, b) um ponto da 
assíntota, . E a distância focal mede 2c, 
onde c
2
 = a
2
 + b
2
. Portanto, 
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02. (Verdadeira) A distância entre A e B é de 40 
m, a distância entre B e C é de 20 m. Portanto, a 
área do retângulo ABCD é 40 x 20 = 800 m
2
. 
 
04. (Falsa) Como , então b = 6. A equação 
da hipérbole é . 
08. (Falsa) A excentricidade da hipérbole 
é . 
16. (Verdadeira) O eixo imaginário da hipérbole é 2b 
= 12 m, que é igual a 4 vezes o raio do círculo. 
 
QUESTÃO 5 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
A parte real de z é . 
A parte real de z
–1
 é . 
 
Como as partes reais são iguais, temos: 
 
 
Trata-se da equação reduzida de uma hipérbole. 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Analítica.
	Hipérbole.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 1
	E
	Resolução:
	Questão 2
	A
	Resolução:
	Questão 3
	E
	Resolução:
	Questão 4
	19
	Resolução:
	Questão 5
	D
	Resolução: