Área do círculo e de suas partes

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Plana. 
Área do círculo e de suas partes. 
 
QUESTÃO 1 
A figura a seguir apresenta uma circunferência de 
raio 2 e centro em O. Admitindo que a área da 
região delimitada pelo menor arco AB e pelo 
segmento de reta que une os pontos A e B é dada 
por uma função f que depende do ângulo θ, 0 < θ < 
π, é correto afirmar que o valor de é: 
 
 
 
 
A) π − 3 
B) π − 2 
C) π − 1 
D) π − 
E) π − 
QUESTÃO 2 
A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 
8 cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos D e 
E pertencentes à circunferência, com D em e E 
em . 
 
 
 
Em cm², a área da região hachurada na figura é 
igual a 
 
(A) 64. 
(B) 8. 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 3 
A região hachurada da Figura 1 a seguir é 
denominada Triângulo de Reuleaux, em 
homenagem a Franz Reuleaux (1829-1905). Nesse 
triângulo, os vértices A, B e C são centros de 
circunferências de raio r, as quais contêm 
respectivamente os arcos conforme 
ilustrado. A janela da Catedral de Notre Dame 
(Figura 2), em Bruxelas, na Bélgica, tem seu design 
inspirado no Triângulo de Reuleaux. 
 
 
 
Para a construção dessa janela é necessário 
conhecer a área do Triângulo de Reuleaux, em 
função do raio r, que é dada por: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
QUESTÃO 4 
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Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, 
na II, as falsas. 
A figura representa a planta baixa da parte aquática 
de um condomínio residencial. O terreno é circular 
de raio R, as partes brancas são duas piscinas 
circulares, sendo a maior para adulto, a menor para 
crianças, de raios diferentes, e a parte escura é a 
área para banho de sol. A corda AB do círculo que 
delimita o terreno é tangente às circunferências que 
delimitam as piscinas e mede x metros. 
 
 
 
I II 
0 0 Se x = 8 m, a área de banho de sol mede, em 
metros quadrados, 2 m
2
. 
1 1 Se a corda AB = 16 m e R = 10 m, então a 
piscina de adulto ocupa 1/3 da área do terreno. 
2 2 Se a piscina de criança tem 1,50 m de 
profundidade R = 10 m e AB = 16 m, então seu 
volume, em metros cúbicos, é igual a 6 . 
3 3 Se a corda AB = 16 m, e o raio da piscina menor 
é 2 m, a área do terreno é 100 m
2
. 
4 4 Se R = 10 m e AB = 16 m, então o raio da 
piscina maior é 8 m. 
QUESTÃO 5 
Considere o quadrado ABCD de lado 12 cm e as 
semicircunferências de arcos AB e BC, conforme 
figura a seguir: 
 
 
O valor da área da região hachurada é: 
 
(A) 12(π – 3) cm
2
 
(B) 10(π + 2) cm
2
 
(C) 18(π – 2) cm
2 
(D) (π + 36) cm
2 
QUESTÃO 6 
Em maio de 2010, a Empresa de Pesquisas 
Energéticas (EPE) divulgou o Plano Decenal de 
Expansão de Energia no horizonte 2019. Esse 
documento descreve o planejamento do setor 
energético brasileiro. Nele encontra-se a figura a 
seguir. Na representação da matriz de geração de 
eletricidade prevista para 2019, as termoelétricas 
participarão com 15% na capacidade de geração de 
energia. Suponha que essa matriz seja 
representada não da forma mostrada na figura, mas 
em um gráfico de setor de raio 3 cm. De acordo com 
a nova representação, a área do setor (em cm
2
) 
correspondente à energia termoelétrica é igual a 
 
 
 
A) 1,15 π 
B) 1,35 π 
C) 9 π 
D) 10,15 π 
QUESTÃO 7 
O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é 
numericamente igual à área do círculo que o 
circunscreve, em cm². Assim, o raio do círculo 
mencionado mede, em cm, 
 
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(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 8 
Segundo a Folha de S. Paulo (17 maio 2007), a 
fonte hidrelétrica participou com 82,5% na 
capacidade de geração de energia na matriz elétrica 
em 2006, enquanto a térmica participou com 15,7%, 
a biomassa com 0,06%, a eólica e outras com 
1,74%. Na representação da matriz elétrica de 2006 
em um gráfico de setor de raio 3 cm, a área do 
setor, em cm
2
, correspondente à energia térmica é 
igual a: 
 
a) 1,256 π 
b) 0,942 π 
c) 0,471 π 
d) 1,413 π 
QUESTÃO 9 
Um navio petroleiro sofreu uma avaria no casco e 
estava derramando óleo que se acumulava no 
oceano, formando uma mancha circular. 
 
Exatamente às 8 h do dia em que ocorreu a avaria, 
verificou-se que o raio da mancha media 20 metros 
e que, a partir daquele instante, a medida do raio (r), 
em metros, variava conforme a função r(t) = 20 + 0,2 
t, em que t é o tempo decorrido, medido em horas a 
partir das 8 h desse dia. 
 
Nesse contexto, é correto afirmar que, exatamente 
às 18 h do mesmo dia, a mancha estava ocupando 
uma área de: 
 
a) 384π m
2
 
b) 484π m
2
 
c) 474π m
2
 
d) 584π m
2 
e) 574π m
2 
QUESTÃO 10 
Um triângulo equilátero, um quadrado e um círculo 
têm o mesmo perímetro. Se , e 
 denotam respectivamente as áreas do triângulo, do 
quadrado e do círculo, podemos afirmar que: 
 
A) > > 
B) > > 
C) > > 
D) > > 
E) > > 
QUESTÃO 11 
Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha 
de produção, discos de papelão circulares conforme 
indicado na figura a seguir. Os discos são 
produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L 
cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido 
na natureza pelo desperdício de papel, a indústria 
estima que a área do papelão não aproveitado, em 
cada folha utilizada, é de (100 – 25π) cm
2
. 
 
 
 
Com base nas informações, é correto afirmar que o 
valor de L é: 
 
A) primo. 
B) divisível por 3. 
C) ímpar. 
D) divisível por 5. 
QUESTÃO 12 
A evolução da Humanidade causa muitos danos à 
natureza. No entanto, esta se mostra resistente e 
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preserva árvores como o Carvalho da Guilhotina 
(Chêne à Guillotin) – maior carvalho da França, com 
9,7 metros de perímetro da circunferência medido 
em um determinado ponto da árvore, 20 metros de 
altura e uma idade de aproximadamente 1.000 
anos. A área aproximada da seção da árvore no 
ponto onde foi medido o perímetro é igual a (Usar 
= 3) 
 
(A) 8 m
2
. 
(B) 15 m
2
. 
(C) 30 m
2
. 
(D) 10 m
2
. 
(E) 25 m
2
. 
QUESTÃO 13 
A figura representa três semicírculos, mutuamente 
tangentes dois a dois, de diâmetros , e 
. 
 
 
Sendo perpendicular a , e sabendo-se que 
AB = 4 cm e DB = 3 cm, a medida da área da região 
sombreada na figura, em cm², é igual a 
 
(A) 1,21 π. 
 
(B) 1,25 π. 
 
(C) 1,36 π. 
 
(D) 1,44 π. 
 
(E) 1,69 π. 
QUESTÃO 14 
A razão entre as áreas do círculo circunscrito e do 
círculo inscrito ao triângulo cujas medidas dos lados 
são respectivamente 6 m, 8 m e 10 m é 
 
A) 6,00. 
B) 6,75. 
C) 6,25. 
D) 6,50. 
QUESTÃO 15 
Na figura indicada, 0 < < , C é o centro do 
círculo, tangencia o círculo no ponto A, os 
pontos B, C e D estão alinhados, assim como os 
pontos A, C e E. 
 
 
Uma condição necessária e suficiente para que as 
duas áreas sombreadas na figura sejam iguais é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 16 
Uma foto de satélite de uma região da floresta 
amazônica (foto 1) mostrava uma área desmatada 
na forma de um círculo. Outra foto da mesma 
região, tirada após algum tempo (foto 2), mostrou 
que a área desmatada havia aumentado. 
 
 
Suponha que as fotos, tiradas ortogonalmente ao 
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sejam quadrados de lado , que o centro do círculo 
e do quadrado coincidam e que o raio do círculo é 
. Usando a aproximação π = 3, a porcentagem de 
aumento da área desmatada, da foto 1 para a foto 2, 
é aproximadamente: 
 
(A) 16,7. 
(B) 33,3. 
(C) 66,7. 
(D) 75,3. 
(E) 83,3. 
QUESTÃO 17 
Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas 
de 8 m x 8 m para recortar formas circulares de 4 m 
de diâmetro, como mostrado na figura. 
 
A área da chapa que resta após a operação é de 
aproximadamente: 
 
(Dado: considere n= 3,14) 
 
a) 7,45 m
2 
b) 13,76 m
2 
c) 26,30 m
2 
d) 48 m
2 
e) 56 m
2 
 
 
QUESTÃO 18 
 
Figura 1: Homem vitruviano, Leonardo da Vinci, 
1490. 
 
Observe a simetria do corpo humano na figura 1 e 
considere um quadrado inscrito em um círculo de 
raio R, conforme a figura 2, a seguir. 
 
 
Figura 2: Quadrado inscrito em um círculo. 
 
A área da região sombreada é dada por: 
 
a) A = 
b) A = 
c) A = 
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d) A = 
e) A = 
QUESTÃO 19 
Planárias terrestres 
A Mata Atlântica, um dos biomas mais importantes 
do mundo por sua riqueza biológica, teve sua 
extensão reduzida, desde o descobrimento do 
Brasil, a uma infinidade de fragmentos, que somam 
entre 11% e 16% da mata original descoberta, ou 
pouco mais de 7%, se descontadas as porções 
menores. A conservação dos vegetais e animais 
remanescentes nesses fragmentos depende do 
restabelecimento de conexões entre eles, por meio 
dos chamados corredores ecológicos. Mas quais 
retalhos desse, antes, imenso tapete florestal devem 
ter prioridade para a implantação desses 
corredores? A resposta pode ser dada pela análise 
de grupos que sirvam como modelo de avaliação da 
biodiversidade local, e um dos mais promissores, 
nesse sentido, são as planárias terrestres, 
pequenos vermes que se ocultam em locais úmidos, 
embaixo de troncos, pedras ou da folhagem caída 
no solo. 
Ciência Hoje n.º 267, vol 45. Jan-fev/2010 (com 
adaptações). 
• Em cada uma das opções a seguir, é apresentada 
uma forma de terreno de reserva ambiental em uma 
região plana, com área de 10.000 km
2.
 Assinale 
aquela correspondente ao terreno de menor 
perímetro de fronteira. 
 
 
QUESTÃO 20 
 
UNEP-SEFI. Global trends in sustainable energy 
investiment, 2009. 
Nota: Investimentos e variações da Coreia do Sul 
referem-se a 2008-2009. 
 
A figura ilustra o crescimento de investimentos na 
produção de biocombustíveis em várias partes do 
mundo. Tendo como referência essa figura, bem 
como os múltiplos aspectos que ela envolve, julgue 
o item subsequente (certo ou errado). 
 
• Considere que, na figura anterior, o total de 
investimentos realizados na América do Norte e na 
América do Sul seja diretamente proporcional aos 
raios das circunferências que representam tais 
regiões. Considere, ainda, que o diâmetro da 
circunferência associada à América do Sul seja igual 
a 0,6 cm e que a América do Sul e a América do 
Norte tenham investido, respectivamente, 20 bilhões 
e 30 bilhões de dólares na produção de 
biocombustíveis. Nessas condições, é correto 
afirmar que a razão entre as áreas dos círculos 
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associados à América do Norte e à América do Sul, 
nessa ordem, é superior a 3. 
QUESTÃO 21 
A logomarca de uma empresa é formada por dois 
círculos tangentes e por três segmentos de 
reta paralelos, sendo que o segmento AB contém os 
centros dos círculos, e os segmentos MN e PQ são 
tangentes ao círculo menor, medindo 6 cm cada um, 
como mostra a figura a seguir. Quanto mede a área 
da superfície cinza da logomarca? 
 
 
A) 
B) 
C) 9π 
D) 3π 
E) 2π 
QUESTÃO 22 
As rádios Colina, Sertãozinho e Gerais, situadas no 
centro C de uma cidade, têm alcances diferentes, 
abrangendo uma área em forma de discos 
concêntricos. A rádio Gerais, de maior potência, tem 
raio de alcance de 13 km e a rádio Colina, de menor 
potência, tem raio de 5 km, conforme ilustra a figura 
a seguir. Sabe-se que a área abrangida pela rádio 
Colina é igual à área coberta pela Gerais e não 
coberta pela Sertãozinho. Então, é CORRETO 
afirmar que o raio de alcance da rádio Sertãozinho é 
de: 
 
 
 
a) 6 km. 
b) 10 km. 
c) 8 km. 
d) 12 km. 
QUESTÃO 23 
Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguir 
tem raio 1 cm. Um círculo pequeno é concêntrico 
com o círculo grande, e tangencia os outros 6 
círculos pequenos. Cada um desses 6 outros 
círculos pequenos tangencia o círculo grande e 3 
círculos pequenos. 
 
 
Na situação descrita, a área da região sombreada 
na figura, em cm², é igual a 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 24 
Considere que um tsunami se propaga como uma 
onda circular. 
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Representação da propagação de um tsunami. 
Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada 
intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área 
A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda 
entre 9 horas e 10 horas é dada por: 
a) A = k
2 
b) A = 9 k
2 
c) A = 12 k
2 
d) A = 15 k
2 
e) A = 19 k
2 
QUESTÃO 25 
Considere, no plano cartesiano, o pentágono 
ABCDE, de vértices A(0, 2), B(4, 0), C(2 + 1, 0), 
D(2 + 1, 4) e E(0, 4). 
 
Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior 
desse pentágono, a probabilidade de que o 
ângulo seja obtuso é igual a 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 26 
Os círculos desenhados na figura a seguir são 
tangentes dois a dois. 
 
 
 
A razão entre a área de um círculo e a área da 
região sombreada é 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) . 
D) . 
E) . 
QUESTÃO 27 
Um fazendeiro deseja construir um curral e, para 
isso, dispõe de x metros de tela. No entanto, está 
em dúvida se deve construí-lo no formato de um 
círculo ou de um quadrado. Levando em 
consideração que o fazendeiro quer um curral com a 
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maior área possível, então o ganho de área com 
esta escolha é de: 
a) m
2
. 
b) m
2
. 
c) m
2
. 
d) m
2
. 
QUESTÃO 28 
Um vulcão que entrou em erupção gerou uma 
nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade 
de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com 
destino a cidades situadas em uma região circular 
com centro no vulcão e com raio 25% maior que a 
distância entre o vulcão e Rio Grande foram 
cancelados. Nesse caso, a área da região que 
deixou de receber voos é 
a) maior que 10.000 km
2
. 
b) menor que 8.000 km
2
. 
c) maior que 8.000 km
2 
e menor que 9.000 km
2
. 
d) maior que 9.000 km
2
 e menor que 10.000 km
2
. 
QUESTÃO 29 
A cúpula de uma catedral tem a forma de uma 
semiesfera (sem incluir o círculo da base) com 
diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será 
restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro 
quadrado. Quanto custará a restauração? Dado: use 
a aproximação π ≈ 3,14. 
 
A) 3,14 milhões de reais 
B) 6,28 milhões de reais 
C) 7,28 milhões de reais 
D) 8,14 milhões de reais 
E) 262 milhões de reais 
QUESTÃO 30 
Alguns agricultores relataram que, 
inexplicavelmente, suas plantações apareceram 
parcialmente queimadas e a região consumida pelo 
fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, 
correspondendo às regiões internas de três círculos, 
mutuamente tangentes, cujos centrossão os 
vértices de um triângulo com lados medindo 30, 40 
e 50 metros. 
 
 
 
 
Nas condições apresentadas, a área da região 
queimada, em m
2
, é igual a: 
 
a) 1100 
b) 1200 
c) 1300 
d) 1400 
e) 1550 
QUESTÃO 31 
As mensalidades dos planos de saúde são 
estabelecidas por faixa etária. A tabela seguinte 
fornece os valores das mensalidades do plano 
"Geração Saúde". Responda às questões a seguir, 
lembrando que o salário-mínimo nacional vale, hoje, 
R$ 510,00. 
 
Faixa etária Mensalidade (R$) 
de 26 a 35 anos 200,00 
de 36 a 45 anos 285,00 
de 46 a 55 anos 408,00 
56 anos ou mais 612,00 
 
O gráfico em formato de pizza mostra o 
comprometimento do rendimento mensal de uma 
pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e 
aderiu ao plano “Geração Saúde”. Com base no 
gráfico, pode-se dizer que essa pessoa tem 
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a) de 26 a 35 anos. 
b) de 36 a 45 anos. 
c) de 46 a 55 anos. 
d) 56 anos ou mais. 
QUESTÃO 32 
Cada vértice de um heptágono regular, cuja área é 
80,25 m
2
 , é centro de um círculo cuja medida do 
raio é 1 m. A área da região interior ao heptágono e 
exterior a cada um dos círculos, em m
2
, é 
 
Observação: Use o valor de π como sendo 3,14. 
 
A) 75,03. 
B) 74,16. 
C) 73,37. 
D) 72,40. 
QUESTÃO 33 
Determine a área, em metros quadrados, da parte 
preta da figura a seguir, composta de: 
 
• dois segmentos paralelos AH (contendo os pontos 
D e E) e BG (contendo os pontos C e F) medindo 6 
m cada um; 
 
• um retângulo CDEF de 2 m de largura por 6 m de 
comprimento; 
 
• dois arcos; um limitado entre os segmentos AD e 
BC e as semicircunferências AB e CD, de raio 3 m 
cada uma, e o outro formado entre os segmentos 
EH e FG e as semicircunferências EF e GH, de raio 
3 m cada uma. 
 
 
 
(A) 36 m
2
. 
 
(B) 24 m
2
. 
 
(C) (36 · π) m
2
. 
 
(D) (24 · π) m
2
. 
 
(E) (14 · π) m
2
. 
QUESTÃO 34 
Duas antenas de transmissão de sinal de rádio 
estão situadas em um terreno plano e separadas 
por uma distância de 15 km. A região no plano do 
solo de alcance máximo de transmissão de cada 
antena é um círculo de 15 km de raio cujo centro é a 
base de cada antena. 
 
Considerando as informações apresentadas, 
conclui-se que a área máxima alcançada, em km
2
, 
pelas transmissões dessas antenas corresponde a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 35 
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Em um mesmo plano estão contidos um quadrado 
de 9 cm de lado e um círculo de 6 cm de raio, com 
centro em um dos vértices do quadrado. A área da 
região do quadrado não interceptada pelo círculo, 
em cm², é igual a 
 
(A) 9 (9 – π). 
(B) 9 (4π – 9). 
(C) 9 (9 – 2π). 
(D) 3 (9 – 2π). 
(E) 6 (3π – 9). 
QUESTÃO 36 
O contorno externo de uma pista de atletismo tem a 
forma da figura ABCDEF a seguir. ABDE é um 
retângulo com o lado AB medindo 100 metros. 
 e são semicircunferências com comprimento 
igual a 100 metros, cada uma. A área da figura 
ABCDEF, em metros quadrados, é 
 
 
 
a) 12.500/ 
b) 30.000/ 
c) 40.000/ 
d) 2.500 ( + 4) 
e)160.000 
QUESTÃO 37 
O quadrado ABCD está inscrito em uma 
circunferência de raio r. Marcando-se ao acaso um 
ponto na região interior dessa circunferência, a 
probabilidade de que esse ponto esteja na região 
interior do quadrado ABCD é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 38 
O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a 
base de um triângulo isósceles ABC, conforme a 
figura a seguir. 
 
 
 
Denotando as áreas das regiões semicircular e 
triangular, respectivamente, por e , 
podemos afirmar que a razão , quando 
 radianos, é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
QUESTÃO 39 
Observe a figura a seguir. 
 
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No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC 
são diâmetros dos semicírculos. A área da região 
sombreada é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 40 
Por razões antropológicas desconhecidas, certa 
comunidade utilizava uma unidade de área singular, 
que consistia em um círculo, cujo raio media 1 cm, e 
a que se dava o nome de anelar. 
 
Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar 
que a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é 
 
A) anelar. 
B) anelar. 
C) 1 anelar. 
D) anelares. 
QUESTÃO 41 
Quatro circunferências de raio igual a 1 cm 
tangenciam-se conforme a figura abaixo. Qual o 
valor da área da figura escura formada pelas 
interseções das circunferências? (Considere 
=3,14) 
 
 
a. 4 cm
2 
b. 3,14 cm
2 
c. 1,28 cm
2 
d. 0,86 cm
2 
e. 0,50 cm
2 
QUESTÃO 42 
Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto 
de um setor circular, de uma região retangular e de 
outra triangular, com as medidas indicadas na figura 
a seguir, qual a área aproximada do terreno? 
 
 
 
a) 38,28 km
2
 
b) 45,33 km
2
 
c) 56,37 km
2
 
d) 58,78 km
2
 
e) 60,35 km
2 
QUESTÃO 43 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Um município de 628 km
2
, com o formato a seguir, 
é atendido por duas emissoras de rádio, cujas 
antenas A e B alcançam um raio de 10 km do 
município. 
 
 
 
Para orçar um contrato publicitário, uma agência 
precisa avaliar a probabilidade que um morador tem 
de, circulando livremente pelo município, encontrar-
se na área de alcance de pelo menos uma das 
emissoras. 
 
Essa probabilidade é de aproximadamente: 
 
a. 30% 
b. 40% 
c. 10% 
d. 25% 
e. 20% 
QUESTÃO 44 
Você tem dois pedaços de arame de mesmo 
comprimento e pequena espessura. Um deles você 
usa para formar o círculo da figura I, e o outro você 
corta em 3 partes iguais para formar os três círculos 
da figura II. 
 
 
 
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um 
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada 
por 
 
(A) S = 3s. 
(B) S = 4s. 
(C) S = 6s. 
(D) S = 8s. 
(E) S = 9s. 
QUESTÃO 45 
Uma estante para quarto de criança é montada com 
módulos que podem ser agrupados de forma 
aleatória e remanejados a qualquer instante, sem 
esforço. Cada módulo é um cubo de 40 cm de 
arestas. A frente de cada cubo é vazada por 
quadrados de 30 cm de lado ou por círculos de 30 
cm de diâmetro. Observando a figura, obtenha a 
área frontal da estante. 
 
 
http://babyology.com.au/images/stories/blog_images
/2007-12/Via_top.jpg 
QUESTÃO 46 
A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três 
Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras 
hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas 
medidas de acordo com as normas oficiais. 
 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da 
bandeira da Praça dos Três Poderes mede 3,5 m, 
quanto mede a área da região amarela visível dessa 
bandeira? Sugestão: use π = 3,14. 
 
b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o 
lado maior do retângulo medindo 2 m e nas mesmas 
proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes. 
Qual será a medida da região amarela visível dessa 
outra bandeira? 
QUESTÃO 47 
As medidas dos lados de um triângulo retângulo 
formam uma progressão aritmética de razão igual a 
4. 
 
A) Calcule a medida de cada um dos lados desse 
triângulo. 
 
B) Calcule a áreado círculo inscrito nesse triângulo. 
QUESTÃO 48 
Considere um setor circular AOC, cujo ângulo 
central é medido em radianos. A reta que 
tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP 
encontra o prolongamento do diâmetro AB em um 
ponto Q, como ilustra a figura. 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o ângulo satisfaz a igualdade tg = 
2 , calcule a razão entre a área do setor AOC e a 
área do triângulo OPQ. 
QUESTÃO 49 
Considere, num sistema ortogonal, conforme a 
figura, a reta de equação r : y = kx (k > 0 um número 
real), os pontos A(x0, 0) e B(x0, kx0) (com x0 > 0) e 
o semicírculo de diâmetro AB. 
 
 
 
a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e 
a área T, do triângulo OAB, sendo O a origem do 
sistema de coordenadas. 
 
b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a 
igualdade S = T, para todo x0 > 0. 
QUESTÃO 50 
Na figura a seguir, A e B são dois pontos da 
circunferência de centro em C, o segmento AC 
mede 2 cm e o arco de círculo AB, que subtende o 
ângulo θ, mede 1 cm. 
 
 
 
Calcule: 
 
a) o perímetro do setor circular ACB de ângulo 
central θ; 
 
b) a medida do ângulo θ em radianos e em graus; 
 
c) a área do setor circular ACB de ângulo central θ. 
QUESTÃO 51 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Na figura, em escala, o triângulo ABC é equilátero 
de lado igual a 10 cm e o ponto M é o ponto médio 
do lado AB. O arco MN é um arco de circunferência 
com centro em A. Determine a área da parte 
hachurada da figura. 
 
 
QUESTÃO 52 
Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo 
equilátero, e o lado AB contém o centro O da 
circunferência. Se a circunferência tem raio 6, qual o 
inteiro mais próximo da área da região sombreada 
(interior ao triângulo e exterior à circunferência)? 
 
 
QUESTÃO 53 
O papiro de Rhind, escrito pelos egípcios no século 
XVIII a.C., apresenta 87 problemas de matemática e 
suas soluções. No problema 50, calcula-se a área 
de um círculo da seguinte maneira: subtrai-se do 
diâmetro sua nona parte e eleva-se esta diferença 
ao quadrado; o resultado, para os egípcios, era a 
área do círculo. 
 
De acordo com essas informações, 
 
(A) expresse a área do círculo em função de seu 
raio R, segundo o método egípcio; 
 
(B) considerando um círculo de raio 9 cm, calcule a 
diferença aproximada entre a área obtida pelo 
método egípcio e a área calculada pelo método 
correto. 
 
Use = 3,14 
QUESTÃO 54 
Um ponto P é aleatoriamente selecionado num 
retângulo S de dimensões 50 cm por 20 cm. 
Considere, a partir de S, as seguintes regiões: 
 
Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm 
com centro no centro de S 
e 
Região B – círculo de raio 4 cm com centro no 
centro de S. 
 
Suponha que a probabilidade de que o ponto P 
pertença a uma região contida em S seja 
proporcional à área da região. 
 
Determine a probabilidade de que P pertença 
simultaneamente às regiões A e B. 
QUESTÃO 55 
Uma bolsa térmica cilíndrica de base circular de 
diâmetro d cm acomoda uma caixa para pizza no 
formato de um prisma regular hexagonal com maior 
área da base possível. Uma pizza circular de maior 
diâmetro possível é acondicionada na caixa. 
 
a) Esboce, em uma mesma figura, o círculo que 
representa a base da bolsa térmica, o hexágono que 
representa a base da caixa para pizza e o círculo 
que representa a base da pizza. 
b) Determine o comprimento do apótema do 
hexágono (base da caixa para pizza). 
c) Determine a área do hexágono (base da caixa 
para pizza). 
d) Determine a área do círculo que representa a 
base da pizza (considere π = 3,14). 
QUESTÃO 56 
Na figura a seguir, quatro das cinco circunferências 
possuem o mesmo raio. Três destas são tangentes 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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à circunferência de maior raio e têm centros em 
vértices de um triângulo equilátero. A quarta 
circunferência de raio menor é tangente às outras 
três. Se a e b representam as áreas das regiões de 
cor cinza indicadas na figura, assinale 100a/b. 
 
 
QUESTÃO 57 
Na figura, estão representadas a circunferência C, 
de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal 
modo que: 
 
1. O ponto O pertence ao segmento 
2. OP = 1, OQ = 
3. A e B são pontos da 
circunferência 
 
 
 
 
Assim sendo, determine: 
 
a) A área do triângulo APO. 
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A 
e B em C. 
c) A área da região hachurada. 
QUESTÃO 58 
Num cômodo quadrado de lado 5 m, há uma porta 
de 1,5 m de largura, posicionada a 0,30 m de um 
dos cantos. Nesse cômodo, foram colocados dois 
balcões retangulares idênticos, de 3,5 m de 
comprimento e 1,2 m de largura, encostados nas 
paredes, e uma mesa circular de 3 m de diâmetro, 
encostada nesses balcões, conforme indica a 
planta-baixa, a seguir: 
 
 
 
a) Qual é a medida, em m², da área da planta-baixa 
não ocupada pelos móveis? 
 
b) É possível abrir totalmente a porta desse cômodo 
com os móveis nas posições indicadas? 
QUESTÃO 59 
Um arco ferradura é construído acima do portal da 
entrada de um museu. Tal arco é construído 
partindo-se de uma figura desenhada a partir dos 
seguintes passos: 
 
• traça-se um segmento AB correspondente à 
medida da largura do portal (figura 1); 
• tomando-se o ponto médio M do segmento como 
centro traça-se uma circunferência de raio medindo 
a metade do segmento (figura 1); 
• encontra-se o ponto P de interseção entre a 
mediatriz do segmento e a circunferência traçada 
anteriormente, que está acima do segmento (figura 
1); 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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• com o centro no ponto P marcado traça-se uma 
circunferência de raio igual à anterior (figura 1). 
 
O arco ferradura é definido pelo contorno formado 
por arcos das circunferências e o segmento dado 
(figura 2). 
Sabendo-se que a largura do portal é de 10 metros, 
determine a área, em metros quadrados, da região 
interior ao arco ferradura (figura 3). 
 
(Use = 3 e = 1,7) 
 
 
QUESTÃO 60 
Um disco se desloca no interior de um quadrado, 
sempre tangenciando pelo menos um dos seus 
lados. Uma volta completa do disco ao longo dos 
quatro lados divide o interior do quadrado em duas 
regiões: a região A dos pontos que foram 
encobertos pela passagem do disco e a região B 
dos pontos que não foram encobertos. O raio do 
disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm. 
 
 
 
Determine a área da região B. 
QUESTÃO 61 
Um pedreiro constrói um jardim circular de 10 m de 
raio, em um determinado tempo. Trabalhando no 
mesmo ritmo, ele constrói uma calçada circular em 
torno deste jardim, em um tempo 44% menor do que 
o que levou para construir o jardim. Se a velocidade 
de construção depende da área construída, 
determine a largura da calçada. 
QUESTÃO 62 
 
 
Projetada pelo arquiteto e urbanista Lúcio Costa, 
Brasília foi o sonho do Presidente Juscelino 
Kubitschek. Uma cidade a ser construída em três 
anos. Desafio vencido graças à genialidade de Lúcio 
Costa, do arquiteto Oscar Niemeyer, responsável 
pelos projetos dos prédios e do paisagista Burle 
Marx, sem esquecer os mais de 60 mil operários. 
Um dos três edifícios monumentais que definem a 
Praça dos Três Poderes, o do Congresso Nacional, 
é considerado como o maior símbolo da capital do 
Brasil, um ícone do próprio país no exterior. Em 
seus depoimentos, Niemeyer declara ser esse 
edifício sua realização predileta. Com uma 
concepção plástica arrojada, a sede do Poder 
Legislativobrasileiro é um conjunto de construções 
onde se destacam suas cúpulas nas quais se 
localizam os plenários: a maior, convexa, plenário 
da Câmara dos Deputados e a menor, côncava, 
para o plenário do Senado Federal. No anexo I, 
formado por dois prédios verticais de 28 pavimentos 
e com cem metros de altura, funciona a 
administração dessas duas casas legislativas. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Também projetado por Niemeyer, já em 1999, o 
Museu Nacional Honestino Guimarães faz parte do 
Conjunto Cultural da República. O museu é, 
segundo o próprio Niemeyer, o prédio mais 
importante do conjunto cultural, ficando ao lado da 
Catedral. Sua inauguração ocorreu em 15 de 
dezembro de 2006, data em que seu projetista 
completava 99 anos. O Museu, formado por uma 
grande cúpula pintada de branco com casca dupla, 
tem quase 90 m de diâmetro (fazendo uma 
comparação: a Oca, no Parque Ibirapuera, em São 
Paulo, tem diâmetro de 75 m) e ergue-se a uma 
altura aproximada de 30 m acima do nível da praça 
de entorno (12 m mais alta que a similar paulistana). 
 
Use π = 3 e considere C centro de uma esfera de 
diâmetro 90 m. 
 
 
 
Admita que uma pessoa ocupe 0,75 m
2
 de uma 
superfície plana. Quantas pessoas poderiam estar 
concentradas na base da cúpula do Museu 
projetado por Niemeyer? 
QUESTÃO 63 
As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P, 
exterior a um círculo . A reta r1 tangencia no 
ponto A e a reta r2 intercepta nos pontos B e C 
diametralmente opostos. A medida do arco é 
60º e mede 2 cm. Determine a área do setor 
menor de definido pelo arco . 
QUESTÃO 64 
Faça o que se pede. 
 
• O eclipse anelar ocorre quando a distância relativa 
entre Sol, Lua e Terra favorece a ocorrência de uma 
região de penumbra (P), em forma de anel, ao redor 
de uma região de sombra (S), como representado 
na figura a seguir. 
 
 
 
A esse respeito, considere os dados a seguir. 
 
♦ distância do centro da Lua à superfície da Terra = 
3,84 × 10
5
 km; 
♦ distância do centro do Sol à superfície da Terra = 
1,54 × 10
8
 km; 
♦ H = raio do Sol = 0,7 × 10
6
 km; 
♦ raio da Lua = 1.750 km. 
 
Considerando, por simplicidade, a superfície da 
Terra como plana e assumindo 3,14 como valor 
aproximado para π, calcule, em 10
6
 km
2
, a área do 
anel de penumbra do eclipse anelar. 
QUESTÃO 65 
Para irrigar uma região retangular R de dimensões l 
× 3l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba 
hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A 
bomba é instalada em um ponto B. Quando o 
irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 3l / 
2 do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio 
2l (veja figura). 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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A) Calcule a área da porção irrigada de R quando o 
irrigador está no ponto C. 
B) Admitindo que o raio da região irrigada seja 
inversamente proporcional à distância do irrigador 
até a bomba, calcule o raio da região irrigada 
quando o irrigador é colocado no centro da região 
retangular R . 
QUESTÃO 66 
Uma curva em formato espiral, composta por arcos 
de circunferência, pode ser construída a partir de 
dois pontos A e B, que se alternam como centros 
dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são 
semicircunferências que concordam 
sequencialmente nos pontos de transição, como 
ilustra a figura a seguir, na qual supomos que a 
distância entre A e B mede 1 cm. 
 
 
 
a) Determine a área da região destacada na figura. 
 
b) Determine o comprimento da curva composta 
pelos primeiros 20 arcos de circunferência. 
QUESTÃO 67 
A figura a seguir foi construída a partir de uma 
circunferência de raio R e centro O; os pontos A, B, 
C, D, E e F são vértices de um hexágono regular e 
todos os arcos na figura são arcos de circunferência 
de raio R. 
 
 
 
Calcule a área da região sombreada da figura. 
QUESTÃO 68 
A figura a seguir mostra um semicírculo cujo 
diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro 
semicírculo de diâmetro 2R e centro O. 
 
 
 
a) Calcule o perímetro da parte sombreada. 
 
b) Calcule a área da parte sombreada. 
QUESTÃO 69 
A figura a seguir apresenta uma circunferência com 
centro C e raio 2, o ângulo é reto e o arco de 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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circunferência mede . 
 
 
 
a) Calcule o comprimento do segmento . 
 
b) Calcule a medida da área sombreada na figura. 
QUESTÃO 70 
A perspectiva, com seus efeitos visuais e artísticos 
impressionantes, tem a matemática como 
fundamento. A obra reproduzida na figura I, 
intitulada Ordem e Caos, faz parte do acervo do 
artista holandês M. C. Escher. Partindo do centro da 
circunferência que delimita a figura I e recortando-a 
ao longo de dois raios, obtém-se a figura II. 
 
 
Figura I – Ordem e Caos, gravura de M. C. Escher. 
 
Figura II 
 
• Tomando 3,14 como valor aproximado para o 
número pi e considerando que o comprimento da 
circunferência da figura I é igual a 15,7 cm, calcule, 
em mm
2
, a área do setor circular representado na 
figura II. 
QUESTÃO 71 
Considere a região R delimitada pelos lados AD, CD 
e BC do retângulo ABCD e pela semicircunferência 
S, cujo diâmetro AB mede x cm, conforme a figura 
1. A soma do perímetro do retângulo ABCD com o 
comprimento de S é igual a 12 cm. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
a) Determine uma expressão da área de R em 
função de x . 
 
b) Calcule x para que a área de R seja máxima. 
 
c) Deseja-se pintar a região delimitada por S e por 
AB de vermelho e azul, conforme a figura 2. Sendo 
O o ponto médio de AB e E e F pontos de S, 
determine o valor do ângulo EÔF para que a área 
da região a ser pintada de azul seja igual a 25% da 
área da região a ser pintada de vermelho. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 72 
Considere um piso composto por placas quadradas 
e justapostas de lado L , e um anel de raio R < , 
como mostra a figura. 
 
Lançando o anel sobre esse piso, determine a 
probabilidade de o círculo delimitar regiões contidas 
em, no máximo, três placas. 
QUESTÃO 73 
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, na 
figura a seguir, ABCDEF é um hexágono regular 
inscrito na circunferência de centro O =(0, 0) e raio 
r. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
1 – O ponto B está sobre o eixo das ordenadas. 
2 – Uma das alturas do triângulo AOB mede 
 cm. 
Com base nessas informações, faça o que se pede. 
 
A) Determine os valores de r e da área hachurada. 
 
B) Considere a equação z
6
 = w, em que w é um 
número complexo. Se os pontos, na figura dada, A, 
B, C, D, E e F são as representações geométricas 
de todos os distintos complexos z, satisfazendo tal 
equação (ou seja, são correspondentes às raízes 
sextas de w), então determine o módulo de w. 
QUESTÃO 74 
Na construção de uma estrada retilínea foi 
necessário escavar um túnel cilíndrico para 
atravessar um morro. Esse túnel tem seção 
transversal na forma de um círculo de raio R 
seccionado pela corda AB e altura máxima h, 
relativa à corda, conforme figura. 
 
 
 
Sabendo que a extensão do túnel é de 2.000 m, 
que m e que h = = 6 m, determine o 
volume aproximado de terra, em m
3
, que foi retirado 
na construção do túnel. 
 
Dados: e . 
QUESTÃO 75 
Na ilustração a seguir, os três quadrados têm lado 
medindo 4 cm. Qual o maior inteiro menor ou igual àmedida da área do círculo, em cm
2
? Dado: use a 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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aproximação . 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 1 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sabe-se que, para uma circunferência de raio 2, a 
área total é de . 
Neste caso, para um ângulo θ, temos a seguinte 
proporção: 
 
Sabe-se também que, para o triângulo AOB da 
figura, a área é dada por: 
 
Assim, a área da região delimitada pelo menor arco 
AB (de medida θ) e pelo segmento de reta que une 
os pontos A e B é dada por: 
 
E, portanto: 
. 
 
QUESTÃO 2 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja O o centro da circunferência. Então AO = BO = 
EO = DO = 4 cm. Como o triângulo é equilátero, 
seus ângulos internos medem 60° cada. O triângulo 
ADO é isósceles (AO = DO) com um ângulo interno 
de 60°, portanto é equilátero. O mesmo ocorre com 
o triângulo BEO, como mostra a figura. 
 
 
 
Assim, a área hachurada A, em cm
2
, é a área do 
triângulo ABC, retirados dois triângulos 
equiláteros ADO e BEO e um setor circular DEO: 
 
 
 
QUESTÃO 3 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Se ligarmos os vértices A, B e C do Triângulo de 
Reuleaux, encontramos um triângulo equilátero ABC 
de lado r, conforme mostra a figura: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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A área do Triângulo de Reuleaux é a composição da 
área de um setor circular de 60° (em destaque na 
figura) com dois "pedaços" de setor circular, onde 
cada "pedaço" é um setor circular do qual foi 
subtraído um triângulo equilátero. Assim, 
 
 
QUESTÃO 4 
GABARITO: 
I. 2, 3, 4 
II. 0, 1 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura, onde a e b são os raios das 
piscinas de criança e de adulto, respectivamente. 
 
 
No triângulo retângulo de hipotenusa R e catetos 
 e (b – a), temos: 
 
0. Falsa 
Se x = 8, temos . Então, a 
área para banho de sol é: 
 
 
1. Falsa 
 
 
 
 
2. Verdadeira 
Como visto, para R = 10 m e AB = 16 m, temos a = 
2 e b = 8. Assim, o volume da piscina de criança é: 
. 
 
3. Verdadeira 
Para AB = 16 m e a = 2 m, temos R = 10 m. 
Assim, . 
4. Verdadeira 
Conforme visto no item 1. 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Dividindo o quadrado em 4 partes iguais e traçando 
sua diagonal, obtemos uma nova figura. Veja: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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A área destacada na última figura será 1/4 da 
circunferência de raio 6 cm, subtraído 1/2 do 
quadrado de lado 6 cm: 
 
 
Portanto, a área total procurada é 
 cm
2
. 
 
QUESTÃO 6 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
15% da área de uma circunferência com 3 cm de 
raio é cm
2
. 
 
QUESTÃO 7 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja l a medida do lado do triângulo. O centro da 
circunferência é circuncentro e baricentro do 
triângulo, portanto o raio r da circunferência é igual 
a da altura do triângulo, isto é, r 
= cm, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Assim, 
 
 cm. 
 
Portanto, o raio da circunferência é: 
 cm. 
 
QUESTÃO 8 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o gráfico será composto de 100% de energia, 
representado em 360°, temos a seguinte proporção: 
 
Assim, o setor do gráfico correspondente à energia 
térmica será de 56,52°. Sua área é: 
. 
 
QUESTÃO 9 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o instante inicial da função foi dado às 8 horas, 
então às 18 horas tem-se t = 18 - 8 = 10. 
 
Deseja-se, portanto, saber o raio do círculo que 
determina a mancha no instante t = 10: 
r (10) = 20 + 0,2 · 10 = 22 metros. 
 
Assim, a área A ocupada pela mancha é: 
A = π · 22
2
 = 484π m
2
. 
 
QUESTÃO 10 
B 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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RESOLUÇÃO: 
Seja p o número que representa o perímetro comum 
às figuras planas indicadas no enunciado. Então, os 
números p/3, p/4 e p/2 representam 
respectivamente as medidas dos lados do triângulo 
equilátero, dos lados do quadrado e do raio do 
círculo. Portanto, , , 
e . Por outro lado, como 4 < 16 
< conclui-se que < < . Portanto, 
a resposta correta é a da alternativa B. 
 
QUESTÃO 11 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A área de papel desperdiçada é dada pela área dos 
círculos subtraída da área do quadrado. Note que, 
como cabe uma fileira de 3 círculos na largura do 
papel, o valor de L é seis vezes o raio dos círculos. 
Assim, a área de papel desperdiçado será: 
 
 
 
 
Igualando essa área ao valor calculado pela 
empresa, tem-se: 
 
 
QUESTÃO 12 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o perímetro da circunferência é de 9,7 metros, 
encontramos o raio r da circunferência no ponto 
medido: 
 metro. 
Assim, a área naquele ponto é 
de metros quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 13 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 14 
C 
 
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RESOLUÇÃO: 
Uma vez que se trata de um triângulo retângulo, a 
hipotenusa desse triângulo corresponde ao dobro do 
raio. Assim, temos: 
 
10 = 2 · r1 
r1 = 5 cm. 
 
E a área do círculo circunscrito ao triângulo é de: 
 
A1 = π · 5
2 
A1 = 25π cm
2
. 
 
A área do triângulo é dada por: 
 
Atriângulo = 
Atriângulo = 
Atriângulo = 24 cm
2
. 
 
O raio do círculo inscrito pode ser determinado 
através da seguinte relação: 
 
Atriângulo = p · r2 
24 = 
r2 = 2 cm. 
 
E a área do círculo inscrito no triângulo é dada por: 
 
A2 = π · 2
2 
A1 = 4π cm
2
. 
 
Dessa forma, a razão entre as áreas do círculo 
circunscrito e do círculo inscrito é igual a: 
 
 
 
QUESTÃO 15 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja F o ponto de intersecção entre o segmento 
 e a circunferência de centro O. Como os 
ângulos e são congruentes, temos 
que a área dos setores ACF e DCE são iguais. 
 
Se tangencia a circunferência em A, então o 
ângulo BÂC é reto. 
Portanto temos que, para as duas áreas 
sombreadas serem iguais: 
2Asetor DCE = AΔABC 
 
Das relações trigonométricas, temos que: 
tg = AB = AC × tg 
Portanto: 
AΔABC = AΔABC = 
AΔABC = 
 
Como AC = DC, pois ambos são raios, temos que: 
Asetor DCE = Asetor DCE 
= 
 
Como 2ªsetor DCE = AΔABC, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 16 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Foto 1 
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AI = Área do círculo = 
 
Foto 2 
 
AII = Área do quadrado + Área do semicírculo: 
 
 
Aumento: 
 
 
 
Logo, 
 100% 
 
 x 
 
 
 
QUESTÃO 17 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do quadrado é 8 · 8 = 64 m
2
. 
A área da circunferência é dada por π · 2
2 
= 3,14 · 4 
= 12,56 m
2
. Quatro circunferências terão, portanto, 
área de 4 · 12,56 = 50,24m
2
. 
 
A área que resta do quadrado após a retirada das 
quatro circunferências é: 
64 – 50,24 = 13,76 m
2
. 
 
QUESTÃO 18 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando a simetria do quadrado, temos que sua 
diagonal é D = 2R. Assim, a área do quadrado Aq é 
igual à área de dois triângulos de baseD = 2R e 
altura h = R, logo Aq = = 2R
2
. 
Por outro lado, a área sombreada A da figura é dada 
pela metade da diferença entre a área do círculo e a 
área do quadrado, isto é, 
 
A = = 
 
QUESTÃO 19 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Figura A: 
 
Perímetro: 4a = 400 km. 
 
Figura B: 
 
Perímetro: 
Figura C: 
 
Perímetro: 3c = 456 km. 
 
Figura D: 
 
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Perímetro: 
Logo, a figura de menor perímetro é a figura D. 
 
QUESTÃO 20 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
• E – Como as medidas dos raios dos círculos que 
representam a América do Sul e a América do Norte 
são proporcionais aos investimentos desses dois 
continentes, temos que a razão entre os raios é a 
mesma razão dos investimentos, ou seja, 20:30. 
 
Então, a razão entre as áreas dos círculos que 
representam a América do Norte e a América do 
Sul, nessa ordem, será o quadrado da razão entre 
os raios (na ordem inversa da fornecida no 
enunciado). 
 
Desse modo, a razão procurada é (30:20)
2
 = (1,5)
2
 
= 2,25 < 3. 
 
QUESTÃO 21 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja R o raio do círculo maior e r o raio do círculo 
menor. Para saber a área da região cinza é preciso 
subtrair a área do círculo menor ( ) da área do 
círculo maior ( ). Então, a área cinza será: 
. 
A fim de descobrir uma relação entre os raios, 
chamaremos de O e O' os centros dos círculo maior 
e menor, respectivamente. Observe a figura: 
 
 
Sendo T o ponto onde o raio do círculo maior corta 
ortogonalmente a corda PQ, é possível afirmar que 
T é o ponto médio de PQ (TQ = 3 cm). Sendo T' o 
ponto de tangência entre o círculo menor e PQ, 
temos que o raio O'T' é ortogonal a PQ. Sendo OT e 
O'T' paralelas e cortadas por PQ e AB, também 
paralelas, temos OT = O'T' = r. Sendo OQ = R a 
hipotenusa do triângulo OQT, temos: 
 
R
2
 = 3
2
 + r
2 
R
2
 – r
2
 = 9 
 
Assim, a área da região cinza é 
. 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja AS a área do círculo alcançado pela 
rádio Sertãozinho, AC a do círculo de Colina e AG a 
de Gerais, temos: 
AC = AG – AS. 
Seja x o raio procurado, temos: 
 
 
Logo, o raio é de 12 km. 
 
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QUESTÃO 23 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pode-se perceber que o diâmetro do círculo 
maior equivale a 3 vezes o do círculo menor, e o 
mesmo vale para o raio. A área do círculo maior 
será cm
2
. 
Retirando a área dos 7 círculos menores do valor da 
área do maior teremos a área da parte sombreada: 
 
 
 
QUESTÃO 24 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que a área circular varrida pelo tsunami num 
intervalo de 10 horas é de At = 10 = (10k)
2
 (km)
2
, 
enquanto a área circular varrida pelo tsunami num 
intervalo de 9 horas é de At = 9 = (9k)
2
 (km)
2
. 
Portanto, a área varrida pela onda entre 9 e 10 
horas é A = At = 10 – At = 9 = (10k)
2
 – (9k)
1
 = 19 
k
2
 (km)
2
. 
 
QUESTÃO 25 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Área do pentágono = 
Se imaginarmos um semicírculo no qual possa estar 
P tal que haja o ângulo , podemos ter o 
diâmetro AB com base em Pitágoras. 
 , onde 
Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência 
será retângulo. Todos os ângulos onde P esteja no 
semicírculo a menos do raio será então obtuso 
e todos os que estiverem a mais serão agudos. 
Assim calculamos a área do semicírculo: 
AP = . 
Probabilidade requerida, será . 
 
QUESTÃO 26 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A área da região sombreada é dada por: 
 
 
Região sombreada: 
(2r)
2
 – π · r
2 
4 · r
2
 – π · r
2 
r
2
 · (4 – π) 
 
A áreaa de cada círculo é dada por: 
A = π · r
2 
 
A razão da área de um círculo e a área sombreada 
é, portanto, igual a: 
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QUESTÃO 27 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o curral for quadrado, teremos que o perímetro x 
é quatro vezes a medida do lado. Assim, temos que: 
Lado = m. 
A área é dada por lado ao quadrado, ou seja: 
 m
2
. 
Se o curral for circular, teremos: 
Perímetro = m. 
Raio = m. 
Área = m
2
. 
Como 16 = 4 · 4 > , a área do quadrado é menor 
que a do círculo. O ganho com a escolha do círculo 
será de: 
 m
2
. 
 
QUESTÃO 28 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo R o raio da região, temos: R = 40 ⋅ 1,25 = 50. 
Logo, a região que deixou de receber voos tem área 
igual a π ⋅ 50
2
, ou seja, 2500π ⋅ km
2
. Considerando 
π = 3,14, temos que a área é aproximadamente 
7850 km
2
, portanto, menor que 8000 km
2
. 
 
QUESTÃO 29 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A área externa da cúpula é de 2 × 3,14 × 25
2
 = 
3.925 m
2
 e a restauração custará 3.925 × 800 = 
3.140.000 reais. 
 
QUESTÃO 30 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam x, y e z os raios em ordem crescente. 
A soma dos dois menores (x + y) resultará no menor 
lado do triângulo, 30. 
A soma dos dois maiores (y + z) resultará no maior 
lado do triângulo, 50. 
Logo, a soma x + z resultará em 40. 
 
Assim, temos: 
x = 30 – y 
z = 50 – y 
x + z = (30 – y) + (50 – y) = 40 
80 – 2y = 40 
–2y = –40 
y = 20 
x = 30 – 20 = 10 
z = 50 – 20 = 30 
 
Em ordem crescente, temos 10, 20 e 30 como os 
tamanhos dos raios e como os 
tamanhos das áreas. 
A área total será . 
 
QUESTÃO 31 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura, o comprometimento salarial 
pode ser diretamente ligado ao ângulo, medido em 
graus. Assim, temos: 
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Se a pessoa em questão recebe 8 salários-mínimos, 
o seu salário mensal é de R$ 4.080,00. Esse valor 
total corresponde a 360°. O gasto mensal com plano 
de saúde é, portanto: 
R$ 4.080,00 __________ 360° 
 G __________ 54° 
G = R$ 612,00. 
De acordo com a tabela fornecida, a pessoa deve 
apresentar 56 anos ou mais. 
 
QUESTÃO 32 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
No heptágono regular, cada ângulo intermo 
mede . 
 
 
Assim, cada setor circular As de cada vértice tem 
área: 
 
 
Logo, a área da região interior ao heptágono e 
exterior a cada um dos círculos é: 
 
 
 
QUESTÃO 33 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do retângulo CDEF é: 
 
A área de cada arco é composta da área de um 
semicírculo somada a um retângulo do qual foi 
subtraído outro semicírculo: 
 
Portanto, a área total (parte preta) da figura é de 12 
+ 12 + 12 = 36 m
2
. 
 
QUESTÃO 34 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
A figura seguir representa a região coberta pelas 
duas antenas: 
 
O cálculo dessa área A pode ser feito somando-se a 
área de dois círculos (πR
2
) de raio 15 e subtraindo 
a área escurecida AE.Então temos: 
 
1) A = 2 · π · 15
2
 – AE = 2 · π · 225 – AE = 450 π – 
AE 
 
Para calcular AE, utilizaremos o seguinte 
destaque, em que AE equivale ao dobro da soma 
das áreas I, II e III. 
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2) Logo, AE = 2 · (I + II + III) 
 
Note que a área II é um triângulo equilátero de lado 
 e que as áreas I e III são 
idênticas. Para calcular I ou III, basta subtrair de um 
setor circular de 60° o triângulo equilátero II, 
como pode ser observado na figura: 
 
Assim temos: 
 
 
 
 Substituindo I, II e III em (2), temos: 
 
 
 
Substituindo AE em (1), temos: 
 
 
 
 
QUESTÃO 35 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
Construindoa figura a seguir, percebemos que a 
área procurada é a da região hachurada. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Então, 
 
 
QUESTÃO 36 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o comprimento do arco é igual a 100 m, 
temos: 
 
Mas r também é a metade da largura do retângulo 
ABDE. Então, a área da pista é a soma da área do 
retângulo ABDE com a área de uma circunferência 
de raio r: 
 
 
QUESTÃO 37 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Parte do círculo está ocupada pelo quadrado. 
A probabilidade de um ponto da circunferência estar 
ocupado pelo quadrado será dada pela razão entre 
a área do quadrado e a área da circunferência. 
 
Observe a imagem: 
 
 
A área do círculo será dada por 
A área do quadrado será dada por x² 
 
Para calculá-la em função de r, podemos usar 
Pitágoras: 
x² = r² + r² = 2r² 
 
Calculando a razão entre as áreas, temos que a 
probabilidade procurada é: 
 
 
QUESTÃO 38 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se , podemos dizer que se trata 
de um ângulo inscrito na circunferência, e a altura 
do triângulo ABC é igual ao raio da circunferência, 
conforme mostra a figura a seguir. 
 
 
Então: 
 
 
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QUESTÃO 39 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que, se somarmos 4 semicírculos como os da 
figura, teremos exatamente a área do quadrado 
mais a área de 4 regiões idênticas à intersecção dos 
dois semicírculos de raio 1. 
 
Assim, conclui-se: 
Área de 4 semicírculos: 
Área do quadrado: 2 · 2 = 4 
 
Área de quatro intersecções: 
Área de uma intersecção: 
Assim, podemos calcular a área branca como sendo 
a área de um círculo de raio 1, excetuando a área 
da intersecção que está sobreposta: 
 
Área branca: 
Logo, a área cinza será o quadrado menos a área 
branca: 
 
QUESTÃO 40 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Área do círculo = 
1 anelar = 
Área do quadrado = 1
2
 = 1 cm
2
. 
 
Por proporção, se x é a área do quadrado na 
unidade "anelar", temos: 
 
 
QUESTÃO 41 
D 
RESOLUÇÃO: 
O valor da área da figura escura formada pelas 
interseções das circunferências corresponde à área 
de um quadrado de lado igual a 2 cm subtraída da 
área de um círculo de raio igual a 1 cm. Temos, 
portanto: 
 
A = Aquadrado – Acírculo 
A = 2
2
 – 1
2 
A = 4 – 3,14 
A = 0,86 cm
2
. 
 
QUESTÃO 42 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do setor é uma fração da área total da 
circunferência (no caso, um oitavo). 
 
Então, 
 . 
A área do retângulo é dada 
por . 
O triângulo é retângulo e, com um dos ângulos 
medindo 45º, conclui-se que o outro ângulo também 
mede 45º,assim, o triângulo é isósceles. 
 
Então, . 
Somando as três áreas, temos 6,28 + 28 + 24,5 = 
58,78 km
2
. 
 
QUESTÃO 43 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A soma dos ângulos internos do quadrilátero é igual 
a 360°. Assim, como os vértices que não possuem 
antena têm ângulos de 90° cada, a soma dos 
ângulos onde estão as antenas será 180°, o que 
equivale a meia circunferência. Portanto, a área de 
abrangência das antenas é: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Logo, a probabilidade de um morador do município 
estar na área de abrangência das antenas é: 
 
 
QUESTÃO 44 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja R o raio do círculo maior e r o raio do círculo 
menor. Então, comparando seus comprimentos, 
tem-se: 
 
2πR = 3 · 2πr 
R = 3r 
 
Assim: 
 
s = πr
2 
S = πR
2 
 
S = π(3r)
2 
S = 9 πr
2 
S = 9s 
 
QUESTÃO 45 
GABARITO: 
Área frontal = 6(40)
2
 – 3π(15)
2
 – 3(30)
2
 = 9600 – 
675π – 2700 = (6900 – 675π) cm
2
. 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
a) O losango da bandeira tem: 
Diagonal Maior = 20 - 2 · 1,7 = 16,6 m 
Diagonal Menor = 14 - 2 · 1,7 = 10,6 m 
 
Portanto: 
 
 
b) Se o lado maior passará de 20 m para 2 m, a 
razão de redução é de . Ou seja, todas as 
medidas serão divididas por 10. Utilizando o 
resultado do item (a), tem-se: 
 
 
 
QUESTÃO 47 
GABARITO: 
A) Seja a P.A.: (x – 4, x, x + 4), sendo x + 4 a 
hipotenusa do triângulo. Então: 
 
 
 
 
Logo, os lados do triângulo são 12, 16 e 20. 
 
B) Considere a figura: 
 
 
Dois segmentos tangentes à circunferência que se 
encontram no mesmo ponto são congruentes (CP = 
CQ e AQ = AR). Assim, 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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. 
Portanto, a área da circunferência incrita no 
triângulo é . 
 
QUESTÃO 48 
GABARITO: 
Área do setor: 
 
Área do triângulo: 
 
 
QUESTÃO 49 
GABARITO: 
a) O segmento AB tem medida kx0. Então o raio do 
semicírculo mede . Portanto: 
 
 
 
 
b) Se S = T, temos: 
 
. 
 
QUESTÃO 50 
GABARITO: 
a) Note-se que . Assim, o perímetro do 
setor circular ACB é igual a 2 + 2 + 1 = 5 cm. 
 
b) Tem-se: 
medida de θ em radianos 
= . 
A medida de θ em graus é igual a 
 
 
 
c) A área do setor circular ACB é dada por 
 
. 
 
QUESTÃO 51 
GABARITO: 
Se o triângulo é equilátero, cada um de seus 
ângulos mede 60°, e a área do setor circular é da 
área de uma circunferência de raio 5 cm: 
 
 
QUESTÃO 52 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Resposta: 12 
Solução: 
A área sombreada é a área do losango com vértices 
opostos O e C subtraída de um sexto da área da 
circunferência. Portanto, área é 2 · 6
2
 /4 – π · 
6
2
/6 = 18 – 6 π ≈ 18 · 1,73 – 6 · 3,14 = 12,3. 
 
QUESTÃO 53 
GABARITO: 
(A) Denotando o raio do círculo por R, seu diâmetro 
é 2R . Logo, utilizando o método egípcio, a área do 
círculo EA pode ser expressa por: 
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(B) A área do círculo de 9 cm de raio, calculada pelo 
método egípcio, é: 
 
 
Como o valor exato da área do círculo é A = π ⋅R2, 
utilizando a aproximação de 3,14 para o valor de π , 
a área do mesmo círculo será dada, 
aproximadamente, por 
 
A 3,14 ⋅ 9
2
 = 254,34 cm
2 
 
Portanto, a diferença D entre as duas áreas obtidas 
é: 
D = AE − A = 256 − 254,34 ⇒ D = 1,66 cm
2 
 
QUESTÃO 54 
GABARITO: 
Por hipótese, a probabilidade de que o ponto P 
pertença a uma região F, contida em S, é dada pela 
razão entre a medida da área de F e a medida da 
área de S. 
 
Assim, a probabilidade de que o ponto P pertença a 
ambas as regiões é dada por: 
 
Seja C a região sombreada na figura abaixo. Então, 
área (A ∩ B) = 16π – 4 × área (C). 
 
 
 
Observando-se o triângulo retângulo OLN, tem-se 
que o ângulo LÔN mede 60
o
. Assim, a medida da 
área do setor circular OMN é 4π/
3
 cm
2
 e a área do 
triângulo OLN é cm
2
. 
Portanto, a medida da área da região C é (4π/3 –
 ) cm
2
. 
Logo, a medida da área de A ∩ B é [16π – 4(4π/3 – 
)] cm
2
. 
Como a medida da área de S é 1000 cm
2
, tem-se 
que a probabilidade solicitada é . 
 
Resp.: . 
 
QUESTÃO 55 
GABARITO: 
a) 
 
b) O apótema a é a altura do triângulo equilátero de 
lado destacado na figura: 
 
 
c) O hexágono é formado por seis triângulos 
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equiláteros de lado e altura . Portanto: 
 
d) A pizza tem raio igual ao apótema do hexágono, 
portanto: 
 
 
QUESTÃO 56 
GABARITO: 
y → raio da circunferência menor 
x → raio das três circunferências 
2x + y → raio da circunferênciamaior 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 57 
GABARITO: 
a) Do enunciado temos que OP = 1 e, como o raio 
da circunferência mede 2, temos que AO = 2. 
 
Como , podemos aplicar o Teorema de 
Pitágoras no triângulo APO, portanto: 
AO
2
 = OP
2
 + AP
2
 ⇒ 22 = 12 + AP2 ⇒ AP = . 
Dessa forma, a área do triângulo APO é dada por: 
AΔAPO = ⇒ AΔAPO = ⇒ AΔAPO 
= . 
Portanto, a área do triângulo APO é de u.a. 
 
b) 
O comprimento total da circunferência C é: 
CC = · 2 ⇒CC = . 
Sendo a o ângulo PÔA do triângulo APO, temos: 
 . 
No triângulo BQO, temos que BQ = , pois: 
BO
2
 = OQ
2
 + BQ
2
 ⇒ 22 = + BQ2 ⇒ BQ 
= . 
Dessa forma, o triângulo BQO é isósceles e o 
ângulo QÔB mede 45º. Portanto, o ângulo AÔB 
mede 180º – 60º – 45º = 75º. 
Seja C1 o comprimento do menor arco formado por 
A e B, sendo assim: 
C1 = ⇒ C1 = . 
Dessa forma, o comprimento C2 do maior arco 
formado por A e B, temos: 
C2 = 4 – ⇒ C2 = . 
Assim, o comprimento dos arcos determinados por 
A e B medem e . 
 
c) A área da região hachurada é composta pelas 
áreas dos triângulos APO e BQO e pela área do 
setor AOB, assim: 
AΔAPO = u.a. 
AΔBQO = ⇒ AΔBQO = 1 u.a. 
Asetor AOB = Asetor AOB = 
 u.a. 
Ahachurada = Ahachurada 
= 
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Portanto, a área da região hachurada 
mede u.a. 
 
QUESTÃO 58 
GABARITO: 
a) Sejam Sc, Sb, Sm as áreas do cômodo, do 
balcão, da mesa, respectivamente, e seja S a área 
procurada. Então, 
Sc= 5.5 = 25 
Sb= 3,5.1,2 = 4,2 
Sm= = 2,25 
Portanto, 
S = Sc– 2Sb– Sm ⇒ S = 25 – 8,4 – 2,25 = 16,6 – 
2,25 
 
b) Sejam AC o segmento de reta vertical ligando o 
centro da mesa à parede superior do cômodo e AB 
o segmento de reta ligando o centro da mesa ao 
ponto onde a porta está presa na parede. Então, 
AC = 5 – 1,5 – 1,2 = 2,3 
CB = 5 – 1,5 – 1,2 – 0,3 = 2 
(AB)
2
 = (2,3)
2
 +2
2 
= 5,29 + 4 = 9,29 ⇒ AB 
= 
AB > 3 = 1,5 + 1,5 = r = p, 
onde r é o raio da mesa e p é largura da porta. 
Portanto, é possível abrir a porta. 
 
QUESTÃO 59 
GABARITO: 
A área, em metros quadrados, da região interior ao arco 
ferradura equivale, de acordo com a figura abaixo, à soma 
das áreas A1, A2, A3 e A4 (que somadas equivalem a um 
terço da área de um círculo de raio igual a 5 m), A5 e A6 
(que somadas equivalem à área de dois triângulos 
equiláteros de aresta igual a 5 m, uma vez que a aresta 
desses triângulos é igual ao próprio raio de cada 
circunferência) e A7 (que equivale a área de um 
semicírculo de raio 5 m). Assim, temos: 
 
 
 
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 
A = [(1 / 3) . (π . r
2
) + [2 . (l
2
 . 3) / 4) + [(1 / 2) . π . 
r
2
] 
A = [(1 / 3) . (3 . 5
2
) + [2 . (5
2
 . 3) / 4) + [(1 / 2) . 3 . 
5
2
] 
A = 83,75 m
2 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 60 
GABARITO: 
Considere o quadrado que circunscreve o disco de 
raio 2 cm. 
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A região interna ao quadrado e externa ao disco na 
figura tem a mesma área dos quatro cantos 
formados pelo deslocamento proposto ao disco na 
figura original. A área dos cantos é 16 - 4 . 
 
A região B é formada por um quadrado de lado 2 cm 
centrado na figura e pelos quatro cantos de área 16 
- 4 cm
2 
Portanto, a área da região B é 16 - 4 + 4 = 4(5- 
)cm
2 
 
QUESTÃO 61 
GABARITO: 
 
I – Área do canteiro circular: 100 π m
2 
 
II – Área da calçada circular: [(10 + x)
2
 · π – 100π] 
m
2
, sendo que x é a largura da calçada. 
 
Fazendo-se a relação da porcentagem do tempo 
gasto na construção do canteiro e da calçada, 
temos: 
 
 
 
 
 
Portanto, a largura da calçada é 2 m. 
 
QUESTÃO 62 
GABARITO: 
Fazendo um corte na esfera obtemos um círculo 
que corresponde à secção central da esfera. Neste 
círculo, como na figura a seguir, temos um triângulo 
nesta secção central, onde poderemos dividi-lo em 
dois triângulos retângulos: 
 
 
No triângulo retângulo à direita teremos, a uma 
altura de 30 m abaixo da superfície da esfera, um 
triângulo semelhante ao triângulo maior da direita. 
 
Nele poderemos ter a relação: 
 
 
 
Então: e, assim, , o 
que é facilmente observável. Sendo o triângulo 
retângulo da direita um triângulo isósceles, o seu 
semelhante também o será. 
 
Temos então de calcular a área da base desta 
calota esférica que representa a base da cúpula. 
Sendo o raio do círculo referente à base da cúpula, 
X = 30 m. 
 
 
Como cada pessoa ocupa uma área de 0,75 m
2
, 
temos: 
 pessoas. 
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QUESTÃO 63 
GABARITO: 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 64 
GABARITO: 
 
 
, assim: x = 4,6 km 
 
 
, assim y = 3,5 · 10
3
 
km 
 
 
A área mede 38,46 km
2
. 
 
QUESTÃO 65 
GABARITO: 
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A) Considere, na figura a seguir, os ângulos α e β. 
 
Temos: 
 
Como α + β = 90°, conclui-se que β = 30°. 
Assim, a área A irrigada é igual à área de um setor 
circular de 30° somada à área de um triângulo que 
possui lados l e 2l, e um ângulo de 60° entre eles: 
 
B) Nesse caso, a distância BC entre a bomba e o 
irrigador é a hipotenusa de um triângulo retângulo 
de catetos e . 
 
Assim, 
 
Devido à proporcionalidade, sendo r o raio da região 
irrigada e d a distância entre a bomba e o irrigador, 
temos: 
 = constante 
Assim, na situação anterior: 
 
Na nova situação: 
. 
 
QUESTÃO 66 
GABARITO: 
 
 
 
 
Observamos na figura que 
 
 
 
A área da região destacada é a soma das áreas de 
dois semicírculos, um com raio e outro com raio 
. Logo, 
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Resposta: A área da região destacada é igual a 
. 
 
b) O i-ésimo arco de circunferência mede metade do 
comprimento da circunferência de raio , ou seja, 
. O comprimento da curva formada 
pelos primeiros n arcos é a soma dos termos de 
uma progressão aritmética de termo geral . Logo, 
 
 
 
Supondo que n = 20, temos 
 
 
Resposta: A curva tem de comprimento. 
 
QUESTÃO 67 
GABARITO: 
A área pedida é a área do círculo de raio R menos 
doze vezes a área de uma pétala. 
A área de uma pétala é duas vezes a diferença 
entre a área de um setor circular de 60° e raio R 
(por exemplo, o setor circular AOB) e o triângulo 
equilátero correspondente, AOB. Assim, a área de 
uma pétala é . 
A área pedida é, então: 
. 
 
QUESTÃO 68 
GABARITO: 
Resolução oficial 
Como os diâmetros de R e 2R,, o triângulo AOB é 
equilátero com lado medindo R. Portanto, o ângulo 
AOB mede 60°. 
Daí tem-se: 
 
a) O arco AB do círculo maior mede e o 
comprimento da semicircunferência menor (raio ) 
mede . Logo, o perímetro da parte sombreada é 
. 
 
b) A área sombreada é a área do semicírculo menor 
menos a área do segmento circular definido pelo 
arco AB do semicírculo maior. A área do semicírculo 
menor é e a área do segmento 
circular é . 
Assim, a área da parte sombreada é: 
 
 
QUESTÃO 69 
GABARITO: 
a) Como a circunferência tem raio 2, seu 
comprimento é , logo o arco AE mede (pois 
corresponde a um ângulo central reto). Do 
enunciado tem-se que o arco BE mede , logo o 
arco AB mede . 
Como o ângulo DCA é retoe o ângulo BCA mede 
, o triângulo CDB é retângulo e isósceles, ou seja 
os segmentos BD e CD têm o mesmo comprimento 
. 
Segue do teorema de Pitágoras que 
. 
 
b) A medida da área sombreada corresponde à 
soma da área do triângulo CDB com a área do setor 
circular ECB, que corresponde a um ângulo central 
de . Assim e 
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. E portanto 
 . 
 
QUESTÃO 70 
GABARITO: 
O comprimento da circunferência 
é 
Igualando esse valor ao comprimento dado, 
temos
 
A área da figura II, como é possível observar, é 
 da figura I. 
Portanto,
 . 
Assim, a área é de cerca de 327 mm
2
. 
 
QUESTÃO 71 
GABARITO: 
 
a) Sejam = x e = y. O perímetro do 
retângulo ABCD é 2x + 2y e o comprimento da 
semicircunferência S, que tem raio , é . 
Sabemos que 2x + 2y + = 12. Logo y = 6 – x – 
x. A área de R é a soma A = xy + . 
Substituindo a expressão de y obtemos A = x [6 – (1 
+ )x]. 
 
b) Pelo item A, a área de R em função de x é f(x) = x 
[6 – (1 + )x], que é uma função quadrática cujo 
gráfico é uma parábola com concavidade para 
baixo. Suas raízes são x1 = 0 e x2 = 
. O x que dá a área máxima é o x 
do vértice xv, que é o ponto médio das raízes, xv = 
. 
c) Seja = EÔF. Queremos que 
Área da região azul = (Área da região 
vermelha) = (Área da região vermelha). 
 
A área de um setor circular é proporcional ao seu 
ângulo, logo devemos ter 
 
rad. 
 
QUESTÃO 72 
GABARITO: 
 
 
 
QUESTÃO 73 
GABARITO: 
A) Seja M o ponto médio do lado . Então, 
= e = r . Assim, pelo Teorema de Pitágoras 
tem-se que e 
daí 
 
 
Logo, a área do hexágono é igual 
a cm
2
 e a do círculo é igual a πr
2
 = 
4π cm
2
. Portanto, a área hachurada é igual 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a cm
2
. 
 
B) Como o raio r mede 2 cm, segue que as 
coordenadas do ponto B são B(0,2). Logo, o módulo 
de cada uma das raízes correspondentes aos 
complexos z são todas iguais a 2. Assim, |w| = 2
6
 = 
64 cm. 
 
QUESTÃO 74 
GABARITO: 
Para calcular o volume do túnel, vejamos a área de 
sua secção transversal: 
 
 
 
Se , então R = 4 m. Assim, como CD = 6 m, 
tem-se CO = 4 m e DO = 2 m. 
 
Tem-se, no triângulo OBD: 
 
 
Logo, o ângulo BÔD mede 60° e BÔC mede 120°. A 
secção é composta do triângulo ABO e do setor 
circular de 240° e raio 4 m: 
 
Como a extensão do túnel é de 2 000 metros, seu 
volume é: 
40,4 × 2 000 = 80 800 m
3
. 
 
Foram retirados do túnel 80 800 metros cúbicos de 
terra. 
 
QUESTÃO 75 
83 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja x a distância entre o centro do círculo e a base 
dos quadrados inferiores e r o raio do círculo. 
Temos x
2
 + 4
2
 = r
2
 = 2
2
 + (8 – x)
2
. Segue que 16 = 
68 – 16x e x = . Portanto, e 
. A área do círculo mede ≈ ≈ 
83,41 cm
2
. 
 
	Exercícios de Geometria Plana.
	Área do círculo e de suas partes.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 59
	Questão 60
	Questão 61
	Questão 62
	Questão 63
	Questão 64
	Questão 65
	Questão 66
	Questão 67
	Questão 68
	Questão 69
	Questão 70
	Questão 71
	Questão 72
	Questão 73
	Questão 74
	Questão 75
	Questão 1
	A
	Resolução:
	Questão 2
	C
	Resolução:
	Questão 3
	B
	Resolução:
	Questão 4
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	B
	Resolução:
	Questão 7
	B
	Resolução:
	Questão 8
	D
	Resolução:
	Questão 9
	B
	Resolução:
	Questão 10
	B
	Resolução:
	Questão 11
	D
	Resolução:
	Questão 12
	A
	Resolução:
	Questão 13
	D
	Resolução:
	Questão 14
	C
	Resolução:
	Questão 15
	B
	Resolução:
	Questão 16
	E
	Resolução:
	Questão 17
	B
	Resolução:
	Questão 18
	B
	Resolução:
	Questão 19
	D
	Resolução:
	Questão 20
	E
	Resolução:
	Questão 21
	C
	Resolução:
	Questão 22
	D
	Resolução:
	Questão 23
	C
	Resolução:
	Questão 24
	E
	Resolução:
	Questão 25
	C
	Resolução:
	Questão 26
	D
	Resolução:
	Questão 27
	A
	Resolução:
	Questão 28
	B
	Resolução:
	Questão 29
	A
	Resolução:
	Questão 30
	D
	Resolução:
	Questão 31
	D
	Resolução:
	Questão 32
	D
	Resolução:
	Questão 33
	A
	Resolução:
	Questão 34
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 35
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 36
	B
	Resolução:
	Questão 37
	A
	Resolução:
	Questão 38
	A
	Resolução:
	Questão 39
	E
	Resolução:
	Questão 40
	A
	Resolução:
	Questão 41
	D
	Resolução:
	Questão 42
	D
	Resolução:
	Questão 43
	D
	Resolução:
	Questão 44
	E
	Resolução:
	Questão 45
	Gabarito:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	Gabarito:
	Questão 48
	Gabarito:
	Questão 49
	Gabarito:
	Questão 50
	Gabarito:
	Questão 51
	Gabarito:
	Questão 52
	Gabarito:
	Questão 53
	Gabarito:
	Questão 54
	Gabarito:
	Questão 55
	Gabarito:
	Questão 56
	Gabarito:
	Questão 57
	Gabarito:
	Questão 58
	Gabarito:
	Questão 59
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 60
	Gabarito:
	Questão 61
	Gabarito:
	Questão 62
	Gabarito:
	Questão 63
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 64
	Gabarito:
	Questão 65
	Gabarito:
	Questão 66
	Gabarito:
	Questão 67
	Gabarito:
	Questão 68
	Gabarito:
	Questão 69
	Gabarito:
	Questão 70
	Gabarito:
	Questão 71
	Gabarito:
	Questão 72
	Gabarito:
	Questão 73
	Gabarito:
	Questão 74
	Gabarito:
	Questão 75
	83
	Resolução: