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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
GCET065 - ÁLGEBRA LINEAR TURMA T03
PROF. ANDERSON CRUZ
Data: 09/10/2018
Nota:__________
Lista de Exercícios (1ª Avaliação)
Exercício 1. Considere {
x− y = 0
2x+ y = 0
e
{
3x+ y = 0
x+ y = 0
.
Tais sistemas são equivalentes? Em caso afirmativo, mostre como obter um sistema a partir do outro.
Exercício 2. Faça o mesmo do exercício anterior para e
−x+ y + 4z = 0
x+ 3y + 8z = 0
0.5x+ y + 2.5z = 0
e
{
x− z = 0
y + 3z = 0
.
Exercício 3. Descreva todas as matrizes 2× 2 LRFE.
Exercício 4. Determine todas as soluções de
2x− 3y − 7z + 5w + 2u = −2
x− 2y − 4z + 3w + u = −2
2x− 4z + 2w + u = 3
x− 5y − 7z + 6w + 2u = −7
.
Exercício 5. Determine Y =
y1y2
y3
, tal que, se A =
3 −1 22 1 1
1 −3 0
 então o sistema A ·X = Y tem solução.
Exercício 6. Suponha R e R′ duas matrizes LFRE, 2× 3, tais que R ·X = 0 e R′ ·X = 0 têm as mesmas soluções.
Mostre que R = R′.
Exercício 7. Sejam A,B ∈M2 (R) tais que A ·B = I. Prove que B ·A = I.
Exercício 8. Considere
A =
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
 .
Encontre uma matriz R, LFRE, que é linha equivalente a A e uma matriz invertível P tal que R = P ·A.
Exercício 9. Considere
A =
5 0 01 5 0
0 1 5
 .
Determine para quais X =
x1x2
x3
, existe um escalar c tal que A ·X = c ·X.
Exercício 10. Verifique se a matriz
A =

1 2 3 4
0 2 3 4
0 0 3 4
0 0 0 4

é invertível. Em caso afirmativo, determine A−1.
1
Exercício 11. Suponha A ∈M2×1 (R) e B ∈M1×2 (R). C = A ·B é invertível? Prove ou dê um contra exemplo.
Exercício 12. Seja A ∈Mn (R). Prove que:
1. Se A é invertível e A ·B = 0, para alguma matriz B ∈Mn (R), então B = 0.
2. Se A não é invertível, então existe uma matriz B ∈Mn (R) tal que A ·B = 0 mas B 6= 0.
Exercício 13. Seja V = {(x, y) | x, y ∈ R} com as operações
• (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
• k · (a, b) = (ka, b) para k ∈ R.
Verifique se V é um espaço vetorial sobre R.
Exercício 14. Seja V = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} com as operações
• (a, b, c) + (x, y, z) = (a− x, b− y, c− z)
• k · (x, y, z) = (−kx,−ky,−kz).
Verifique se V é um espaço vetorial sobre R.
Exercício 15. Seja V = {(x, y) | x, y ∈ R} com as operações
• (a, b) + (c, d) = (a+ c, 0)
• k · (a, b) = (ka, 0) para k ∈ R.
Verifique se V é um espaço vetorial sobre R.
Exercício 16. Considere Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R}. Quais conjuntos abaixo são subespaços de Rn, n ≥ 3?
1. W1 = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 ≥ 0}.
2. W2 = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + 3x2 = x3}.
3. W3 =
{
(x1, x2, . . . , xn) | x2 = x21
}
.
4. W4 = {(x1, x2, . . . , xn) | x1x2 = 0}.
5. W5 = {(x1, x2, . . . , xn) | x2 ∈ Q}.
6. W6 = {(x1, 0, . . . , 0) | x1 ∈ R}.
7. W7 = {(x1, 1, . . . , 1) | x1 ∈ R}
8. W8 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R e y = x+ z}.
9. W9 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R e y = x+ z + 1}
Exercício 17. Considere Mn×n (R) o espaço vetorial das matrizes n × n com entradas em R. Quais conjuntos
abaixo são subespaços de Mn×n (R)?
1. W1 = {A ∈Mn×n (R) | A é invertível}.
2. W2 = {A ∈Mn×n (R) | A não é invertível}.
3. W3 = {A ∈Mn×n (R) | AB = BA} onde B é uma matriz fixada.
4. W4 =
{
A ∈Mn×n (R) | A = A2
}
.
5. W5 =Mn×n (Z).
6. W6 =
{
[aij ]n×n ∈Mn×n (R) |
∑n
i=1
∑n
j=1 aij = 0
}
.
7. W7 = {A ∈Mn×n (R) | detA = 0}.
8. W8 = {A ∈Mn×n (R) | tr (A) = 0}.
9. W9 = {A ∈Mn×n (R) | At = −A}.
10. W10 = {A ∈Mn×n (R) | At = A}
2
Exercício 18. Determine todos os subespaços vetoriais de Rn, para n = 1, 2, 3.
Exercício 19. Reduza as seguintes matrizes a LRFE.
1.
2 −3 −44 −6 1
1 1 0
.
2.
1 2 −33 1 2
8 1 9
.
3.
1 2 −3 13 1 2 2
8 1 9 1
.
Exercício 20. Para quais valores de a o seguinte sistema tem solução nula? Infinitas soluções? Uma única solução?
x+ y + z = 4
z = 2(
a2 − 4) z = a− 2
Exercício 21. Seja a 0 b 2a a 4 4
0 a 2 b

a matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Determine para quais valores de a e b o sistema:
1. tem uma única solução?
2. infinitas soluções, com duas incógnitas em função de uma?
3. infinitas soluções, com uma incógnita em função de duas?
4. não admite soluções?
Exercício 22. Resolva o sistema em x, y e z
xy − 2√y + 3zy = 8
2xy − 3√y + 2zy = 7
−xy +√y + 2zy = 4
.
Exercício 23. Prove que o conjunto
V =
{[
a 1
1 b
]
| a, b ∈ R
}
com as operações
•
[
a1 1
1 b1
]
+
[
a2 1
1 b2
]
=
[
a1 + a2 1
1 b1 + b2
]
• k ·
[
a 1
1 b
]
=
[
k · a 1
1 k · b
]
,
é um espaço vetorial sobre R. Qual é o vetor nulo deste espaço?
Exercício 24. Considere V = {?} um conjunto unitário com as operações
• ?+ ? = ?
• k · ? = ?.
Com estas operações V é um espaço vetorial?
Exercício 25. Duas matrizes A e B serão ditas semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que A = P−1·B·P .
Prove que se A e B são semelhantes então det (A) = det (B).
3