GAufsj-021-029

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capítulo
21
capítulo 2
Vetores:
Um Tratamento Algébrico 
Objetivos
• Estabelecer a igualdade entre dois vetores;
• Manipular operações entre vetores;
• Reconhecer vetores paralelos;
• Representar vetores no espaço.
2.1 Vetores no Plano
Segundo WINTERLE (2006), dados dois vetores −→v1 e −→v2 , não colineares, qualquer vetor
−→v (coplanar com −→v1 e −→v2) pode ser decomposto segundo as direções de −→v1 e −→v2 e cuja
soma seja −→v . Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que:
−→v = a1−→v1 + a2−→v2 (2.1)
Quando o vetor −→v estiver representado por 2.1 dizemos que −→v é combinação linear
de −→v1 e −→v2 . O par de vetores −→v1 e −→v2 , não colineares, é chamado base do plano. Aliás,
qualquer conjunto {−→v1 ,−→v2} de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os
números a1 e a2 da representação 2.1 são chamados componentes ou coordenadas de −→v
em relação à base {−→v1 ,−→v2}. O vetor a1−→v1 é chamado projeção de −→v sobre −→v1 segundo a
direção de −→v2 . Do mesmo modo, a2−→v2 é a projeção de −→v sobre −→v2 segundo a direção de
−→v1 .
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.
Uma base {−→e1 ,−→e2} é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários,
isto é, −→e1 ⊥ −→e2 e |−→e1 | = |−→e2 | = 1.
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente impor-
tante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os
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vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por
−→
i e
−→
j , ambos com ori-
gem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente, sendo a base C = {−→i ,−→j }
chamada canônica. Portanto,
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1).
Daqui por diante, trataremos somente da base canônica.
Dado um vetor −→v qualquer do plano , existe uma só dupla de números x e y tal que
−→v = x−→i + y−→j (2.2)
Os números x e y são as componentes de −→v na base canônica. A primeira componente
é chamada abscissa de −→v e a segunda componente y é a ordenada de −→v .
O vetor −→v será também representado por
−→v = (x, y) (2.3)
dispensando-se a referência à base canônica C.
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A igualdade anterior é chamado expressão analítica de −→v . Para exemplificar, veja
alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:
3
−→
i − 5−→j = (3,−5) 3−→j = (0, 3) − 4−→i = (−4, 0)
Parece óbvio o que se segue, mas a definição de igualdade de vetores é fundamental
para continuarmos o estudo de Geometria Analítica.(WINTERLE,2006).
Dois vetores −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2,
escrevendo-se −→u = −→v .
Exemplo 2.1.1. O vetor −→u = (x+ 1, 4) é igual ao vetor −→v = (5, 2y − 6) se x+ 1 = 5 e
2y − 6 = 4. Assim, se −→u = −→v , então x = 4, y = 5 e −→u = −→v = (5, 4).
Atividade
Considere os vetores −→u = (m+ 2n, n− 7) e −→v = (4−m,n+m+ 9). Existem valores de
m e n de modo que −→u = −→v ?
2.2 Operações com Vetores
Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores. Por que então, tudo
isso novamente? A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista
geométrico. Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente.
Sejam os vetores −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2) e α ∈ <. Define-se:
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1. −→u +−→v = (x1 + x2, y1 + y2)
2. α−→u = (αx1, αx2)
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para
multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por
este número.
Exemplo 2.2.1. Determinar o vetor −→w na igualdade 3−→w + 2−→u = 1
2
−→v +−→w , sendo dados
−→u = (3,−1) e −→v = (−2, 4).
A equação pode ser resolvida como uma equação numérica:
6−→w + 4−→u = −→v + 2−→w =⇒ 6−→w − 2−→w = −→v − 4−→u =⇒ 4−→w = −→v − 4−→u =⇒
−→w = 1
4
−→v −−→u
Substituindo −→u e −→v na equação acima, vem
−→w = 1
4
(−2, 4)− (3,−1) =⇒ −→w = (−1
4
, 1)− (3,−1) =⇒ −→w = (−1
2
+ (−3), 1 + 1) =⇒
−→w = (−7
2
, 2)
Vamos considerar agora o vetor
−→
AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em
B(x2, y2).
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Os vetores
−→
OA e
−−→
OB têm expressões analíticas
−→
OA = (x1, y1) e
−−→
OB = (x2, y2). Por
outro lado, do triângulo OAB da figura, vem
−→
OA +
−→
AB =
−−→
OB em que
−→
AB =
−−→
OB −−→OA
ou
−→
AB = (x2, y2) − (x1, y1) e −→AB = (x2 − x1, y2 − y1) isto é, as componentes de −→AB são
obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A,
razão pela qual também se escreve
−→
AB = B − A.
É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos
orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos
representantes do vetor
−→
AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0)
e extremidade em P = (x2 − x1, y2 − y1).
O vetor −→v = −→AB é também chamado vetor posição ou representante natural de −→AB.
Por outro lado, sempre que tivermos −→v = −→AB ou −→v = B − A podemos também
concluir que B = A+−→v ou B = A+−→AB, isto é, o vetor −→v “transporta” o ponto inicial
A para o ponto extremo B.
Exemplo 2.2.2. Dados os pontos A(−1, 2), B(3,−1) e C(−2, 4), determinar o ponto D
de modo que
−−→
CD =
1
2
−→
AB.
Seja D(x, y). Então,
−−→
CD = D−C = (x, y)− (−2, 4) = (x+2, y−4) e −→AB = B−A =
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(3,−1)− (−1, 2) = (4,−3). Logo,
(x+ 2, y − 4) = 1
2
(4,−3) (x+ 2, y − 4) = (2, −3
2
)
Da igualdade anterior concluimos que
x+ 2 = 2
y − 4 = −3
2
Portanto, D(0,
5
2
).
Para você Refletir: Pense outra forma de resolver este exercício.
Vimos anteriormente, como determinar o vetor definido por dois pontos. Considere
agora o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2). SendoM(x, y) o ponto médio de AB,
podemos expressar de forma vetorial como
−−→
AM =
−−→
MB ou
(x− x1, y − y1) = (x2 − x, y2 − y)
e daí
x− x1 = x2 − x
e y − y1 = y2 − y).
Com isso , temos
M(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
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Exemplo 2.2.3. Observe que o ponto médio do segmento de extremos A(−2, 3) e B(6, 2)
é
M(
−2 + 6
2
,
3 + 2
2
)
ou
M(2,
5
2
)
Você se lembra da definição de vetores paralelos? Pois bem, vamos voltar nesse assunto,
mas agora, com a abordagem algébrica.
Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que −→u = α−→v , ou seja,
(x1, y1) = α(x2, y2) que pela condição de igualdade resulta em x1 = αx2 e y1 = αy2 donde
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos
quando suas componentes forem proporcionais.
Exemplo 2.2.4. Os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (−4, 6) são paralelos pois −2−4 =
3
6
.
Atividades
1. Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1, 2), obtenha o vetor −→w tal que 3−→w −
(2−→v −−→u ) = 2(4−→w − 3−→u ).
2. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1), determine o ponto D de modo que
−−→
DC =
−→
BA.
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