Slides de Aula – Unidade II

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Profa. Ana Carolina Bueno
UNIDADE II
Estatística
 Como podemos descrever estes dados?
 Como podemos resumir estes dados?
 Média.
 Mediana.
 Moda.
Medidas de tendência central
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Nú
me
ro d
e a
lun
os
Estatura
Estatura de 40 alunos
Estatura Xi Fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Fonte: autoria própria
 É a soma dos valores de todas as observações dividida pelo número de 
observações envolvidas. 
 Vantagem: leva em conta todos os valores no seu cálculo.
Média aritmética para distribuição de frequência sem classe
 A tabela mostra uma pesquisa sobre o número de filhos por funcionário de uma 
certa empresa.
 Como calcular:
Número de filhos: média aritmética 
Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
 Divide uma série ordenada de dados em duas partes iguais. Ocupa a posição 
central. Não é afetada por valores extremos.
 A amostra pode ter número ímpar de elementos ou número par de elementos.
Calcular a posição da mediana com a fórmula a seguir: 
 Posição mediana Eme = (N + 1)/2
Mediana (Md) para distribuição de frequência sem classe
Um conjunto de dados indica o salário de funcionários de uma empresa xi = {6, 9, 3, 
5, 2, 9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, em que n = 13. 
 Rol - {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}
 Posição mediana = (N + 1)/2
 Posição mediana = (13 + 1)/2 = 7 (indica a posição)
Então:
 Md = 5 funcionários
Mediana: nº ímpar de elementos
Exemplo: número de filhos
 Posição mediana = 
(20 + 1) / 2 = 10,5
Então:
 Md = (2 + 2)/2 = 2 filhos
Mediana: nº par de elementos
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
 Mediana para tabela de frequência sem intervalo.
 Primeiro determinar a classe de referência.
 Me = 2 filhos
Número de filhos: mediana 
Nº de 
filhos
fi Fa
0 4 4
1 5 9
2 7 16
3 3 19
4 0 19
5 1 20
Total
2
0
20
 Um conjunto de dados ao dado que ocorre com maior frequência. A moda não é 
afetada por valores extremos. É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez 
que é, dentre as medidas de tendência, a mais variável de amostra para amostra.
 Uma moda: unimodal
 Duas modas: bimodal
 Mais de duas modas: multimodal
 Nenhuma moda: amodal
Moda (Mo) para distribuição de frequência sem classe
 Classe de referência é a classe com o maior 
valor de fi.
 Mo = 2 filhos (unimodal)
Número de filhos: moda 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
 Medidas que mostram a dispersão dos dados em torno da tendência central.
 A variação se refere a quanto os valores podem diferir entre si e pode ser medida 
por números específicos.
 Os números relativamente 
próximos uns dos outros têm 
baixas medidas de variação, 
enquanto os valores mais 
dispersos têm maior 
medida de variação.
Medidas de dispersão
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Nú
me
ro 
de
 alu
no
s
Estatura
Estatura de 40 alunos
Fonte: autoria própria
 Amplitude
Xmaior – Xmenor
 Variância
 Desvio-padrão
 Coeficiente de variação
Medidas de dispersão
 Amplitude Total = Valor máximo – Valor mínimo
 Amplitude Total = 5 – 0 = 5
Amplitude total: número de filhos
Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
Número de filhos: variância (s²) para distribuição de frequência 
sem classe
Número de filhos: desvio-padrão (s) para distribuição de frequência 
sem classe
Em um levantamento realizado, em maio, com os 134 funcionários da empresa XK, 
em relação à variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a tabela 
abaixo. 
Determine a média aproximada de salário.
a) 4 salários. 
b) 5 salários.
c) 6 salários.
d) 7 salários.
e) 8 salários.
Interatividade
Salário Nº de 
funcionários
3 32
5 34
7 40
9 28
Total 134
A estatura média para a 
amostra de alunos é de 
161 cm.
Estatura: média aritmética para distr. de frequência com classe
Estatura xi fi xifi
150  154 152 4 152 x 4 = 608
154  158 156 9 156 x 9 = 1404
158  162 160 11 160 x 11 = 1760
162 166 164 8 164 x 8 = 1312
166  170 168 5 168 x 5 = 840
170  174 172 3 172 x 3 = 516
Total 40  xifi = 6440
Mediana para distribuição de frequência com classe
Em que:
Me = Mediana.
lime = Limite inferior da classe que contém o 
elemento mediano (classe mediana).
Eme = Elemento mediano.
fac ant = Frequência acumulada crescente até a 
classe anterior à classe mediana.
fme = Frequência da classe mediana.
h = Amplitude da classe mediana.
Eme = (fi/2) = 40/2 = 20 (referência)
Lime = limite inferior da classe mediana (158)
fac ant = frequência acumulada anterior à classe mediana (13)
fme = freq. simples da classe mediana (11)
h = amplitude de classe (4)
Estatura: mediana para distribuição de frequência com classe
Md = 160,55 cm
Estatura Xi Fi fa
150  154 152 4 4
154  158 156 9 13
158  162 160 11 24
162 166 164 8 32
166  170 168 5 37
170  174 172 3 40
Total 40
Moda para distribuição de frequência com classe
Moda de Czuber
Em que:
Mo = Moda.
Limo = Limite inferior da classe modal.
fmo = Frequência da classe modal.
fant = Frequência da classe imediatamente anterior à 
classe modal.
fpost = Frequência da classe imediatamente posterior à 
classe modal.
h = Amplitude da classe modal.
 f = frequência simples da classe modal
 Li = limite inferior da classe modal (158)
 d1 = fmo – fant (11 – 9 = 2)
 d2 = fmo – fpost (11 – 8 = 3)
 A = amplitude de classe (4)
Estatura: moda para distribuição de frequência com classe
Estatura xi fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
 Amplitude
Xmaior – Xmenor = 172 – 152 = 20
Estatura: amplitude para distribuição de frequência com classe
Estatura xi fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Estatura: variância para distribuição de frequência com classe
Estatura: desvio-padrão para distribuição de frequência com classe 
 Idade
 Estatura
Coeficiente de variação
Dada a tabela do número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 
dias, assinale a alternativa correta.
a) Os pontos médios são 11, 14, 14 e 9. 
b) A média é igual a 10,5 erros.
c) O desvio-padrão é igual a 17,3 erros.
d) O desvio-padrão é igual a 4,2 erros.
e) A variância é igual a 4 erros².
Interatividade
Erros xi fi xi  fi (xi – x)² * fi
5  9 7 11
7 x 11 = 
77
(7 – 12,7)² x 
11 = 357,4
9  13 11 14
11 x 14 = 
154
(11 – 12,7)² 
x 14 = 40,5
13  17 15 14
15 x 14 = 
210
(15 – 12,7)² 
x 14 = 74,1
17 21 19 9
19 x 9 
=171
(19 – 12.7)² 
x 9 = 357,2
Total 48  = 612  = 829,2
 Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o 
conhecimento de probabilidade.
 A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um 
determinado acontecimento. 
 Antes de ativar uma usina nuclear, devemos analisar a probabilidade de uma 
detonação acidental. 
 Antes de aumentar o limite de velocidade em nossas 
rodovias, devemos procurar estimar a probabilidade do 
aumento em acidentes fatais.
Probabilidade
 Experimentos: resultado no lançamento de um dado; hábito de fumarde um 
estudante sorteado em sala de aula; tipo sanguíneo de um habitante 
escolhido ao acaso.
 Espaço amostral: lançamento de um dado:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; exame de sangue 
(tipo sanguíneo):  = {A, B, AB, O}; hábito de fumar:  = {fumante, não fumante}; 
tempo de duração de uma lâmpada:  = {t: t  0}.
Eventos: alguns eventos de um dado:
 A: sair face par A = {2, 4, 6}  
 B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}  
Experimentos, espaço amostral e eventos
 Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório.
Em um vestibular, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. 
Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta 
estar errada?
Probabilidade: exemplo
Imagine que um dado foi jogado. Qual é a probabilidade de ter ocorrido 5? 
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior 
do que 4? 
Probabilidade: mais dois exemplos
 Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha 
exatamente 2 meninos. 
Probabilidade: outro exemplo
1º 2º 3º
H
H
H
H
M
M
M
M
H
H
M
M
H
H
M
M
H
M
H
M
H
M
H
M
Árvore de decisão
H
M
H
H
M
M
H
H
H
H
M
M
M
M
 O nº de caminhos é dado pelo nº de combinações.
 n = nº total de repetições do experimento (n = 3).
 x = nº de resultados desejados (x varia de 0 a 3).
Análise combinatória
Números de H Números de M Caminhos
Quantidade
de caminhos
3 meninos 0 menina 1 1
2 meninos 1 menina 2, 3, 5 3
1 menino 2 meninas 4, 6, 7 3
0 menino 3 meninas 8 1
 Então, a probabilidade de ocorrer dois meninos será:
Análise combinatória
 Qual é a probabilidade de ocorrer, pelo menos, dois 
meninos? 
 P(obter, pelo menos, dois meninos) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 0,5 
Análise combinatória
Vinte moedas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que se 
obtenham exatamente oito caras?
Total de combinações = 220 = 1.048.576 de resultados
O número total de resultados que nos interessa:
A probabilidade de ocorrer 8 caras é:
Exemplo
A MasterCard International efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito; os 
resultados estão na tabela. Selecionado aleatoriamente um caso de fraude nos 
casos resumidos na tabela, qual a probabilidade de a fraude resultar de um cartão 
falsificado?
a) P(cartão falsificado) = 1,85%.
b) P(cartão falsificado) = 57,04%.
c) P(cartão falsificado) = 19,95%.
d) P(cartão falsificado) = 12,21%.
e) P(cartão falsificado) = 10,80%.
Interatividade
Tipo de fraude Número
Cartão roubado
Cartão falsificado
Pedido por correio / telefone
Outros
243
85
52
46
Selecione um aluno ao acaso e defina os eventos:
a) O aluno selecionado é do sexo masculino, dado que cursa Computação: 
P(HC) = 15/19 = 0,7895 ou 78,95%.
b) A disciplina selecionada é Estatística, dado que é homem: 
P(EH) = 16/41 = 0,3902
Probabilidade condicional: exemplo
Homens (H) Mulheres (M) Total
Computação (C) 15 4 19
Estatística (E) 16 15 31
Física (F) 6 0 6
Outros (O) 4 2 6
Total 41 21 62
 Imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. 
 Qual a probabilidade de 
ocorrer cara na moeda, 
sabendo que ocorreu face 
6 no dado?
 P(sair cara na moeda, 
sabendo que ocorreu 
6 no dado) = ½ = 0,5.
Eventos independentes: exemplo 
Dado Moeda
Cara Coroa
1 Cara; 1 Coroa; 1
2 Cara; 2 Coroa; 2
3 Cara; 3 Coroa; 3
4 Cara; 4 Coroa; 4
5 Cara; 5 Coroa; 5
6 Cara; 6 Coroa; 6
 P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
 Palavra-chave: OU
Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. 
Retira-se uma bola da urna ao acaso. 
Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha?
 A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 0,25 ou 25%.
 A probabilidade de sair bola vermelha 
é ¼ = 0,25 ou 25%.
 Então, a probabilidade de sair bola colorida 
é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ = 0,5 ou 50%.
Regra da adição: exemplo com eventos mutuamente excludentes
P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Imagine uma carta ser retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de 
sair uma carta de espadas ou um ás?
 Um baralho tem 52 cartas
 13 são de espadas e 4 são ases
 P(sair uma carta de espadas ou um ás) é:
 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,3077 ou 30,77%
Regra da adição: eventos não excludentes 
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B)
 Palavra-chave: E
Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas 
duas jogadas? 
 Probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é ½ = 0,5 ou 50%.
 Probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada é: ½ = 0,5 ou 50%.
 Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas, faz-se o produto: ½ . 
½ = ¼ = 0,25 ou 25%.
Regra da multiplicação: eventos independentes
Se os eventos A e B são dependentes, temos que:
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B/A)
 Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da 
urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido 
recolocada. 
Qual é a probabilidade de as duas serem brancas?
Regra da multiplicação: eventos dependentes
A probabilidade da primeira bola ser branca é: 
2/3 = 0,6667 ou 66,67%.
 A probabilidade da segunda bola ser branca: ½ = 0,5 ou 50%.
Para obter a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: 
 P(2 bolas brancas) = 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%.
Regra da multiplicação: eventos dependentes
Com referência à tabela, admita que todas as escolhas envolvam 2000 indivíduos. 
Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido 
vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto?
a) P(estranho / furto) = 0,75.
b) P(estranho / furto) = 0,559.
c) P(estranho / furto) = 0,2525.
d) P(estranho / furto) = 0,5087.
e) P(estranho / furto) = 0,1739.
Interatividade
Homicídio Furto Assalto Total
Estranho
Conhecido ou 
parente
Ignorado
12
39
18
379
106
20
727
642
57
1118
787
95
Totais 69 505 1429 2000
ATÉ A PRÓXIMA!