Regra da cadeia

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Cieˆncias Exatas e da Terra
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II - MAT0346
Prof. July Herbert
Lista de Exerc´ıcios - Derivadas Parciais
1. Use a Regra da Cadeia para achar dz/dt ou dw/dt.
(a) z = x2 + y2 + xy, x = sen t, y = et.
(b) z = cos(x+ 4y), x = 5t4, y = 1/t.
(c) z =
√
1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t.
(d) z = arc tg(y/x), x = et, y = 1− e−t.
(e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.
(f) w = ln
√
x2 + y2 + z2, x = sen t, y = cos t, z = tg t.
2. Use a Regra da Cadeia para achar ∂z/∂s e ∂z/∂t.
(a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sen t.
(b) z = arc sen(x− y), x = s2 + t2, y = 1− 2st.
(c) z = sen θ cosφ, θ = st2, φ = s2t.
(d) z = ex+2y, x = s/t, y = t/s.
(e) z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2.
(f) z = tg(u/v), u = 2s+ 3t, v = 3s− 2t.
3. Se z = f(x, y), onde f e´ diferencia´vel, e
x = g(t)
g(3) = 2
g′(3) = 5
fx(2, 7) = 6
y = h(t)
h(3) = 7
h′(3) = −4
fy(2, 7) = −8
determine dz/dt quando t = 3.
4. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ vew; ∂z
∂u
, ∂z
∂v
, ∂z
∂w
quando u = 2, v = 1, w = 0.
(b) u =
√
r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t; ∂u
∂x
, ∂u
∂y
, ∂u
∂t
quando x = 1, y = 2, t = 0.
(c) w = xy + yz + zx, x = r cos θ, y = r sen θ, z = rθ; ∂w
∂r
, ∂w
∂θ
quando r = 2 e θ = pi/2.
(d) P =
√
u2 + v2 + w2, u = xey, v = yex, w = exy; ∂P
∂x
, ∂P
∂y
quando x = 0 e y = 2.
(e) N = p+q
p+r
, p = uvw, r = w + uv; ∂N
∂u
, ∂N
∂v
, ∂N
∂w
quando u = 2, v = 3 e w = 4.
(f) u = xety, x = α2β, y = β2γ, t = γ2α; ∂u
∂α
, ∂u
∂β
, ∂u
∂γ
quando α = −1, β = 2 e γ = 1.
5. A temperatura em um ponto (x, y) e´ T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja,
de modo que sua posic¸a˜o apo´s t segundos e´ dada por x =
√
1 + t, y = 2 + t
3
, onde x e y
sa˜o medidos em cent´ımetros. A func¸a˜o da temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3.
Qua˜o ra´pido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de treˆs segundos?
6. A produc¸a˜o de trigo W em um determinado ano depende da temperatura me´dia T e do
volume anual das chuvas R. Cientistas estimam que a temperatura me´dia anual esta´
crescendo a` taxa de 0, 15◦C/ano e a quantidade anual de chuva esta´ decrescendo a` taxa
de 0, 1 cm3/ano. Eles tambe´m estimam que, no atual n´ıvel de produc¸a˜o, ∂W/∂T = −2 e
∂W/∂R = 8.
(a) Qual e´ o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variac¸a˜o corrente da produc¸a˜o de trigo dW/dt.
7. A voltagem V em um circuito ele´trico simples decresce lentamente a` medida que a pilha se
descarrega. A resisteˆncia R aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use
a Lei de Ohm, V = I · R, para achar como a corrente I esta´ variando no momento em que
R = 400Ω, I = 0, 08 A, dV/dt = −0, 01 V/s e dR/dt = 0, 03 Ω/s.
8. A pressa˜o de 1 mol de um ga´s ideal esta´ aumentando em uma taxa de 0,05 kPa/s e a
temperatura esta´ aumentando em uma taxa de 0,15 K/s. Use a equac¸a˜o PV = 8, 31T para
determinar a taxa de variac¸a˜o do volume quando a pressa˜o for 20 kPa e a temperatura for
320 K.