Calculo III - Sandra Gaspar Martins

Prévia do material em texto

AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Integrais de linha
Ana´lise Matema´tica II – Ca´lculo II
Sandra Gaspar Martins
2o Semestre 2013/14
Versa˜o de 30 de Maio de 2014
sandra.martins@adm.isel.pt
1/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Equac¸o˜es parame´tricas da curva C
de R2
Definic¸a˜o
Seja C uma curva/linha de R2 tal que{
x = f (t)
y = g(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
com f e g func¸o˜es cont´ınuas em I. A t chama-se a varia´vel ou
paraˆmetro.
A orientac¸a˜o da curva C corresponde ao sentido definido pelos
valores crescentes de t no intervalo I .
Ao ponto (x , y) correspondente a t = a chama-se origem ou
ponto de partida e ao correspondente a t = b chama-se
extremidade ou ponto de chegada da curva.
2/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Outra forma de descrever a curva C e´ utilizando func¸o˜es
vetoriais:
~r : I = [a, b] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t))
~r(a) e´ a origem ou ponto de partida e
~r(b) e´ a extremidade ou ponto de chegada de C.
Exemplo: Represente geometricamente a curva C:
~r : [−1, 1] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (t, t2)
ou seja, {
x = t
y = t2
, t ∈ I = [−1, 1]
ou seja,
~r(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1] 3/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2]
2 ~r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, pi]
3 ~r(t) = (t,
√
t), t ∈ [0, 9]
4 ~r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5]
5 ~r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2]
6 ~r(t) = (t,−t), t ∈ [0, 2]
7 ~r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1]
8 ~r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2]
9 ~r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2]
10 ~r(t) = (|t|, |t|2), t ∈ [−2, 2]
11 ~r(t) = (|t|, |t|+ 3), t ∈ [−3, 3]
4/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2pi]
2 ~r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, pi]
3 ~r(t) = (cos(t)− 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, pi2 ]
4 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2pi]
5 ~r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [pi, 2pi]
6 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−pi, pi3 ]
7 ~r(t) = (cos(t)− 4, sin(t) + 2), t ∈ [−pi2 , 0]
8 ~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), t ∈ [0, 4pi]
9 ~r(t) = (sin(t)− 1, cos(t) + 3), t ∈ [pi2 , 2pi]
5/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Definic¸a˜o
Uma parametrizac¸a˜o de um segmento de reta com origem em
A e extremidade em B, pode ser:
~r(t) = A + t( ~AB), t ∈ [0, 1].
Definic¸a˜o
Seja C uma curva dada pelo caminho ~r(t), t ∈ [a, b] com
origem em A = ~r(A) e extremidade em B = ~r(B). A curva −C
(com origem em B e extremidade em A) e´ dada pelo caminho
inverso de ~r , ~r∗, obte´m-se se ~r substituindo t por −t, ou seja,
~r∗(t) = ~r(−t), t ∈ [−b,−a]
.
Exemplo: Parametrize o segmento de reta de R2 que comec¸a
em (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso.
6/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios I
Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:
1 O segmento de reta que comec¸a em (1,2) e termina em
(-1,-3).
2 A parte da reta y = 2x para x ∈ [−2, 3].
3 A parte do gra´fico da func¸a˜o f (x) = ex
2 − 1 para
x ∈ [0, 1].
4 As linhas que se seguem:
7/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios II
Nota: Repare que a parametrizac¸a˜o na˜o e´ u´nica.
8/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Equac¸o˜es parame´tricas da curva C
de R3
Definic¸a˜o
Seja C uma curva/linha de R3 tal que
x = f (t)
y = g(t)
z = h(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
ou seja,
~r : I = [a, b] −→ R3
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t), h(t))
ou seja,
~r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b]
9/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]
2 ~r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3]
3 ~r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2]
4 ~r(t) = (0, |t|, |t|2 + 3), t ∈ [−3, 4]
5 ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2pi]
6 He´lice circular:
~r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4pi]
7 He´lice el´ıptica:
~r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4pi]
10/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte que
representa o cilindro
{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}
11/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Classificac¸a˜o de curvas
Definic¸a˜o
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].
A curva C diz-se fechada se a origem coincide com a
extremidade, ou seja, ~r(a) = ~r(b). Caso contra´rio a curva
diz-se aberta.
A curva C diz-se simples se na˜o se intersecta a si pro´pria
(excluindo a origem e a extremidade).
12/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Vetor tangente e reta tangente
Definic¸a˜o
Seja C uma curva de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b].
Designa-se por vetor tangente a` curva C no ponto
P0 = ~r(t0) a derivada
~r ′(t0) = lim
h→0
~r(t0 + h)−~r(t0)
h
, t0 ∈]a, b[
quando existe e e´ na˜o nula.
A reta tangente a` curva em P0 = ~r(t0) e´ dada por:
(x , y , z) = ~r(t0) + t~r
′(t0), t ∈ R
13/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
1 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) para
B = (−1, 0), ao longo de uma circunfereˆncia de equac¸a˜o
x2 + y 2 = 1
em sentido directo (anti-hora´rio). Determine a equac¸a˜o da
reta tangente a` curva no ponto (0,1).
2 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) para
B = (0, 2), ao longo de uma elipse de equac¸a˜o
x2 +
y 2
4
= 1
em sentido directo (anti-hora´rio). Determine a equac¸a˜o da
reta tangente a` curva no ponto correspondente a t = pi4 .
3 Determine a reta tangentea` curva representada pela
func¸a˜o
~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t)
no ponto t0 =
pi
4 .
14/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Aplicac¸o˜es
Se ~r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento de
um corpo ou part´ıcula, ~r ′(t) correspondera´ ao vetor
velocidade, ou seja,
~v(t) = ~r ′(t).
O vetor acelerac¸a˜o sera´
~a(t) = ~v ′(t) = ~r ′′(t).
Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de uma
curva C dada por
~r(t) = (t − 2, t2).
Determine os vetores velocidade e acelerac¸a˜o nos instantes
t = 0 e t = 1. Represente-os.
15/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Definic¸a˜o
Uma curva C de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b] diz-se regular
se a derivada ~r ′(t) existe e e´ cont´ınua (o que significa que
~r(t) ∈ C 1) e na˜o nula em ]a, b[.
C e´ seccionalmente regular se se puder dividir num nu´mero
finito de curvas regulares.
Nota: Se um caminho e´ regular, a curva por ele descrita na˜o
apresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evolui
sem variac¸o˜es bruscas de direcc¸a˜o ou sentido.
16/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Integral de linha de campo escalar
Considere uma linha/curva em R3
E o campo escalar f (x , y , z) que a cada ponto (x , y , z) (de R3-
em particular da curva) faz corresponder um
nu´mero/quantidade/altura.
17/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Com os valores da func¸a˜o em todos os pontos
Obtemos uma cortina/muro sobre a linha.
O integral de linha de campo escalar da´-nos a a´rea dessa
cortina. Da´-nos a quantidade total de f (x , y , z) sobre a linha
(afetada de sinal, conforme esta´ acima ou abaixo da curva).
18/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Por exemplo:
Se f (x , y , z) da´ a quantidade de a´gua que choveu no
ponto (x , y , z) durante um certo dia, o integral de f da´ a
quantidade total de a´gua que choveu sobre essa curva
nesse dia.
Se f (x , y , z) da´ temperatura no ponto (x , y , z) num dado
momento, podemos saber a temperatura me´dia sobre essa
linha dividindo o valor do integral pelo comprimento da
linha.
Se a linha for um arame com densidade dada pela func¸a˜o
ρ(x , y , z), o integral de ρ ao longo da linha da´ a massa
total do arame.
19/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Como vamos obter este valor?
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].
Dividindo o intervalo [a, b] em n intervalos [ti , ti+1],
i = 0, ..., n − 1.
Dividimos, tambe´m, a curva C em n intervalos [~r(ti ),~r(ti+1)].
||~r(ti+1)−~r(ti )|| da´-nos aproximadamente o comprimento do
”intervalo i”da curva.
20/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Logo f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )|| da´-nos aproximadamente a a´rea
a azul:
Somando as a´reas de todos os intervalos obtemos
n−1∑
i=0
f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )||
teremos a a´rea de toda a cortina/muro.
21/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Repare que ||~r(ti+1)−~r(ti )||∆t ≈ ||~r ′(ti )|| pelo que a a´rea total pode
ser escrita como
n−1∑
i=0
f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t
Passando ao limite
lim
n→+∞
n−1∑
i=0
f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t
obtemos ∫ b
a
f (~r(t))
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
que e´ o valor exato da a´rea da cortina, e´ potanto, o que
designamos por integral de linha de campo escalar.
22/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Definic¸a˜o
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar cont´ınuo cujo
dom´ınio Df contem todos os pontos da curva C
Chamamos integral de linha do campo escalar f ao longo da
curva C ao integral∫
C
f ds =
∫ b
a
f (~r(t))
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
Notas:
Este integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o escolhida
para C.
http://www.personal.psu.edu/dpl14/java/calculus/lineintegral.html
23/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Propriedades
Propriedades dos integrais de linha de campos escalares:
Seja f e g campos escalares cont´ınuos com Df ,Dg ⊂ Rn e
C curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .
C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df .
−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em Df ).
α, β ∈ R.
1 ∫
−C
f ds =
∫
C
f ds
2 ∫
C
αf + βg ds = α
∫
C
f ds + β
∫
C
g ds
3 ∫
C1∪C2
f ds =
∫
C1
f ds +
∫
C2
f ds
Aplicac¸o˜es: A massa de uma linha C com densidade dada pela
func¸a˜o ρ(x , y , x) e´
∫
C ρ ds
24/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios I
1 Calcule
∫
C f ds onde f (x , y) = x e C e´ a linha da figura:
2 Calcule
∫
C y ds onde C e´ a meia circunfereˆncia de raio 2
centrada na origem percorrida no sentido anti-hora´rio
desde o ponto (2,0) ate´ ao ponto (-2,0). (R: 8)
3 Sabendo que a densidade de um fio e´ dada por
ρ(x , y) = 2
√
x − y onde C tem a forma de um segmento
de reta com origem em (0,0) e extremidade em (1,1).
Calcule a massa desse fio. (R: 5
√
2
6 )
25/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios II
4 Calcule
∫
C x + z ds onde C e´ o segmento de reta que tem
origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R: 5
√
14
2 )
5 Calcule
∫
C x + y + z ds onde C e´ a linha de equac¸a˜o
parame´trica 
x = cos(t)
y = sin(t)
z = t
entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2pi). R: 2
√
2pi2
26/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Comprimento de uma linha
O integral de linha do campo escalar f (x , y , z) = 1 da´ o
comprimento da linha, ou seja:
Definic¸a˜o
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].
Chamamos comprimento da linha/curva C com origem em
A = ~r(a) e extremidade B = ~r(b) ao integral
lC =
∫ b
a
∥∥~r ′(t)∥∥ dta
aEste integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o escolhida para C.
27/49
AM2
Linha
Vetor
tangentee
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
1 Prove que o per´ımetro de uma circunfereˆncia de raio R e´
2piR.
2 Determine k de modo que o comprimento da reta
y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.
3 Considere
~r(t) = 4 sin(t)~e1 + 3t ~e2 + 4 cos(t)~e3, t ∈ [0, pi]
Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5pi)
4 Determine o comprimento da curva C de equac¸o˜es{
x = et cos(t)
y = et sin(t)
, t ∈
[
0,
pi
2
]
5 Determine o comprimento do arco de curva dado por
x = aet cos(t)
y = aet sin(t)
z = aet
desde (a, o, a) ate´ (−aepi, 0, aepi). R:√3a(epi − 1)
28/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Definic¸a˜o
Seja C uma curva dada por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Seja ~f : D~f ⊂ Rn −→ R3 ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorial
cont´ınuo cujo dom´ınio D~f contem todos os pontos da curva C.
Chamamos integral de linha do campo vetorial ~f ao longo
da curva C ao integral∫
C
~f · dr =
∫ b
a
~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt =
∫ b
a
f1 dx + f2 dy + f3 dz
Notas:
Se admitirmos que ~f representa um campo de forc¸as, o
integral da func¸a˜o vetorial ~f ao longo da linha C
representa o trabalho realizado por ~f para deslocar uma
part´ıcula ao longo da linha C .
Este integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o escolhida
para C.
http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_
introduction
29/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Propriedades
Propriedades dos integrais de linha de campos vetoriais:
Seja ~f e ~g campos escalares cont´ınuos com D~f ,D~g ⊂ Rn e
C curva regular totalmente contida em D~f ∩ D~g .
C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em D~f .
−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em D~f ).
α, β ∈ R.
1 ∫
−C
~f · dr = −
∫
C
~f · dr
2 ∫
C
[
α~f + β~g
]
· dr = α
∫
C
~f · dr + β
∫
C
~g · dr
3 ∫
C1∪C2
~f · dr =
∫
C1
~f · dr +
∫
C2
~f · dr
30/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios:
1 Calcule o trabalho realizado pela forc¸a
~f (x , y) = (x2 − 2xy , 2xy + y 2) ao longo da linha y = x2
desde (0,0) ate´ (3,9). R:405.9
2 Calcule o trabalho realizado pela forc¸a
~f (x , y) = (1 + xy , x − y) no deslocamento do seu ponto
de aplicac¸a˜o ao longo da linha fechada definida por y = x ,
y = −1, x = 0 e x = 2 no sentido hora´rio. R:−23
3 Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~f (x , y) = (y , x) ao
deslocar uma part´ıcula desde (0,0) ate´ (1,1) ao longo das
linhas
1 y = x
2 y = x2
3 y = x3
R:1
31/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Interpretac¸a˜o
Imagine que esta´ a remar num rio com alguma corrente. A`s
vezes esta´ a trabalhar contra a corrente, outras vezes esta´ a
movimentar-se grac¸as a ela. No final tem a sensac¸a˜o de saber
se, em geral, foi ajudado ou prejudicado pela corrente.
O integral de linha mede o grau em que uma curva num campo
de vectores esta´, em geral, a ir com o campo de vectores ou
contra ele.
Lembre-se que para quaisquer dois vetores ~u e ~v o produto
interno ~u · ~v e´ positivo se ~u e ~v apontam aproximadamente na
mesma direcc¸a˜o (isto e´, se o aˆngulo entre eles e´ inferior a pi2 ).
O produto interno e´ zero se ~u e´ perpendicular a ~v e e´ negativo,
se eles apontam aproximadamente em direcc¸o˜es opostas (isto
e´, se o aˆngulo entre eles e´ maior do que pi2 ).
32/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
O integral de linha de ~f adiciona o produto interno de ~f e ∆r
ao longo do caminho.
Se ||~f || e´ constante, o integral de linha da´ um nu´mero positivo
se ~f (maioritariamente) apontar na mesma direc¸a˜o que C, e um
nu´mero negativo se ~f (maioritariamente) apontar na direc¸a˜o
oposta a` de C. O integral de linha e´ zero se ~f e´ perpendicular
ao percurso em todos os pontos, ou se as contribuic¸o˜es
positivas e negativas se anularem.
Em geral, o integral de linha de um campo vectorial ~f ao longo
de uma curva C mede ate´ que ponto C vai com ~f ou contra ~f .
(De: Hughes-Hallett, Calculus)
33/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcio
Considere o campo vetorial ~f e as curvas C1,C2,C3, e C4
apresentadas na figura. As curvas C1 e C3 teˆm o mesmo
comprimento. Quais dos seguintes integrais sa˜o positivos? E
negativos? Ordene-os de forma crescente.∫
Ci
~f · dr i = 1, 2, 3, 4
R: C4,C1,C3,C2
34/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcio
Qual o sinal do integral dos seguintes campos vetoriais nas
respetivas linhas?
R: 1.neg 2.pos 3.zero 4.pos 5.zero
35/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Campos conservativos
Imagine que pretende transportar um sofa´ de um re´s-do-cha˜o
para o 1o andar. Tera´ que ”lutar”contra a gravidade. A forc¸a
que vai ser feita e´ a mesma quer va´ pelo elevador quer va´ pelas
escadas. Vamos modelar este problema e confirma´-lo:
A forc¸a da gravidade pode ser modelada por
~f (x , y , z) = (0, 0,−9.8). Vamos modelar o caminho do
elevador pelo segmento de reta entre (0,0,0) e (0,0,2). O
primeiro lance de escadas pelo segmento de reta que comec¸a
em (0,0,0) e termina em (0,1,1) e o segundo pelo segmento de
reta que comec¸a em (0,1,1) e termina em (0,0,2).
Calcule o trabalho realizado por esta forc¸a ao longo dos dois
caminhos.
36/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Nesta secc¸a˜o consideremos apenas campos vetoriais
~f = (f1, f2, ..., fn) cujas componentes sejam cont´ınuas num
conjunto aberto, simplesmente conexo.
Definic¸a˜o
~f : Rn −→ Rn e´ um campo conservativo (ou campo
gradiente) se existe ϕ : Rn −→ R
~f = ∇ϕ(~x),
ou seja,
(f1, f2, ..., fn) =
(
∂ϕ
∂x1
,
∂ϕ
∂x2
, ...,
∂ϕ
∂xn
)
A` func¸a˜o ϕ chama-se a func¸a˜o potencial geradora de ~f .
37/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Vejamos se ~f (x , y) = (2xy 3 + 1, 3x2y 2 + 12y 3) e´ conservativo.
Ou seja, vamos procurar
ϕ(x , y) : ~f (x , y) = ∇ϕ(x , y) =
(
∂ϕ
∂x ,
∂ϕ
∂y
)

∂ϕ
∂x = 2xy
3 + 1 ⇒ ϕ(x , y) = x2y 3 + x + C (y)
⇓
∂ϕ
∂y = 3x
2y 2 + 12y 3 ∂ϕ∂y = 3x
2y 2 + 0 + C ′(y)
↘ ↙
comparando:
C ′(y) = 12y 2
C (y) = 4y 3 + k
portanto
ϕ(x , y) =x2y 3 + x + 4y 3 + k , k ∈ R
Ou seja, ~f e´ conservativo.
38/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios:
Verifique se os seguintes campos vetoriais sa˜o conservativos:
1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)
2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)
3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))
4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)
5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )
6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)
39/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Teorema
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], portanto com
origem A = ~r(a) e extremidade B = ~r(b). Se um campo
vetorial ~f e´ conservativo, isto e´, ~f = ∇ϕ enta˜o
w =
∫
C
~f · dr = ϕ(B)− ϕ(A)
ou seja, o trabalho realizado por ~f e´ independente do
caminho.
Nota: Quando o campo e´ conservativo o trabalho ao longo de
uma linha fechada e´ 0.
40/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Demonstrac¸a˜o:
w =
∫
C
~f · dr
=
∫ b
a
~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt
=
∫ b
a
∇ϕ(~r(t)) ·~r ′(t) dt
=
∫ b
a
dϕ(~r(t))
dt
dt
= ϕ(~r(b))− ϕ(~r(a))
= ϕ(B)− ϕ(A)
41/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios
1 Calcule o valor do integral
∫
C ~f · dr onde
~f (x , y) = (2xy − y 4 + 3, x2 − 4xy 3) sendo C um caminho
qualquer que une os pontos (1,0) a (2,1).
2 Calcule o trabalho de ~f (x , y , z) = (yzexyz , xzexyz , xyexyz)
ao longo da espiral descrita pelo caminho
~r(t) = (5 cos(t),
√
t, 5 sin(t)) com t ∈ [0, 4pi].
3 Considere o campo vetorial ~F (x , y) = (x2 + y 2, αxy), com
α ∈ R.
1 Determine o valor de α para o qual ~F e´ um campo
gradiente.
2 Para o valor de α determinado na al´ınea anterior calcule o
trabalho realizado pelo campo ~F ao longo do caminho
γ(t) = (t, et
2−1), t ∈ [0, 1].
42/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Teorema
Seja ~f : Rn −→ Rn.
~f e´ conservativo, se e so´ se,
J~f = J
T
~f
.
Ou seja, sse a matriz Jacobiana e´ sime´trica.
Nota: No caso de ~f : R2 −→ R2.
~f e´ conservativo, se e so´ se,
∂f1
∂y
=
∂f2
∂x
.
43/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios:
Confirmemos agora de outra forma se sa˜o, ou na˜o,
conservativos os campos vetoriais que estuda´mos atra´s:
1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)
2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)
3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))
4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)
5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )
6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)
44/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Teorema de Green
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], fechada, simples,
seccionalmente de classe C 1, orientada no sentido positivo1
cujo interior e´ a regia˜o A.
Seja ~f : D~f ⊂ R2 −→ R2, ~f = (f1, f2) um campo vetorial de
classe C 1 cujo dom´ınio D~f contem todos os pontos da curva C
e do seu interior, A.
Enta˜o ∫
C
~f · dr =
∫∫
A
∂f2
∂x
− ∂f1
∂y
dx dy .
1deixando a` esquerda os pontos do interior de C.
45/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios I
1 Verifique o teorema de Green para a func¸a˜o
~f (x , y) = (2y , x + 3) e a seguinte regia˜o sombreada:
R: −pi2
2 Use o teorema de Green para a confirmar que a a´rea de
um c´ırculo de raio R e´ piR2.
3 Verifique o teorema de Green para a func¸a˜o
~F (x , y) = 2xy ~e1 + (x − y)~e2 para a regia˜o de R2 em que
0 ≤ y ≤ x + 2 e x2 + y 2 ≤ 4. R: pi − 23
46/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios II
4 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho
realizado pelo campo de forc¸as ~F (x , y) = (1 + y , y + x) ao
deslocar uma part´ıcula ao longo da fronteira de R
percorrida no sentido positivo em que
R =
{
(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 < 4, y ≤ x , x ≥ 0} .
5 Utilize o teorema de Green para calcular o valor de∫∫
D ye
x+y dx dy com ~F (x , y) = (yex+y , ex+y ) e
D =
{
(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
47/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Exerc´ıcios III
6 * Considere a linha
L =
{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, x ≤ 0}
”percorrida de baixo para cima”e o campo vetorial
~F (x , y) = (xy 2, xy). Use o Teorema de Green para
calcular o trabalho realizado por ~F ao longo de L.
R: 0
7 Considere a regia˜o
R =
{
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x2 − 1} .
Calcule a a´rea de R sem calcular integrais duplos.
Nota:
P(sin2(x)) = x2 − sin(2x)4
P(cos2(x)) = x2 +
sin(2x)
4
48/49
AM2
Linha
Vetor
tangente e
reta tangente
Integral de
linha de
campo escalar
Comprimento
de uma linha
Integral de
linha de
campo vetorial
Campos
conservativos
Teorema de
Green
Autora:
Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:
Nuno David Lopes
e
Cristina Janua´rio
49/49
	Linha
	Vetor tangente e reta tangente
	Integral de linha de campo escalar
	Comprimento de uma linha
	Integral de linha de campo vetorial
	Campos conservativos
	Teorema de Green