Victor Nunes de Souza - RELATORIO MUV QUEDA LIVRE

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Experimento II 
 
Queda Livre 
 
 
 
 
 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
Clarissa Soares Borges 
Júlia Maria Garcia Ribeiro 
Victor Nunes de Souza 
 
Turma UB 
 
 
 
Uberlândia – MG 
Introdução 
 
O movimento de um corpo é classificado como uniformemente variável quando sua 
velocidade escalar varia de forma uniforme, caracterizando sua aceleração constante. Dessa 
forma, denomina-se queda livre o movimento no qual um corpo em queda, partindo do 
repouso, apresenta aceleração devida somente à ação da gravidade. Com isso, ao analisar a 
distância percorrida por um objeto e a variação do tempo decorrido, é possível estimar-se a 
aceleração da gravidade.Para isso, aliando-se ao estudo dos movimentos uniformemente 
variados, será utilizado a seguinte equação para a análise do movimento: 
 d = d0 + v0yt + 
gt2
2
 (1) 
 
Em que: 
d = distância; 
d0 = distância inicial; 
v0y = velocidade inicial em y; 
g = aceleração da gravidade; 
t = tempo; 
 
 No entanto, como o movimento realizado pela esfera metálica é de queda livre, a equação (1) 
resume-se a: 
 d = 
gt2
2
 (2) 
 
Buscando a análise gráfica e experimental dos dados serão utilizadas as seguintes 
fórmulas: 
 
 
Cálculo da Média: 
 
 �̅� =
1
𝑁
∗ ∑ 𝑦1𝑁𝑖=1 (4) 
 
 
Para verificar as incertezas existentes dos dados, calculamos a sua diferença em 
relação à média por meio do desvio padrão (4) e também o desvio padrão do Valor Médio (6): 
 
 
𝜎 = √
1
𝑁−1
⋅ ∑ (𝑦1 − �̅�)2
𝑁
𝑖=1 (5) 
 
 
 𝜎𝑖 =
𝜎
√𝑁
 (6) 
 
Para calcular as incertezas dos dados linearizados, utiliza-se: 
 
𝜎 ln = | 
∆𝑥
𝑥
| (7) 
 
Por fim, será utilizada a fórmula de propagação de incertezas (8): 
 
 
 𝜎𝑧
2 = (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∗ 𝜎𝑥)
2
+ (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∗ 𝜎𝑦)
2
+ ⋯ (8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Procedimentos experimentais 
 
No experimento de queda livre foram utilizados vários instrumentos, sendo eles: 
 
• Pedestal de aço milimetrado com superfície sensível ao toque na extremidade inferior. 
• Cronômetro digital com precisão de 4 casas decimais. 
• Bolinha de aço. 
 Podemos descrever melhor a função do pedestal. O mesmo conta com duas superfícies, 
superior e inferior, onde a superfície superior abriga um sistema de imã que tem a função de 
prender a bolinha de aço, bem como um gatilho para liberar a bolinha. Já a superfície inferior 
conta com uma área sensível ao toque, justamente para detectar o exato momento em que a 
bolinha a toca. 
O experimento tem como objetivo inicial medir o tempo em que a bolinha leva para 
percorrer determinadas distâncias em queda livre. Foram usadas as seguintes distâncias: 
20cm, 30cm, 40cm, 50cm, 60cm. A partir destes dados o próximo passo é encontrar sua 
velocidade média. 
Foram realizados os seguintes passos para o desenvolvimento do experimento: 
primeiramente, coloca-se a bolinha de aço na superfície superior do pedestal, fixando-a na 
mesma por meio de um imã. Ajustamos a determinada distância e, após isso, aciona-se o 
gatilho para liberar a bolinha. A partir deste momento, o cronômetro digital, que está 
conectado as extremidades do pedestal, mede o tempo gasto pela bolinha para sair da 
superfície superior e chegar na superfície inferior, em queda livre. Foram determinadas 5 
diferentes distâncias. 
Abaixo seguem algumas imagens da bancada experimental, a fim de ilustrar com clareza 
a disposição e a forma como foi montado o sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 - Bancada experimental Figura 1 - Bancada experimental 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Realizado o experimento, foram calculadas as incertezas estatísticas e totais, utilizando 
as equações ... e ... . 
 
 Para d=(20,0±0,5)cm: 
 
 𝑥 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (0,2378+0,2295+0,2290)/3 = 0,2321 
 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 0,0049/√3=0,0029 
 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(0,0029)2 + (0,0001)2 = 0,0029 
 
 Para d=(30±0,5)cm: 
 𝑥 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (0,2729+0,2771+0,2674)/3 = 0,2724 
 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 0,0049/√3=0,0029 
 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(0,0029)2 + (0,0001)2 = 0,0029 
 
 Para d=(40±0,5)cm: 
 𝑥 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (0,3048+0,3046+0,3066)/3 = 0,3053 
 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 0,0011/√3= 0,0004 
 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(0,0004)2 + (0,0001)2 = 0,0004 
 
 Para d=(50±0,5)cm: 
 𝑥 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (0,3376+0,3359+0,3355)/3 =0,3363 
 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 0,0011/√3= 0,0004 
 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(0,0004)2 + (0,0001)2 = 0,0004 
 
 Para d=(60±0,5)mm 
 𝑥 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (0,3642+0,3668+0,3681)/3=0,3670 
 𝜎𝑒𝑠𝑡 = 0,0019/√3= 0,0011 
 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(0,0011)2 + (0,0001)2 = 0,0011 
 
 
 Feitos esses cálculos, os resultados obtidos foram organizados numa tabela: 
 
d ± ∆d(m) T1 ± ∆𝑡1(𝑠) T2 ± ∆𝑡2(𝑠) T2 ± ∆𝑡2(𝑠) Tm ± 𝜎𝑒𝑠𝑡(𝑠) Tm± 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑠) 
0,2±0,005 0,2378±0,0001 0,2295±0,0001 0,2290±0,0001 0,2321±0,0029 0,2321±0,0029 
0,3±0,005 0,2729±0,0001 0,2771±0,0001 0,2674±0,0001 0,2724±0,0029 0,2724±0,0029 
0,4±0,005 0,3048±0,0001 0,3046±0,0001 0,3066±0,0001 0,3053±0,0004 0,3053±0,0004 
0,5±0,005 0,3376±0,0001 0,3359±0,0001 0,3355±0,0001 0,3363±0,0004 0,3363±0,0004 
0,6±0,005 0,3642±0,0001 0,3668±0,0001 0,3681±0,0001 0,3670±0,0011 0,3670±0,0011 
Tabela 1 - Tabela da altura que a esfera é abandonada e seus respectivos tempos de queda, ambos com suas incertezas. 
 Com base nos dados da Tabela 1, foi construído um gráfico, a fim de verificar melhor as 
relações entre as grandezas: 
 
 
Figura 1 - Gráfico das alturas de abandono em função do tempo de queda. A escala utilizada no gráfico impediu a 
representação das barras de incerteza, contudo, elas existem e foram consideradas na análise feita. 
 
 Percebe-se que a função pode ser comparada à uma equação geral, dada por 𝑦 = 𝑘. 𝑡𝑛 
[Eq.: ...], mas seu caráter não-linear dificulta sua análise. A fim de resolver isso, foi feita a 
linearização da função: 
ln 𝑦 = ln(𝑘. 𝑡𝑛) 
 ln 𝑦 = ln 𝑘 + 𝑛. ln 𝑡 [Eq.: ...] 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
A
lt
u
ra
 (
m
)
Tempo (s)
Altura em função do tempo
 Tabela 2: Tabela dos dados das alturas e tempos linearizados, ambos com seus respectivos 
erros. 
Ln d ± ∆ln d Ln t ± ∆ln t 
-1,6094±0,0250 -1,4606±0,0125 
-1,2038±0,0167 -1,3005±0,0106 
-0,9163±0,0125 -1,1865±0,0013 
-0,6931±0,0100 -1,0898±0,0012 
-0,5108±0,0083 -1,0024±0,0030 
 
 A partir desses dados linearizados, foi feito um novo gráfico: 
 
 
 
 Comparando a Eq.: ... com a equação geral da reta, ln k é o coeficiente linear da reta 
linearizada e n é o coeficiente angular. Utilizou-se o Excel para calcular esses parâmetros, ln k 
é dado pela intercepção e n é pela tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. 
 Obteve-se ln k≈1,61 e n≈2,21. A partir disso, é possível calcular o valor experimental da 
gravidade de tal maneira: 
ln 𝑘 = ln
𝑔
2
= 1,61 
𝑔
2
= e1,61 
𝑔
2
= 5,0028 
𝑔 = 10,0056m/s 
 
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 1 2 3 4 5 6
Ln
 a
lt
u
ra
Ln tempo
Altura em função do tempo
Também pode-se inferir outra análise, na qual assume-se, já inicialmente, que o 
espaço percorrido depende do quadradodo tempo, e a constante relaciona-se com a 
aceleração: 
 𝑦 = 𝐴𝑡2 [Eq.: ...] 
 
Para iniciar essa análise, foi feita uma tabela dos dados em questão: 
Tabela 3: Tabela da altura que a esfera é abandonada e seus respectivos tempos de queda ao 
quadrado, ambos com suas incertezas. Foi imprescindível a construção dessa nova tabela, já 
que com a potenciação do tempo ao quadrado, os erros estatísticos e totais mudaram. Porém, 
o método utilizado para esses cálculos foi análogo ao da Tabela 1, seguindo as equações ..., 
...: 
 
d ± ∆d(m) T1 ± ∆𝑡1(𝑠) T2 ± ∆𝑡2(𝑠) T2 ± ∆𝑡2(𝑠) Tm ± 𝜎𝑒𝑠𝑡(𝑠) Tm± 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑠) 
0,2±0,005 0,0565±0,0001 0,0527±0,0001 0,0524±0,0001 0,0539±0,0011 0,0539±0,0011 
0,3±0,005 0,0745±0,0001 0,0768±0,0001 0,0715±0,0001 0,0743±0,0016 0,0743±0,0016 
0,4±0,005 0,0924±0,0001 0,0928±0,0001 0,0940±0,0001 0,0930±0,0005 0,0930±0,0005 
0,5±0,005 0,1139±0,0001 0,1128±0,0001 0,1126±0,0001 0,1131±0,0004 0,1131±0,0004 
0,6±0,005 0,1326±0,0001 0,1345±0,0001 0,1355±0,0001 0,1342±0,0009 0,1342±0,0009 
 
 Com os dados acima, foi construído mais um gráfico: 
 
 
 
 
Comparando a Eq. ... com a equação geral da reta, y = ax + b, percebe-se que x corresponde a 
𝑡2 e a corresponde ao coeficiente angular da função. Utilizou-se o Excel para obter A=4,2181. 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
A
lt
u
ra
 (
m
)
Tempo (s)
Altura em função do tempo
 Relacionando agora a Eq. ... e a Eq. ...: 
𝑥 = ∆𝑠 = 
𝑎𝑡2
2
= 𝐴𝑡2 
Logo: 
𝐴 = 
𝑔
2
 
 
 Então, obteve-se experimentalmente um valor de 𝑔 ≈ 10,0056 m/s². 
 
 
 
Conclusão 
 
 A partir do experimento realizado, as conclusões são positivas, ou seja, todos os 
dados, valores e resultados foram obtidos dentro de uma margem de erro pequena. 
Primeiramente, é indispensável comentar a respeito dos valores obtidos entre a distância e o 
tempo percorridos. Como queríamos, ao inserir os dados na montagem do gráfico que 
relaciona a distância com o tempo, o erro calculado e o caráter obtido foram extremamente 
positivos, dentro dos valores esperados, com dispersão pequena e nos padrões esperados. Isto 
fica claro nos gráficos apresentados, mostrando que a disposição dos dados formou uma 
parábola, como deve ser. A partir da linearização, encontramos uma reta onde seu coeficiente 
linear ln k = 1,61 e o coeficiente angular n . 
 Vale comentar o valor da aceleração da gravidade encontrado no experimento. 
Sabemos que a aceleração é dada pela velocidade sobre o tempo. Com isso, como foi 
desenvolvido na discussão, o valor aproximado da aceleração da gravidade encontrado foi 
𝑔 = 10,0056 𝑚/𝑠². Comparando o valor da gravidade teórico 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠² e o valor 
encontrado no experimento 𝑔 = 10,0056𝑚/𝑠², temos que o erro encontrado é bastante 
pequeno e tolerável, levando à conclusão do sucesso do experimento realizado.