Mecânica das Vibrações

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MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES
ELIAS RODRIGUES
Engenharia Mecânica
Mecânica Vibratória
Universidade Estácio de Sá
3
EMENTA:
• Conceitos básicos;
• Classificação das vibrações;
• Rotação de corpo rígido em torno de um ponto fixo;
• Movimento Harmônico Simples;
• Vibrações livres em sistemas com um grau de liberdade;
• Vibrações forçadas em sistemas com um grau de liberdade;
• Vibrações forçadas sob condições gerais;
• Critérios de estabilidade
• Sistemas de dois graus de liberdade;
• Medição de vibrações;
• Análise diagnóstico de vibrações;
• Aplicação em manutenção preventiva;
• Controle de vibrações
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BIBLIOGRAFIA:
1. RAO, SINGIRESU S. Vibrações Mecânicas; 4ª ed, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
2. KELLY, S. G. Vibrações Mecânicas: Teoria e Aplicações; 1ª ed., São Paulo: Cengage, 2017.
3. THOMSON,W.T. Teoria da vibração com aplicações; Rio de Janeiro: Interciência,1973 
4. MEIROVITCH, L. Elements of Vibration Analysis; McGraw-Hill , 1975.
5. INMAN, D. J. Engineering Vibrations; Fourth Edition, New Jersey: Prentice Hall, 2014.
5
AVALIAÇÃO:
• AV1 – Conteúdo até 1 semana antes da prova
• AV2, AV3 – Todo conteúdo
Caso 1
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Caso 2
 
• Média aritmética 6 entre as duas melhores avaliações; 
• Grau 4 em pelos menos duas avaliações;
• 75 % de frequência
Aprovação
AV1 – 26/04/2019
AV2 – 14/06/2019
AV3 – 28/06/2019 
Avaliação realizada a lápis com 
resultado final à caneta.
Prova discursiva
FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES
ELIAS RODRIGUES
Engenharia Mecânica
Mecânica Vibratória
Universidade Estácio de Sá
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1. HISTÓRIA DO ESTUDO DAS VIBRAÇÕES
• Interesse com os primeiros instrumentos musicais
(Chineses, Hindus, Japoneses, Egípcios - 4000 A.C);
• 350 A.C AristótelesTratado sobre musica e som;
• 320 A.C Aristóxenes Elementos da harmonia (3 volumes);
• 300 A.C Euclides Introdução aos harmônicos;
• 132 D.C Zhang Heng Primeiro sismógrafo;
• Galileu, Newton, D’Alembert, Bernoulli, Euler, Hooke,
Fourier, Lagrange, Kirchhoff, Rayleigh;
• Timoshenko, Stodola, De Laval, Mindlin.
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II.Vibrações no dia-a-dia
• As atividades diárias envolvem vibrações de alguma maneira (audição, respiração, visão,
fala);
• Design de máquinas;
• Estruturas.
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II.Vibrações no dia-a-dia
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III. Importância no estudo das vibrações
• Desgastes mecânicos aumentam os valores de vibração;
• Causa de falhas prematuras nas máquinas;
• Ruptura de componentes;
• Risco de acidentes.
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1V. Conceitos básicos
Sistema de vibração  Massa e inércia (energia cinética); rigidez ou elasticidade (energia 
potencial); amortecimento (dissipação de energia) 
1. Energia potencial para cinética e cinética para potencial, alternadamente.
2. Sistema amortecido – Energia dissipada deve ser restaurada por uma força externa para 
manter o estado de vibração.
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Vibração  Definida como um movimento periódico de um sistema de partículas ou um
corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio.
Graus de liberdade (GDL-DOF)  Número de coordenadas cinematicamente independentes
necessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda
partícula de um sistema em qualquer instante de tempo (coordenadas generalizadas)
1V. Conceitos básicos
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EXEMPLO 1
Determinar o número de graus de liberdade para ser usado na análise de vibrações de
uma barra rígida :
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EXEMPLO 2
Determine o número de graus de liberdade para analisar o sistema mecânico composto por uma barra rígida
com comprimento L e duas molas, e especifique conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado
nesta analise.
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Determine o número de graus de liberdade para analisar o sistema mecânico composto por dois blocos ligados
a uma polia.
EXEMPLO 3
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Sistema discreto Número finito de graus de liberdade
Sistema contínuo Número infinito de graus de liberdade
1V. Conceitos básicos
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1V. Classificação das vibrações mecânicas
Quanto à excitação
Vibrações livres Após algum distúrbio inicial o sistema vibra em sua frequência natural, sem
agente externo.
Vibrações forçadas Sistema submetido há alguma força externa, vibrando na frequência de
excitação.
Quanto ao amortecimento
Vibrações não-amortecidas Sem dissipação de energia devido a fricção outra tipo de força.
Vibrações amortecidasOcorre dissipação de energia.
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1V. Classificação das vibrações mecânicas
Quanto aos componentes do sistema
Vibração linear  Componentes básicos como massa, mola e amortecedor apresentam
comportamento linear (vale o princípio da superposição)
solução
Vibração não-linear  Se algum componente apresenta comportamento não-linear (com
crescimento da amplitude de vibração)
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Quanto à excitação externa
Vibração determinística Magnitude da força externa conhecida ao longo do tempo.
Vibração aleatória Magnitude da força não pode ser prevista em um dado tempo (Métodos estatísticos).
1V. Classificação das vibrações mecânicas
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V. Modelagem Matemática
1. Identificação do problema
- Intenções ao modelar o problema
- Efeitos do entorno
- Constantes conhecidas
- Parâmetros variáveis
2. Hipóteses
- Simplificação do modelo
- Sistema físico aproximado
- Sistema contínuo
- Referencial inercial
- Materiais envolvidos (linear, isotrópico e
homogêneo)
- Equações constitutivas3. Derivação das equações- Diagrama de corpo livre
- Conservação de energia
- Euler-Lagrange 4. Solução das equações
- Sistemas lineares
• Superposição
• Soluções analíticas
• Métodos numéricos5. Interpretação dos resultados- Interdisciplinar
- Modelagem guia a interpretação
- Sistemas não-lineares
• Métodos de perturbação
• Métodos numéricos
- Transientes e/ou periódicos
• Métodos de transformada
• Métodos numéricos
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V. Modelagem Matemática
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VI. Elementos do análogo mecânico
• MOLA • Comportamento não-linear – grandes
deflexões
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VI. Elementos do análogo mecânico
LINEARIZAÇÃO • Força F em torno do ponto de equilíbrio causa uma deformação x*, F = F(x*). 
• Um acréscimo ∆F faz a mola deformar uma quantidade ∆x, com uma força 
expressa por F + ∆F = F(x*+ ∆x).
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VI. Elementos do análogo mecânico
Constante da mola para uma haste
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VI. Elementos do análogo mecânico
Haste com uma força aplicada na extremidade
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EXEMPLO 4
Uma fresadora de precisão, com peso de 5000 N, é apoiada em um suporte de borracha. A relação força-deflexão do
suporte de borracha é dada por :
onde a força (F) e a deflexão (x) são medidas em newtons e milímetros, respectivamente.
Determine a constante de mola linearizada equivalente do suporte de borracha em sua posição de equilíbrio estático.
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EXEMPLO 4
Uma fresadora de precisão, com peso de 5000 N, é apoiada em um suporte de borracha. A relação força-deflexão do
suporte de borracha é dada por :
onde a força (F) e a deflexão (x) são medidas em newtons e milímetros, respectivamente.
Determine a constante de mola linearizada equivalente do suporte de borracha em sua posição de equilíbrio estático.
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VI. Elementos do análogo mecânico
MOLAS EM PARALELO
Deslocamento de cada mola é o mesmo, mas a força 
atuando no bloco é a soma das forças em cada mola.
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VI. Elementos do análogo mecânico
MOLAS EM SÉRIE
A força em cada mola é a mesma, mas os deslocamentos 
aqui são diferentes. O deslocamento total é a dado pela 
soma de cada deslocamento.
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EXEMPLO 5
Encontrar o modelo equivalente para o sistema :
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EXEMPLO 5
Encontrar o modelo equivalente para o sistema :
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EXEMPLO 5
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EXEMPLO 6
Seja F a força atuando na extremidade direita da barra de comprimento L conforme a figura, sabendo que a 
constante de rigidez da barra é௕ ଷ encontre a rigidez equivalente do sistema.
F
As molas 1 e 2 estão ligadas em série, e chamando de 𝑘௠ a rigidez equivalente
entre as molas 1 e 2 temos:
Agora ficamos com o sistema:
F
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EXEMPLO 6
Neste novo sistema, a força F sentida pela barra e pela mola são diferentes,
mas o deslocamento da mola será o mesmo deslocamento sofrido pela
barra, dessa forma este sistema está em paralelo, e temos então.
F
Substituindo os valores de 𝑘௕ e 𝑘௠ temos como rigidez equivalente final do
sistema:
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VI. Elementos do análogo mecânico
AMORTECIMENTO VISCOSO
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VI. Elementos do análogo mecânico
AMORTECIMENTO VISCOSO
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VI. Elementos do análogo mecânico
LINEARIZAÇÃO
Amortecedores em paralelo
Amortecedores em série