parte8 - Relação altura e diâmetro

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Biometria Florestal 
 
 
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5 RELAÇÃO ALTURA E DIÂMETRO 
 
 
A relação altura e diâmetro de uma árvore é, comumente, simbolizada por 
“h/d” e denominada “relação hipsométrica”. 
 No inventário florestal, esta relação é usada para fornecer as alturas de 
árvores que tiveram apenas o diâmetro medido, e na determinação de alturas 
dominantes. 
 
5.1 Características da relação hipsométrica 
 
 A relação hipsométrica, ou relação entre o diâmetro e altura das árvores, 
é regulada geneticamente e só tem sentido quando analisada para uma espécie. É 
fácil observar que espécies distintas podem ter valores de relação h/d diferentes. Um 
Eucalyptus grandis com 20,0 cm de diâmetro alcança facilmente a altura de 27,0 m 
(h/d = 27/20 = 135); enquanto o Pinus taeda com o mesmo diâmetro não alcança 
19,0 m (h/d = 19,0/20 = 0,95). Assim, a relação hipsométrica para espécies distintas 
pode ser representada pela Figura 34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 34- Representação da relação hipsométrica para três espécies florestais . 
 
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 Considerando a mesma espécie, a relação hipsométrica diferencia-se 
com a idade. De acordo com as leis naturais, durante o crescimento, a relação 
hipsométrica não produz extensões, mas projeta-se em um novo nível. Esse fato 
deve ser analisado observando-se a dinâmica do povoamento, pois, com o 
crescimento, as árvores finas passam para classes superiores e as árvores das 
classes superiores passam para classes mais altas. Esse crescimento se dá também 
em diâmetro, porém com velocidade diferente, fazendo com que, para o mesmo 
diâmetro, sejam obtidas alturas diferentes (Figura 35). 
 
 
 
FIGURA 35 - Representação da variação da relação hipsométrica em povoamento 
de diferentes idades. 
 
 Ao se observar esta dinâmica durante longo tempo, percebe-se ainda que 
as diferenças de níveis entre as curvas das relações hipsométricas vão diminuindo 
com o aumento da idade, o que reflete a diminuição do vigor das árvores, ou seja, 
na estabilização do crescimento em altura; conforme apresentado na Figura 36, 
apresentada por Loetsch et. al, (1973). 
 
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FIGURA 36 - Característica das curvas hipsométricas de Larix (Larix sp.) e Spruce 
(Picea sp.) com a variação do diâmetro. 
 
Onde: h = altura total; 
 k = altura até o ponto de inserção da copa. 
 
 
A influência da qualidade do sítio (qualidade do local para o crescimento 
de uma espécie) também se reflete na relação hipsométrica. 
Considerando florestas de mesma idade, as árvores que crescem em sítio 
bom terão maior diâmetro e altura que as de sítio ruim, estando as alturas 
distribuídas em níveis diferentes, conforme mostra a Figura 37. 
 
 
 
FIGURA 37 - Relação hipsométrica para árvores crescendo em sítio bom e ruim. 
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De forma geral, pode ser demonstrado que a relação hipsométrica 
apresenta níveis diferenciados com a idade e qualidade do sítio, mas que a 
inclinação desses conjuntos de pontos não difere entre eles. 
 Considerando que existe uma forte associação entre as variáveis 
diâmetro e altura, a relação hipsométrica pode ser descrita por um modelo 
matemático de forma linear ou curvilinear, dependendo da espécie e amplitude dos 
dados observados. 
 Sendo, por exemplo, a fórmula geral do modelo que descreve a relação 
hipsométrica expressa por: 
 XbbY 10 ⋅+= , 
onde Y = variável dependente altura; 
 X = variável dependente diâmetro; 
 0b = representa o intercepto; e, 
 1b = coeficiente angular; 
 
pode ser demonstrado que o coeficiente 1b não difere estatisticamente para a 
mesma espécie em diferentes sítios e idades. 
 Resultados assim foram relatados por: Sterba (1986), para Picea abies; 
por Marschall (1975 apud Sterba,1986), para Abies alba e Picea abies em 
povoamentos mistos; por Finger (1991) para Eucalyptus grandis e E. saligna 
distribuídos sobre florestas de diferentes idades e sítios; por Coelho e Finger (1997), 
para povoamentos de Pinus taeda originados por regeneração natural e por mudas; 
e por Finger, Spathelf e Schneider (1999) para Acacia mearnsii . 
 De acordo com o demonstrado por Sterba (1986) os coeficientes 
angulares de uma função de relação hipsométrica apresentam com o aumento da 
idade do povoamento somente variação ao acaso, enquanto o intercepto tende a 
diminuir (Tabela 14). 
 
 
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TABELA 14 - Variação dos coeficientes de intercepto ( 0b ) e angular ( 1b ) em função 
da idade (STERBA, 1986) 
 
IDADE 
 
0b 
 
1b 
 
35 
 
0,233 
 
0,497 
45 0,210 0,501 
55 0,194 0,545 
65 0,178 0,705 
75 0,172 0,659 
85 0,168 0,566 
95 0,165 0,546 
115 0,158 0,677 
125 0,156 0,747 
135 0,157 0,602 
 
 No estudo da relação hipsométrica para povoamento desbastado de 
Pinus elliottii, realizado por Glufke (1996) e Glufke, Finger e Schneider (1997), foi 
demonstrado que as curvas apresentaram, com o aumento da idade, diferentes 
níveis, mas mantiveram a inclinação comum entre elas. 
 Os resultados mostraram ainda que, em áreas com desbaste 
extremamente forte e em idades mais avançadas, a curva mudou a inclinação, não 
refletindo mais a realidade fisiológica. Tal fato é explicado pela interferência humana 
na seleção das árvores para desbaste e pelo reduzido número de remanescentes 
nas unidades amostrais. Por outro lado, no tratamento testemunha sem desbaste e 
no tratamento com 25% da área basal desbastada, foi mantida a mesma inclinação 
para as curvas de relação hipsométrica em todas as idades (Figura 38). 
 
 
 
 
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FIGURA 38 - Variação da relação hipsomética de Pinus elliottii com a idade e 
tratamento de desbaste. 
 
 
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5.2 Determinação das curvas de altura e diâmetro 
 
A determinação de uma relação hipsométrica é importante, pois permite 
descrever, com um modelo matemático, a associação entre as variáveis diâmetro e 
altura, possibilitando estimar as alturas não medidas na floresta, bem como 
determinar alturas para diâmetros médios obtidos por cálculo. 
 Essa possibilidade também tem um grande significado econômico, pois 
permite reduzir o número de alturas medidas durante o inventário florestal, sem 
prejuízo de precisão, mas reduzindo sensivelmente o custo da atividade. 
 O modelo matemático que descreve a relação h/d é, em geral, do tipo 
parabólico. Entretanto, para determinar o modelo matemático que descreve a 
relação hipsométrica, deve-se testar vários modelos e selecionar aquele de melhor 
aplicação, segundo os critérios de seleção de modelos usados em análise de 
regressão. 
 A Tabela 15 apresenta alguns modelos matemáticos que podem ser 
usados para descrever a relação altura/diâmetro de árvores. 
 Segundo Schneider (1986), são suficientes na determinação de uma 
relação hipsométrica, em média, 30 a 40 alturas distribuídas em toda a amplitude 
diamétrica. 
 Na relação de altura e diâmetro, evidencia-se a variação biológica, ou 
seja, para um diâmetro “X” qualquer se encontra, no povoamento, árvores com 
alturas Y1, Y2, Y3. 
Dessa forma, quanto maior a heterogeneidade do povoamento, maior 
será o erro da equação. Independentemente do número de troncos medidos, 
deverão ser tomadas ainda as alturas das árvores dominantes, evitando-se assim a 
extrapolação de alturas para as maiores árvores. 
 
 
 
 
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TABELA 15 - Modelos de relação hipsométrica 
 
Equação 
 
MODELOS 
 
01 
 
( ) 3,1d/bb
1h 2
10
+
+
= 
02 
d
1bb
30,1h
1
10 +=
−
 
03 2
210 dbdbb30,1h ++=− 
04 2
210dbdbbh ++= 
05 3
3
2
210 dbdbdbbh +++= 
06 
d
1bbh 10 += 
07 
2210 d
1b
d
1bb30,1
h
1
++=− 
08 
2
210
2
dbdbb30,1
h
d
++=− 
09 ( )
d
1bb30,1hlog 10 +=− 
10 dbb30,1h 10 +=− 
11 dbbhlog 10 += 
12 dbbh 10 += 
13 dlogbbhlog 10 += 
14 ( ) dlogbb30,1hlog 10 +=− 
15 ( ) dlogbdlogbb30,1hlog 2210 ++=− 
16 ( ) �
�
�
�
�
�
+
+=−
d1
dlogbb30,1hlog 10 
 Fonte: Schneider (1986) modificado. 
 
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Assim, com base no conjunto de pares de dados de altura e diâmetro 
medidos na unidade amostral durante o inventário florestal, deve-se pesquisar qual o 
modelo matemático que melhor descreve a relação entre essas variáveis. Para isso 
,devem ser testados quatro ou cinco modelos, tomando-se o cuidado de selecionar 
entre modelos aritméticos, logarítmicos e recíprocos. A decisão entre qual deve ser 
escolhido deve-se basear nos critérios de maior Coeficiente de Determinação ( 2r ); 
menor Erro Padrão em percentagem da média, e distribuição uniforme dos resíduos. 
O modelo matemático, assim selecionado, poderá com segurança fornecer 
boas estimativas das alturas das árvores. 
A Figura 39 exemplifica o desenvolvimento de cinco modelos matemáticos 
para o mesmo conjunto de dados. A simples observação dessa Figura permite 
verificar a importância da seleção de um modelo adequado, bem como a 
necessidade de se fazer estimativas somente para a amplitude dos dados 
observados, evitando extrapolações. 
 
 
FIGURA 39 - Desenvolvimento de cinco modelos de regressão para o mesmo 
conjunto de dados. 
 
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Exemplificando a aplicação do cálculo, considere a determinação dos 
coeficientes de regressão de um modelo linear simples a partir dos dados de 
diâmetro e altura (Tabela 16) levantados em uma unidade amostral e o modelo 
matemático ( ) 3,1d/
1h 2
10
+β+β= .
 
 
TABELA 16 – Pares de dados de diâmetro e altura medidos em uma unidade 
amostral. 
 
d (cm) 
 
h (m) 
8,5 7,0 
24,0 23,8 
28,5 27,1 
. . 
. . 
. 
 
1º Passo: verificar se o modelo é linear ou se necessita ser transformado. 
( ) �+β+β= 3,1d/
1h 2
10
 modelo está na forma não linear, pois os coeficientes 
 não estão na forma aditiva ou subtrativa com potência 1. 
 
Transformando-o para a forma linear, tem-se: 
 
a) ( )210 d/
13,1h β+β=− ; 
b) ( )210 d/
13,1h
β+β
=− ; 
 
c) d/
3,1h
1
10 β+β=
−
 ; 
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d) d/
3,1h
1
10 β+β=
−
 . 
 
Com o modelo na forma linear é possível escrever que: 
 
d
1Xe
3,1h
1Y =
−
= 
 
e o modelo na fórmula geral como: XY 10 ⋅β+β= 
 
 Para o desenvolvimento do cálculo veja o capítulo 18. 
 
 
5.3 Paralelismo das curvas de regressão 
 
 Como exposto anteriormente, o emprego da relação hipsométrica traz 
grande economia de tempo, de recursos humanos e de material para a realização do 
inventário florestal, pois permite reduzir substancialmente o tempo de medição da 
unidade amostral e o custo de levantamento. 
 Espera-se para uma espécie florestal, que a relação hipsométrica descrita 
por um modelo matemático tenha a mesma inclinação, variando apenas o nível em 
função da idade e sítio. É importante lembrar, entretanto, que a intervenção humana, 
sob a forma de desbaste na floresta, pode alterar a relação natural entre o diâmetro 
e a altura, conforme se observa na Figura 38. 
 De posse dessas informações e de milhares de pares de dados de 
diâmetro e altura distribuídos em centenas de unidades amostrais que cobrem 
diferentes idades da floresta e diversos sítios naturais, pode-se investigar a hipótese 
de que as curvas de relação hipsométrica tenham coeficiente angular comum, isto é, 
que não difiram estatisticamente entre eles. 
 O teste da hipótese do paralelismo entre as “n” curvas de regressão, 
representando cada unidade amostral, é feito por análise de covariância e pode ser 
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facilmente programado em computador, usando-se uma planilha eletrônica ou com o 
uso de softwares como o SAS. Para isso, utiliza-se a PROC GLM, declarando a 
unidade amostral como CLASS e fazendo a interação da unidade amostral e a 
variável independente na declaração MODEL. Para maiores informações, veja SAS 
(1986), Freese (1970) ou Kozak (1970). Os dois últimos autores apresentam o 
procedimento de cálculo de forma clara permitindo ao leitor a fácil compreensão dos 
cálculos. 
 Sendo a hipótese verdadeira poder-se-á reduzir, ainda mais, o trabalho 
durante o inventário florestal, passando-se a medir, nas unidades amostrais, todos 
os diâmetros e apenas uma altura. Essa altura será correspondente à árvore de 
diâmetro médio, qualquer que seja a sua expressão: diâmetro médio aritmético (d), 
diâmetro da árvore de área basal média ( gd ) etc. (para maiores informações veja o 
capítulo 11). 
Sendo o coeficiente angular da equação de regressão constante, o par de 
dados d e h, medidos na árvore média, possibilitará o cálculo do nível em que passa 
a curva de relação hipsométrica, conforme o seguinte exemplo. 
 Considerando-se o modelo ( ) ,dap/bb3,1h
1
10 +=
−
 calculado por Finger 
(1991) para Eucaliptus saligna e Eucaliptus grandis e os valores de diâmetro e altura 
da árvore média, medidos em uma unidade amostral, respectivamente 24,0 cm e 
28,0 m e, sendo o valor do coeficiente angular igual a 1,04909, tem-se: 
 ( ) 0,24
04909,1b
30,10,28
1
0 +=
−
 
 
 =0b 0,19353-0,04371 
 
�= 14982,0b0 coeficiente de intersecção para a referida unidade 
amostral 
 
Para gerar as demais alturas, tem-se, então, o modelo completo: 
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 ( ) dap
04909,114982,0
30,10,28
1
+=
−
 
 
que, por transformação para a forma de estimação da altura em metros, será: 
 
 3,1
dap
04909,114982,0
1h 2 +
��
�
�
��
�
�
+
= .