parte10 - Volume e cubagem

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Biometria Florestal 
 
 
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O exemplo a seguir foi formulado considerando dados de uma árvore, 
portanto, com tronco constituído de vários sólidos geométricos. 
Para maior facilidade de cálculo, foram utilizadas poucas secções, 
resultando valores estimados para diâmetro, às vezes pouco precisos. 
 Considerando-se, por exemplo, uma árvore de altura igual a 21,6 m, e 
diâmetro a altura do peito de 29,0 cm, o diâmetro à metade da altura igual a 21,0 cm, a 
4,0m abaixo igual a 23,0 cm e 4,0 m acima igual a 18,0 cm, tem-se, conforme 
exemplificado na Figura 45, deseja-se conhecer: 
 
 
 
FIGURA 45 - Representação esquemática do tronco da árvore. 
 
a) Qual o sólido de revolução que representa a forma da árvore? 
 
Sendo rw wpg ⋅= linearizando-se o modelo para a solução por 
mínimos quadrados, tem-se: wrpgw lnlnln ⋅+= 
 
 
 
 
 Y b0 b1 X 
 
Obtendo-se os somatórios, tem-se: 
Biometria Florestal 
 
 
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 h d g y x y² x² x.y 
 6,8 18,0 0,0254 - 3,6712 1,9169 
 10,8 21,0 
 14,8 23,0 
 20,3 29,0 
 � -12,93225 10,00172 42,2883 25,6617 - 31,7916 
 
 0b = - 5,318020; 
 1b = 0,833840; 
 
2r = 0,950992 (coeficiente de determinação). 
 
O modelo passa a ser escrito: 
xgw ln833840,0318020,5ln ⋅+−= ou seja: 833840,0004902,0 xgx ⋅= 
 
sendo r = 0,8333840 � Assume-se que o sólido de revolução tem uma forma 
próxima à de uma parábola quadrática. 
 
b) Qual o fator de forma? 
 
Fórmula da área terminal:
 hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= 
 
 5453,0
1833840,0
1
hg
hg
1r
1
f
u
u
u =
+
�
⋅
⋅⋅
+
= 
 
Fórmula na metade da secção: ( )2/1r g2h1r
1
v ⋅⋅⋅
+
= 
 
Biometria Florestal 
 
 
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( )
( )
( )
( ) 9719,021833840,0
1f
2
1r
1
gh
g2h
1r
1
f
833840,0
21
r
21
21
r
21
�⋅
+
=
�⋅
+
�
⋅
⋅⋅⋅
+
=
 
 
c) Qual é a altura de Pressler? 
 
c.1) Por interpolação: 
 
Determinação do diâmetro de referência: 
2833840,0 4sen2063553,06,21004902,0 uuu dgdomg ⋅==×= pi tem-se: 
 
( ) basedadiâmetrocmdu �=⋅= 446,28/4063553,0 pi (deve-se observar que o 
valor estimado nesta posição foi menor que o medido ao dap. Este resultado decorre 
da dificuldade do modelo descrever a variação da forma da árvore visto ser composta 
por vários sólidos de revolução justapostos). Interpolando tem-se: 
 
 h* d 
21,6 m --- 0,00 
 x --- 14,22 
14,8 m --- 18,00 
 
*medida da base para o ápice 
 
Conforme o esquema da Figura 46, tem-se: 
 
FIGURA 46 - Determinação da altura de Pressler. 
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( ) ( ) ( )[ ]0,00,1822,140,188,140,218,14 −−×−+ 
 
m23,1620,1480,14h =+= 
 
R = 16,2 m do solo 
 
Ou, tomando-se ao ápice como referência: 
 
 
.2,16
24,1636,56,2136,500,188,6
22,1422,14
00,188,60,00,0
mR
mRápicedomx
xx
dw
=
=−==∆−−−
−−−∆−−−∆
−−−−−−
 
 
c.2) Através do expoente de forma: 
 
( )( )r 411hR −= 
( )833840,0 25,016,21R −= 
mR 5,17= 
 
A diferença entre os dois procedimentos de cálculo é atribuída à variação da 
forma do tronco. 
 
d) Qual o volume do tronco? 
 
d.1) Através do expoente de forma: 
 
hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= 
 
( )( ) 32 m7481,0748123,06,2142844,0
83384,1
1
v ≈=⋅pi⋅⋅= 
Biometria Florestal 
 
 
 94 
 
21
r g2h
1r
1
v ⋅⋅⋅
+
= 
 
( )( ) 3283384,0 7272,0421,026,21
83384,1
1
mv =⋅⋅⋅⋅= pi 
 
 
d.2) Por interpolação da altura de Pressler: 
Sendo R32gv u ⋅⋅= , tem-se: 
( ) ( )( ) 32 6876,023,163/24/28446,0 mv =⋅⋅⋅= pi 
 
Diferença entre os volumes calculados: 
 
%91,916876,0
1007481,0
3
3
→−−−−−−−−
−−−
xm
m
 que corresponde a diferença de 
8,1% 
 
e) Qual o volume comercial considerando diâmetro limite 10,0 cm pelo expoente de 
forma? 
 
1º) É necessário conhecer a distância w a partir do ápice da árvore onde se encontra o 
diâmetro de 10,0 cm, conforme esquematizado na Figura 47. 
 
FIGURA 47 - Determinação da distância do ápice onde se encontra o diâmetro limite. 
 
 
10 cm � 
X m � distância do ápice 
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Sendo: 
r
r
wrwr
w p
g
wew
p
g
wpg ==�⋅= 
 
( )
ápicedomwww 76,1
001699,0
002990,0
004902,0
10,04
83384,0
83384,0 2
==
⋅
=
pi
 
distância a ser tomada a partir do ápice , onde se localiza o diâmetro de 10 cm. 
 
Sendo 3u m7481,0v = e, 
 
3
1010 007538,076,100785398,083384,1
1
1
1
mvhg
r
v =�⋅⋅=⋅⋅
+
= << . 
 
O volume comercial será dado pela diferença entre o volume até a base e o 
volume até o 10d . 
3
com m7406,0007538,07481,0v =−= 
 
 
7.5 Determinação do volume rigoroso 
 
A determinação rigorosa do volume é entendida como a cubagem de uma 
árvore. 
 Os troncos das árvores não são perfeitamente regulares e, por isso, 
costuma-se subdividi-los em secções e cubá-los individualmente. 
 Em geral, as medições de diâmetro (média de dois diâmetros cruzados) são 
efetuadas a partir do nível do solo nas posições: 0,10, 0,30, 1,30 m e, a partir daí, de 
2,0 m em 2,0 m ou 1,0 m em 1,0 m para cada secção. Outros níveis poderão ser 
estabelecidos dependendo da precisão desejada e da regularidade do tronco. 
 O volume da tora é obtido pelo somatório dos volumes parciais das secções 
e, quanto menor o comprimento da secção, tanto mais próximo será o volume 
calculado do volume verdadeiro. 
 O seccionamento do tronco pode ser feito por comprimentos absolutos 
(método analítico) ou por comprimentos relativos. 
 O termo seccionamento não significa o corte do tronco em partes, mas 
apenas a marcação ao longo do tronco das posições de medição. 
Biometria Florestal 
 
 
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7.5.1 Volume por seccionamento em comprimentos absolutos 
 
 Este procedimento é empregado na determinação do volume através dos 
métodos de Huber, Smalian e Newton. 
 
7.5.1.1 Cubagem por Smalian 
 
 Essa fórmula foi concebida por Septofontaines, em 1791 e posteriormente 
introduzida na Alemanha por Smalian, tendo por isso seu nome a ela associado (Silva 
1977). 
 Nessa fórmula o, volume de cada secção é calculado em função do 
comprimento e das áreas basais nas extremidades das secções, como mostra a Figura 
48. 
 
FIGURA 48 - Seccionamento pelo método de Smalian. 
 
 O volume da árvore é dado por: 
 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv . 
 
 
Onde: 000 lgv ⋅= � volume do toco, 
 
Biometria Florestal 
 
 
 97 
( )
i
1ii
i l2
gg
v ⋅
+
=
+
 � volume das secções intermediárias, 
 nnc lg3
1
v ⋅= � volume do cone. 
 
 Quando ocorrem irregularidades nos troncos, pela existência de galhos e 
nós, o ponto de medição pode ser transferido para o local onde o tronco volta ao 
normal. 
 
7.5.1.2 Cubagem por Huber 
 
 Essa fórmula foi criada por Kaestner,em 1758. Em 1825, tornou-se 
conhecida no meio florestal a partir dos estudos de Huber, passando, então, a ser 
conhecida como Fórmula de Huber. 
 Por esse procedimento, o volume da secção será determinado pelo 
comprimento da secção (l) e pela área basal tomada no meio da secção (gm), conforme 
mostra a Figura 48 para uma secção de tora. 
 
 
FIGURA 48 - Seccionamento do tronco pelo método de Huber. 
 
 O volume total da árvore é dado, por: 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv ,
 
 
onde: 000 lgv ⋅= ; 
 
Biometria Florestal 
 
 
 98 
 
 imii lgv ⋅= ; 
 
 nnc lg3
1
v ⋅= .
 
 
 Casoseja de interesse, pode-se determinar o volume do toco junto com o 
volume da primeira secção, incluindo a sua altura no comprimento desta secção. 
 
7.5.1.3 Cubagem por Newton 
 
 A fórmula de Newton utiliza, no cálculo do volume, as áreas basais das 
extremidades inferior ( ig ), do meio da secção ( mig ) e da extremidade superior ( 1ig + ), 
conforme exemplifica a Figura 49 para uma secção de tora. 
 
 
FIGURA 49 - Seccionamento do tronco pelo método de Newton. 
 
De modo análogo aos anteriores, o volume total é dado por: 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv , 
 
onde: 000 lgv ⋅= , 
 
 
( ) i1i1mii lgg4g6/1v ⋅++⋅= ++ 
 
 
 nnC lg3
1
v ⋅= 
 
Biometria Florestal 
 
 
 99 
 Caso seja de interesse, pode-se também determinar o volume do toco junto 
com o volume da primeira secção, incluindo a sua altura no comprimento desta secção. 
 
7.5.1.4 Comparação entre as fórmulas de Smalian, Huber e Newton 
 
 As três fórmulas, segundo Silva (1977), dão resultados corretos embora as 
de Huber e Smalian sejam mais empregadas em razão da rapidez de cálculo. A 
fórmula de Newton é considerada mais precisa, mas o seu uso envolve mais uma 
determinação de diâmetro e mais cálculo. 
 A cubagem de uma mesma árvore pelos processos mencionados apresenta 
valores numéricos de volume diferentes, porém, segundo Spurr (1952), as diferenças 
não são significativas para volumes calculados pelas fórmulas de Smalian e Huber. 
 O emprego de um ou outro método de cubagem dependerá da precisão que 
se deseja, do tempo disponível e da tradição de uso por parte do pesquisador (Silva, 
1977). 
 Segundo Husch et al. (1982), a fórmula de Newton é exata para todos os 
troncos dos sólidos geométricos (parabolóide, neilóide e cone). As fórmulas de Smalian 
e Huber são exatas somente quando o sólido é um tronco de parabolóide. Esses 
autores exemplificam que se as linhas da secção fossem mais convexas que o tronco 
do parabolóide, a fórmula de Huber superestimará o volume e a de Smalian 
subestimará; porém, se as linhas da superfície do tronco fossem mais côncavas que o 
tronco do parabolóide, como em geral acontece, a fórmula de Smalian superestimará e 
a de Huber subestimará o volume. Eles citam ainda que, caso não se admita grandes 
erros na cubagem, não se deve usar a fórmula de Smalian para comprimentos de 
secções de toras maiores que 1,20 m e que, para secções de comprimentos de 2,40 a 
4,80 m, as fórmulas de Newton e Huber fornecem os melhores resultados. Em geral a 
fórmula de Newton apresenta melhores resultados para qualquer parte da árvore, 
exceto para a parte basal com excessiva deformação. Para esta parte, a fórmula de 
Huber dará melhor resultado. 
 As fórmulas da parábola ou do cone são apropriadas para determinar o 
volume da ponta da árvore, e a do cilindro é normalmente empregada para calcular o 
volume do toco, embora sua forma mais aproximada seja o neilóide. 
 
 
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 100 
7.5.2 Volume por seccionamento em comprimentos relativos 
 
 O seccionamento do tronco em comprimento relativo é empregado na 
cubagem de árvores pelo método de Hohenadl. Neste caso, o tronco é dividido em 
cinco ou dez secções relativas de mesmo comprimento independentemente da altura 
da árvore. 
 O método é usado em trabalhos práticos e científicos quando se deseja 
determinar o fator de forma verdadeiro, os verdadeiros quocientes de forma e no 
estudo de forma dos troncos. O método favorece, ainda, a comparação entre diferentes 
formas de troncos, enquanto os métodos de Huber e Smalian não o permitem. O 
seccionamento proposto por Hohenadl implica no conhecimento prévio da altura total 
da árvore, sendo feito do ápice para a base em cinco ou dez secções de igual 
comprimento. Para se obter os cinco comprimentos iguais, deve-se tomar 1/5 da altura 
total e medir os diâmetros na metade da secção, conforme indica a Figura 50. 
 
 
FIGURA 50 - Seccionamento do tronco pelo método de Hohenadl. 
 
 Na sua expressão original, os pontos indicados ao longo do tronco por 
9,0d ; 7,0d ; 5,0d ; 3,0d e 1,0d são os diâmetros relativos nas posições 90; 70; 50; 30 e 10 % 
da altura total da árvore, tomadas a partir do ápice. 
 Visando facilitar a compreensão do método e seguindo a tendência atual 
constante na bibliografia, o ponto de referência para a tomada dos diâmetros nesta 
obra será considerado como a base da árvore (Figura 51). 
 
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 101 
 
 
FIGURA 51- Seccionamento do tronco pelo método de Hohenadl (modificado). 
 
 Assim o volume da árvore é dado por: 
( )2 9,02 7,02 5,02 3,02 1,0 ddddd4/h2,0v ++++⋅pi⋅⋅= ; 
 ( )9,07,05,03,01,0 gggggh2,0v ++++⋅⋅= 
 
ou ainda pode ser calculado em função dos quocientes de forma, os quais são 
expressos pela razão entre os diâmetros de Hohenadl e o diâmetro d0,1: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1////4/2,0 21,03,021,05,021,07,021,09,021,0 ++++⋅⋅⋅⋅= dddddddddhv pi 
 
 Os quocientes de forma natural podem ser expressos como segue: 
 
 
1,0
i,0
i,0 d
d
n =
 . 
 exemplificando, o cociente de forma natural 3,0n será obtido pela relação: 
1,0
3,0
3,0 d
d
n =
. 
 
E a fórmula pode ser escrita como: 
 
 
[ ]14/2,0 2 3,02 5,02 7,02 9,021,0 ++++⋅⋅⋅⋅= nnnndhv pi 
 
onde: v = volume do tronco; 
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 h = altura total; 
i,0d = diâmetros relativos de Hohenadl; 
 i,0g = área da secção transversal correspondente a do,i 
 i,0n = quocientes de forma;