AL_CAP_08

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 8 
 
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Dada uma transformação linear WV:T → , mostrar-se-á que é conveniente, muitas vezes, 
trabalhar com uma matriz que a represente, ao invés de trabalhar com expressão da 
transformação linear. Este é o objetivo deste capítulo. 
Considerem-se dois espaços vetoriais U e V sobre um corpo K, de dimensões n e m, 
respectivamente, a transformação linear VU:T → e as bases { }nu,,u,uB L21= de U e 
{ }mv,,v,vC L21= de V. Os vetores ( ) ( ) ( )nuT,,uT,uT L21 são elementos de V e, portanto, se 
escrevem como combinação linear da base C. Logo, existem números reais 
( )nj;miaij ≤≤≤≤ 11 tais que: 
S: 
( )
( )
( )






+++=
+++=
+++=
mmnnnn
mm
mm
vavavauT
vavavauT
vavavauT
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
 
Definição: A matriz P, de dimensão nm × , dada por: 
 














=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
P
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
, 
é chamada matriz da transformação linear T em relação às bases B e C. 
Notação: [ ]BCTP = . 
Observação: 
1) As colunas da matriz P são constituídas pelas coordenadas dos vetores 
( ) ( ) ( )nuT,,uT,uT L21 em relação à base C, ou seja: 
( )[ ]














=
1
21
11
1
ma
a
a
uT
M
, ( )[ ]














=
2
22
12
2
ma
a
a
uT
M
,..., ( )[ ]














=
mn
n
n
n
a
a
a
uT
M
2
1
. 
Isso indica que P é a matriz transposta da matriz dos coeficientes do sistema linear S. 
2) Cuidado com a notação! O leitor deve ficar atento às notações utilizadas neste capítulo e a 
notação de matriz mudança de base introduzida no Capítulo 5: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
• [ ]BCT é a matriz da transformação linear T em relação às bases B e C. De acordo com a 
definição, aplica-se a transformação T nos vetores da base B e, posteriormente, escreve-se 
esses vetores como combinação linear da base C 
• [ ]BCM é a matriz de mudança da base B para a base C; nesse caso, são os vetores da base C 
que são escritos como combinação linear da base B. 
Exemplo: Seja 23 ℜ→ℜ:T a transformação linear, definida por: 
( ) ( )zx,yxz,y,xT 2+−= . 
Considerando-se a base canônica do 3ℜ e a base ( ) ( ){ }1111 −= ,,,C do 2ℜ , determinar a matriz 
da transformação linear T em relação às bases B e C. 
A base canônica do 3ℜ é: ( ) ( ) ( ){ }100010001 ,,,,,,,,B = . A transformação linear T, aplicada nos 
elementos dessa base, resulta em: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



=+−=
−=+−=
=+−=
202000100
010010010
110101001
,,,,T
,,,,T
,,,,T
 
Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C, vem: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



−+=
−+=−
−+=
111120
111101
111111
,f,e,
,d,c,
,b,a,
 
de onde se obtém que: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



−−=
−−−=−
−+=
11111120
11
2
1
11
2
1
01
11011111
,,,
,,,
,,,
. 
Lembrando que as coordenadas obtidas constituirão as colunas da matriz desejada, obtém-se: 
[ ]












−−
−
==
1
2
1
0
1
2
1
1
B
CTP . 
Teorema: Sejam: U e V espaços vetoriais sobre o corpo K, de bases B e C, respectivamente, 
e VU:T → uma transformação linear. Então: ( )[ ] [ ] [ ]BBCC uTuT ⋅= . 
Demonstração: 
Hipóteses: VU:T → é transformação linear; B e C são bases de U e V 
Tese: ( )[ ] [ ] [ ]BBCC uTuT ⋅= 
Sejam { }nu,,u,uB L21= e { }mv,,v,vC L21= as bases de U e V, respectivamente. 
Tomando-se Uu ∈ , existem em K escalares ( )niai ≤≤1 tais que: 
nnuauauau +++= L2211 . 
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Logo, as coordenadas de u em relação à base B são: 
[ ]














=
n
B
a
a
a
u
M
2
1
. 
Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn uTauTauTauauauaTuT +++=+++= LL 22112211 (1) 
Uma vez que os vetores ( ) ( ) ( )nuT,,uT,uT L21 pertencem a V, podem-se determinar suas 
coordenadas em relação à base C; assim, existem escalares ( )nj;miKbij ≤≤≤≤∈ 11 , tais 
que: 
 ( )
( )
( )
( )






+++=
+++=
+++=
mmnnnn
mm
mm
vbvbvbuT
vbvbvbuT
vbvbvbuT
:S
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
, 
e, portanto, 
[ ]














=
mnmm
n
n
B
C
bbb
bbb
bbb
T
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
. 
Substituindo-se, na equação (1), as expressões de ( ) ( )niuT i ≤≤1 que constam de ( )S , vem: 
( ) ( ) ( ) +++++++++= LLL mmmm vbvbvbavbvbvbauT 2222112212211111 
( )mmnnnn vbvbvba ++++ L2211 
isto é, 
( ) ( ) ( ) +++++++++= LLL 2222221111122111 vbababavbababauT nnnn 
( ) mmnnmm vbababa ++++ L2211 . 
Esta última expressão de ( )uT determina suas coordenadas em relação à base C, ou seja, 
( )[ ]














+++
+++
+++
=
mnnmm
nn
nn
C
bababa
bababa
bababa
uT
L
M
L
L
2211
2222211
1122111
. 
Essa matriz é resultante da multiplicação: 
( )[ ]




























=
nmnmm
n
n
C
a
a
a
bbb
bbb
bbb
uT
M
L
LLLL
L
L
2
1
21
22221
11211
 
e, portanto, conclui-se que ( )[ ] [ ] [ ]BBCC uTuT ⋅= . 
Corolário: Sejam: U um espaço vetorial sobre K; 1B e 2B duas de suas bases; Id o operador 
identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação às bases 1B e 2B , estão 
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relacionadas por: 
(a) [ ] [ ] [ ]
1
1
22 B
B
BB
uIdu ⋅= 
(b) [ ] [ ] [ ]
2
1
21
1
B
B
BB
uIdu ⋅



=
−
, 
onde [ ] 1
2
B
B
Id é a matriz do operador linear Id em relação às bases 1B e 2B . 
Demonstração: 
(a) Hipóteses: U é espaço vetorial sobre K; 1B e 2B são bases de U; Id é o operador 
identidade de U 
Tese: [ ] [ ] [ ]
1
1
22 B
B
BB
uIdu ⋅= 
Sejam { }nv,,v,vB L211 = e { }nw,,w,wB L212 = duas bases de U. O operador identidade Id 
é tal que ( ) uuId = , Uu ∈∀ . Como 1B é base de U, então existem escalares Kai ∈ , com 
ni ≤≤1 tais que: nnvavavau +++= L2211 . Logo, as coordenadas do vetor u em relação à 
base 1B são: 
[ ]














=
n
B
a
a
a
u
M
2
1
1
. 
A matriz [ ] 1
2
B
B
Id é determinada escrevendo-se cada vetor ( ) ( )nivvId ii ≤≤= 1 como combinação 
linear dos vetores da base 2B . Então, existem escalares jkc , com nj ≤≤1 e nk ≤≤1 , tais 
que: 
( )
( )
( )
( )






+++==
+++==
+++==
nnnnnnn
nn
nn
wcwcwcvvId
wcwcwcvvId
wcwcwcvvId
S
L
M
L
L
2211
222211222
122111111
 . 
Portanto, a matriz procurada é: 
[ ]














=
nnnn
n
n
B
B
ccc
ccc
ccc
Id
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
1
2
. 
Fazendo-se o produto [ ] [ ]
1
1
2 B
B
B
uId , segue-se que: 
=



























nnnnn
n
n
a
a
a
ccc
ccc
ccc
M
L
LLLL
L
L
2
1
21
22221
11211














+++
+++
+++
nnnnn
nn
nn
cacaca
cacaca
cacaca
L
M
L
L
2211
2222211
1122111
. 
Substituindo em nnvavavau +++= L2211 a expressão de cada iv do sistema ( )S , vem: 
( ) ( ) +++++++++= LLL nnnn wcwcwcawcwcwcau 2222112212211111 
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( )nnnnnn wcwcwca ++++ L2211 . 
Aplicando a propriedade distributiva e associando os termos convenientemente, segue-se que: 
( ) ( ) +++++++++= LLL 2222221111122111 wcacacawcacacau nnnn 
( ) nnnnnn wcacaca ++++ L2211 . 
Essa expressão mostra que u está escrito como combinação linear dos vetores da base 2B . 
Logo, as coordenadas do vetor u em relação à base 2B são: 
[ ]














+++
+++
+++
=
nnnnn
nn
nn
B
cacaca
cacaca
cacaca
u
L
M
L
L
2211
2222211
1122111
2
. 
Conclui-se, assim, que [ ] [ ] [ ]
1
1
22 B
B
BB
uIdu ⋅= . 
(b) Hipóteses: U é espaço vetorial sobre K; 1B e 2B são bases de U; Id é o operador 
identidade de U 
Tese: [ ] [ ] [ ]
2
1
21
1
B
B
BB
uIdu ⋅



=
−
 
Multiplicando-se ambos os lados da expressão [ ] [ ] [ ]
1
1
22 B
B
BB
uIdu = pela matriz [ ]
1
1
2
−




 B
B
Id , obtém-
se: 
[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]
1
1
1
1
22
1
2
11
B
B
B
B
BB
B
B
uIdIduId
−−
= , 
isto é, 
[ ]( ) [ ] [ ]
12
1
2
1
BB
B
B
uuId =
−
, 
o que demonstra o item (b). 
Exemplo: Sejam: ( )ℜ→ℜ 22 P:T , a transformação linear definida por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 tyxtyxyxy,xT ++++−= ; 
( ) ( ){ }0221 ,,,B = e { }2212 t,t,C −+−= bases de 2ℜ e de ( )ℜ2P , respectivamente; 
( ) 211 ℜ∈−= ,u . 
Verificar que ( )[ ] [ ] [ ]BBCC uTuT ⋅= , conforme se demonstrou no Teorema anterior. 
Inicialmente, determinam-se as coordenadas de u em relação à base B, isto é, determinam-se 
escalares a e b tais que: 
( ) ( ) ( )022111 ,b,a, +=− ; 
dessa igualdade, bem: 



=−
+=
a
ba
21
21
, 
de onde se segue que 
2
1
−=a e 
4
3
=b ; 
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assim, [ ]












−
=
4
3
2
1
Bu . 
A transformação linear T, aplicada ao vetor u, produz: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ttt,TuT +=−++−+⋅+−−=−= 2111121111 2 . 
Escreve-se, agora, o elemento ( ) ( )ℜ∈ 2PuT como combinação linear dos elementos da base C, 
ou seja, determinam-se escalares α , β e γ tais que: 
( ) ( ) ( ) ( )2212 ttuT −+++−= γβα . 
Então: 
( ) ( ) ( ) ( ) 22 222122 ttttt γβγβαγβα −+++−=−+++−=+ ; 
da igualdade de polinômios, segue-se que: 





=
=
=++−
0
1
222
γ
β
γβα
. 
Desse sistema, obtém-se: 
2
1
−=α , 1=β e 0=γ , ou seja, as coordenadas de ( )uT em relação 
à base C são: 
( )[ ]
















−
=
0
1
2
1
CuT . 
Determina-se, agora, a matriz da transformação linear T em relação às bases B e C. Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )



−+++−=++=
−+++−=++−=
22
22
21224202
21234121
tftedtt,T
tctbatt,T , 
de onde vem que: 
( )
( )



−+++−=++
−+++−=++−
22
22
22242
22341
ftetfedtt
ctbtcbatt
. 
Tem-se, assim, o sistema linear: 










−=
=
=++−
−=
=
−=++−
2
4
222
3
4
122
f
e
fed
c
b
cba
, 
de onde se obtém: 
2
1
−=a ; 4=b ; 3−=c ; 1−=d ; 4=e ; 2−=f , ou seja: 
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[ ]
















−−
−−
=
23
44
1
2
1
B
CT . 
Efetuando-se o produto [ ] [ ]BBC uT ⋅ , obtém-se: 
 ( )[ ]CuT=
















−
=












−
















−−
−−
0
1
2
1
4
3
2
1
23
44
1
2
1
. 
Mostrou-se, assim, que ( )[ ] [ ] [ ]BBCC uTuT ⋅= . 
Enunciam-se, a seguir, dois resultados, sem demonstração. 
Teorema: Sejam: U e V espaços vetoriais sobre corpo K, de bases B e C, respectivamente, e 
VU:T → e VU:S → duas transformações lineares. Então: [ ] [ ] [ ]BCBCBC STST +=+ . 
Teorema: Sejam: U, V e W espaços vetoriais sobre corpo K, de bases B, C e D, 
respectivamente, e VU:T → e WV:S → duas transformações lineares. Então: 
[ ] [ ] [ ]BCCDBD TSTS ⋅=o . 
Exemplo: Considerem-se as transformações lineares: 
• 23 ℜ→ℜ:T , definida por: ( ) ( )zx,yxz,y,xT −+= ; 
• 22 ℜ→ℜ:S , definida por: ( ) ( )y,yxy,xS 2+= . 
Sejam ( ) ( ) ( ){ }111122101 ,,,,,,,,B −= , uma base de 3ℜ ; ( ) ( ){ }2011 ,,,C = uma base de 2ℜ , 
considerado como espaço de chegada de T e como espaço de saída de S; ( ) ( ){ }2110 ,,,D −= 
uma base de 2ℜ , considerado como espaço de chegada de S. Determinar a transformação 
linear TS o e verificar que [ ] [ ] [ ]BCCDBD TSTS ⋅=o . 
Primeiramente, determina-se a transformação linear composta de T e S, isto é: 
( )( ) ( )( ) ( ) =−+== zx,yxSz,y,xTSz,y,xTS o 
( ) ( ) ( )( ) ( )zx,zyxzx,zxyx 2222 −−+=−−++= 
Observe-se que TS o é uma transformação de 3ℜ em 2ℜ , sendo este último espaço 
considerado com a base D. Para calcular a matriz [ ]BDTS o , deve-se aplicar TS o em cada vetor 
da base B de 3ℜ e escrever os vetores resultantes como combinação linear dos vetores da 
base D de 2ℜ , ou seja: 
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( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )



−+==−
−+==
−+==
211000111
211025122
211001101
,f,e,,,TS
,d,c,,,TS
,b,a,,,TS
o
o
o
. 
Então: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )



+−=
+−=
+−=
fe,f,
dc,d,
ba,b,
200
225
201
 , 
de onde se segue que: 2=a ; 1−=b ; 12=c ; 5−=d ; 0== fe . 
Portanto, a matriz de TS o em relação às bases B e D é: 
[ ] 





−−
=
051
0122B
DTS o . 
É preciso, agora, calcular as matrizes [ ]BCT e [ ]CDS . Para calcular a primeira delas, deve-se 
calcular a transformação linear T nos elementos de sua base e, em seguida, escrever esses 
vetores obtidos como combinação linear da base C de seu espaço de chegada, isto é: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )



+==−
+==
+==
201100111
201114122
201101101
,f,e,,,T
,d,c,,,T
,b,a,,,T
 . 
Então: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )



+=
+=
+=
fe,e,
dc,c,
ba,a,
200
214
201
 , 
de onde vem que: 1=a ; 
2
1
−=b ; 4=c ; 
2
3
−=d ; 0== fe . 
Portanto, a matriz procurada é: 
[ ]












−−
=
0
2
3
2
1
041
B
CT . 
Para o cálculo da matriz [ ]CDS , faz-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )


−+==
−+==
21104220
21102211
,d,c,,S
,b,a,,S
 , 
de onde vem que: 
( ) ( )
( ) ( )


+−=
+−=
dc,d,
ba,b,
242
222
 . 
Resolvendo-se esse sistema, obtêm-se os valores: 6=a ; 2−=b ; 8=c ; 2−=d e, assim, a 
matriz procurada é: 
[ ] 





−−
=
22
86C
DS . 
Efetuando-se o produto [ ] [ ]BCCD TS ⋅ , vem:INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
[ ] [ ] [ ]BDBCCD TSTS o=





−−
=












−−






−−
=⋅
051
0122
0
2
3
2
1
041
22
86
. 
Enunciam-se, a seguir, três proposições, sem demonstração. 
Proposição: Sejam: U e V espaços vetoriais sobre o corpo K, com bases B e C, 
respectivamente, e VU:T → um isomorfismo. Então [ ] [ ]( ) 11 −− = BCCB TT . 
Observação: a matriz do isomorfismo T, em relação às bases B e C, é: [ ]BCT . Conforme se viu 
no Capítulo 7, sendo um isomorfismo, T é bijetora e, portanto, admite o isomorfismo inverso 
UV:T →−1 . A matriz desse isomorfismo, em relação às bases C e B, é: [ ]CBT 1− . O que se 
afirma nessa proposição é que, para obter essa última matriz, pode-se calcular a matriz 
inversa de [ ]BCT , ou seja, [ ] [ ]( ) 11 −− = BCCB TT . 
Proposição: Sejam: U e V espaços vetoriais sobre o corpo K, com bases B e C, 
respectivamente, e VU:T → uma transformação linear. Então, T é um isomorfismo se, e 
somente se, [ ]( ) 0≠BCTdet . 
Observação: a proposição afirma que T admite o isomorfismo inverso se, e somente se, o 
determinante da matriz [ ]BCT é não nulo. 
Exemplo: Considere-se o operador linear 
( ) ( )yx,yxy,x
:T
+−
ℜ→ℜ
32
22
a
. 
Mostrar que T é inversível e determinar 1−T . 
Esse exemplo foi resolvido de outra forma no capítulo anterior. Aqui, mostrar-se-á que T é 
inversível mostrando-se que a matriz do operador linear em relação à base canônica do 2ℜ é 
inversível, ou seja, que seu determinante é não nulo. 
Para isso, deve-se calcular T nos elementos da base canônica do 2ℜ e escrevê-los como 
combinação linear dessa base. Têm-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )


+−=−=+−=
+==+−=
10101212102010
10301131030101
,,,,,T
,,,,,T
. 
Assim, a matriz procurada é: 
[ ] 




 −
=
13
21
T . 
Uma vez que [ ]( ) 07 ≠=Tdet , segue-se que [ ]T é não singular, ou seja, é inversível, e, 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
portanto, o operador linear T é inversível. 
Para determinar 1−T , determina-se a matriz inversa de [ ]T . Utilizando-se qualquer método de 
inversão de matrizes, obtém-se: 
[ ] [ ]












−
== −−
7
1
7
3
7
2
7
1
11 TT . 
Então: 
( )[ ] [ ]












+−
+
=

















−
=





= −−
yx
yx
y
x
y
x
Ty,xT
7
1
7
3
7
2
7
1
7
1
7
3
7
2
7
1
11 . 
Assim, tem-se: 
( ) 





+−+=− yx,yxy,xT
7
1
7
3
7
2
7
11 . 
Proposição: Sejam: U e V espaços vetoriais sobre o corpo K; B e C, bases de U; D e E, bases 
de V; VU:T → uma transformação linear. Então: [ ] [ ] [ ] [ ]BCCEEDBD IdTIdT ⋅⋅= . 
Teorema: Sejam: V, um espaço vetorial sobre o corpo K; B e C bases de V; VV:T → um 
operador linear; [ ]BCMP = a matriz de mudança da base B para a base C. Então: 
[ ] [ ] PTPT BC ⋅⋅= −1 . 
Observação: [ ]BT denota a matriz [ ]BBT , assim como [ ]CT denota a matriz [ ]CCT . 
Demonstração: 
Hipóteses: V é um espaço vetorial sobre o corpo K; B e C são bases de V; VV:T → é um 
operador linear; [ ]BCMP = é a matriz de mudança da base B para a base C 
Tese: [ ] [ ] PTPT BC ⋅⋅= −1 
Sejam { }nu,,u,uB L21= e { }nv,,v,vC L21= as bases de U consideradas na hipótese e 
Uu ∈ . Determinar-se-á a matriz de mudança da base B para a base C. Para isso, escrevem-se 
os vetores da base C como combinação linear dos elementos da base B: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
uauauav
uauauav
uauauav
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
; (1) 
assim, obtém-se: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
[ ]














==
nnnn
n
n
B
C
aaa
aaa
aaa
MP
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
. 
Determinar-se-ão, agora, as matrizes de T em relação às bases B e C. Para determinar 
[ ] [ ]BBB TT = , deve-se escrever, para cada ni ≤≤1 , ( )iuT como combinação linear dos vetores 
nu,,u,u L21 , isto é: 
( )
( )







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
ububub)u(T
ubububuT
ubububuT
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
. (2) 
Assim, ma matriz de T em relação à base B é: 
[ ]














=
nnnn
n
n
B
bbb
bbb
bbb
T
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
. 
De modo análogo, Para determinar [ ] [ ]CCC TT = , deve-se escrever, para cada ni ≤≤1 , ( )ivT 
como combinação linear dos vetores nv,,v,v L21 , isto é: 
( )
( )
( )






+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
vcvcvcvT
vcvcvcvT
vcvcvcvT
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
, (3) 
e, portanto, vem: 
[ ]














=
nnnn
n
n
C
ccc
ccc
ccc
T
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
. 
Sendo T um operador linear, a partir das equações (1), obtém-se: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )






+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
uTauTau(TavT
uTauTauTavT
uTauTauTavT
L
M
L
L
2211
22221122
12211111
. (4) 
Em (4), na expressão de ( )1vT , substitui-se o primeiro membro pela primeira equação de (3) 
e, no segundo membro, substitui-se ( )iuT , ( )ni ≤≤1 , pelas equações de (2), obtendo-se: 
( ) ++++=+++ nnnn ubububavcvcvc 1221111111221111 LL 
( ) ( )nnnnnnnn ubububaubububa +++++++++ LLL 22111222211221 . 
Por outro lado, substituindo-se as expressões de iv , ( )ni ≤≤1 , dadas em (1), vem: 
( ) ( ) +++++++++ LLL nnnn uauauacuauauac 222211221122111111 
( ) ( ) ++++=++++ nnnnnnnn ubububauauauac 12211111122111 LL 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
( ) ( )nnnnnnnn ubububaubububa +++++++++ LLL 22111222211221 
ou seja, 
( ) ( ) +++++++++ LLL 2212221211111112211111 uacacacuacacac nnnn 
( ) ( ) ++++=++++ 111122111111221111 ubababauacacac nnnnnnnn LL 
( ) ( ) nnnnnnnn ubababaubababa 122111122122212111 +++++++++ LLL . 
Da igualdade de vetores, obtém-se: 







+++=+++
+++=+++
+++=+++
nnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
bababaacacac
bababaacacac
bababaacacac
12211111221111
21222121112122212111
11122111111112211111
LL
M
LL
LL
. (5) 
Escrevendo essas equações na forma matricial, obtém-se: 














⋅














=














⋅














nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
bbb
bbb
bbb
ccc
ccc
ccc
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
. 
Tem-se, então, o produto das matrizes: 
[ ] [ ] PTTP Bc ⋅=⋅ . 
Sendo P inversível, pode-se multiplicar ambos os membros dessa equação por 1−P , obtendo-
se: 
[ ] [ ] PTPTPP Bc ⋅⋅=⋅⋅ −− 11 , 
ou seja, 
[ ] [ ] PTPT Bc ⋅⋅= −1 . 
De modo análogo, trabalhando-se com ( ) ( )nvT,,vT L2, obtém-se o produto de matrizes 
anterior. 
Exemplo: Determinar o operador linear do 2ℜ cuja matriz em relação à base ( ) ( ){ }5021 ,,,B = 
é 





− 12
13
. 
Tem-se: [ ] [ ] 





−
==
12
13B
BB TT . 
Por definição, para se obter [ ]BBT , calcula-se o valor de T em cada vetor da base B e escreve-se 
esses vetores como combinação linear dos vetores da própria base B. Os escalares dessas 
combinações lineares são os elementos dessa matriz. Ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )


−=−=
=+=
3150121150
16350221321
,,,,T
,,,,T
 . (1) 
Tomando-se um elemento genérico ( ) 2ℜ∈v,u , quer-se determinar ( )v,uT . Uma vez que T é 
um operador linear do 2ℜ , tem-se que ( ) 2ℜ∈v,uT , ou seja, ( ) ( )y,xv,uT = . Assim, ( )y,x 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
pode ser escrito como combinação linear da base B, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )ba,a,b,ay,x 525021 +=+= , (2) 
de onde se segue que: 




+−
=
=
5
2 yx
b
xa
. 
Substituindo-se esses valores de a e b em (2), vem: 
( ) ( ) ( )50
5
2
21 ,T
yx
,xTy,xT 




 +−
+= ; 
por outro lado, das equações (1), vem: 
( ) ( ) ( )31
5
2
163 −




 +−
+= ,
yx
,xy,xT , 
e, portanto, a expressão de T é: 
( ) 




 −+
=
5
386
5
13 yx
,
yx
y,xT . 
Exercícios Propostos 
1) Sejam 32 ℜ→ℜ:F e 32 ℜ→ℜ:G transformações lineares tais que a matriz de GF + em 
relação às bases canônicas do 2ℜ e do 3ℜ é 










33
10
12
. Sabendo-se que ( ) ( )y,yx,xy,xF 2−= , 
determinar a matriz de G em relação às bases canônicas do 2ℜ e do 3ℜ . Em seguida, 
determinar a expressão de ( )y,xG . 
R.: [ ]










−=
13
21
11
G ; ( ) ( )yx,yx,yxy,xG ++−+= 32 
2) Seja ( ) ℜ→ℜ2P:F a transformação linear definida por ( )( ) ( )∫
−
=
1
1
dttptpF . Determinar a 
matriz de F em relação às bases { }2111 t,t,B +−+= de ( )ℜ2P e { }2−=C de ℜ . 
R.: [ ]
















−
−
=
3
2
1
1
B
CF 
3) Seja ( )ℜ→ℜ 23 M:T a transformação linear cuja matriz em relação às bases canônicas do 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
3ℜ e de ( )ℜ2M é 














100
110
011
001
. Considerando-se o vetor ( )312 ,,u −= , determinar as coordenadas 
de ( )uT em relação à base canônica de ( )ℜ2M . Determinar a expressão de ( )z,y,xT .
 R.: ( )[ ]














=
3
2
1
2
uT ; ( ) 





+
+
=
zzy
yxx
z,y,xT 
4) Seja F o operador linear do 2ℜ cuja matriz em relação à base ( ) ( ){ }4101 ,,,B = é 
[ ] 





=
15
11B
BF . Determinar a matriz de F em relação à base canônica do 
2ℜ . 
R.: [ ] 





−
−
=
420
16C
CF 
5) Sejam: [ ]










−
−
−−
=
0031
0112
1211
B
CT a matriz de uma transformação linear ( ) ( )ℜ→ℜ 22 PM:T ; B 
e C as bases canônicas de ( )ℜ2M e de ( )ℜ2P , respectivamente. Sabendo-se que as 
coordenadas do vetor ( )ℜ∈ 2Mu , em relação à base B, são 














−
3
1
1
2
, determinar as coordenadas 
do vetor ( )uT em relação à base C. Qual é a expressão de ( ) ( )ℜ→ℜ 22 PM:T ? 
R.: ( )[ ]










=
5
2
2
CuT ; ( ) ( ) ( ) 2322 tbatcbadcbadc
ba
T −+−++−+−=




