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Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB24
Aula 05
Derivadas das Funções 
Elementares
Objetivos da Aula
• Apresentar as técnicas de derivação elementares, cuja utilização 
direta otimiza e simplifica o cálculo da derivada de uma função. 
• Aplicar o cálculo de derivadas na resolução de problemas.
Vimos na aula anterior que as derivadas são interpretadas como 
as inclinações e as taxas de variação, vimos também como estimar 
derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores. Desta forma, 
faremos a seguinte definição.
Definição de Derivada de uma Função
A derivada de uma função f é a função f‘ (lê-se f linha de x), tal que 
seu valor em todo x do domínio de f se dado por 
se este limite existe. 
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também 
pelos símbolos:
y’ , dy/dx ou f ‘ (x). 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+=
∆
)()(
)(' lim
0
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Usamos a definição de uma só derivada para calcular as derivadas 
de funções definidas pelas fórmulas, mas seria tedioso se sempre 
usássemos a definição; então, mostraremos regras para encontrar 
derivadas sem ter que usar diretamente a definição. 
1. Derivada de uma Função Constante
Vamos iniciar com a função constante f(x) = c. O gráfico dessa função 
é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0 (zero); logo, devemos ter 
f’(x) = 0, como mostra a figura abaixo. 
Veja uma prova formal da definição de uma derivada:
y
x0
c
inclinação = 0
y = c
O gráfico de f(x) = c é a reta y = c; assim f’(x) = 0.
Vamos agora escrever essa regra na notação de Leibniz.
d/dx(c) = 0 (sendo ”c”, uma constante).
Exemplos:
( ) ( ) ( ) =−=−+=
→→ h
cc
h
xfhxf
xf
hh 00
limlim' 00lim
0
=
→h
 
 
1º) Se f(x) = 32, então 
 
 ( ) == )32('
dx
d
xf 0 
 
2º) Se f(x) = -7, então 
 ( ) =−= )7('
dx
d
xf 0 
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Função Potência
Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo. Se 
n = 1, o gráfico f(x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a figura 
abaixo).
y
x
c
y = x
inclinação = 1
0
O gráfico de f(x) = x é a reta y = x; assim f’(x) = 1.
Logo
d/dc (c) = 0 ou f’(x) = 1
Derivada da Função Potência ou Regra da 
Potência
Se n é qualquer número real, e se f(x) = xn, então .
PRIMEIRA PROVA:
x n – a n = (x - a) . (x n-1 + x n – 2 + ... + xa n – 2 + a n - 1)
pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou 
somando-se o segundo fator como uma séria geométrica).
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SEGUNDA PROVA (usaremos h = Dx para facilitar a compreensão 
do cálculo)
Para achar a derivada de x 4desenvolvemos (x + h) 4. Aqui precisamos 
desenvolver (x +h)n, usamos o teorema Binomial para fazer isto:
( ) ( ) ( )
ax
ax
ax
afxf
af
−
−=
−
−=
→→
nn
axax
limlim' 
 
( ) ( )1-n2-n2-n1-n
ax
lim' axaaxxaf ++++=
→
 
 
( ) 1-n2-n2-n1-n' aaaaaaaf ++++=  
 
( ) 1-n ' naaf = 
( ) ( ) ( ) ( )
h
xhx
h
xfhxf
xf
nn
0h0h
limlim'
−+=−+=
→→
( )
( )
h
xhnxhhx
nn
hnxx
xf
nn1-n22-n1-nn
0h
2
1
lim'
−


 +++−++
=
→

 
 
( )
( )
h
hnxhhx
nn
hnx
xf



 +++−+
=
→
n1-n22-n1-n
0h
2
1
lim'

 
 
( )
( )
h
hnxhhx
nn
hnx
xf



 +++−+
=
→
1-n2-n2-n1-n
0h
2
1
lim'

 
 
( ) 1-n' nxxf = 
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porque todo o termo, exceto o primeiro, tem h como um fator, 
conseqüentemente tende a 0 (zero).
Vamos analisar a regra da potência para o caso especial n = 2. Se 
f(x) = x 2, então:
Exemplos:
( ) ( ) ( ) ( )
h
xfhxf
x
dx
d
xf
−+==
→0h
2 lim' 
 
( ) ( )
h
xhx
xf
22
0h
lim'
−+=
→
 
 
( )
h
xhxhx
xf
222
0h
2
lim'
−++=
→
 
 
( ) ( )=+=+=
→→
2
0h
2
0h
2lim
2
lim' hxh
h
hxh
xf x2 
 
1º) a) Se f(x) = x, então 
 ( ) ( ) ==⋅== − 0111' xxx
dx
d
xf 1 
 
 
 
b) Se f(x) = x 8, então 
 ( ) ( )== 8' x
dx
d
xf 78x 
 
 
 
c) Se f(x) = x 5/2, então 
( ) ( )== 2/5' x
dx
d
xf 2/3
2
5
x 
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2º) Ache uma equação da reta tangente à curva no 
ponto (1,1). Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta 
tangente.
Solução
d) f(x) = x 
 
 Reescrevendo x na forma x 1/2, obtemos 
 
( ) ( ) ====
1/2
1/2-1/2
2
1
2
1
'
x
xx
dx
d
xf
x2
1
 
 
e) g(x) =
3 x
1
 
 R eescrevendo 
3 x
1
 na forma x -1/3, obtemos 
 
( ) ( ) ====
4/3
4/3-1/3-
3
1
3
1
'
x
xx
dx
d
xg
3 4
 3
1
x
 ou 
3 4
 3
1
x
 
xxy =
A derivada de ( ) 3/21/2 xxxxxxf === é 
 
( ) ( ) xxxxf
2
3
2
3
2
3
' 1/213/2 === − 
 
Logo a inclinação da reta tangente em (1,1) é ( )
2
3
' =xf . Portanto, uma 
 
equação da reta tangente é 
 
( )1
2
3
1 −=− xy ou 
2
1
2
3 −= xy . 
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Este é o gráfico da curva e sua reta tangente.
y = 3 x - 1
22
y = x
3
-1
3-1
x
3. Regra do Múltiplo Constante
 Quando novas funções são formadas a partir das antigas 
funções por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas 
derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das 
antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que 
a derivada de uma constante vezes uma função é a constante 
vezes a derivada da função.
Seja uma função diferenciável ou derivável, onde n é qualquer 
número real e c for uma constante, então
Representação Geométrica da Regra do Múltiplo 
Constante
A multiplicação por c = 2 estica o gráfico verticalmente por um 
fator de 2.
( ) ( ) 11 )(][)(' −− ==== nn cnxnxcxf
dx
d
cxcf
dx
d
xf
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Todas as subidas têm de ser dobradas, mas a corrida continua 
a mesma. Logo as inclinações ficam dobradas também. 
x
y
y = f(x)
y = 2 f(x)
0
PROVA : Se g(x) = cf(x), então
EXEMPLOS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcfhxcf
h
xghxg
xg
−+=−+=
→→ 0h0h
limlim' 
 
( ) ( ) ( ) ( )=−+=


 −+=
→→
xfhxf
c
h
xfhxf
c
0h0h
limlim ( )xcf ' 
1º) Se f(x) = - x, então 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )=⋅−=−=⋅−=−= 1111' x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xf 1− 
 
 
2º) Se f(x) = 5x 3, então 
 
( ) ( ) ( ) ( )=⋅=== 233 3555' xx
dx
d
x
dx
d
xf x15 
 
3º) Se ( )
x
xf
3= , então 
 ( ) ( ) =



−⋅== − 2/32/1
2
1
33' xx
dx
d
xf
2/32
3
x
− 
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4. Regra da Soma
Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) 
+ g(x), e se f ’(x) e g’(x) existem, ou seja são diferenciáveis, 
então
 ou
A derivada da soma (diferença) de duas funções diferenciáveis 
é igual à soma (diferença) de duas derivadas.
Este resultado pode ser estendido para soma e diferença de 
um número finito qualquer de funções diferenciáveis.
 Vamos verificar a regra para a soma de duas funções.
PROVA : Seja s(x) = f(x) + g(x), então
A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer 
número de funções. Por exemplo, usando este teorema duas 
vezes, obtemos
(f + g + h)’ = [(f + g) + h] ’ = (f + g)’ = h´= f ’ + g’ + h’
)(')(')(' xgxfxh += ( ) ( )[ ] ()[ ] ( )[ ]xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d +=+
( ) ( ) ( )
h
xshxs
xs
h
−+=
→0
lim' 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
xgxfhxghxf
xs
h
] [] [
lim'
0
+−+++=
→
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
xghxgxfhxf
xs
h
] [] [ 
lim'
0
−++−+=
→
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−++−+=
→→ h
xghxg
h
xfhxf
xs
hh
] [
lim
] [
lim'
00
 ( ) ( )xgxf '' + 
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Escrevendo f – g como f + (- 1)g e aplicando a Regra da Soma e 
a Regra do Múltiplo Constante, obtemos a seguinte fórmula
5·Regra da Diferença
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
ou
As três regras podem ser combinadas com a Regra da Potência 
para diferenciar qualquer polinômio.
Exemplos:
1º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) ( ) 3
2 5
5 t
t
tg += 
 
( ) 



 += −32 5
5
1
' tt
dx
d
tg (Reescrevendo 3
1
t
 como t -3) 
 
415
5
2
)(' −−= tttg 
 
4
5
5
752
)('
t
t
tg
−= (Reescrevendo t -4 como 4
1
t
 e simplificando) 
0)1(6)3(10)4(4)5(128)('
0)1(6)3(10)4(4)5(128)('
5610412)(
2447
1113141518
3458
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=
−−−−−
xxxxxf
xxxxxxf
xxxxxxf
63016608)(' 2347 −+−+= xxxxxf
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3º) Seja f(x) = 3x² + 2x. Determine: (a) f ’(-2) e (b) f ’(4)
a) f ’(- 2) = 6(- 2) + 2 = -10 b) f ’(4) = 6(4) + 2 = 26
4º) Ache os pontos sobre a curva y = x 4 – 6x 2 + 4 onde a reta 
tangente é horizontal.
Solução 
As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é zero. 
Temos
Assim dy/dx = 0 se x = 0 ou x 2 – 3 = 0, isto é, x = ± . Logo, a 
curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, e - . 
Os pontos correspondentes são (0,4), ( ,-5) e (- ,-5). Veja a 
figura abaixo
x
- 5,-( )3 - 5,3( )
(0,4)
y
=+= − 2)2(3)(' 12xxf 26 +x
( ) ( ) ( ) =+−=+−= 012446 324 xx
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
dx
dy ( )34 2 −⋅ xx 
3
3
3 3 3
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: 
Harbra,1988.
STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.