Apostila Fatoração, Racionalização, Funções, Limites e Derivada

Prévia do material em texto

1 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
POLI 
MATEMÁTICA BÁSICA 
PROF. CLÁUDIO MACIEL 
Fatoração: 
)(....).).((...
)).().((
)).(.(
)).((
)).((
)).((
).(
210
1
1
321
23
21
2
2233
2233
22
nn
n
n
n
n xxxxxxaaxaxa
xxxxxxadcxbxax
xxxxacbxax
babababa
babababa
bababa
cbaacab
−−−=+++
−−−=+++
−−=++
++−=−
+−+=+
−+=−
+=+
−
−
 
 
1º) Fatore e simplifique 
 
812272
41252)
254
45)
4472
12124)
584
463)
132
243)
38
96)
2
33)
1
32)
1252
3116)
252
352)
6
34)
8
16)
4
8)
1
1)
2
4)
234
234
23
234
23
234
23
23
23
23
3
3
23
23
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
3
2
3
2
2
−−++
−−−+
+++
++−−
−++
−−++
−+−
−+−
+−
+−−
−−
−−
+−
−−+
+
−−
−−
++
+−
−+
−−
+−
−
−
−
+
−
−
−
−
xxxx
xxxxq
xxx
xxxxp
xxx
xxxx
o
xxx
xxx
m
xx
xxxl
xx
xxj
xx
xxxi
x
xxh
xx
xxg
xx
xxf
xx
xx
e
x
xd
x
x
c
x
xb
xx
x
a
 
 
Racionalização 
 
2º) Racionalize e simplifique . (a + b) . (a – b ) = a2 – b2 
 
23
3333)
232
4)
23
23)
9
12)
1
103)
1
12)11)
121)
1
23)11)
3
21)
2
222
2
22
2
+−
−+−+−
−−+
−
+−
−+
−
+−
−
−−
−
+−+−−+
−−−
−
−+−−
−
−+
xx
xxxxl
xx
xj
xx
xi
x
xh
x
xg
x
xxf
x
xx
e
x
xxd
x
x
c
x
xb
x
x
a
 
 
 
3º) Racionalize e simplifique . 
3322
3322
)).((
)).((
babababa
babababa
−=++−
+=+−+
 
 
 
2 
 
2
3 23
33
228)11)
132
1)
153
2)
xx
xxd
x
x
c
x
xb
x
x
a
−
−+−−−
−+
+
−−
−
 
4º) Simplifique . 
 
4
8)
12
345)
321
232)
131
11)
22
312)
11
443)
102
104)
314
223)
333
3
3
3
−
−
+−
−+
++
−−
−+
−−
−−
−+
−+
+−+
−−
+−
−+
−−
x
xh
x
xg
x
xf
x
x
e
x
xd
x
xx
c
x
xb
x
x
a
 
 
 
RELAÇÕES BINÁRIAS 
 
1º) Dados os conjuntos }82/{}61/{ ≤≤∈=≤≤∈= xNxBexNxA , escrever 
por extensão as seguintes relações binárias de A em B. 
 
}7/),{()
}2/),{()
}2/),{()
}/),{()
=+∈=
+=∈=
=∈=
=∈=
yxAxByxVd
xyAxByxTc
xyAxByxSb
yxAxByxRa
 
 
2º) Escreva por extensão as relações binárias para }6/{ ≤∈= xNxA 
 
}2/),{()
}1)3(/),{()
}102/),{()
}8/),{()
2
22
2
2
xyAyxUd
xyAyxTc
yxAyxSb
yxAyxRa
=∈=
+−=∈=
=+∈=
=+∈=
 
 
 
 
FUNÇÃO. 
 )),(|!,(: fyxByAxBAf ∈∈∃∈∀⇔→ 
 
Funções Elementares 
 
I) Função Afim ( 1º Grau ) 
 
Este modelo, na sua expressão analítica da forma y = ax + b, representa a 
função linear ou linear afim, de R em R , onde a e b são constantes, com a ≠ 0. 
 
0,
:
≠+=→
→
abaxyx
RRf
 
 
O gráfico: é sempre uma reta 
O número real a, coeficiente de x, chama-se coeficiente angular ou declividade 
da reta. 
 
3 
 
O termo constante b chama-se coeficiente linear da reta; ele representa a 
ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo dos y. 
 
 
Comportamento: Crescente / Decrescente. 
 
I ) A função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente 
angular a for positivo 
 
II ) I ) A função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente 
angular a for negativo 
 
 
Sinal da função afim 
 
Seja f(x) = ax + b e x1 = - b/a ( zero da função) 
 
 • 
 c/a x1 m/a 
 
m/a : mesmo sinal de a c/a : sinal contrário de a 
 
 
Exercícios: 
 
1º) Verifique o crescimento / decréscimo das funções : 
 
a) f(x) = 3x – 2 b) f(x) = – 4x + 3 
 
2º) Estude, segundo os valores do parâmetro m, a variação ( crescente, 
decrescente ou constante ) da função 
 
 a) y = (m – 1) x + 2 b) y = ( 4 – m ) x + 3 
 c) y = 4 – (m+3) x d) y = m( x – 1) + 3 – x 
 
3º) Seja a função de R em R definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores 
do domínio da função que produzem imagens maiores que 2. 
 
4º) Esboce o gráfico e verifique que a função f(x) = 2x + 1 é crescente e que 
g(x) = – 2x + 1 é decrescente 
 
5º) Esboce o gráfico das seguintes funções. 
xyfxyexxgd
x
xfcxybxya
23)6)23)()
4
2
)()43)12)
−=+=−=
+−=−−=−=
 
 
6º) Determine o ponto e interseção dos gráficos das funções: 
 
f(x) = – 3x + 2 e g(x) = x + 8. 
f(x) = 4x – 3 e g(x) = –x + 2 
 
4 
 
f(x) = 2x + 4 e g(x) = 5x – 3 
f(x) = 2 + 3x e g(x) = 8x + 1 
 
 
7º) Resolver as inequações. 
 
 
2
43
25)1
43
35)
0
13
23)0
15
43)
0)83()0)71()
0)34()0)54()
0)15()0)53()
0)83()0)3()
0)35).(14).(23()0)34).(2).(25()
0)72).(16()0)35).(33()
6
13
3
35
2
32)
2
1
3
2)
1
4
3
2
1))12(3)1(52)1(3)
32)1(2)3(5)3254)
063)032)
52
54
32
34
<
+
−
−>
−
−
≤
+
−−≥
+
−
≥−≤−
≥+<−
≤+≥+
<+>−
≥++−>+−+
≥+−>−+
−<
−
−
−≥−−+
≥−−−−−−≥−+
+≤+−+−>+
<+−>+
x
x
z
x
xy
x
x
x
x
x
v
xuxt
xsxr
xqxp
xoxn
xxxmxxxl
xxjxxi
x
xxhxxxg
xxfxxxe
xxxdxxc
xbxa
 
 
 
 
 
Função Quadrática ( 2º Grau) 
 
O modelo, na sua expressão analítica, da forma y = ax2 + bx + c representa a 
função quadrática ou polinomial do segundo grau, de R em R , onde a, b e c 
são constantes, com a ≠ 0. 
 
0
:
2 ≠++=→
→
acbxaxyx
RRf
 
 
 
O coeficiente a chama-se o coeficiente dominante do trinômio. 
O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta 
a
b
x
2
−
= perpendicular 
ao eixo x e que passa pelo vértice. 
 
 
Zeros da função y = ax2 + bx + c 
 
 
5 
 
 acb
a
b
x 4,
2
2
−=∆∆±−= 
 
 
Intercepto y = (o,c) Vértice ( xv, yv) 
 
a
ye
a
b
x vv 42
∆−
=
−
= 
 
 
Discriminante do trinômio do segundo grau: 
 
Número de zeros da função: 
 
1º) A equação apresentará duas raízes reais distintas. 
 
a
b
xe
a
b
x
22
,0 21
∆−−
=
∆+−
=>∆ 
2º) A equação apresentará duas raízes reais iguais. 
a
b
xx
2
,0 21
−
===∆ 
3º) A equação não apresenta raízes reais. 
 
 R∉∆<∆ ,0 
 
 
Máximos e Mínimos. 
 
Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite o valor máximo 
a
b
xpara
a
y MM 24
−
=
∆−
= 
 
Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite o valor mínimo 
a
b
xpara
a
y mm 24
−
=
∆−
= 
 
 
Estudo do sinal : x1 e x2 zeros da função 
 
0>∆ 
 • • 
 n/a x1 c/a x2 m/a 
 
 
0=∆ 
 • 
 c/a x1 m/a 
 
 
6 
 
0<∆ 
 
 
 m/a 
 
Exercícios: 
 
1º) Esboce o gráfico da função quadrática, definida por: 
 
a) f(x) = x2 – 6x + 9 b) f(x) = x2 – 2x – 3 c) f(x) = – x2 + 2x – 4 
 
d) y = x2 – 4x + 3 e) y = – x2 + 4x – 4 f) y = – x2 + x – 
 
 
2º) Determine os valores de m para que a função quadrática 
 f(x) = mx2+ (2m – 1)x + ( m – 2) tenha dois zeros reais e distintos. 
 
3º) Dada a função f(x) = 2x2 + 7x – 15, para que valor de x a função atinge o 
máximo? 
 
4º) Determine o valor de m na função real f(x) = ( m – 1) x2 + ( m + 1) x – m 
para que o valor mínimo seja 1. 
 
5º) Resolver as inequações. 
 
2
273
542)1
107
163)
0
273
299)0
232
54)
0362)022)
0)572).(672()0)32).(41()
0542)0144)
0333)03148)
073)0383)
09124)06)
096)023)
2
2
2
2
2
2
2
2
2323
2222
22
22
22
22
22
−<
++
++≥
−+−
−+
≤
++
−+−
>
−−
−+
≤−+−>+−−
≤+−+−>+−
<+−<+−
<−+−≤+−
>++≤+−−
≥−+−>++−
≥+−>+−
xx
xx
s
xx
xx
r
xx
xxq
xx
xxp
xxxoxxxn
xxxxmxxxl
xxjxxi
xxhxxg
xxfxxe
xxdxxc
xxbxxa
 
 
 
Funções afins e quadráticas. 
 
 Esboce o gráfico das seguintes funções reais, definidas por: 
 
a) f(x) = x + 3 b) f(x) = 2x – 6 c) f(x) = – 3x + 2 
 
d) f(x) = 4 – 2x e) f(x) = x2 – 2x + 3 f) f(x) = 3x2 – 3x + 2 
 
 g) f(x) = – x2 + x – 1 h) f(x) = x2 – 3x i) f(x) = –x2 + 4x – 4 
 
7 
 
 
j) f(x) = 4x2–10x + 4 l) f(x) = 3x2 – 9x + 6 m) f(x) = x2 – 4 
 
n) f(x) = x – 5 o) f(x) = 4x + 7 p) f(x) = 3 – x 
 
Funções: Domínio. 
 



∈∀
>
=



∈∀
≥
=
≠=
∗Rbímparén
bparén
b
ay
Rbímparén
bparén
by
b
b
ay
n
n
,
0,
,)3
,
0,
,)2
0,)1
 
 
 
Exercicios 
 
1º) Determine o domínio das funções reais, definidas por: 
65
1)()
34
52)()4
3
24)()
1)()
1
23)()
42
3)()
122
5)()
4
1)()
62
1)()
22
3
23
+−
−
=
+−
+
=++
−
+−=
−
=
−
+−
=
−
+
=
−
−
=
−
=
−
=
xx
x
xfi
xx
x
xfhx
x
x
xxfg
xx
xff
x
x
xfe
x
x
xfd
x
x
xfc
x
xfb
x
xfa
3
54
3 2
3
32
5
2)()
4
3)()
9
1)()
5
2)()
7
53)()
4
62)()
7)()8)())4)()
8
2)()
9
3)()
5
2)()
+
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−=+=
−
+
=
−
=
−
−
=
−
=
x
x
xfu
x
xft
x
x
xfs
x
xfrxxfqxxfp
xxfoxxfnn
xx
x
xfm
x
x
xfl
x
x
xfk
x
xfj
 
 
2º) Dadas as funções reais, encontre os seus domínios. 
 
8 
 
 
152
1)()4
3
24)()
34
)82)(3()()
1
23)()
6
5)()
122
5)()
4
1)()1)()
2
2
3
2
22
2
22
−−
+−
=++
−
+−=
++
−+−
=
−
+−
=
−+
+−
=
−
−
=
−
=
−
=
xx
x
xfhx
x
x
xxfg
xx
xxx
xff
x
xx
xfe
xx
x
xfd
x
x
xfc
x
xfb
xx
xfa
 
 
 
Funções: Imagem 
2º) Simplifique px
px
pfxf
≠
−
−
,
)()(
, sendo dados: 
23)()31)()
21)()11)()
1)()2)()
0)()1)()
2
2
33
22
−=−===
====
==−==
====
pexxxfhpe
x
xfg
pe
x
xffpe
x
xfe
pexxfdpexxfc
pexxfbpexxfa
 
 
3º) Simplifique 0,)()( ≠−+ h
h
xfhxf
, sendo f(x) definida por. 
xxxxfhxxxfg
xxxffxxfexxxfd
xxfcxxfbxxfa
−+=+=
+−=+−=+=
+−=−=+=
233
222
)()2)()
32)()5)()3)()
42)()83)()12)()
 
 
Função Composição 
 
1º) Sejam as funções reais f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 – 1 e h(x) = 3x + 2. Obtenha: 
 
a) fog b) hof c) gof d) (hog)of e) ho(gof) 
 
2º) Sejam f e g funções reais tais que f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Determine a 
relação entre a,b,c e d de modo que fog = gof. 
 
 
3º) Sejam f(x) = 2x + 7 e (fog)(x) = x2 – 2x + 3. Determine g(x). 
 
 
 
Função Inversa 
 
1º) Dadas as funções f e g, determine a função inversa de gof. 
 
9 
 
 
4)(,:1)(,:
}2/{}1/{)
94)(,:3)(,:
}
4
9/{}
2
3/{)
}4/{:)(,:)
32)(,:)(,:)
53)(,:14)(,:)
2
2
2
3
+=→−=→
≥∈=≥∈=
+=→−=→
−≥∈=≥∈=
≤∈→=→
+=→=→
−=→+=→
++
+
+++
xxgBRgexxfRAf
xRxBexRxAe
xxgRBgexxxfBAf
xRxBexRxAd
xRxRgexxfRRfc
xxgRRgexxfRRfb
xxgRRgexxfRRfa
 
 
 
 
2º) Obtenha a função inversa 
 
34)(},1/{}2/{:)
22)(},1/{}1/{:)
32)(},2/{}1/{:)
22)(},1/{}1/{:)
1
32)(
3
3)(
}2{}1{:)}1{}3{:)
2
2
2
2
+−=−≥∈→≤∈
++=≥∈→−≥∈
+−=≥∈→≥∈
++=≥∈→−≤∈
+
+
=
−
+
=
−→−−−→−
xxxfyRyRxff
xxxfyRyxRxfe
xxxfyRyxRxfd
xxxfyRyxRxfc
x
x
xf
x
x
xf
RRfbRRfa
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
10,
: *
≠<=→
→ +
aayx
RRf
x
 )(exp
...718281,2,
xyouey
eeaPara
x
==
==
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
10,log
: *
≠<=→
→+
axyx
RRf
a
 
xyouxy
eeaPara
e lnlog
...718281,2,
==
==
 
 
Exercícios: 
 
1º) Esboce o gráfico da função: 
 
a) y = 6x b) y = 5 – x c) y = ex – 2 d) y = 3x – 2 
 
e) y = – 5x f) y = 4x + 1 g) y = 3 – x – 1 h) y = – 2x +1 
 
10 
 
 
2º) Esboce o gráfico. 
 
 a) y = ln x b) y = 2 + ln x c) y = – ln x d) y = ln ( x + 2) 
 
 e) y = – ln ( x – 1) d) y = log2 x + 2 e) y = log1/3 x + 1 f) y = log (x -1) 
 
 
Propriedades do logaritmo 
 
AnA
BABA
BABA
a
n
a
aaa
aaa
log.log
loglog)/(log
loglog).(log
=
−=
+=
 
 
 
3º) Escreva a expressão E como o logaritmo de um único número. 
 
a) E = ln ( x – 2) – ln (x + 2) b) E = ln ( 2x + 1) + ln ( 2x -1) 
 
c) E = 3 ln x + 2 ln y – 4ln z d) E = 1/3 [ 2 ln ( x+ 3) + ln x – ln ( x2 -1) ] 
 
e) E = 2 [ ln x – ln ( x + 1) ] – 3 [ ln x – ln ( x – 1 ) ] 
 
 
4º) Mostre analiticamente que as funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra. 
3ln)()()ln
2
1)(12)()
)1(ln)(1)()ln)(2)()
3 xxgeexfdxxgexexfc
xxgexexfbxxgexexfa
x
==+=−=
+=−===
 
Limites: 
 
Propriedades: 
,...6,5,4,3,2,)(lim)(lim)8
0)(,)(lim
)(lim
)(
)(lim)7)(lim)(lim)6
)(lim.)(lim))(.)((lim)5)(lim)(lim))()((lim)4
)(lim.)(lim)3lim)2lim)1
==
≠=




=
=+=+
===
→→
→
→
→→→
→→→→→→
→→→→
nxfxf
xg
xg
xf
xg
xf
xfxf
xgxfxgxfxgxfxgxf
xfcxfcaxcc
n
ax
n
ax
ax
ax
ax
n
ax
n
ax
axaxaxaxaxax
axaxaxax
 
 
Exercícios: 
1º) Calcule os limites. 
 
11 
 
2
2
23
4
2
3
2
2
2
1
3
2
23
2
22
1
2
1
2
2
292
523lim)
12
32lim)
46
232lim)
45
432lim)
34
232lim)
23
12lim)
34
32lim))253(lim)






+−
−−−
+
−+
−
++
−
−+
++
+−+






−
+−
−
−+
+−
→−→−−→
−→→−→→
xx
xxxh
x
xxg
x
xxf
x
xx
e
xx
xxxd
x
xx
c
x
xxbxxa
xxxx
xxxx
 
1
32lim)
1252
3116lim)
252
352lim)
6
34lim)
8
16lim)
4
8lim)
1
1lim)
2
4lim)
2
02
2
22
2
12
2
1
3
4
02
3
32
3
22
2
1
+
−−
−−
++
+−
−+
−−
+−
−
−
−
+
−
−
−
−
→−→−→→
→−→→→
x
xxq
xx
xxp
xx
xx
o
xx
xx
n
x
x
m
x
xl
x
xj
xx
xi
xxxx
xxxx
 
2
3 2
0
3
13331 3
228lim)11lim)
162
1lim)
153
2lim)
x
xx
u
x
x
t
x
x
s
x
x
r
xxxx
−
−+−−−
−−
+
−+
−
→→→→
 
 
 
 
 
2º) Calcule os limites. 
 
812272
41252lim)
254
45lim)
4472
12124lim)
584
463lim)
132
243lim)
38
96lim)
2
33lim)
1
32lim)
1252
3116lim)
252352lim)
6
34lim)
8
16lim)
4
8lim)
1
1lim)
2
4lim)
234
234
1
23
234
323
234
1
23
23
023
23
23
3
2
23
23
3
2
42
2
3
2
2
22
2
13
4
0
2
3
42
3
22
2
3
−−++
−−−+
+++
++−−
−++
−−++
−+−
−+−
+−
+−−
−−
−−
+−
−−+
+
−−
−−
++
+−
−+
−−
+−
−
−
−
+
−
−
−
−
→
→−→
→−→→
−→−→−→
→−→→
−→→→
xxxx
xxxxq
xxx
xxxxp
xxx
xxxx
o
xxx
xxx
m
xx
xxxl
xx
xxj
xx
xxxi
x
xxh
xx
xxg
xx
xxf
xx
xx
e
x
xd
x
x
c
x
xb
xx
x
a
x
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
 
 
 
 
3º) Calcule os limites. 
 
 
12 
 
23
3333lim)
232
4lim)
23
23lim)
9
12lim)
1
103lim)
1
12lim)11lim)
121lim)
1
23lim)11lim)
3
21lim)
2
22
1
2
221
232110
2
0103
+−
−+−+−
−−+
−
+−
−+
−
+−
−
−−
−
+−−−+
−−−
−
−+−−
−
−+
→→→
→→→→
→→→→
xx
xxxxl
xx
xj
xx
xi
x
xh
x
xg
x
xxf
x
xx
e
x
xxd
x
x
c
x
xb
x
x
a
xxx
xxxx
xxxx
 
 
4º) Calcule os limites. 
 
2
3 2
0
3
03132
228lim)11lim)
132
1lim)
153
2lim)
xx
xxd
x
x
c
x
xb
x
x
a
xxxx
−
−+−−−
−+
+
−−
−
→→−→→
 
 
 
 
 
5º) Calcule os limites. 
 
4
8lim)
12
345lim)
321
232lim)
131
11lim)
22
312lim)
11
443lim)
102
104lim)
314
223lim)
364313
3
23
3
0
4062
−
−
+−
−+
++
−−
−+
−−
−−
−+
−+
+−+
−−
+−
−+
−−
→→−→→
→→→→
x
xh
x
xg
x
xf
x
x
e
x
xd
x
xx
c
x
xb
x
x
a
xxxx
xxxx
 
 
6º) Calcule os limites: 
x
xxxxxxf
x
xxxxxx
e
x
xxxd
x
xxx
c
x
xb
x
xxx
a
xx
xxxx
∆
+−−+∆+−∆+
∆
−−∆+−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
→∆→∆
→∆→∆→∆→∆
)12(1)(2)(lim))5()(5)(lim)
lim))(lim)1)1(lim)2)(2lim)
22
0
22
0
0
33
0
3
00