Exercicios - espaços vetoriais

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Lista: Espaços Vetoriais, subespaços, espaços gerados, base. 
 
1) Verifique se o conjunto { }1 2( , ,..., ) |n n iV x x x x= = ∈ℝ ℝ é um espaço vetorial. 
2) Verifique se as matrizes M(nxn) e as matrizes quadradas M(n,n) são espaços vetoriais. 
3) Verifique se { }22 0 1 2 | 0,1, 2jP a a x a x a e j= + + ∈ =ℝ é espaço vetorial. 
4) Seja o conjunto R²={(a,b)|a, b ∈R}, verifique se o conjunto R² é um espaço vetorial em 
relação ás operações assim definidas: 
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) 
k(a,b)=(a,kb) 
5) Seja o conjunto R²={(x,y)|x,y ∈R}, verifique se o conjunto R² é um espaço vetorial em 
relação ás operações assim definidas: 
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2) 
k(x,y)=(kx,0) 
6) Seja o conjunto R³={(x,y,z)|x,y,z ∈R}, verifique se o conjunto R³ é um espaço vetorial 
em relação ás operações assim definidas: 
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2, y1+y2,z1+z2) 
k(x,y,z)=(kx,y,z) 
7) Seja o conjunto R²={(x,y)|x,y ∈R}, verifique se o conjunto R² é um espaço vetorial em 
relação ás operações assim definidas: 
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2) 
k(x,y)=(2kx, 2ky) 
8) Sejam os vetores v1=(1,-2,1), v2=(0,1,2) e v3=(2,-1,0). Escrever o vetor v=(5,-5,7) como 
combinação linear de v1,v2 e v3. 
9) Verifique se o subconjunto {(2,-1,0),(-1,3,0),(3,5,0)} do R
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 é LI ou LD. 
10) Encontre o subespaço vetorial de ( )2M ℝ gerado por 
0 1 0 0
,
0 0 1 0
S
    
=     −    
 . 
11) Sendo ( )2V M= ℝ e 1 ; ,
0 0
a b
W a b
  
= ∈  
  
ℝ e 2
0
; ,
0
b
W b c
c
  
= ∈  
  
ℝ subespaços 
vetoriais de V. Determine o subespaço 1 2W W∩ . 
12) Prove o teorema: Se 1 2 W e W são subespaços vetoriais de V então 1 2 + W W também é 
um subespaço vetorial de V. 
13) O conjunto B={(3,6),(2,4)} é uma base do R²? Justifique sua resposta. 
14) Verificar se o subconjunto S é subespaço de M(2,2), dado S= �� � �−� ��, a, b, c	 ∈ 	R�. 
15) Escrever a matriz �−5 01 8� como combinação linear das matrizes 
�1 00 1� , �
0 1
2 0� , �
0 0
3 2� , �
3 0
0 0�. 
16) Determinar o valor de z, para que o vetor v=(1,-2,k) seja uma combinação linear dos 
vetores v1=(3,0,-2) e v2=(2,-1,-5). 
17) Determine o subespaço gerado pelos vetores v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1). 
18) Verifique se o conjunto { } 41 2 3, ,A v v v= ⊂ ℝ é LI ou LD, sendo 
( ) ( ) ( )1 2 3v 6, 2,3, 4 , v 0,5, 3,1 e v 0,0,7, 2= = − = − .