Aula 1 Eixo, Chaveta e Acoplamento

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27/05/2012 
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Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont 
 
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos 
contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes 
livros: 
-PROJETOS de MÁQUINAS-Robert L. Norton- 
Ed. BOOKMAN-2ª edição-2004 
-ELEMENTOS DE MÁQUINAS DE SHIGLEY-
Richard G. Budynas & J. Keith Nisbett 
Editora McGraw-Hill -8ª edição-2008 
-FUNDAMENTOS do PROJETO de COMP de 
MÁQUINAS-Robert C. Juvinall - Ed.LTC -4ª 
edição-2008 
-PROJETO MECÂNICO de ELEMENTOS de 
MÁQUINAS-Jack A. Collins-Ed. LTC-1ª edição-
2006 
CIÊNCIA e ENGENHARIA dos MATERIAIS 
Donald R. Askeland - Editora CENGAPE 
LEARNING-1ª edição-2008 
-PRINCÍPIOS de CIÊNCIA e ENGENHARIA 
dos MATERIAIS- William F. Smith 
Editora McGraw-Hill -3ª edição-1996 
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EIXOS 
CHAVETAS 
E 
ACOPLAMENTO 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
7.1-INTRODUÇÃO 
Os eixos estão presentes em várias máquinas e equipamentos, transmitindo 
movimento de rotação ou torque de uma posição para outra, ou ainda como apoio 
de rodas ou outros mecanismos. 
Fixados ao eixo podemos ter engrenagens, polias, catracas, volantes, etc. 
O projeto de eixos envolve: 
• Seleção do Material; 
• Layout da Geometria; 
• Determinação das Tensões e Deformações (estáticas e de fadiga); 
• Determinação das Deflexões (de flexão e de torção); 
• Determinação das Declividades em Mancais de Apoio; 
• Determinação das Velocidades Críticas. 
 
Não existe nenhuma particularidade que requeira um tratamento especial para o 
projeto de eixos, além dos métodos básicos já vistos. Porém, devido a presença de 
eixos em tantas aplicações de máquinas, é vantajoso se fazer um estudo específico 
para a sua concepção e a dos componentes a eles conectados. 
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7.2- CARGA EM EIXOS 
Os eixos rotativos sujeitos a flexão estão submetidos a um estado de tensões 
completamente reversas. Assim, o modelo de falha predominante para eixos 
girantes é a falha por fadiga. Se as cargas transversais ou torques variam no tempo, 
a carga de fadiga fica mais complexa, mas os princípios de projeto à fadiga 
permanecem os mesmos. 
Será abordado primordialmente o caso geral, que possibilita a existência de 
componentes fixas e variáveis no tempo para as cargas de flexão e de torção. 
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7.3- CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
É comum que os eixos apresentem ressaltos, onde o diâmetro mude para acomodar 
mancais, engrenagens, polias, catracas, volantes, etc. Além disso, a presença de 
chavetas, anéis retentores e pinos transversais são comuns em eixos. Estes 
elementos geram no eixo, concentrações de tensões e, portanto, boas técnicas de 
engenharia devem ser utilizadas para minimizar estes efeitos. 
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7.4 – MATERIAIS PARA EIXOS 
Para minimizar as deflexões, uma escolha lógica é o aço, que apresenta alta 
rigidez, representada pelo seu módulo de elasticidade, que é essencialmente 
constante para todos os aços. Algumas vezes se utiliza o ferro fundido ou nodular, 
especialmente quando engrenagens ou outras junções forem integralmente 
fundidas com o eixo. Em ambientes marítimos ou corrosivos, lança-se mão de 
bronze, aço inoxidável, titânio ou inconel. 
A maioria dos eixos de máquinas são construídos de aço de baixo e médio 
carbono (ANSI 1020-1050: laminados a frio ou a quente). Se uma maior 
resistência é necessária, aços de baixa liga como o AISI 4140, 4340 ou 8640 
podem ser selecionados, utilizando-se tratamentos térmicos adequados para se 
obter as propriedades desejadas. 
Os aços laminados a frio têm sua maior aplicação em eixos de diâmetros abaixo 
de 3 in (75mm) e os laminados a quente para diâmetros maiores. Os aços 
laminados a frio têm propriedades mecânicas mais elevadas que os laminados à 
quente, devido ao encruamento a frio, porém surgem tensões residuais de tração 
na superfície, que são indesejáveis. 
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7.5- TENSÕES NO EIXO 
As tensões de interesse são calculadas para os pontos críticos do eixo. As tensões de 
flexão média e alternada máximas estão na superfície e calculadas através das 
expressões: 
Para um eixo circular sólido: 
Se uma componente de força axial Fz estiver presente, terá uma componente 
média : 
Lembrando que: 
f
PP
T
fTTP


2
2


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7.5b- TENSÕES NO EIXO 
Para carregamento combinado de flexão e torção, geralmente segue uma relação 
elíptica e os materiais frágeis falham com base na tensão principal máxima. 
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7.6- PROJETO DO EIXO 
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7.6a- PROJETO DO EIXO 
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7.6b- PROJETO DO EIXO 
PARA FLEXÃO ALTERNADA E TORÇÃO FIXA: este é um subconjunto do 
caso geral de flexão e torção variadas. É considerado um caso de fadiga 
multiaxial simples. O dimensionamento pelo método ASME, utiliza a curva 
elíptica da figura abaixo como envelope de falha: 
Partindo da eq. da elípse: 
Introduzindo-se um coeficiente de 
segurança: 
Lembrando da relação de 
von Mises (p/cis. Puro): 
Substituindo a e τm, 
encontramos: 
Resolvendo para d: 
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7.6c- PROJETO DO EIXO 
PARA FLEXÃO VARIADA E TORÇÃO VARIADA: quando o torque não é 
constante, sua componente alternada cria um estado de tensão multiaxial 
complexo no eixo. 
Encontramos as tensões equivalentes de von Mises: 
Estas tensões equivalentes são introduzida em um DMG para o 
material escolhido, a fim de se encontrar o fator de segurança. 
Para o propósito de projeto, deseja-se o diâmetro do eixo e, neste caso, várias 
iterações são necessárias para encontrá-lo, o que torna a tarefa enfadonha, exceto 
com o uso de programas computacionais. Se um caso particular de falha for 
admitido para o DMG, as equações podem ser manipuladas para se encontrar uma 
equação de projeto para d. Por exemplo, se supormos carga axial zero e uma 
razão constante entre o valor da carga alternada e média, encontramos: 
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7.7- DEFLEXÃO DO EIXO 
Eixos estão submetidos a deflexão por flexão e por torção, que precisam ser 
controladas. No caso de flexão, ele é considerado como uma viga e o único fator 
de complicação para integração da equação da linha elástica é que, em função dos 
ressaltos, o momento de inércia também varia ao longo do comprimento do eixo . 
Se os cargas e momentos variarem ao longo do tempo, devemos utilizar os 
maiores valores para calcular as deflexões. 
 
Para a Torção: (constante de mola) 
Para a Flexão: o eixo é considerado como uma viga e calculamos a declividade 
e a flecha a partir da equação do momento fletor. 
Qualquer coleção de seções adjacentes, de diâmetros diferente, diferentes 
momentos polares, podem ser consideradas como um conjunto de molas em série: 
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7.8- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS 
Todos os sistemas que contêm elementos de armazenamento de energia possuirão 
um conjunto de frequências naturais nas quais o sistema vibrará com amplitudes 
potencialmente grandes. Quando um sistema dinâmico vibra, uma transferência 
de energia ocorrerá repetidamente dentro dosistema, de potencial a cinética e 
vice-versa. Se um eixo estiver sujeito a uma carga que varia no tempo ele vibrará. 
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7.8a- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS 
A frequência natural é dada por: 
Existem três tipos de vibrações de eixo preocupantes: vibração lateral, rodopio 
do eixo e vibração torcional. Os dois primeiros se devem á deflexões por flexão e 
o terceiro à deflexões torcionais. 
Uma análise completa das frequências naturais de um eixo é um problema 
complicado e é mais facilmente resolvido com ajuda de programas de Análise de 
Elementos Finitos. 
Vibração Lateral: O método de Rayleigh dá uma idéia aproximada de pelo 
menos uma frequência natural e se baseia na igualdade da energia potencial e 
cinética do sistema. 
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7.8b- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS 
Rodopio do Eixo: é um fenômeno de vibração auto-excitada ao qual todos os 
eixos estão potencialmente sujeitos. 
Vibração Torcional: da mesma maneira que um eixo pode vibrar lateralmente, 
ele também pode vibrar torcionalmente e terá uma ou mais frequências torcionais 
naturais. Para um único disco montado em um eixo: 
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7.8c- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS 
Vibração Torcional: para dois discos em um mesmo eixo: 
Vibração Torcional: para discos múltiplos em um mesmo eixo: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1) 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
1. Torque: 
2. Forças na polia: 
3. Força no dente da engrenagem: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
4. Reações nos mancais: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
5. Equações e Diagramas de 
Esforço Cortante e Momento 
Fletor: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
6. Análise dos Pontos Críticos: 
7. Escolha do Material e Determinação do Limite de Fadiga: partimos 
inicialmente de um aço de baixo custo, como o AISI-1020, laminado a frio que 
tem uma baixa sensibilidade ao entalhe: e 
8. Sensibilidade ao Entalhe (Eq. 6.13 
ou Fig. 6.36 do Norton), admitindo-se o 
raio do entalhe r=0,01 in, teremos para 
flexão e para torção, respectivamente: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
9. Fatores de Concentração de Tensão por Fadiga para o Ponto B: 
10. Para o ponto C, temos: 
Pela eq. 6.17, devemos utilizar o mesmo fator para a 
componente de tensão média torcional: 
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7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT) 
11. Para o ponto D: 
12. Observamos que o menor diâmetro a ser 
utilizado é de 0,531 in, calculado para o ponto C. 
Como neste ponto do eixo existe um mancal de 
rolamento, devemos encontrar o próximo diâmetro 
padronizado para esta parte do eixo, que é de 0,591 
in (15mm). A partir deste valor, podemos escolher: 
d3=0,50 in, d1=0,625 in e, finalmente, escolhemos o 
diâmetro do tarugo que será também o d0=0,75 in. 
Os cálculos dos C.S. e concentrações de tensão 
podem agora serem recalculados com base nas 
dimensões reais. 
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7.10- EXEMPLO (NORTON 9-2) 
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7.10- EXEMPLO (NORTON 9-2-CONT) 
O problema é igual ao do ex. 9.1, só que agora o torque e o momento variam no 
tempo, de modo repetitivo, com suas componentes médias e alternadas de iguais 
magnitudes, conforme mostrados nos diagramas abaixo: 
Observe que temos os mesmos três pontos 
de interesse: B, C e D. Porém, como as 
cargas torcionais não são constantes, não 
podemos utilizar o método da ASME e sim a 
eq. 9.8. 
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7.10- EXEMPLO (NORTON 9-2-CONT) 
- Ponto B: 
- Ponto C: 
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7.10- EXEMPLO (NORTON 9-2-CONT) 
- Ponto D: 
Mais uma vez, o ponto C irá determinar o diâmetro do eixo, com 0,632 in, que em 
função do mancal de rolamento deve ser padronizado em 0,669 in (17mm). A partir 
deste valor, escolhemos: d3=0,531 in, d1=0,750 in e, finalmente, escolhemos o 
diâmetro do tarugo que será também o d0=0,875 in. 
Os cálculos dos C.S. e concentrações de tensão podem agora serem recalculados 
com base nas dimensões reais. 
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7.10- EXEMPLO (NORTON 9-2-CONT) 
Comparação dos diâmetros encontrados nos exemplos 9-1 e 9-2: 
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7.11- EXEMPLO (NORTON 9-3) 
Projetar o mesmo eixo do 
exemplo 9-2 para ter uma 
deflexão máxima de 0,002 in e 
uma declividade máxima de 
0,5º entre a polia e a 
engrenagem. 
O carregamento é o mesmo do 
ex. 9-2, o torque de pico é 146 
lb.in. A fig. 9-9 mostra a 
distribuição do momento de 
pico ao longo do comprimento 
do eixo. Os valores são 65,6 
lb.in no ponto B, 127,9 lb.in 
no ponto C e 18,3 lb.in no 
ponto D. 
Os comprimentos e o material 
serão mantidos os mesmos do 
exemplo 9-2. 
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7.11- EXEMPLO (NORTON 9-3-CONT) 
1. Inicialmente vamos calcular o momento polar de inércia para cada trecho: 
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7.11- EXEMPLO (NORTON 9-3-CONT) 
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7.12- EXEMPLO (NORTON 9-8) 
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7.12- EXEMPLO (NORTON 9-8-CONT.) 
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7.13- CHAVETAS 
As chavetas são 
padronizadas pelo 
tamanho e pela 
forma em vários 
estilos: 
As chavetas 
paralelas são 
usualmente as mais 
usadas. As 
padronizações da 
ANSI e ISO definem 
suas dimensões. As 
chavetas cônicas 
tem a mesma largura 
das paralelas e sua 
conicidade é 
padronizada em 
1/8in por ft. 
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7.13a- CHAVETAS 
As chavetas Woodruff (meia-lua) são usadas em eixos menores. São auto-
alinhantes, portanto são preferidas para eixos afunilados. 
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7.13b- CHAVETAS 
As chavetas falham por cisalhamento ou por esmagamento. Se o torque for 
constante, o coeficiente de segurança é calculado pelo quociente entre a tensão de 
escoamento do material pela tensão de cisalhamento atuante na chaveta. Se 
variável no tempo, o enfoque será calcular as componentes média e alternada da 
tensão de cisalhamento, calcular as tesões média e alternada de von Mises e 
utilizar um DMG para calcular o coeficiente de segurança. 
Os materiais mais comumente utilizados para chavetas são os aços brandos de 
baixo carbono. Se o ambiente for corrosivo, deve ser utilizado um material 
resistente à corrosão. 
Como a largura e a profundidade das chavetas são padronizados em função do 
diâmetro do eixo, ficamos somente com o comprimento da chaveta como variável 
de cálculo. 
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7.13c- CHAVETAS 
Fatores de concentraçãode tensão para um assento de chaveta, produzido por 
fresa de topo, em flexão. 
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7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4) 
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7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4-CONT.) 
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7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4-CONT.) 
Tensão de Esmagamento: 
Ponto D: 
Tensão de Esmagamento: 
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7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4-CONT.) 
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7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4-CONT.) 
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7.14- ESTRIAS 
São utilizadas quando é preciso transmitir mais torque do que pode ser passado 
pelas chavetas. Podem ser estrias de seção transversal quadrada ou de involuta. A 
SAE e a ANSI padronizam os eixos estriados. 
 A SAE considera que 25% dos 
dentes estão em contato, logo o 
comprimento da parte estriada é: 
 A área submetida a cisalhamento é: 
 A tensão de cisalhamento na 
estria é calculado por: 
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7.14a- ESTRIAS 
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7.15- AJUSTES DE INTERFERÊNCIA 
Também chamado de ajuste a pressão ou de encolhimento, são utilizadas 
quando não se quer utilizar chavetas ou estrias para interligar um eixo a um cubo. 
Pressão criada pela interferência: 
Torque que pode ser 
transmitido: 
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7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5) 
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7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5-CONT.) 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5-CONT.) 
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7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5-CONT.) 
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7.16- VOLANTES 
Os volantes são usados para minimizar as variações nas velocidades de 
determinadas máquinas, tais como compressores, motores de combustão, prensas, 
punções, esmagadores, etc., através do armazenamento e liberação de energia. 
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7.16a- PROJETO DE VOLANTES 
A energia cinética em um sistema em rotação é dada por: 
Onde Im é o momento de inércia da massa girante. 
t é a espessura 
do disco. 
Variação de Energia em um Sistema em Rotação: 
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7.16b- PROJETO DE VOLANTES 
Sendo: 
N1= velocidade máxima em rpm 
N2= velocidade mínima em rpm 
N= velocidade média em rpm 
O coeficiente de flutuação de velocidade é dado por: 
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7.16c- EXEMPLO (NORTON 9-6) 
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7.16c- EXEMPLO (NORTON 9-6-CONT) 
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7.16d- TENSÕES NOS VOLANTES 
Tensão tangencial causada 
pela força centrífuga: 
Tensão radial: 
Coeficiente de Segurança: 
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7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7) 
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7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7-CONT.) 
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7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7-CONT.) 
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7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7-CONT.) 
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7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7-CONT.) 
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7.17- ACOPLAMENTOS 
São elementos utilizados para interligação de eixos, tendo as seguintes funções: 
• Ligar eixos de mecanismos diferentes; 
• Permitir a sua separação para manutenção; 
• Ligar peças de eixos (que pelo seu comprimento não seja viável ou vantajosa a 
utilização de eixos inteiriços); 
• Minimizar as vibrações e choques transmitidas ao eixo movido ou motor; 
• Compensar desalinhamentos dos eixos ou introduzir flexibilidade mecânica. 
Os acoplamentos podem ser 
divididos em duas categorias gerais: 
os rígidos e os flexíveis ou 
complacentes. Nos acoplamentos 
rígidos, nenhum desalinhamento é 
permitido entre os eixos e são 
utilizados quando se necessita 
precisão e fidelidade de transmissão. 
São exemplos de aplicação: 
máquinas automatizadas e 
servomecanismos. 
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7.17a- ACOPLAMENTOS 
Os acoplamentos flexíveis permitem algum desalinhamento. Os desalinhamentos 
possíveis são: axial, angular, paralelo e torcional. Estes desalinhamentos podem 
surgir isolados ou combinados. 
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7.17b- ACOPLAMENTOS 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
7.17c- ACOPLAMENTOS