topografia enga50 aulas 03 e 04

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ENGA50 TOPOGRAFIA PROF. VIVIAN FERNANDES
Aula 03 e 04
Sistema de Coordenadas
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3. Sistema de Coordenadas
Um dos principais objetivos da Topografia → é a determinação de
coordenadas relativas de pontos.
Necessidade de que sejam expressas em um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas 
cartesianas
Sistema de coordenadas 
esféricas
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3.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas
Quando se posiciona um ponto → está se atribuindo coordenadas ao
mesmo.
Estas coordenadas deverão estar referenciadas a um sistema de
coordenadas.
Existem vários, ex. Sistema de coordenadas retangular, polar, esférico,
cilindrico, parabólico, etc.
Espaços:
-Bidimensional
-Tridimensional
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No espaço bidimensional → sistema de coordenadas retangulares ou
cartesiano.
Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas
retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o
cruzamento dos eixos X e Y.
Um ponto é definido neste sistema
através de uma coordenada
denominada abscissa (coordenada X)
e outra denominada ordenada
(coordenada Y).
Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y)
são utilizados para denominar um
ponto P com abscissa x e ordenada y.
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Na figura a seguir é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas 
da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e 
C(20,-15). 
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Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional
é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos
coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um
único ponto, denominado de origem.
A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas
cartesianas retangulares (x,y,z).
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Sistema de Coordenadas Polares
Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua 
localização no plano escrevendo P=(a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. 
Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do 
ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P≠O. 
Denotamos P=(r,θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte 
positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. 
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Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do
plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas
polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r.
O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar. 
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a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas.
Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 0<θ<π/2, do
triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações:
Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e
coordenadas polares (x,0) (r=x e θ=0). Assim, x = x.1 = r.cosθ e y = 0 = r.0 = r.senθ.
Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r.cosθ e y = r.senθ.
x
y
0
r
θ
x = r . cos (θ)
y = r . sen (θ)
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b) Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares 
x
y
0
r
θ
r = x2+y2
θ =arctang y
x
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3.2 Sistema de Coordenadas Esféricas
afastamento r entre a origem do sistema
ponto R considerado, pelo ângulo β formado 
entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste 
sobre o plano xy
ângulo α que a projeção do segmento OR 
sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX,
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3.3 Superfícies de referência
* MODELO ESFÉRICO:MODELO ESFÉRICO: Terra pode ser considerada uma esfera → Astronomia
Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas.
-Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano
contado desde o equador até o ponto considerado,
sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e
negativa no hemisfério Sul.
- Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador
contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o
meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude
varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a
-180º por oeste de Greenwich.
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* MODELO ELIPSOIDAL * MODELO ELIPSOIDAL 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução.
O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse
(geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor
tem-se um elipsóide achatado.
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b
(menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o
achatamento f, expresso pela equação:
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As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas:
Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo 
positiva para o Norte e negativa para o Sul. 
Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich
(origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.
A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.
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No Brasil, o atual Sistema Geodésico
Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de
Referência Geocêntrico para as AméricaS)
adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global
Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e
achatamento são:
a = 6.378.137,000 m 
f = 1/298,257222101 
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* MODELO GEOIDAL * 
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. 
*** É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado
através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. ***
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Na figura abaixo são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide. 
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O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo
utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide
até a superfície física) no ponto considerado.
Altitude ortométrica:
distância contadasobre a
vertical, do geóide até a
superfície física
Vertical
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Vertical
As linhas verticais são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais
e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito
nivelado, no ponto considerado.
A reta tangente à linha de força em um ponto simboliza a direção do
vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical.
P
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* MODELO PLANO *
Terra PLANA → Topografia
Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos
topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões
limitadas.
Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km.
A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até
aproximadamente 80 km.
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Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é
necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos
mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:
Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);
Eixo X: formando 90º na direção leste.
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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o
alinhamento de uma rua, por exemplo:
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Ponto Topográfico é uma posição de destaque,
estrategicamente situado na superfície terrestre.
Pontos cotados:
Pontos que, nas suas representações gráficas, se apresentam
acompanhados de sua altura.
Pontos de apoio:
Pontos, convenientemente distribuídos, que amarram o terreno
ao levantamento topográfico e, por isso, devem ser
materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto,
pinos de metal, tinta, dependendo da sua importância e
permanência.
Pontos de detalhe:
Pontos importantes dos acidentes naturais e/ou
artificiais,definidores da forma do detalhe e/ou do relevo,
indispensáveis à sua representação gráfica.(NBR 13133)
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Ponto cotado
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Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
1. Construa um sistema de coordenadas cartesianas e plote os seguintes pontos:
AAAA ( 5, 5)
BBBB ( 7, 12)
CCCC ( 10, -7)
Calcule a distância entre os pontos AB, AC e BC.
2. Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares: 
a) (1,1) b) (2,–2) c) ( d) (4,0) e) (0,–3) 3,1)
3. Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: 
a) (1,π/2) b) (–2,49π/6) c) (3,−5π/3) d) (0,π/9) e) (7,π) 
4. Conforme as coordenadas esféricas (150, 45 ̊, 60̊ ), determine o terno cartesiano (x, y, z). 
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Medições 
Podemos obter medidas diretamente e indiretamente.
•Diretas - quando o aparelho ( instrumento ) pode ser aplicado no terreno.
•Indireta - quando se obtêm a medição após a realização de cálculos. 
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CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃOCLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções,
distâncias e desníveis.
Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. 
As fontes de erro poderão ser: 
• Condições ambientais:
Causados pelas variações das condições ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo:
variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura.
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Instrumentais:
Causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste
do mesmo.
A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando técnicas de
verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de
observação.
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Pessoais:
Causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, 
cansaço, etc. 
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Os erros, causados por estes três elementos poderão ser classificados em: 
• Erros grosseiros 
• Erros sistemáticos 
• Erros aleatórios 
ERROS GROSSEIROS
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos,
identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do
observador ou uma falha no equipamento.
A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.
Alguns exemplos de erros grosseiros:
• anotar 196 ao invés de 169;
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.
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ERROS SISTEMÁTICOS
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados,
seguindo leis matemáticas ou físicas.
Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através
de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a
aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do
trabalho.
Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas 
específicas: 
• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de 
distância; 
• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. 
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ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados.
São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro,
tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande.
Quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma
distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal.
Por isso, deve-se trabalhar com um 
número de amostras significativas.
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ERROS ACIDENTAIS
Exemplo de erros acidentais:
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.
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PRECISÃO E ACURÁCIA 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios.
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor
verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos.
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O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está
treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado
direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram
nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação suaacurácia foi
nula. EleEle nãonão conseguiuconseguiu acertaracertar oo gol,gol, “verdadeiro“verdadeiro valor”,valor”, nenhumanenhuma vezvez..
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Atenção na interpretação da precisão!!! Um valor menor de precisão, possui uma melhor 
precisão. 
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Propagação de erros 
Se as medidas topográficas (direções, ângulos, leituras estadimétricas, distâncias, fases da
portadora, etc) são consideradas variáveis aleatórias, sujeitas às leis da estatística, as quantidades
derivadas delas (coordenadas, distâncias, áreas, volumes, etc) também o são.
A fórmula que expressa a relação entre os erros das observações e as dos parâmetros é 
denominada ‘fórmula de propagação das variâncias’ ou ‘lei de propagação dos erros’. 
No caso dos projetos que utilizam medições de ângulos e distâncias, o estudo da propagação do
erro baseado no conhecimento dos valores aproximados para ângulos e distâncias, e
das variâncias provenientes de experiências anteriores ou das especificações dos
instrumentos utilizados, conduzidos antes das operações de campo, caracterizando assim
uma otimização “a priori” do processo.
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1. Responda com C (certo) e E para (errado):
Todas observações possuem erros. _______
A variação do comprimento da trena por altas temperaturas é uma conseqüência que tem
uma fonte instrumental que favorece este erro. _________
Os erros sistemáticos podem ser corrigidos através de formulas. ____
Os erros acidentais são erros os quais podem ser totalmente eliminados após serem
percebidos os erros grosseiros e sistemáticos. _____
Se a leitura correta é de 135m e quem estiver anotando anotar o valor de 153m, este é um
tipo de erro acidental. _____
O plano topográfico é um plano normal a vertical do lugar num ponto da Superfície Física
da Terra. ______
A localização planimétrica de uma coordenada (X,Y) se da por meio de um sistema de
coordenadas cartesianas. ______
A Topografia é dividida em Topometria e Topologia. E a Topometria em Planimetria e
Altimetria. Sendo que a realização simultânea recebe a denominação de planialtimetria.
____
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