Séries de Taylor

Prévia do material em texto

As series de Taylor são series de potencias geradas por funções infinitamente 
deriváveis. Em muitos casos, essas séries podem fornecer aproximações polinomiais 
das funções geradoras.
➢Usada basicamente como forma de representação 
de uma função
➢Torna mais fácil o cálculo de funções mais 
complexas tais como ln(x), sin(x), cos(x), etc.....
➢Permite integrar funções sem anti-derivada 
elementar
Primeiro devemos relembrar os conceitos de aproximação 
linear:
Através de uma reta tangente podemos ter idéia do 
comportamento de determinada função nas vizinhanças do 
ponto de tangência 
Uma reta y que tangencia uma função f(x) no ponto 
(X0,f(X0)) pode ser descrita matematicamente da seguinte 
forma:
y= f’(X0) (X-X0) +f(X0)
Percebendo que f(X0) e f’(x0) são constantes, podemos 
escrever esses termos como C0 e C1 respectivamente
Podemos então reescrever a equação como:
Ainda podemos descrever essa equação na forma de uma série, que a partir de agora 
vamos chamar de T(x) :
Logo podemos representar uma função f(x) qualquer por :
Onde R(x) é o erro da aproximação. No caso está não é uma boa aproximação para 
f(x) pois T(x) só descreve o comportamento do gráfico perto do ponto de tangência,e 
entretanto se fizermos o numero de termos de T(x) tender a infinito a taxa de erro 
tenderá a zero ,logo :
Encontre a série de taylor gerada por f(x)=cos(x) centrada em pi
Encontre a série de Taylor para f(x)=e-6x em a=-4.
Use 4 termos da expansão em série de Taylor de f(x)= 25x3 – 6x2 +7x -88 para calcular 
f(1).
encontre ∫ e^-x² dx
Encontre a série de Taylor para f(x)= arctg x em a=0.
Encontre a série de Taylor gerada por 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) com 𝑎 = 1.