Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CFVVOC – Prof. MACHADO – 2010/1 LISTA 3 1. A voltagem V em um circuito elétrico que satisfaz a lei V = I.R vai caindo lentamente à medida que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo a resistência R vai aumentando à medida que o resistor esquenta. Use a regra da cadeia, ou seja, a equação: dt dR . R V dt dI . I V dt dV ∂ ∂ + ∂ ∂ = para descobrir como a corrente está variando no instante em que R = 600Ω, I = 0,04A, = dt dR 0,5Ω/s e = dt dV – 0,01V/s dt dR . R V dt dI . I V dt dV ∂ ∂ + ∂ ∂ = dt dR .I dt dI .R dt dV += – 0,01 = 600 . dt dI + 0,04 . 0,5 – 0,01 = 600 . dt dI + 0,02 600 . dt dI = – 0,03 dt dl = 600 03,0 − dt dl = – 0,00005 A/s 2. A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumentando de 1 cm/s. O raio da base é 10 cm e está diminuindo de 0,5 cm/s. Qual a taxa de variação do volume em relação ao tempo neste instante? Dado: Vcone = 3 1 π.R2.h Do enunciado, temos: h = 15 cm, dt dh = 1cm/s, R = 10 cm, dt dR = – 0,5 cm/s Aplicando a Regra da cadeia, temos: dt dh . h V dt dR . R V dt dV ∂ ∂ + ∂ ∂ = = Rh 3 2 π . dt dR + 3 1 2Rπ . dt dh = 3 2 π.10.15.(– 0,5) + 3 1 π.102.1 dt dV = – 3 150 π + 3 100 π dt dV = 3 50 − π cm3/s 3. Determine a derivada direcional de f(x; y) = y. lnx, no ponto P(1; –3) e na direção do vetor −= 5 3 ; 5 4 u . I) = ∂ ∂ x f y . x 1 = x y )3 ;1( x f − ∂ ∂ = 1 3− = –3 II) = ∂ ∂ y f ln x )3 ;1( x f − ∂ ∂ = ln 1 = 0 III) )3 ;1(f −∇ = –3. i+ 0. j = (–3; 0) IV) |u | = 22 5 3 5 4 + − = 25 9 25 16 + = 25 25 = 1 = 1 (u é vetor unitário) V) =fDu )3 ;1(f −∇ .u = (–3; 0) . − 5 3 ; 5 4 = (–3) . − 5 4 + 0 . 5 3 = 5 12 + V - I R 2 4. Determinar a derivada direcional da função f(x; y) = y x , no ponto P(6; –2) e na direção do vetor v = (– 4; 3) I) = ∂ ∂ x f D v u = 2 xx v u.'vv.'u − = 2y x.0y.1 − = y 1 y y 2 = )2;6( x f − ∂ ∂ = 2 1 − = 2 1 − II) = ∂ ∂ y f D v u = 2 yy v u.'vv.'u − = 2y x.1y.0 − = 2y x− )2;6( x f − ∂ ∂ = 2)2( 6 − − = 4 6− = 2 3 − III) )2;6(f −∇ = – 2 1 . i – 2 3 . j = −− 2 3 ; 2 1 IV) versor de v : | v | = 5259163)4( 22 ==+=+− u = |v| 1 . v = 5 1 . (– 4; 3) = − 5 3 ; 5 4 V) =fDu )2;6(f −∇ .u = −− 2 3 ; 2 1 . − 5 3 ; 5 4 = − 2 1 . − 5 4 + − 2 3 . 5 3 = 10 4 – 10 9 = 10 5 − 5. Calcule a derivada direcional da função f(x; y) = x3 – 2x2y + xy2 – 1, no ponto P(1; 2) e na direção do vetor j8i6v += . I) = ∂ ∂ x f 3x2 – 4xy + y2 )2 ;1( x f ∂ ∂ = 3.12 – 4.1.2 + 22 = 3 – 8 + 4 = –1 II) = ∂ ∂ y f – 2x2 + 2xy )2 ;1( y f ∂ ∂ = – 2.12 + 2.1.2 = – 2 + 4 = 2 III) )2 ;1(f∇ = –1. i – 2. j = (–1; 2) IV) versor de v = (6; 8) | v | = 10100643686 22 ==+=+ u = |v| 1 . v = 10 1 . (6; 8) = 5 4 ; 5 3 V) =fDu )2 ;1(f∇ .u = (–1; 2) . 5 4 ; 5 3 = – 5 3 + 5 8 = 5 5 = 1 6. Determine o volume do sólido dado pela função f(x; y) = 16 – x2 – 2y2 (parabolóide elíptico) limitado pela região R dada por: R = {(x; y) ε IR2 | 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2} V = ∫∫ −− R 22 dA )y2x16( Do Teorema de Guido Fubini (1907), temos: z x y 2 2 0 16 3 V = ∫ ∫ −− 2 0 2 0 22 dydx )y2x16( = ∫ −− 2 0 2 0 2 3 dy )xy2 3 x x16( = ∫ −−− 2 0 2 3 dy )0()2.y2 3 2 2.16( = ∫ −− 2 0 2 dy y4 3 8 32 = ∫ − 2 0 2 dy y4 3 88 = 2 0 3 3 y .4y 3 88 − = )0( 3 2 .42. 3 88 3 − − = 3 144 3 32 3 176 =− V = 48 u.v. 7. Determine o volume do parabolóide z = x2 + y2, limitado por D = {(x,y) ε IR2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}. V = ∫∫ + D 22 dy dx )yx( = ∫ ∫ + 1 o 1 o 22 dydx )yx( V = dy 0 1 x.y 3 x 1 o 2 3 ∫ + = ∫ + 1 o 2 dy y 3 1 V = 0 1 3 y y. 3 1 3 + = 3 1 3 1 + = 3 2 u.v. 8. Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e os gráficos das equações: z = x2 + y2 + 1 e 2x + y = 2. Planos coordenados: x = 0, y = 0 e z = 0 x y 0 2 1 0 V = ∫∫ ++ D 22 dy dx )1yx( = ∫ ∫ ++ −1 o x22 o 22 dxdy )1yx( V = dx 0 x22 y 3 y y.x 31 o 2 −++∫ V = dx x22 3 )x22( )x22.(x 1 o 3 2∫ −+ − +− = ∫ +−+− 1 o 23 dx )14x30x30x14( 3 1 V = 0 1 x14 2 x .30 3 x .30 4 x .14 3 1 234 +−+− = 6 11 u.v. D 1 1 x y z 0 2 x 1 2 y z 0 1 D 5 4 9. Determine a área da região limitada pelos gráficos de: 2y = 16 – x2 e x + 2y + 4 = 0 Solução: Para determinar os pontos interceptos dos gráficos, devemos resolver o sistemas de equações formado por eles. Assim, substituindo (I) em (II), temos: x + 16 – x2 + 4 = 0 x2 – x – 20 = 0 = −= 5x 4x De (I), temos: y = 8 – 2 x2 e De (II), temos: y = – 2 x – 2 Substituindo em (II), termos: Para x = – 4 y = – 2 4− – 2 = 2 – 2 = 0 P(– 4; 0)Para x = 5 y = – 2 5 – 2 = – 2 9 Q(5; – 2 9 ) A = ∫ ∫− − −− 5 4 2 x 8 2 2 x 2 dx dy = dx 2 2 x 2 x 8 y 2 5 4 −− − ∫− A = dx 2 2 x 2 x 8 5 4 2 ∫− ++− A = ∫− +− 5 4 2 dx 2 x 2 x 10 A = 10x – 4 5 4 x 6 x 23 − + A = ++−− +− 4 6 64 40 4 25 6 125 50 A = 4 243 u.a. ou A = 60,75 u.a. 15. Calcular a integral dupla ∫∫ R 33 dA yx , onde R = {(x; y) ε IR2| 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 1} Do Teorema do matemático Italiano Guido Fubini (1879 – 1943), temos: ∫∫ R 33 dA .yx = ( )∫ ∫ 1 0 1 x 33 dxdy yx = ∫ ∫ 1 0 1 33 (x dxdy)y x = ∫ = = 1 0 1y xy 4 3 dx 4 y .x = ∫ − 1 0 4 3 4 3 dx 4 x .x 4 1 .x = ∫ − 1 0 73 dx x. 4 1 x. 4 1 = 1 0 84 8 x . 4 1 4 x . 4 1 − = = 1 0 84 x. 32 1 x. 16 1 − = 01. 32 1 1. 16 1 84 − − = 32 1 16 1 − = 32 12 − = 32 1 16. Calcular o volume da figura representada no gráfico abaixo usando integral tripla. (II) x y 0 -2 -4 0 y = – 2 2 x − – 2 9 5 x y 8 P Q y = 8 – 2 x2 –2 –4 4 5 R: ≤≤ ≤≤ ≤≤ 3z0 4y1 5x3 V = dxdydz 5 x 3 x 4 y 1 y 3z 0z ∫∫∫ = = = = = = = dydzx 5x 3x 4 y 1 y 3z 0z = = = = = = ∫∫ = dydz)35( 4 y 1 y 3z 0z −∫∫ = = = = = dydz2 4 y 1 y 3z 0z ∫∫ = = = = V = dzy2 4y 1y 3z 0z = = = =∫ = dz)1.24.2( 3z 0z −∫ = = = dz6 3z 0z ∫ = = = 3z 0z z6 = = = 6 . 3 – 6 . 0 = 18 – 0 = 18 u.v. 10. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = 2x2 + y2, no ponto P(1; 1). I) = ∂ ∂ x f 4x )1 ; 1( x f ∂ ∂ = 4 . 1 = 4 II) = ∂ ∂ y f 2y )1 ; 1( y f ∂ ∂ = 2 . 1 = 2 III) f(xo; yo) = f(1; 1) = 2 . 1 2 + 12 = 3 IV) Equação do plano tangente: z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx y f xxyx x f +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ z = )1 ; 1(f)1y).(1 ; 1( y f )1x).(1 , 1( x f +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ = 4 . (x – 1) + 2 . (y – 1) + 3 z = 4x – 4 + 2y – 2 + 3 z = 4x + 2y – 3 4x + 2y – z – 3 = 0 11. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = ln(2x + y), no ponto P(–1; 3). I) = ∂ ∂ x f D(ln u) = u 'u x = yx2 2 + )3 ; 1( x f − ∂ ∂ = 3)1.(2 2 +− = 1 2 = 2 II) = ∂ ∂ y f D(ln u) = u 'u y = yx2 1 + )3 ; 1( y f − ∂ ∂ = 3)1.(2 1 +− = 1 1 = 1 III) f(xo; yo) = f(–1; 3) = ln [2.(–1) + 3] = ln(–2 + 3) = ln 1 = 0 IV) Equação do plano tangente: z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx y f xxyx x f +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ z = )3 ; 1(f)3y).(3 ; 1( y f )1x).(3 , 1( x f −+−− ∂ ∂ ++− ∂ ∂ = 2 . (x + 1) + 1 . (y – 3) + 0 z = 2x + 2 + y – 3 z = 2x + y – 1 2x + y – z – 1 = 0 12. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = sen(x + y), no ponto P(1; –1). I) = ∂ ∂ x f D(sen u) = u’x . cos u = 1.cos(x + y) ) 1 ;1( x f − ∂ ∂ = cos(1 – 1) = cos 0 = 1 3 5 1 4 3 x y z 0 6 II) = ∂ ∂ y f D(sen u) = u’y . cos u = 1.cos(x + y) ) 1 ;1( x f − ∂ ∂ = cos(1 – 1) = cos 0 = 1 III) f(xo; yo) = f(1; –1) = sen (1 – 1) = sen 0 = 0 IV) Equação do plano tangente: z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx y f xxyx x f +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ z = )1 ; 1(f)1y).(1 ; 1( y f )1x).(1 , 1( x f −++− ∂ ∂ +−− ∂ ∂ = 1 . (x – 1) + 1 . (y + 1) + 0 z = x – 1 + y + 1 z = x + y x + y – z = 0 13. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = ex. cosy, no ponto P(0; π). I) = ∂ ∂ x f D(k. ex) = k . ex = ex . cosy ) ;0( x f π ∂ ∂ = e0. cos π = 1 . (– 1) = – 1 II) = ∂ ∂ y f D(k. cos y) = k.(– sen y) = – ex. seny ) ;0( x f π ∂ ∂ = – e0.sen π = – 1.0 = 0 III) f(xo; yo) = f(0; π) = e 0 . cos π = 1 . (– 1) = – 1 IV) Equação do plano tangente: z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx y f xxyx x f +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ z = ) ; 0(f)y).( ; 0( y f )0x).( ; 0( x f π+π−π ∂ ∂ +−π ∂ ∂ = – 1 . (x – 0) + 0 . (y –π) + (–1) z = – x + 0 – 1 z = – x – 1 x + z + 1 = 0 14. Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f(tx; ty) = nt . f(x; y) para todo valor de t, onde n é um número inteiro. I) verifique se f(x; y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea e determine o seu grau. f(tx; ty) = (tx)2.ty + 2.(tx).(ty)2 + 5.(ty)3 = t2x2.ty + 2.tx.t2y2 + 5.t3.y3 = t3x2y + 2t3xy2 + 5t3y3 = t3.(x2y + 2xy2 + 5y3) = t3. f(x; y) Como f(tx; ty) = 3t . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 3. II) verificar se f(x; y) = yx yx + − é homogênea e determinar o seu grau. f(tx; ty) = tytx tytx + − = )yx(t )yx(t + − = 0t . yx yx + − = 0t . f(x; y) Como f(tx; ty) = t 0 . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau zero. III) verificar se f(x; y) = yx + é homogênea e determinar o seu grau. f(tx; ty) = tytx + = t . x + t . y = t . ( yx + ) = t 2 1 .( yx + ) f(tx; ty) = t 2 1 . f(x; y) Como f(tx; ty) = t 2 1 . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 1/2. IV) verificar se f(x; y) = 3 22 yx + é homogênea e determine o seu grau. f(tx; ty) = 3 22 )ty()tx( + = 3 2222 y.tx.t + = 3 222 )yx.(t + = 3 2t . 3 22 yx + = 3 2 t . 3 22 yx + = 3 2 t . f(x; y) Como f(tx; ty) = 3 2 t . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 2/3.
Compartilhar