Estatística e Probabilidade I (medidas de posição)

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE I 
PROFº WILLIAN
Medidas de posição
ELEMENTOS TÍPICOS DA DISTRIBUIÇÃO
Objetivo: encontrar a maior concentração de valores de uma dada distribuição.
Elementos típicos da distribuição:
• Medidas de posição;
• Medidas de variabilidade ou dispersão;
• Medidas de assimetria;
• Medidas de curtose.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de tendência central:
• média aritmética;
• mediana;
• moda.
Separatrizes:
• mediana;
• quartis;
• percentis.
MÉDIA ARITMÉTICA 
É o quociente entre a soma dos valores da variável pelo quantidade de valores
ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
ҧ𝑥 - média aritmética;
𝑥𝑖 - valores da variável;
n – número de valores.
MÉDIA ARITMÉTICA 
Dados não agrupados: utilizamos a média aritmética simples.
Exemplo:
 Produção leiteira diária de uma vaca foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12 litros. A produção média da 
semana foi:
ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
= 
10+14+13+15+16+18+12
7
= 
98
7
= 14
MÉDIA ARITMÉTICA 
Desvios em relação a média: diferença entre cada elemento e a média
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
Propriedades:
1) a soma dos desvios em relação à média é zero
σ𝑑𝑖 =0
MÉDIA ARITMÉTICA 
Propriedades:
2) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante:
𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑐 ⇒ ത𝑦 = ҧ𝑥 ± 𝑐
3) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante:
𝑦𝑖 = 𝑐. 𝑥𝑖 ⇒ ത𝑦 = 𝑐. ҧ𝑥
MÉDIA ARITMÉTICA 
Dados agrupados (sem intervalos de classe)
 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de 
filhos do sexo masculino:
Nº de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
∑ = 34
Devemos calcular a média aritmética ponderada:
ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
=
78
34
= 2,3 = 2
Nº de meninos fi xifi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
∑ = 34 ∑ = 78
MÉDIA ARITMÉTICA 
Dados agrupados (com intervalos de classe)
 Devemos convencionar que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem 
com o seu ponto médio e utilizamos a mesma fórmula:
ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
i Estaturas (cm) fi
1 150 ⊢ 154 4
2 154 ⊢ 158 9
3 158 ⊢ 162 11
4 162 ⊢ 166 8
5 166 ⊢ 170 5
6 170 ⊢ 174 3
∑ = 40
MÉDIA ARITMÉTICA 
ҧ𝑥 =
σ 𝑥𝑖𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
=
6440
40
= 161
i Estaturas 
(cm)
fi xi xifi
1 150 ⊢ 154 4 152 608
2 154 ⊢ 158 9 156 1404
3 158 ⊢ 162 11 160 1760
4 162 ⊢ 166 8 164 1312
5 166 ⊢ 170 5 168 840
6 170 ⊢ 174 3 172 516
∑ = 40 ∑ = 6440
MÉDIA ARITMÉTICA
Emprego da média
A média é utilizada quando:
 Desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade;
 Houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.
MODA (MO)
É o valor que ocorre com maior frequência, ou seja, elemento modal é aquele que é 
mais comum.
Exemplos: 
 dentre os valores 7, 8, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 a moda é 10.
 dentre os valores 3, 5, 8, 10, 12, 13 não há moda (amodal).
 dentre os valores 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 temos duas modas (bimodal). 
MODA (MO)
Dados agrupados: 
 Sem intervalos de classe: basta fixar o(s) valor(es) da variável de maior frequência.
 Com intervalos de classe:
 Classe com maior frequência: classe modal.
 Para calcular a moda, basta tomar o ponto médio da classe modal, esse valor chamamos de moda bruta.
𝑀𝑜 =
𝑙∗ + 𝐿∗
2
𝑙∗ - limite inferior da classe modal;
𝐿∗ - limite superior da classe modal.
MODA (MO)
Dados agrupados:
𝑀𝑜 =
𝑙∗+𝐿∗
2
= 
158+162
2
= 
320
2
= 160
i Estaturas (cm) fi
1 150 ⊢ 154 4
2 154 ⊢ 158 9
3 158 ⊢ 162 11 
4 162 ⊢ 166 8
5 166 ⊢ 170 5
6 170 ⊢ 174 3
∑ = 40
MODA (MO)
Emprego da moda
A moda é utilizada quando:
 Desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
 A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
MEDIANA (Md)
É o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes 
dispostos segundo uma ordem; é o valor situado de tal forma que separa o conjunto 
em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
O conjunto 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 13, 18 possui mediana 10.
Já o conjunto 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 não possui um elemento com tal 
propriedade, já que possui um número par de elementos. Neste caso, tomamos a 
média aritmética de 10 e 12, ou seja, 11.
MEDIANA (Md)
Em uma série ordenada com n elementos, o valor mediano será:
 O termo de ordem 
𝑛+1
2
, se n for ímpar;
 A média aritmética dos termos 
𝑛
2
e 
𝑛
2
+1, se n for par.
MEDIANA (Md)
Para dados agrupados, devemos determinar a ordem, dada por 
σ 𝑓𝑖
2
Para o caso sem intervalos de classe:
σ 𝑓𝑖
2
= 
34
2
=17
A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da 
variável. Logo Md = 2.
Nº de meninos fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
∑ = 34
MEDIANA (Md)
Outro exemplo:
σ 𝑓𝑖
2
= 
8
2
= 4
Como existe uma frequência acumulada que corresponde a este valor, devemos 
tomar a média aritmética entre o valor correspondente a esta variável e a seguinte. 
Neste exemplo, devemos tomar a média entre 15 e 16. Lodo Md= 15,5
xi fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
∑ = 8
MEDIANA (Md)
Para o caso com intervalos de classe: também utilizamos a fórmula 
σ 𝑓𝑖
2
para determinar 
a classe mediana.
Neste caso 
σ 𝑓𝑖
2
= 
40
2
= 20
i Estaturas (cm) fi Fi
1 150 ⊢ 154 4 4
2 154 ⊢ 158 9 13
3 158 ⊢ 162 11 24
4 162 ⊢ 166 8 32
5 166 ⊢ 170 5 37
6 170 ⊢ 174 3 40
∑ = 40
MEDIANA (Md)
Determinada a classe mediana, utilizamos a fórmula:
𝑴𝒅 = 𝒍∗ +
σ 𝒇𝒊
𝟐
−𝑭(𝒂𝒏𝒕) 𝒉∗
𝒇∗
𝒍∗ - limite inferior da classe mediana;
F(ant) - a frequência acumulada anterior à classe mediana;
𝒇∗ - frequência simples da classe mediana;
𝒉∗ - amplitude do intervalo da classe mediana.
MEDIANA (Md)
Emprego da mediana
A mediana é utilizada quando:
 Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
 Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
 A variável em estudo é salário.
POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
Curva simétrica - ҧ𝑥 = Md = Mo
Curva assimétrica positiva - Mo < Md < ҧ𝑥
Curva assimétrica negativa - ҧ𝑥 < Md < Mo
SEPARATRIZES
Quartis, decis, percentis bem como a mediana são chamados separatrizes.
Mesma ideia da mediana (separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo 
número de valores), porém visa separar a série em mais grupos iguais.
Veremos:
 Quartis;
 Percentis.
QUARTIS
Ideia: Dividir a série em quatro partes iguais.
Há três quartis:
 Primeiro quartil (Q1) – 25% - Q1 - 75%
 Segundo quartil (Q2) – 50% - Q2 – 50% (Q2 = Md)
 Terceiro quartil (Q3) – 75& - Q3 – 25%
QUARTIS
Cálculo dos quartis:
 Primeiro usamos a fórmula 
𝑘 σ 𝑓𝑖
4
(k = ordem do quartil) para calcular a classe em que está o quartil.
 Depois usamos a fórmula 𝑸𝒌 = 𝒍
∗ +
𝒌 σ 𝒇𝒊
𝟒
−𝑭(𝒂𝒏𝒕) 𝒉∗
𝒇∗
𝒍∗ - limite inferior da classe do quartil;
F(ant) - a frequência acumulada anterior à classe do quartil;
𝒇∗ - frequência simples da classe do quartil;
𝒉∗ - amplitude do intervalo da classe do quartil.
PERCENTIS
Ideia: Dividir a série em cem partes iguais. Há 99 quartis.
Cálculo dos percentis:
 Primeiro usamos a fórmula 
𝑘 σ 𝑓𝑖
100
(k = ordem do percentil) para calcular a classe em que está o 
percentil. Depois usamos a fórmula 𝑷𝒌 = 𝒍
∗ +
𝒌 σ 𝒇𝒊
𝟏𝟎𝟎
−𝑭(𝒂𝒏𝒕) 𝒉∗
𝒇∗
𝒍∗ - limite inferior da classe do percentil;
F(ant) - a frequência acumulada anterior à classe do percentil;
𝒇∗ - frequência simples da classe do percentil;
𝒉∗ - amplitude do intervalo da classe do percentil.
FIM