Aula 1 (definição de vetor_ representação geométrica de vetores_ operações com vetores_ vetores da base canônica)

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 1: definição de vetor; representação geométrica de vetores; 
operações com vetores; vetores da base canônica. 
Prof. Luciano Pedroso 
PLANO CARTESIANO 
 
Chama-se plano cartesiano ou espaço cartesiano ou sistema 
de coordenadas no plano cartesiano um esquema reticulado 
para especificar pontos num determinado “espaço”. 
 
 
 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 
É aquele que pode ser definido como tendo três dimensões 
(altura, profundidade e largura). 
 
SEGMENTOS ORIENTADOS 
 
Segmentos orientados 
Sejam dois pontos distintos A e B do espaço da Geometria 
Analítica. Escolhe-se um desses pontos para ser a origem 
de um segmento orientado, e o outro ponto para ser a 
extremidade. 
 
 
Segmentos orientados nulos 
Um segmento orientado é nulo se apresenta a sua origem 
coincidente com a sua extremidade. 
 
A B 
A = B 
VETORES 
 
Definição 
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos equipolentes 
(iguais em módulo, direção e sentido) a um segmento 
orientado AB, que foi dado. O vetor nulo é aquele 
representado por todos os segmentos orientados nulos. 
 
Representação geométrica de vetores 
 
A 
B 
Notações utilizadas 
O vetor determinado pelo segmento orientado AB é 
indicado, usualmente, por 𝑣 = AB ou pela notação de 
Grassmann 𝑣 = (B – A), que corresponde a uma diferença 
simbólica entre a extremidade e a origem do vetor. 
 
 
AB 𝑣 (B – A) 
Módulo 
É o comprimento de qualquer um dos representantes do 
vetor. O módulo é um número positivo, se o vetor não é 
nulo, e zero se o vetor é nulo. 
 
 
 
 
3uc 
2uc 
1uc 
Direção 
Dois vetores são paralelos quando têm a mesma direção. O 
vetor nulo não tem direção 
 
𝑣 
𝑢 
𝑏 
𝑎 
Sentido 
Só é possível comparar os sentidos de vetores paralelos. Se 
dois vetores são paralelos, ou têm o mesmo sentido ou têm 
sentidos opostos. O vetor nulo não tem sentido. 
𝑣 
𝑢 
𝑏 
𝑎 
Igualdade de vetores 
Dois vetores AB e CD são iguais (ou são o mesmo vetor) 
se, e somente se, os segmentos orientados AB e CD são 
equipolentes. Como todos os segmentos nulos são 
equipolentes entre si, eles determinam um único vetor, 
chamado vetor nulo e indicado por 0. 
A B 
D C 
OPERAÇÕES COM VETORES 
 
Adição de vetores 
Consideremos os vetores 𝑢 e 𝑣 , cuja soma 𝑢 + 𝑣 
pretendemos encontrar. 
 
Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele 
tracemos um segmento orientado AB representante do 
vetor 𝑢. 
 
Utilizemos a extremidade de B para traçar o segmento 
orientado BC representante de 𝑣 . 
 
O vetor representado pelo segmento orientado de origem A 
e extremidade C é, por definição, o vetor soma de 𝑢 e 𝑣 . 
𝑣 
𝑢 
A B 
C 
Regra do polígono 
Sendo 𝑢 // 𝑣 , a maneira de se obter o vetor 𝑢 + 𝑣 é a 
mesma 
𝑢 𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 + 𝑣 
No caso de os vetores 𝑢 e 𝑣 não serem paralelos, há uma 
outra maneira de se encontrar o vetor soma 𝑢 + 𝑣 . 
 
Representa-se 𝑢 = 𝐴𝐵 e 𝑣 = 𝐴𝐷 por segmentos orientados 
de mesma origem A. Completa-se o paralelogramo ABCD 
e o segmento orientado de origem A, que corresponde à 
diagonal do paralelogramo, é o vetor 𝑢 + 𝑣 . 
𝑢 
𝑣 
A B 
D C 
Regra do 
paralelogramo 
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou 
mais, o procedimento é análogo. 
𝑢 
𝑣 
𝑤 
Multiplicação de um vetor por um escalar 
 
Dado um vetor 𝑣 (não nulo) e um escalar k (não nulo), a 
multiplicação de k por 𝑣 resulta o vetor k𝑣 , múltiplo 
escalar de 𝑣 , determinado da seguinte maneira: 
 
 k𝑣 possui a mesma direção de 𝑣 ; 
 
 se k > 0, então k𝑣 tem o mesmo sentido de 𝑣 ; se k < 0, 
então k𝑣 tem sentido oposto ao de 𝑣 ; 
 
 a magnitude de k𝑣 vale |k| vezes a magnitude de 𝑣 , isto 
é, |k𝑣 |=|k||𝑣 |. 
 
 
 
 
 
𝑣 
1
2
𝑣 
−3𝑣 
−1𝑣 = −𝑣 
VETORES DA BASE CANÔNICA 
 
Os vetores unitários 𝒊 e 𝒋 
Dois importantes vetores do ℝ2 são os vetores unitários 𝑖 = 
(1, 0) e 𝑗 = (0, 1) 
 
x 
y 
𝑖 
𝑗 
x 
y 𝑣 = x0𝑖 + y0𝑗 
𝑣 
x0 
y0 
Os vetores unitários 𝒊 , 𝒋 e 𝒌 
Dois importantes vetores do ℝ3 são os vetores unitários 𝑖 = 
(1, 0, 0), 𝑗 = (0, 1, 0) e 𝑘 = (0, 0, 1) 
 
x 
z 
𝑗 𝑘
 
y 
𝑖 
x 
z 
y 
𝑣 = x0𝑖 + y0𝑗 + z0𝑘 
𝑣 
x0 
y0 
z0 
REFERÊNCIAS 
 
 
LORETO, Ana Célia da Costa; LORETO JÚNIOR, 
Armando Pereira. Vetores e geometria analítica: teoria e 
exercícios. São Paulo: LCTE Editora, 2005. 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São 
Paulo, Pearson Makron Books, 2000. 
 
SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto 
Alegre: Bookman, 2009.