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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA CÁLCULO III SÉRIES NUMÉRICAS DEFINIÇÃO 1: Seja a seguinte sequência numérica ( ) ( )KK ,,,,, 321 nn aaaaa = . A partir desta sequência, formamos uma nova sequência numérica ( )nS , cujos elementos são as somas parciais da sequência inicial ( )na , ou seja: KKK ,,,,, 21321321211 nn aaaSaaaSaaSaS +++=++=+== Esta nova sequência ( )nS , obtida a partir das somas parciais da sequência inicial, chama-se série numérica associada à sequência ( )na . * OBS.: 1) Usamos o seguinte simbolismo para denotar uma série infinita: KK ++++=∑ +∞ = n n n aaaa 21 1 , onde KK ,,,, 21 naaa são os termos desta série. 2) Como 1211 −− +++= nn aaaS K e nnn aaaaS ++++= −121 K , temos nnn aSS += −1 . 3) O problema principal da teoria das séries é determinar o seu caráter, ou seja, determinar quais das séries são convergentes e quais não são. DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma série ∑ +∞ =1n na é convergente quando a sequência ( )nS de suas somas parciais for convergente. Nesse caso, a soma da série é o limite da sequência ( )nS , isto é: n n n n Sa +∞→ +∞ = =∑ lim 1 . Quando uma série não converge, ela é denominada divergente. EXEMPLOS: 1) Consideremos a série: K++++=∑ +∞ = 16 1 8 1 4 1 2 1 2 1 1n n . Então, a seqüência das somas parciais é dada por: 2 1 1 =S , 4 3 4 1 2 1 2 =+=S , 8 7 8 1 4 3 3 =+=S , 16 15 16 1 8 7 4 =+=S , 32 31 32 1 16 15 5 =+=S , K Jéssica Highlight Jéssica Highlight Jéssica Highlight Jéssica Highlight Então obtemos: nn n nS 2 1 1 2 12 −= − = , portanto 1 2 1 1limlim = −= +∞→+∞→ nn n n S , logo a série ∑ +∞ =1 2 1 n n converge e sua soma é 1=S . 2) Consideremos a série harmônica K+++++=∑ +∞ = 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1n n . A figura a seguir representa o gráfico da função ( ) x xf 1 = , definida para 0>x . Observamos que sobre este gráfico estão os pontos n n 1 , . Comparando as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f , concluímos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫≥+++++ n dxxfnfffff 1 4321 K ou seja: INnn n ∈∀≥+++++ ,ln 1 4 1 3 1 2 1 1 K (1) Como +∞= +∞→ n n lnlim , de (1) deduzimos que: +∞= +++++= +∞→+∞→ n S n n n 1 4 1 3 1 2 1 1limlim K Portanto a seqüência ( )nS é divergente. SÉRIE GEOMÉTRICA Uma série do tipo ∑ ∞ = − 1 1 n nrα é chamada de série geométrica, pois seus termos correspondem a uma progressão geométrica de razão 0≠r e 0≠α é o coeficiente desta série. A sequência de somas parciais ( )nS é dada por: 132 −+++++= nn rrrrS ααααα K (1) Jéssica Highlight Jéssica Highlight Jéssica Highlight e para 1=r , de (1) temos que nSn α= é divergente, nesse caso a série geométrica diverge. Quando 1−=r , a sequência ( )nS é tal que 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,12 α , o que mostra que ( )nS é uma sequência divergente e, nesse caso, a série também diverge. Considerando 1≠r e multiplicando (1) por r, obtemos: n n rrrrrSr ααααα +++++= K 432 (2) Então de (1) e (2) resulta: r r SrSrS n n n nn − − =⇒−=− 1 1 ααα (3) Se 1<r , então 0lim = +∞→ n n r , logo de (3) temos: rr r n n − = − − +∞→ 11 1 lim α α e portanto a série converge e sua soma é r S − = 1 α . Se 1>r , então usando novamente (3), verificamos que a sequência ( )nS diverge e, portanto, a série correspondente também diverge. Resumindo: a série geométrica ∑ ∞ = − 1 1 n nrα converge para r−1 α quando 1<r , e diverge quando 1≥r . Exemplos de série geométrica: 1) 1 11 2 1 2 1 2 1 −∞ = ∞ = =∑∑ n nn n é uma série geométrica com razão 2 1 =r e coeficiente 2 1 =α , logo esta série converge e sua soma é: 1 2 1 1 2 1 2 1 1 = − =∑ ∞ =n n 2) ( ) K+−+−=−∑ ∞ = − 33331.3 1 1 n n , é uma série geométrica com razão 1−=r e coeficiente 3=α , então temos: 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,312 , logo a série diverge. 3) K++++==∑∑ ∞ = − ∞ = 168422.22 1 1 1 n n n n , é uma série geométrica com razão 2=r e coeficiente 2=α , neste caso temos: +∞= − − = − − = +∞→+∞→+∞→ 21 21 2lim 1 1 limlim n n n n n n r r S α , logo a série diverge. 4) K++++=∑ ∞ = 22222 1n , é uma série geométrica com razão 1=r e coeficiente 2=α , neste caso temos: +∞=== +∞→+∞→+∞→ nnS nn n n 2limlimlim α , logo a série diverge. TEOREMA 1: (Teste do n-ésimo termo) Uma condição necessária para que a série ∑ ∞ =1n na seja convergente é que 0lim =+∞→ nn a . Demonstração: Seja ( )nS a sequência das somas parciais da série, temos que 1−−= nnn SSa . Suponha que a série ∑ ∞ =1n na é convergente, resulta que a sequência ( )nS converge para um número S, o mesmo ocorrendo com a subsequência ( )1−nS . Então: ( ) 0limlimlimlim 11 =−=−=−= −+∞→+∞→−+∞→+∞→ SSSSSSa nnnnnnnnn . *OBS.: A condição 0lim = +∞→ nn a é necessária, mas não é suficiente para garantir a convergência da série ∑ ∞ =1n na .Por exemplo: já provamos que a série ∑ ∞ =1 1 n n é divergente, embora 0 1 lim = +∞→ nn . Mas podemos garantir que quando a sequência ( )na for divergente ou 0lim ≠ +∞→ nn a , a série ∑ ∞ =1n na será divergente. O Teorema 1 constitui-se no primeiro teste de convergência para séries. Ao investigarmos a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu termo geral, como mostra o esquema abaixo. *OBS.: Como no caso das sequências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de termos não altera a convergência ou a divergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma. TEOREMA 2: Se as séries ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb diferem apenas em uma quantidade finita de termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Demonstração: Por hipótese, existe um índice INn ∈0 a partir do qual nn ba = e se ( )nS e ( )nR são as sequências das somas parciais de ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb , respectivamente, para 0nn > temos: nnn aaaaS +++++= KK 021 (4) nnn bbbbR +++++= KK 021 (5) E sendo nn ba = , a partir da ordem 0n , resulta de (4) e (5) que: ( ) ( ) ( )[ ] 002211 nnnn bababaRS −++−+−+= K (6) Observando a relação (6) e levando em conta que a expressão entre colchete é constante, isto é, não depende de n, deduzimos que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas convergentes ou ambas divergentes. TEOREMA 3: Sejam ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb duas séries numéricas e seja α um número real. (a) Se as séries ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb são convergentes, então as séries ( )∑ ∞ = + 1n nn ba e ∑ ∞ =1n naα também convergem, e valem as relações: ( ) ∑∑∑ ∞ = ∞= ∞ = +=+ 111 n n n n n nn baba (7) ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 n n n n aa αα (8) (b) Se ∑ ∞ =1n na é convergente e ∑ ∞ =1n nb é divergente, então a série ( )∑ ∞ = + 1n nn ba é divergente. (c) Se ∑ ∞ =1n na é divergente e 0≠α , então a série ∑ ∞ =1n naα é também divergente. Demonstração: Prova da parte (a): Denotando ( )nS , ( )nR , ( )nU e ( )nV as sequências das somas parciais das séries ∑ ∞ =1n na , ∑ ∞ =1n nb , ( )∑ ∞ = + 1n nn ba e ∑ ∞ =1n naα , respectivamente, temos nnn RSU += e nn SV α= e, se as sequências ( )nS e ( )nR forem convergentes, então as sequências ( )nU e ( )nV também serão convergentes e, além disso: n n n n n n RSU +∞→+∞→+∞→ += limlimlim e n n n n SV +∞→+∞→ = limlim α . Prova da parte (b): Provaremos por absurdo. Se a série ( )∑ ∞ = + 1n nn ba fosse convergente, então a sequência ( )nU seria convergente e, portanto a sequência ( )nR também seria, já que nnn SUR −= . Isso implicaria na convergência da série ∑ ∞ =1n nb , o que contradiz a hipótese. Prova da parte (c): Provaremos por absurdo. Se a série ∑ ∞ =1n naα fosse convergente, então a sequência ( )nV seria convergente, o mesmo ocorrendo com a sequência ( )nS , porque nn VS α 1 = . Novamente chegamos a uma contradição, já que, neste caso, a série ∑ ∞ =1n na é suposta divergente. *OBS.: Quando as séries ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb são ambas divergentes, o Teorema 3 não dá informação sobre a convergência da série ( )∑ ∞ = + 1n nn ba , que pode convergir ou divergir. Por exemplo, as séries ∑ ∞ =1 1 n n e ∑ ∞ = − 1 1 n n são ambas divergentes e a série obtida pela soma termo a termo é convergente, pois 0 11 1 = −+∑ ∞ =n nn . SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS Uma série ∑ ∞ =1n na onde cada termo na é maior do que zero é denominada série de termos positivos. DEFINIÇÃO 3: Dizemos que a série ∑ ∞ =1n na é dominada pela série ∑ ∞ =1n nb quando INnba nn ∈∀≤ , . Nesse caso ∑ ∞ =1n na é a série dominada e ∑ ∞ =1n nb é a série dominante. TEOREMA 4: (Teste da Comparação) Sejam ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb duas séries de termos positivos. (a) Se a série ∑ ∞ =1n nb converge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑ ∞ =1n na também converge. (b) Se a série ∑ ∞ =1n na diverge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑ ∞ =1n nb também diverge. Demonstração: Prova da parte (a): Sejam ( )nS e ( )nR as sequências das somas parciais das séries ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb , respectivamente. Pela hipótese temos que a série ∑ ∞ =1n nb converge e INnRS nn ∈∀≤≤ ,0 . (9) Como ( )nR é uma sequência crescente, de limite R, temos que o número R é o menor limite superior (supremo) de ( )nR . Jéssica Highlight Por (9), R também é cota superior para a sequência crescente ( )nS , portanto existe n n S +∞→ lim e este limite é menor ou igual a R. Logo a série ∑ ∞ =1n na converge. Prova da parte (b): Se a sequência ( )nS das somas parciais da série ∑ ∞ =1n na diverge, então, pela definição de limite de uma sequência, temos que: εε >∈∃>∀ nSINn /,0 0 , se 0nn > . Como INn∈∀ e 0>∀ε temos ε≥≥ nn SR , então a sequência ( )nR também diverge. Logo a série ∑ ∞ =1n nb diverge. *OBS.: Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles continuam válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa ordem. Exemplos: 1) Considere a série ∑ ∞ =1 ln n n n . A partir da relação ,3,1ln ≥∀≥ nn segue que 3, 1ln ≥∀≥ n nn n e, como a série harmônica ∑ ∞ =1 1 n n é divergente, pelo Teste da Comparação temos que a série ∑ ∞ =1 ln n n n é também divergente. 2) Seja a série ∑ ∞ =1 ! 1 n n . Podemos mostrar por indução que INnnn ∈∀≤− ,!2 1 , logo INn n n ∈∀≤ − ,2 1 ! 1 1 e, como a série geométrica ∑ ∞ = − 1 12 1 n n converge, então a série ∑ ∞ =1 ! 1 n n também converge. 3) Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir. Por exemplo, considerando a série ∑∑ ∞ = ∞ = + −= + 11 2 1 111 nn nnnn , cujo termo geral da sequência das somas parciais é: 1 1 1 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 + −= + −++ −+ −+ −= nnn Sn K , é convergente, pois 1 1 1 1limlim = + −= +∞→+∞→ n S n n n . Entretanto temos que esta série é dominada pela série divergente ∑ ∞ =1 1 n n , pois INn nnn ∈∀≤ + , 11 2 . De modo análogo, se a série dominante for divergente, então a série dominada pode convergir ou divergir. TEOREMA 5: (Teste da Integral) Consideremos uma função [ ) IRf →+∞,1: contínua e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente, isto é: (a) ( ) 1,0 ≥∀≥ xxf ; (b) ( ) ( )yfxf ≥ , sempre que yx ≤≤1 . Nessas condições, a série ( )∑ ∞ =1n nf é convergente se, e somente se, a integral imprópria ( )∫ ∞+ 1 dxxf for convergente. Demonstração: Sendo ( )xf uma função monótona decrescente e não negativa, temos que: ( ) ( ) ( ) 2,10 1 ≥∀−≤≤≤ ∫ − nnfdxxfnf n n (10) E essas desigualdades podem ser facilmente deduzidas por observação das figuras abaixo. Fazendo ( ) ( )∫== n nn dxxfRnfa 1 , e denotando por ( )nS as somas parciais da série ( )∑ ∞ =1n nf , temos: ( )∑ = =++++= n k nn kfaaaaS 1 321 K e usando (10) obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 ,340 ,230 ,120 1 4 3 3 2 2 1 −≤≤≤ ≤≤≤ ≤≤≤ ≤≤≤ ∫ ∫ ∫ ∫ − nfdxxfnf fdxxff fdxxff fdxxff n n M (11) Então de (11) temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1120 1 2 1 −++≤++≤++≤ ∫∫ − nffdxxfdxxfnff n n KKK (12) ou seja: .2,0 11 ≥∀≤≤−≤ − nSRaS nnn (13) Sendo monótonas as sequências ( )nS e ( )nR , segue das relações (13) que a limitação e, portanto, a convergência, de uma delas implica a limitação e, portanto, a convergência da outra. Isso prova que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas convergentes ou ambas divergentes. Exemplos: 1) A função ( ) 2 1 x xf = é contínua, não negativa e como ( ) 3 2 x xf −=′ é negativa, 1≥∀x , então ( )xf é decrescente. A integral imprópria 11 1 2 =∫ ∞+ dx x , logo a série correspondente ∑ ∞ =1 2 1 n n converge. 2) Podemos verificar que função ( ) xx xf ln 1 = também atende às condições do Teorema 5 para 2≥x e a integral imprópria ( )[ ] +∞== +∞→ ∞+ ∫ t t xdx xx 2 2 lnlnlim ln 1 , sendo divergente, o que implica na divergência da série ∑ ∞ =2 ln 1 n nn . *OBS.: 1) Quando utilizamos o Teste da Integral, o valor da integral imprópria não é necessariamente igual ao valor da soma da série, no caso desta convergir.O teste dá informação sobre a convergência sem indicar o valor da soma da série. 2) O Teste da integral é utilizado também para investigar a convergência das séries do tipo ∑ ∞ =1 1 n pn , que são chamadas p-séries. Quando 0≤p a p-série é divergente, pois neste caso o termo geral converge para 1, se 0=p e terá limite infinito se 0<p . Para 0>p , a função ( ) px xf 1 = definida para 1≥x atende as condições do Teorema 5 e, nesse caso, teremos: +∞=∫ ∞+ dx x1 1 e ( ),1 1 1 lim 1 1 1 − − = − +∞→ ∞+ ∫ ptp tpdxx para 1≠p Mas ,lim 1 +∞=− +∞→ p t t se 1<p e ,0lim 1 =− +∞→ p t t se 1>p , de modo que a integral imprópria dx x p∫ ∞+ 1 1 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . Portanto a p-série ∑ ∞ =1 1 n pn converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . TEOREMA 6: (Teste da Comparação no Limite) Sejam ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb duas séries de termos positivos e seja n n n b a l +∞→ = lim . (a) Se 0>l , então as séries ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb são ambas convergentes ou ambas divergentes. (b) Se 0=l e ∑ ∞ =1n nb converge, então ∑ ∞ =1n na também converge. (c) Se ∞=l e ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ∞ =1n na também diverge. Demonstração: A demonstração é conseqüência imediata do Teste da Comparação. Na parte (a), fixando 0 2 >= l ε , na definição de limite de sequência, encontramos um índice INn ∈0 tal que 0, 2 nn l l b a n n ≥∀<− e, portanto 0, 2 3 2 nnb l ab l nnn ≥∀≤≤ . Então se ∑ ∞ =1n nb converge, então ∑ ∞ =1 2 3 n nb l converge e ∑ ∞ =1n na converge pelo teste da comparação. Se ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ∞ =1 2n nb l diverge e ∑ ∞ =1n na diverge pelo teste da comparação. Na parte (b), fixando 0>ε , na definição de limite de sequência, encontramos um índice INn ∈0 tal que 0, nn b a n n ≥∀< ε e como ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb são duas séries de termos positivos tem-se 00 ,,0 nnbann b a nn n n ≥∀<⇔≥∀<< εε , logo se ∑ ∞ =1n nb converge, então ∑ ∞ =1n nbε também converge e ∑ ∞ =1n na converge pelo teste da comparação. Na parte (c), dado 0>M , encontramos um índice INn ∈0 tal que 0, nnM b a n n ≥∀> e portanto 0, nnbMa nn ≥∀> , então se ∑ ∞ =1n nb diverge, ∑ ∞ =1n nMb também diverge e ∑ ∞ =1n na diverge pelo teste da comparação. Exemplos: 1) Considere a série ∑ ∞ = +1 53 2 n n n , vamos compará-la com a série ∑ ∞ =1 1 n n , que é uma p-série com 1<p , logo é divergente. Através do teste da comparação pelo limite temos: 01 53 2 lim 1 53 2 lim >= + =+ +∞→+∞→ n n n n n nn portanto a série ∑ ∞ = +1 53 2 n n n também diverge. 2) Considere a série ∑ ∞ = − 1 2 n ne , vamos compará-la com a série ∑ ∞ =1 2 1 n n , que é uma p-série com 1>p , logo é convergente. Através do teste da comparação pelo limite temos: 0 1 lim 2 2 limlim 1 lim 222 2 20 0 2 ==== +∞→+∞→+∞→ − +∞→ nnnnnn n n ene n e n n e Portanto a série ∑ ∞ = − 1 2 n ne também converge. 3) Considere a série ∑ ∞ =2 ln 1 n n , vamos compará-la com a série divergente ∑ ∞ =1 1 n n . Através do teste da comparação pelo limite temos: +∞==== +∞→+∞→ ∞ ∞ +∞→+∞→ n n n n n n nnnn lim 1 1 lim ln lim 1 ln 1 lim 0 0 Portanto a série ∑ ∞ =2 ln 1 n n também diverge. TEOREMA 7: (Teste da razão) Seja ∑ ∞ =1n na uma série de termos positivos e suponha que l a a n n n =+ +∞→ 1lim Então: (a) a série ∑ ∞ =1n na converge se 1<l , (b) a série ∑ ∞ =1n na diverge se 1>l ou se ∞=l , (c) o teste é inconcludente se 1=l . DEMONSTRAÇÃO: Parte (a) Suponha que 1lim 1 <=+ +∞→ l a a n n n . Pela propriedade do conjunto dos números reais 0>∃k tal que 1<< kl . Além disso, se kl a a n n n <=+ +∞→ 1lim , então k a a NnINN n n <⇒≥∈∃ +1/ , ou seja: N m mNmN NNN NNN NN akkaa akkaa akkaa kaa << << << < −++ ++ ++ + 1 3 23 2 12 1 M Essas desigualdades mostram que os termos da nossa série, depois do n-ésimo termo, se aproximam de zero mais rapidamente do que os termos em uma série geométrica com razão 1<k . Mais precisamente, considere a série∑ ∞ =1n nc , onde nn ac = para Nn ,,2,1 K= e KK ,,,, 221 N m mNNNNN akcakckac === +++ Agora INnca nn ∈∀≤ , . ( )KK KK ++++++++= =++++++++= − − ∞ = ∑ 32 121 32 121 1 1 kkkaaaa akakkaaaaac NN NNNNN n n A série geométrica K++++=∑ ∞ = − 32 1 1 1 kkkk n n converge porque 1<k , então ∑ ∞ =1n nc converge. Como INnca nn ∈∀≤ , , ∑ ∞ =1n na também converge. Parte (b) Suponha que l a a n n n =+ +∞→ 1lim , onde ∞≤< l1 . A partir de algum índice M, 11 >+ n n a a e K<<< ++ 21 MMM aaa O termos da série ∑ ∞ =1n na não se aproximam de zero quando +∞→n , portanto a série diverge pelo teste do n-ésimo termo. Parte (c) Suponha que 1lim 1 ==+ +∞→ l a a n n n , neste caso, as séries ∑ ∞ =1 1 n n e ∑ ∞ =1 2 1 n n mostram que algum outro teste para a convergência deve ser usado. Para ∑ ∞ =1 1 n n , temos 1 1 lim 1 1 1 limlim 1 = + =+= +∞→+∞→ + +∞→ n n n n a a nn n n n Para ∑ ∞ =1 2 1 n n , temos ( ) ( ) 1 1 lim 1 1 1 limlim 2 2 2 2 1 = + = + = +∞→+∞→ + +∞→ n n n n a a nn n n n Em ambos os casos 1=l , mas a primeira série diverge, enquanto a segunda converge. *OBS.: O teste da razão frequentemente é eficaz, quando os termos da série contém fatoriais de expressões que envolvem n ou expressões elevadas a uma potência que envolva n. Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 1) ∑ ∞ = + 1 3 52 n n n Solução: Através do teste da razão temos: 1 3 2 2.51 2.52 lim 3 1 52 52 lim 3 1 3 52 3 52 limlim 11 1 1 <= + + = + + = + + = − − +∞→ + +∞→ + + +∞→ + +∞→ n n nn n n n n n n n n n n a a Logo a série ∑ ∞ = + 1 3 52 n n n converge. Isto não significa que a soma da série seja igual a 3 2 . Na verdade temos: 2 9 3 1 1 3 5 3 2 1 3 2 3 1 . 3 5 3 2 3 2 3 52 1 1 1 1 1 = − + − = + = + ∑∑∑ ∞ = −∞ = −∞ = n n n n n n n 2) ( ) ( )∑ ∞ =1 2 ! !2 n n n Solução: Através do teste da razão temos: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 1 122 lim !2!1!1 !21222!! lim ! !2 !1 !22 limlim 2 2 1 >= + + = ++ ++ = + + = +∞→+∞→+∞→ + +∞→ n n nnnnn nnnnn n n n n a a nnn n n n Logo a série ( ) ( )∑ ∞ =1 2 ! !2 n n n diverge. TEOREMA 8: (Teste da raiz) Seja ∑ ∞ =1n na uma série com 0≥na para Nn ≥ e suponha que lan n n = +∞→ limEntão: (a) a série ∑ ∞ =1n na converge se 1<l , (b) a série ∑ ∞ =1n na diverge se 1>l ou se ∞=l , (c) o teste é inconcludente se 1=l . Demonstração: Parte (a) Suponha que 1lim <= +∞→ lan n n . Escolha um 0>ε pequeno o suficiente para que 1<+ εl . Como lan n → , os termos n na acabam se aproximando de l a menos de ε . Em outras palavras, existe um índice INM ∈ tal que ε+< lan n , quando Mn ≥ Portanto também é verdade que ( )nn la ε+< para Mn ≥ . Mas ( )∑ ∞ = + Mn n l ε é uma série geométrica com razão 1<+ εl , logo converge. Por comparação, a série ∑ ∞ =Mn na converge o que nos leva a concluir que ∑∑ ∞ = − ∞ = +++= Mn nM n n aaaa 11 1 K converge. Parte (b) Suponha que lan n n = +∞→ lim , onde ∞≤< l1 . Para todos os índices além de algum inteiro M, temos 1>n na , de modo que 1>na para Mn > . Os termos da série ∑ ∞ =1n na não convergem para zero, logo a série ∑ ∞ =1n na diverge pelo teste do n-ésimo termo. Parte (c) Suponha que 1lim == +∞→ lan n n . As séries ∑ ∞ =1 1 n n e ∑ ∞ =1 2 1 n n mostram que o teste não é conclusivo quando 1=l . A primeira série diverge e a segunda converge, mas em ambos os casos 1lim = +∞→ n n n a . Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 1) ∑ ∞ =1 2 2n n n Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 1 2 1 2 lim 2 limlim 22 <=== +∞→+∞→+∞→ n n n nn n n n nn a , logo a série ∑ ∞ =1 2 2n n n converge 2) ( )∑ ∞ =1 lnn n n n n Solução: Aplicando o teste da raiz temos: ( ) +∞===== +∞→+∞→ ∞ ∞ +∞→+∞→+∞→ n n n n n n a nnn n n n n n n n lim 1 1 lim ln lim ln limlim , logo a série ( )∑ ∞ =1 lnn n n n n é divergente. SÉRIES ALTERNADAS Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série alternada. Exemplos: 1) ( ) K+−+−+−= − ∑ ∞ = + 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 n n n 2) ( ) K+−+−+−= + − ∑ ∞ = 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1n n n n Jéssica Highlight TEOREMA 9: (Teste da série alternada – Teorema de Leibniz) A série ( )∑ ∞ = + +−+−=− 1 4321 1 1 n n n aaaaa K é convergente se todas as três condições a seguir forem satisfeitas: (a) os na forem todos positivos, (b) 1+≥ nn aa para todo Nn ≥ , para algum N inteiro, (c) 0lim = +∞→ nn a . Demonstração: Se n é um inteiro par, digamos mn 2= , então a soma dos n primeiros termos é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mmm mmm aaaaaaaa aaaaaaS 2122254321 21243212 −−−−−−−−= =−++−+−= −− − K K A primeira igualdade mostra que mS2 é a soma de m termos não negativos, uma vez que cada termos entre parênteses é positivo ou zero. Consequentemente, mm SS 222 ≥+ e a sequência ( )mS2 é crescente. A segunda igualdade mostra que 12 aS m ≤ . Como ( )mS2 é crescente e limitada superiormente, tem um limite: LS m m = +∞→ 2 lim (14) Se n é um inteiro ímpar, digamos 12 += mn , então a soma dos n primeiros termos é 12212 ++ += mmm aSS . Como 0lim =+∞→ nn a , então 0lim 12 =++∞→ mm a e, como +∞→m ( ) LLaSS mm m m m =+=+= ++∞→++∞→ 0limlim 12212 (15) A partir dos resultados (14) e (15), temos que as sequências das somas parciais ( )mS2 e ( )12 +mS tem um limite único, então LSn n = +∞→ lim e a série ( )∑ ∞ = +− 1 1 1 n n n a converge. Exemplo: A série ( ) K+−+−+−= − ∑ ∞ = + 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 n n n satisfaz as três condições do Teorema de Leibniz e, portanto converge. DEFINIÇÃO 4: (Convergência absoluta) Uma série ∑ ∞ =1n na converge absolutamente (ou é absolutamente convergente) se a série de valores absolutos correspondente, ∑ ∞ =1n na converge. DEFINIÇÃO 5: (Convergência condicional) Uma série que converge, mas não converge absolutamente, converge condicionalmente (ou é condicionalmente convergente). TEOREMA 10: (Teste da convergência absoluta) Se ∑ ∞ =1n na converge, então ∑ ∞ =1n na converge. Demonstração: Para cada n temos: nnn aaa ≤≤− , assim nnn aaa 20 ≤+≤ Se ∑ ∞ =1n na converge, então ∑ ∞ =1 2 n na converge, e pelo teste de comparação, a série não negativa ( )∑ ∞ = + 1n nn aa converge. A igualdade ( ) nnnn aaaa −+= nos permite expressar ∑ ∞ =1n na como a diferença de duas séries convergentes: ( ) ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = −+= 111 n n n nn n n aaaa Portanto ∑ ∞ =1n na converge. *OBS.: Podemos dizer que toda série absolutamente convergente é convergente, entretanto, a afirmação contrária não é verdadeira, pois existem muitas séries convergentes que não são absolutamente convergentes, como por exemplo: a série alternada ( ) ∑ ∞ = +− 1 1 1 n n n é convergente, mas a série de valores absolutos correspondente ∑ ∞ =1 1 n n é divergente. Exemplos: 1) Para a série ( ) ∑ ∞ = +− 1 2 1 1 n n n , a série de valores absolutos correspondente é a série convergente ∑ ∞ =1 2 1 n n , portanto a ( ) ∑ ∞ = +− 1 2 1 1 n n n é absolutamente convergente. 2) Para a série ∑ ∞ =1 2 n n senn , a série de valores absolutos correspondente é ∑ ∞ =1 2 n n senn , que converge por comparação com a série ∑ ∞ =1 2 1 n n porque INnsenn ∈∀≤ ,1 . A série ∑ ∞ =1 2 n n senn converge absolutamente, logo é convergente. 3) A série ( ) 12 1 1 1 1 + + −∑ ∞ = + n n n n é divergente, pois 0 2 1 12 1 lim ≠= + + +∞→ n n n . TESTES DE CONVEGÊNCIA ABSOLUTA PARA SÉRIES NUMÉRICAS TEOREMA 11: (Teste da Razão) Consideremos uma série ∑ ∞ =1n na , onde cada termo na é diferente de zero e o limite l a a n n n =+ +∞→ 1lim . (i) Se 1<l , então a série converge absolutamente. (ii) Se 1>l , ou ∞=l , então a série diverge. Demonstração: Supondo que 1lim 1 <=+ +∞→ l a a n n n , escolhemos um número real r tal que 1<< rl , e na definição de limite de uma sequência consideramos lr −=ε . Existe um índice INn ∈0 a partir do qual é válida a relação: lrl a a n n −<−+1 ou de modo equivalente; lrl a a lr n n −<−<+− +1 (1) Segue de (1) que 01 , nnara nn ≥∀<+ , e nessa desigualdade, fazendo sucessivamente K,3,2,1, 0000 +++= nnnnn , obtemos: K,3,2,1, 00 =∀<+ kara n k kn (2) e como 10 << r , então a série geométrica ∑ ∞ =1n kr converge e de (2) mais o Teste da Comparação deduzimos que a série ∑ ∞ = + 1 0 n kna também converge. Para concluir que ∑ ∞ =1n na é convergente, é só aplicar o Teorema 2, pois as séries ∑ ∞ = + 1 0 n kna e ∑ ∞ =1n na diferem apenas em uma quantidade finita de termos, logo ambas convergem. Isto prova a parte (i). Para provar a parte (ii), admitimos que 1lim 1 >=+ +∞→ l a a n n n e consideramos agora r tal que lr <<1 . Novamente da definição de limite de sequência tomamos rl −=ε ,fixamos um índice INn ∈0 , a partir do qual se tem: εε +<<−=< + l a a lr n n 11 (3) e daí obtemos 0,0 0 nnaa nn ≥∀≤< e portanto a sequência ( )na , caso seja convergente, possui limite diferente de zero. Portanto pelo teste do n-ésimo termo deduzimos que a série ∑ ∞ =1n na diverge. Exemplos: 1) Considere a série ( ) ∑ ∞ = − 1 ! 1 n nn n n , temos que: ( ) ( ) 1 1 lim ! !1 1 limlim 1 1 >= += + + = +∞→ + +∞→ + +∞→ e n n n n n n a a n nn n n n n n e pelo Teste da Razão concluímos que a série diverge. 2) Para cada uma das séries ( ) ∑ ∞ = − 1 2 1 n n n , ( ) ∑ ∞ = − 1 1 n n n e ∑ ∞ =1 1 n n temos que 1lim 1 =+ +∞→ n n n a a e o Teste da Razão não se aplica. A convergência deve ser investigada por meio de outros argumentos. A série ( ) ∑ ∞ = − 1 2 1 n n n converge absolutamente, porque a série ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = = − 1 1 22 11 n n n nn é convergente. A série ( ) ∑ ∞ = − 1 1 n n n converge condicionalmente e a série ∑ ∞ =1 1 n n é a série harmônica que é divergente. Essas séries mostram que de fato o Teste da Razão não se aplica àquelas séries ∑ ∞ =1n na , tais que 1lim 1 =+ +∞→ n n n a a . 3) Considerando a série ( ) ( )[ ] ∑ ∞ = −− 1 !.2.4 125.3.11 n nn n n nK , temos que: ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1 4 1 4 1 lim 18 12 lim !.2.4 125.3.11 !1.2.4 12125.3.11 limlim 11 1 1 <== + + = −− + +−− = +∞→+∞→ ++ + +∞→ + +∞→ nn nn n nn n n n n n n n n n n nn a a K K Portanto, pelo Teste da Razão a série é absolutamente convergente. TEOREMA 12: (Teste da Raiz) Dada uma série ∑ ∞ =1n na e seja la n n n = +∞→ lim . (i) Se 1<l , então a série converge absolutamente. (ii) Se 1>l , ou ∞=l , então a série diverge. Demonstração: (Análoga a demonstração do Teorema 8) Exemplos: 1) Considere a série: ∑ ∞ = + − 1 13n n n n , podemos verificar pelo Teste da Raiz que: 1 3 1 3 1 lim 13 lim 13 limlim <== + = + −= +∞→+∞→+∞→+∞→ nn n n n n n n n n n n a logo a série converge absolutamente. 2) Considere a série ( ) ∑ ∞ = − 1 2 2 n n n , podemos verificar pelo Teste da Raiz que: ( ) 12 2 lim 2 limlim 22 >== − = +∞→+∞→+∞→ nn n n n n n n nn a logo a série diverge.
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