ESTIMAÇAO e INTERVALO DE CONFIANCA.by Belmiro

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Introdução 
Em estatística queremos estudar fenómenos de natureza aleatória e, em particular, determinar um conjunto de propriedades que os caracterizam. Esses fenómenos estão associados a população que podem ser finitas ou infinitas. Enquanto, no caso de populações finitas, pode ser possível (mas raramente aconselhável) obter a informação pretendida através de uma enumeração completa da população, já no caso de populações infinitas tal não é possível, restando-nos como alternativa recorrer à amostragem.
O aspecto essencial da estatística inferencial é que, a partir da análise dos resultados em uma amostra, permite a generalização dos dados para população. Mas, enquanto a população é estável, as amostras variam, não constituindo uma réplica em miniaturas da população. De tal constatação decorre o facto de que a estatística inferencial é essencialmente incerta, pois há sempre a possibilidade de se tomar decisão errada, uma vez que os resultados da amostra são parcialmente fortuitos. A estatística inferencial, devido a seus resultados incertos, apoia-se na teoria de probabilidade. Desejamos óptima atenção e bom proveito
Objectivo 
Objecto geral 
Desenvolver o intervalo de confiança 
Objectivo específico 
Mostrar os Intervalo de confiança para as média e as variáncias 
Descrever Intervalo de confiança para o desvio padrão
Identificar os Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido
Estimativa Pontual para a Média 
O que é estimador e estimativa?
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. Mesmo que não se encontre exactamente o valor verdadeiro, este será aproximado.
Uma estimativa é um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para aproximar um parâmetro populacional.
Estimadores
Estimativa pontual: É um valor único (número) usado para aproximar um parâmetro populacional;
Estimativa intervalar: Intervalo que tem uma probabilidade de conter o verdadeiro valor da população.
Utilizamos a média amostral como a melhor estimativa da média populacional . Como a média amostral é um valor único que corresponde a um ponto na escala numérica, ela é chamada de estimativa pontual.
Há duas razões importantes que explicam por que uma média amostral é um melhor estimador de uma média populacional do que quaisquer outros estimadores, como a mediana ou a moda.
Para muitas populações, a distribuição de médias amostrais tende a ser mais consistente (apresentar menor variação) do que as distribuições de outras estatísticas amostrais.
Para todas as populações, dizemos que a média amostral é um estimador não tendencioso para a média populacional .
Portanto, a média amostral é a melhor estimativa pontual para a média populacional .
Exemplo: A temperatura do corpo humano é realmente 37,2º C?
Com os dados de 106 adultos saudáveis, vamos verificar a média amostral .
Pelos dados fornecidos, chegamos às seguintes informações:
 elementos;
;
 .
Com os dados fornecidos, a melhor estimativa para a média populacional seria 36,8º C.
Mas se só tivéssemos os 10 primeiros elementos?
Neste caso, a média seria de 36,9º C.
Estimação Pontual.
Suponha que seja uma amostra aleatória de uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro. Sabemos que o primeiro momento de é igual a e o primeiro momento da amostra é . O método dos momentos consiste em resolver a equação ou 
Se é uma variável aleatória cuja função de densidade depende de sua média de sua variância , então obtemos os estimadores dos parâmetros obtidos pelo método dos
momentos conforme segue
Daí, resolvemos o sistema
 
Ou
, 
Obs: Se o enésimo momento de X independente do parâmetro θ, toma-se o momento
de ordem imediatamente superior, para estabelecer o estimador correspondente. O
exemplo que se segue, esclarece esta questão.
Exemplo 4.3
Suponha uniformemente distribuída no intervalo . Como , ou seja, independente de , calcularemos o segundo momento de e o igualaremos ao momento de segunda ordem da amostra:
Assim, o estimador de θ pelo método dos momentos é 
Estimação pelo Método de Máxima Verossimilhança
O Director de uma Escola, no início de um certo dia, inquiriu sua bibliotecária sobre o número médio de retiradas de publicações para consulta, por dia. Alertou-a que precisava da informação no início do dia seguinte. Não dispondo de dados históricos, ela resolveu registrar o valor observado naquele dia, e a partir desta única observação, inferir o número desejado pelo Diretor. Ao final do dia a bibliotecária registrou x = 5 “retiradas para consulta”, e, com base em sua experiência, decidiu informar este próprio valor como sendo o número médio desejado.
Suponhamos que o número de retiradas X, tenha distribuição de Poisson (λ), cuja função de probabilidade é , 
Recordemos que, isto é, o próprio parâmetro de .
Segue abaixo um extracto da tabela de Probabilidades de Poisson, contida no Apêndice
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	P(X=5
	0,0031
	0,0361
	0.1008
	0,1563
	0,1606
	0,1606
	0,1277
	0,0916
	0,0607
	0,0370
O quadro mostra na realidade, uma função f (5,λ), do parâmetro λ, assumindo valores no intervalo (0,1). Esta função assume seu valor máximo no ponto λ= 5.
A solução proposta pela bibliotecária, embora rápida, simples e baseada numa única observação do fenómeno, tem seu valor, na medida que o valor k = 5 é mais provável de ocorrer se o parâmetro da população é igual a λ= 5.
Estimador de máxima verosimilhança
Passaremos à descrição de um método, de aplicação geral, para calcular estimadores de
Parâmetros, ao qual se dá o nome de método da máxima verosimilhança.
Se forem os elementos de uma amostra aleatória, tirada de uma distribuição com f.d.p. (função do parâmetro que se pretende estimar), então a f.d.p. conjunta de é uma vez que as variáveis são estatisticamente independentes. A esta função, dá-se o nome de função de verosimilhança da amostra aleatória, e representa-se da seguinte maneira, 
 Com Ω o espaço do parâmetro.
Se for possível encontrar uma função (dos elementos da amostra ), tal que, quando o parâmetro é substituído pelo valor de , a função de verosimilhança atinge uma valor máximo, então a estatística correspondente , chama-se estatística de máxima verosimilhança para . É costume designá-la por .
Na maior parte dos casos, existe uma única estatística de máxima verosimilhança , para o parâmetro , sendo quase sempre calculada por diferenciação, o valor da variável que maximiza esta função , também maximiza o e anula a sua primeira derivada.
Em alguns casos, a função de verosimilhança não tem derivada contínua e noutros a estatística que maximiza a função não é um zero da primeira derivada.
Estimador da média
Para estimar a média da população, usando os elementos de uma amostra aleatória, parece lógico usar-se a média da amostra, . O parâmetro da população é agora a média e o estimador é , os momentos de são:
Se a v.a. X segue a distribuição normal, também segue a mesma distribuição.
Quando o tamanho da amostra é considerado suficientemente grande, a variável tem uma distribuição assimptótica normal (Teorema do Limite Central) com média e desvio padrão . Já se viu que é um estimador não tendencioso para .
De acordo com a figura abaixo, que dá a distribuição aproximadamente normal da variável
, pode concluir-se que, com probabilidade 0.954, o erro da estimativa não excede .
Figura: Distribuição do estimador 
Não sendo conhecido o valor da variância da população,, pode usar-se a variância da amostra (desvio padrão = s). Assim o erro padrão do estimador é .
Estimador da variância
O estimador mais usado para a variância da população, é a variância da amostra,.
Usando a seguinte definição:
Obtemos um estimador não tendencioso,uma vez que ;
A variância deste estimador é, para uma distribuição normal, , No entanto, se usarmos, como definição de variância da amostra, a estatística 
é possível determinar os momentos:
 e 
Intervalo de confiança 
O segundo tipo de estimação sobre o qual nos vamos debruçar mais, denomina-se estimação por intervalo. Ela estabelece um intervalo de valor e dentro do qual um parâmetro populacional provavelmente caia a um determinado nível de confiança. O intervalo de confiança, é o intervalo dentro do qual um parâmetro populacional é esperado ocorrer.
Os intervalos de confiança que são em geral usados são os de 95 %, 98% e 99 %. Um intervalo de confiança de 98 % significa que cerca de 98 % dos intervalos construídos similarmente conterão o parâmetro que está sendo estimado. Se tomarmos 95%, poder-se-á dizer que 95 % das médias amostrais para um tamanho de amostra especificado cairão a uma distância máxima de 1,96 desvios padrões da média populacional.
Intervalo de confiança para a média
Para casos referentes a média é necessário destacar três casos:
Intervalo de confiança para a média, se o desvio é conhecido, o que é tratado pela distribuição normal;
Intervalo de confiança para a média, se o desvio não é conhecido e a amostra é grande, o que é tratado pela distribuição normal com desvio amostral no lugar do desvio populacional e Intervalo de confiança para a média, se o desvio não é conhecido e tamanho da amostra pequeno, o que é tratado pela distribuição t-Student com graus de liberdade.
Erro padrão da média amostral
Usado para situações em que a população é finita, isto é para os casos em que a população é infinita, isto é, ai usa-se 
Intervalo de confiança para a média com desvio conhecido e ∀n. Estamos sob presença de uma distribuição normal.
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por 
e que o respectivo intervalo de confiança será . O valor de z que é tabelado devera ser consultado para é o nível de confiança. O respectivo erro padrão de estimativa será a amplitude e o tamanho da amostra 
Exemplo: Quando certos dados foram submetidos a análise por uma equipa que se dedica a revisão curricular de certa faculdade descobriu-se que todos tinham o mesmo erro de estimativa (no valor de 3,52) numa amplitude de 6. Qual deveria ter sido o tamanho da amostra, sabendo que tomaram a um nível de significância de 95%.
Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra grande n> 30 (Distribuição Normal)
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por 
 e o respectivo intervalo de confiança será . o valor de z que é tabelado, devera ser consultado para é o nível de confiança. O respeito erro padrão de estimativa será a amplitude e o tamanho da amostra neste caso deve obter-se o s a partir de calculo a ser feito com base nos recolhidos e que compõem a amostra.
 Exemplo: Uma universidade quer estimar o número médio de horas trabalhadas por semana por seus estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas com um desvio padrão de 4 horas. A estimativa por ponto do número médio de horas trabalhadas por semana é 24 horas (média amostral). Qual é o intervalo de confiança de 95 % para o número médio de horas trabalhadas por semana?
Respostas: usando a formula anterior temos ou 22, 88 a 25, 12.
O limite de confiança inferior é 22,88. O limite superior de confiança é 25,12. O grau de confiança (nível de confiança) utilizado é 0,95.
Se nós tivéssemos tempo para seleccionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da população de alunos do campus universitário e calcular as médias amostrais, os intervalos de confiança para cada uma destas 100 amostras, a média populacional (parâmetro) do número de horas trabalhadas estariam contidos em cerca de 95 dos 100 intervalos de confiança. Cerca de 5 dos 100 intervalos de confiança não conteriam a média populacional.
Intervalo de confiança para a média com desvio desconhecido e amostra pequena n ≤ 30 (Distribuição t-Student)
Determinemos a respectiva probabilidade que é dada por
 e que o respectivo intervalo de confiança será . O valor de t que é tabelado, devera ser consultado para é o nível de confiança e graus de liberdade. O respeito erro padrão de estimativa será , a amplitude o tamanho da amostra caso deve obter-se o s a partir de cálculo a ser feito com base nos dados recolhidos e que compõem a amostra.
Exemplo: tempo que uma máquina leva a executar determinada operação numa peça está sujeito a variações. Para verificar se as condições de funcionamento da máquina estão dentro das normas, registou-se 12 vezes o referido tempo. Os resultados (em segundos) foram os seguintes: 29 33 36 35 36 40 32 37 31 35 30 36. Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de execução da tarefa pela máquina em análise, sabendo que esta segue uma distribuição aproximadamente normal.
Resolução: Podemos definir a nossa variável X como o “tempo, em segundos, que uma máquina leva a executar uma tarefa”. Sabemos que X segue uma distribuição normal. Como desconhecemos os parâmetros da distribuição e n é pequeno, vamos usar distribuição t-student.
 
Repare que é distribuição t-student com n-1=12-1=11 graus de liberdade.
Consultamos na tabela, o em anexo a linha 11, coluna e encontramos o valor de 2,201.
Substituindo na fórmula teremos a probabilidade .
e o intervalo será] 32,15;36,19 [
 
Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por:
Onde: é a proporção amostral é o erro padrão da proporção amostral e
é dado por: respectivo intervalo de confiança é dado por onde: é a proporção amostral Z é o valor de z que é tabelado, deverá ser consultado para . O respectivo erro padrão de estimativa sera a amplitude e o tamanho da amostra 
Neste caso deve obter-se o s a partir de cálculo a ser feito com base nos dados recolhidos e
que compõem a amostra.
Factor de Correcção de População Finita
Uma População denomina-se finita quando (ou seja, quando a fracção amostral é maior do que 5 %).
Erro padrão da proporção amostral usado para situações em que a população é finita, isto é . Para os casos em que a população é infinita, isto é,aí usa-se 
Exemplo: Uma amostra aleatória de 100 eleitores do Município de Maputo dá 55% como favoráveis a um certo candidato. Determine os limites de confiança para a proporção global de eleitores favoráveis ao candidato assumindo 95% de confiança.
 
Intervalo de confiança para uma variância
Intervalo de confiança para uma variância se a média é conhecida
Para o caso da variância, se conhecemos a média, podemos determinar a probabilidade como sendo onde é o nível de confiança. O respectivo intervalo de confiança será em que o tem graus de liberdade.
Intervalo de confiança para a diferença de médias
Intervalo de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são conhecidos
Para o caso em que todos parâmetros são dados excepto a diferença de médias que se pretende estimar, a respectiva probabilidade é dada por:
 , Onde é o grau de confiança, e o respectivo intervalo de confiança é dado por
Exemplo: Uma amostra de 150 lâmpadas eléctricas da marca A apresenta uma vida média de 1400h e um desvio padrão de 120h. Uma amostra de 200 lâmpadas da marca B apresenta média 1200h e desvio padrão de 80h. Determine os limites de confiança a 95 % para a diferença das vidas médias das lâmpadas das duas marcas.
Intervalo de confiança para o desvio padrão
Admitindo que a distribuição de probabilidade populacional de onde se extraiu a amostra seja normal, um intervalo de confiança aproximado para o desvio padrão () é dado pela raiz quadrado do IC para a variância ().
Assim, 
Onde a distribuição é tomada com graus de liberdade.
Exemplo: Com os dados do exemplo anterior construa o IC para o desviopadrão populacional.
Solução: Do exercício anterior , logo um IC aproximado para será:
ou
O intervalo contem o desvio padrão populacional com 90% de confiança.
Intervalo de confiança para a variância populacional
O estimador para a variância populacional é. Tal como foi referido na teoria da amostragem, a distribuição de Qui-Quadrado relaciona as duas variáveis.
Admitindo-se que a população de onde foi extraída a amostra tenha distribuição normal então o intervalo poderá ser:
Substituindo-se o valor de X2, e isolando-se obtém-se o intervalo de confiança para a variância populacional. Onde indica o número de graus de liberdade da distribuição do Qui-Quadrado.
Exemplo: Dada uma amostra de tamanho 10,e variância 4. Construir um intervalo de confiança para a variância populacional ao nível de confiança de 90%.
Resolução:egraus de liberdade.
Consultando a tabela de distribuição Qui-Quadrado temos:
O do Qui-Quadrado superior, é obtido na tabela 3, entrando-se na linha 9 e coluna =0.05. Assim. O valor de Qui-Quadrado inferior, é também obtido na tabela 3, entrando-se na linha 9 e coluna, para o nível 
. Assim 
Resposta: Ao nível de confiança de 90% pode-se dizer que a verdadeira variância populacional esta entre 2.13 a 10.81 inclusive ou seja,
Intervalo de confiança para a proporção 
Consideremos uma população binomial com P a proporção da sucessora na população de uma certa característica. A proporção é usada como estimador da proporção P (s), onde x é o número de elementos com características pesquisadas na amostra de tamanho .
Logo: é a proporção de sucessos na amostra.
Se passarmos para escores reduzidos a proporção amostral; temos: 
Como p(s)=p, geralmente não é conhecido, ele é substituídos pelo correspondente estimador pontual p, é o intervalo tomará a forma: .
Onde;
= Numero de “sucessos” (caso favorável) na amostra,
n= Tamanho da amostra 
f==Estimador de p
Fixando um nível de confiança de (n-1), temos:
	
Exemplo: um medicamento novo foi experimentado em 2500 indivíduos, tendo-se revelado eficaz em 80% dos casos. Determine o intervalo de confiança da proporção do medicamento ser eficaz para a probabilidade de 0.95.
Resolução:
Resposta: com um erro de 5% pode-se dizer que o intervalo de confiança de que o medicamento seja eficaz é de 78% a 82%.
Para o caso de populações finitas, a fórmula anterior passará ser corrigida pelo factor . Assim para grandes amostras,para a proporção de uma população finita será dado por:
Observação: uma regra prática para se testar a hipótese de amostra suficientemente grande é verificar se o intervalo não contem 0 ou 1.
Estimativa de uma Média Populacional: 
Grandes Amostras
Coeficiente de confiança é a probabilidade de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
O grau de confiança é também chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança.
Amargemde erro, denotado por E é a diferença máxima provável (com probabilidade ) entre a média amostral observada e a verdadeira média populacional . A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valor crítico pelo desvio padrão das médias amostrais,
 
Tamanho da Amostra para estimar 
Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de precisão desejado.
Resolvendo a equação do erro em obtemos 
Intervalo de confiança quando a media populacional quando a variância é desconhecida
Se é a media amostral de tamanho n, tirada de uma população normal com variância conhecida , a um nível de confiança ; o intervalo de confiança do estimador da media populacional é dada por:
 .
Para uma distribuição das médias amostrais, em que as amostras foram extraídas com reposição, teremos:
Se a amostra for sem reposição usa-se o factor de correcção:
, 
Ao desvio padrão da distribuição amostral com media dá se o nome de erro padrão:
 , o erro padrão é o indicador da precisão da estimativa, quanto menor for o erro mais precisão é a estimativa.
Exemplo:A duração da vida de um a peça de equipamento é tal que. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtém-se média de 500 horas. Deseja-se construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração media da peca com nível de 95% de confiança.
Solução:
Temos: ;;; 
O gráfico da distribuição padrão será:
Para descobrir a abcissa1.96, entramos na tabela da distribuição normal padrão:
	Níveis de confiança
	Intervalos de incerteza
	0.50
	0.674
	0.6827
	1.000
	0.80
	1.282
	0.90
	1.645
	0.95
	1.960
	0.9545
	2.000
	0.99
	2.576
	0.9973
	3.000
Substituindo os dados na fórmula teremos:
Resposta: o intervalo contem a duração média da peca com 95% de confiança, ou seja, com 95% de confiança.
Para o caso de amostras sem reposição usa-se a seguinte formula:
P()=1-
Exemplo: vamos admitir os mesmos dados do exemplo anterior, considerando como população a produção de 1000 peças. Neste o intervalo para a média será:
Resolução:
Logo, o intervalo , contem a duração média das 1000 peças com 95%de confiança.
Intervalos de confiança para a diferença de médias se os dois desvios são desconhecidos e as amostras são grandes
A sua probabilidade é dada por 
 o respectivo intervalo de confiança será , em que é o nível de confiança, n1 e n2 são tamanhos da primeira e segunda amostra, respectivamente. (diferença de médias amostrais).
Exemplo: Foi realizado um estudo para determinar se um certo tratamento tinha efeito corrosivo sobre determinado metal. Uma amostra de 100 peças foi imersa num banho durante 24 horas com o tratamento, tendo sido removido uma média de 12.2 mm de metal com um desvio padrão de 1.1mm. Uma segunda amostra de 200 peças foi também imersa durante 24 horas mas sem tratamento, sendo a média do metal removido de 9.1mm, com um desvio padrão de 0.9mm. Determine um intervalo de confiança a 98% para a diferença entre as médias das populações, retirando conclusões quanto ao efeito do tratamento.
Resolução: como e são grandes vamos utilizar e logo
Então, para o intervalo de confiança para a 98% de confiança (ou com 2% de risco de erro) vai ser 
 Como Concluiu-se que o tratamento tem efeito corrosivo no
metal
Intervalo de confiança para a diferença de proporções 
Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por:
Onde: é a diferença de proporção amostral Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiança e são os tamanhos das respectivas amostras. O valor de Z que é tabelado, deverá ser consultado para .
Exemplo: Uma amostra aleatória de 100 eleitores do Município de Maputo, para certos bairros, dá 55% como favoráveis a um certo candidato, e outra de 100 eleitores para outro bairro, dá 52% ao mesmo candidato. Determine os limites de confiança para a diferença de proporções de eleitores favoráveis ao candidato assumindo 95% de confiança.
Intervalo de confiança para quociente entre duas variâncias
Se e são duas variáveis aleatórias independentes com distribuição do Qui-Quadrado, a razão:
Ira seguir a distribuição com graus de liberdade.
A função densidade de probabilidade para é:
Exemplo:
Seja e ; se e são variáveis amostrais, medidas em amostras de tamanho e , teremos:
 
Assim, a distribuição F pode ser usada para fazer inferências sobre a variância de duas distribuições normais.
Intervalo de confiança para quociente entre duas variâncias.
Para comparar duas variâncias, e , oriundas de populações com distribuição Normal, é vantajoso trabalhar com quociente / uma vez que este se distribui conforme a distribuição F.
Intervalo de confiança para este quociente virá dado por: 
Onde são os pontos percentuaisda distribuição F com egraus de liberdade, tais que 
Se o valor (um) estiver contido neste intervalo, então não pode ser descartada a hipótese de que a variância das duas populações seja a mesma.
Os respectivos intervalos unilaterais serão dados por:
Limite inferior: 
Limite superior: 
As tabelas da distribuição F costumam fornecer apenas os valores de, 
, Mas pode ser obtido a partir da seguinte reacção 
Exemplos: os valores a seguir representam os tempos de produção de duas máquinas. Analise os dados e conclua a respeito da variabilidade das máquinas A e B:
	A
	91,0
	90,3
	90,2
	92,1
	91,8
	91,3
	89,3
	91,0
	91,2
	89,6
	B
	91,8
	91,2
	89,4
	89,2
	90,7
	92,6
	91,3
	91,2
	
	
 
Maquina A: 
Maquina B:
O intervalo inclui o valor 1, assim não pode ser descartada a hipótese de que a variabilidade das duas máquinas seja a mesma.
Conclusão 
Durante a abordagem do trabalho conclui-se que uma outra maneira de se calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido, é construir um intervalo de confiança para esse parâmetro com uma probabilidade de 1- a (nível de confiança) de que o intervalo contenha o verdadeiro parâmetro. Dessa maneira a será o nível de significância, isto é, o erro que se estará cometendo ao afirmar que o parâmetro está entre o limite inferior e o superior calculado.
Este trabalho é inacabável, porque existem vários temas que não foram abordadas de uma forma superficial, os conteúdos estão de uma forma sumaria. 
Referencias Bibliográficas 
MARTINS, Gilberto de Andrade, Estatística Geral e Aplicada, 3a edição, São Paulo, 2009
BASTOS, Luís Roberto, Probabilidade e Estatística, 2005.
CHICAFO, Mulenga Alberto, Introdução a Estatística, Maputo, 1999
ROBALO, A. Estatística exercícios. Distribuições e inferência estatística. 5a edição. Lisboa, 
 Portugal. 2001.