Transformações Lineares - Lista de Exercícios 2

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Transformações Lineares – Lista de Exercícios 2 
 
 
1) Dentre os operadores dados abaixo, verifique quais são inversíveis e, no caso afirmati-
vo, determine a inversa. 
a) 
2 2:f 
, 
   , 2 , 2 3f x y x y x y   
 
b) 
2 2:f 
, 
   , 2 , 4 2f x y x y x y   
 
c) 
3 3:f 
, 
   , , 2 , ,2 3f x y z x y z y z y z    
 
 
2) Verificar se o operador linear 
3 3:f 
 definido por 
   1,0,0 2, 1,0f  
, 
   0, 1,0 1, 1, 1f     
 e 
   0,3, 1 0,1,1f  
 é inversível e, em caso afirmativo, determi-
nar 
 1 , ,f x y z
. 
 
3) Determine, em cada caso, a matriz de 
f
 na base 
 A
e, a seguir, utilizando a relação en-
tre matrizes semelhantes, calcular a matriz de 
f
 na base 
 B
. 
a)    
    
2 2: ; , 7 4 , 4
 é a base canônica e 2,1 , 1,2
f f x y x y x y
A B
    
 
 
b)    
      
3 3: ; , , 2 2 , ,2 3
 é a base canônica e 0,1, 1 , 1,0,0 , 1,0,1
f f x y z x y z y y z
A B
    
  
 
 
4) Quais dos seguintes operadores são ortogonais? 
a) 
2 2:f 
; 
   , ,f x y y x  
 
b) 
2 2:f 
; 
   , ,f x y x y x y  
 
 
5) Verifique se alguma das matrizes abaixo é ortogonal. Alguma delas representa uma ro-
tação? 
a) 
3 4
5 5
4 3
5 5
A
 
 
  
 
  
 
b) 
5 2 5
5 5
2 5 5
5 5
B
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determinar 
 e m n
para que os seguintes operadores no 3 sejam simétricos: 
a) 
   3 3: ; , , 3 2 , 3 ,f f x y z x y mx y z ny z     
 
b) 
   3 3: ; , , 2 , 4 ,2 3f f x y z x z mx y nz x y z      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) (a)
   1 , 3 2 , 2 ;f x y x y x y     
 
 (b) 
f
não é inversível; 
 (c) 
   1 , , ,3 ,2 ;f x y z x y z y z y z      3,4 .v 
 
 
2) 
   1 , , , 2 4 7 , 2 3 ;f x y z y z x y z x y z        
. 
 
3) (a) 
7 4
4 1
AT
 
   
 e 
9 0
0 1
BT
 
   
 
 (b) 
1 2 2
0 1 0
0 2 3
AT
  
 
 
  
 e 
1 0 0
0 1 0
0 0 3
BT
 
 
 
  
 
 
4) 
B
 é matriz ortogonal. 
 
5) 
 e A C
são matrizes ortogonais mas apenas 
A
representa uma rotação. 
 
6) (a) 
2 e 3m n   
; 
 (b) 
0 e 3m n  
.