Geometria Analítica - Conceito e atividades com resoluções

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
A Geometria Analítica teve como principal idealizador o francês René Descartes (1596 – 1650). 
Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, faz-se corresponder a cada ponto 
do plano um par ordenado e vice-versa. 
Quando os eixos desse sistema são perpendiculares entre si, em um ponto O (origem), essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). 
 
 
1º quadrante: x>0 e y>0 
2º quadrante: x<0 e y>0 
3º quadrante: x<0 e y<0 
4º quadrante: x>0 e y<0 
 
Distância de dois pontos 
 
Dados os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB), calcula-se a distância entre eles, aplicando o teorema 
de Pitágoras no triângulo ABC, 
 
 
seja d a distância entre os pontos A e B 
O 
x 
y 
1º quadrante 2º quadrante 
3º quadrante 
4º quadrante 
d2 = (AC)2 + (BC)2 
d2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2B 
d = 2AB
2
AB )yy()xx( -+- 
 
Ponto médio 
 
Dados os pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e P que divide AB ao meio, temos: 
 
P = ÷
ø
ö
ç
è
æ ++
2
yy
,
2
xx BABA 
 
Condição de alinhamento de três pontos 
 
Se três pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) estão alinhados, então: 
0
1yx
1yx
1yx
CC
BB
AA
= 
 
Equações de uma reta 
I) Equação geral é obtida a partir da condição de alinhamento de três pontos. A toda reta 
r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + by + c = 0 
onde a, b, c são números reais, a ¹ 0 ou b ¹ 0 e (x,y) representa um ponto genérico da 
reta r. 
II) Equações paramétricas são equações da forma x = f(t) e y = f(t), que relacionam as 
coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro “t”. 
III) Equação reduzida é obtida isolando-se o y na equação geral ax + by + c = 0, onde 
obtemos 
b
c
x
b
a
y --= . Fazendo-se m
b
a
=- e q
b
c
=- , temos y = mx + q. 
m é chamado de coeficiente angular da reta r, ( fornece a inclinação da reta em relação ao 
eixo Ox, m = tgq ÷
ø
ö
ç
è
æ p
¹q
2
 
q é chamado coeficiente linear ( é a ordenada do ponto em que a reta intercepta Oy) 
 
 Sendo P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos de uma reta não paralela ao eixo Oy, o 
coeficiente angular da reta é dado por 
12
12
xx
yy
m
-
-
= . 
 
IV) Equação de uma reta conhecidos coeficiente angular e um ponto )xx(myy 00 -=- , 
onde (x0, y0) é o ponto conhecido. 
 
 
Posições relativas entre retas 
I) Paralelismo: Duas retas r e s, distintas, são paralelas se, e somente se, mr = m s 
II) Concorrência: Duas retas r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0 são concorrentes 
se sr mm ¹ . 
 Caso particular: concorrentes e perpendiculares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s
r m
1
msr -=Û^
 
EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA 
1) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes: 
a) 1º e 2º 
b) 2º e 3º 
c) 3º e 2º 
d) 4º e 2º 
e) 3º e 4º 
 
2) O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3º quadrante, para os possíveis valores de m e n: 
a) m > 3 e n < 1 
b) m < 3 e n > 1 
c) m < -3 e n > 1 
d) m < -3 e n < -1 
e) m < -3 e n < 1 
 
3) Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox com 
AC = BC. O ponto C tem como coordenadas: 
a) (2,0) 
b) (-2,0) 
c) (0,2) 
d) (0,-2) 
e) (2,-2) 
 
4) A distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 ) é: 
a) 7 
b) 3 
c) 2 
d) 2 7 
e) 5 
 
5) O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) sejam alinhados é: 
a) 8 
b) 6 
c) -5 
d) -8 
e) 7 
6) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O comprimento da 
mediana AM é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
7) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,2) e B = (3,6) é: 
a) -1 
b) 
2
1
 
c) 
3
2
 
d) 3 
e) 1 
 
8) A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem coeficiente angular -1 é: 
a) x + y -1 = 0 
b) x + y +1 = 0 
c) x + y -3 = 0 
d) x + y +3 = 0 
e) x – y + 3 = 0 
 
9) equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1) é: 
a) 2x – 3y – 13 = 0 
b) -2x – 3y + 13 = 0 
c) 3x – 2y + 13 = 0 
d) 2x – 3y + 13 = 0 
e) 2x + 3y – 13 = 0 
 
10) O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y – 5 = 0 é: 
a) (1,-1) 
b) (1,1) 
c) (1,2) 
d) (-1,1) 
e) (2,1) 
 
11) O valor de “a” para que as retas r: ax + y – 4 = 0 e s: 3x + 3y – 7 = 0 sejam paralelas é: 
a) 1 
b) 
2
1
 
c) 2 
d) 3 
e) -1 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA 
1) c 
2) e 
3) a 
4) b 
5) d 
6) c 
7) e 
8) d 
9) a 
10) b 
11) a