AS01(AVALIAÇÃO)

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A T I V I D A D E S S E M A N A I S
— CÁLCULO III —
Prof. ADRIANO CATTAI
Terminologia e EDO Separável
01
NOME: DATA: / /
Introdução e Terminologia
Veja no material disponibilizado pela instituição ou em algum outro livro.
EDO Separável
As EDO’s de primeira são as da forma
y′ = f (x, y) ou
dy
dx
= f (x, y). (1)
Vamos considerar aqui uma subclasse de EDO’s de primeira, linear ou não, que podem ser resol-
vidas pelo processo de integração direta. Para identificar essa classe de equações, vamos colocar a
equação (1) na forma M(x, y) + N(x, y)
dy
dx
= 0, que é sempre possível. No caso em que M depende
apenas de x e N depende apenas de y, a equação fica
M(x) + N(y)
dy
dx
= 0. (2)
Essa equação é dita separável, porque, se for escrita na forma diferecial M(x)dx + N(y)dy = 0, as
parcelas envolvendo cada variável podem ser separadas pelo sinal de igualdade. Assim, uma EDO
separável pode ser resolvida integrando-se as funções.
Observação 1 A EDO (2) pode, ainda, ser escrita da forma
dy
dx
= f (x)g(y) e, se “a” for uma constante
tal que g(a) = 0, então a função y(x) = a é solução desta EDO.
Exemplo 1 Dada a EDO não-linear y′ = 2x
√
y− 1, observemos que y = 1 é solução de g(y) =√
y− 1 e, portanto, solução solução da EDO. Agora, para determinarmos as soluções não-constantes,
separamos as variáveis e integramos:
1√
y− 1 dy = 2x dx ⇒
∫ 1√
y− 1 dy =
∫
2x dx ⇒ 2
√
y− 1 = x2 + k ⇒ y(x) = 1
4
(x2 + k)2 + 1.
1
Atividades Semanais Cálculo III
Questões
Q 1 A partir de um livro:
(a) Defina EDO, solução de uma EDO e curva integral;
(b) Classifique uma EDO quanto a ordem;
(c) Classifique uma EDO quanto a linearidade;
(d) Problema de valor incial (PVI);
(e) Para cada item acima, exiba exemplos ilustrando.
Q 2 Em cada item, classifique a EDO quanto a linearidade e, estabelaça a ordem de cada EDO linear.
(a) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cos(x)
(b) xy′′′ − (y′)4 + y = 0
(c) (y2 − 1)dx + xdy = 0
(d) ydx + (x + yx − yey)dy = 0
(e) t5y(4) − t3y′′ + 6y = 0
(f) y′′ + y′ + y = cos(x + y)
(g) y′′ =
√
1+ (y′)2
(h) y′′ = −ky−2
(i) sin(θ)y′′′ − cos(θ)y′ = 2
(j) y′′ − (1− (y′)2)y′ + y = 0
Q 3 Em cada item, verifique se a função indicada é solução da EDO dada.
(a) 2y′ + y = 0; y = e−x/2
(b) y′ + 20y = 21; 5y = 6− 6e−20x
(c) y′′ − 6y′ + 13y = 0; y = e3x cos(2x)
(d) y′′ + y = tan(x); y = − cos(x) · ln [sec(x) + tan(x)]
Q 4 Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
(a) y′ = sin(5x)
(b) dx + e3xdy = 0
(c) xy′ = 4y
(d) y′ = e3x+2y
(e) 2(y− 1)dy = (3x2+ 4x+ 2)dx
(f) y′ + y2 sin(x) = 0
Respostas
,¨⌣ Q 2 (a) 2a ordem; (b) não linear; (c) não linear; (d) não linear; (e) 4a ordem; (f) não linear; (g) não linear; (h) não linear; (i)
3a ordem; (j) não linear.
,¨⌣ Q 4 (a) −5y = cos(5x) + K; (b) 3y = e−3x + K; (c) y = Kx4; (d) −3e−2y = 2e3x + K; (e) y2 − 2y = x3 + 2x2 + 2x + K, se
K = 3 [y(0) = −1], então y = 1±
√
x3 + 2x2 + 2x + 4; (f) y−1 + cos(x) = K.
Adriano Cattai http://cattai.mat.br
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