Aula 7 Distribuição Binomial

Prévia do material em texto

21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 1/11
Disciplina: Análise Estatística
Aula 7: Distribuição Binomial
Apresentação
Até aqui, vimos as diversas características de uma amostra e seus valores
característicos.
Nesta aula, veremos os tipos de variáveis, o que caracteriza uma distribuição
binomial, um experimento, um evento e como se determina a probabilidade de
ocorrência desse evento. Entenderemos a função de distribuição de probabilidade e o
que representa uma distribuição binomial.
Objetivos
Aprender as formas de Distribuição Binomial, bem como as condições a serem
satisfeitas para que ela seja aplicada;
Aprender o conceito de variável e suas espécies (qualitativas e quantitativas).
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 2/11
Tipos de Variáveis
Existem muitos tipos de variáveis que serão utilizadas em um estudo
estatístico. É importante compreender o conceito matemático de variável.
Variável é algo que se refere a um determinado aspecto do fenômeno que
está sendo estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra
anual de soja é uma variável. Representemos essa variável pela letra X.
Essa variável pode assumir diversos valores específicos, em função
dos anos de safra, por exemplo, X1986, X1990 e X1992.
Variáveis Quantitativas
Referem-se a quantidades e podem ser medidas em uma escala numérica.
Exemplos: idade de pessoas, preço de produtos, o peso de recém-nascidos.
As variáveis quantitativas subdividem-se em dois grupos:
Variáveis Quantitativas Discretas
São aquelas que assumem apenas determinados valores tais como 1, 2,
3, 4, 5, 6, dando saltos de descontinuidade entre seus valores.
Normalmente referem-se a contagens. 
Por exemplo: número de vendas mensais em uma loja, número de
pessoas por família, quantidade de internações por hospital.
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 3/11
Variáveis Quantitativas Contínuas
São aquelas cujos valores assumem uma faixa contínua e não
apresentam saltos de descontinuidade. 
Exemplos dessas variáveis são: 
• O peso de pessoas; 
• O consumo mensal de energia elétrica; 
• O preço de um produto agrícola. 
 
Referem-se ao conjunto dos números reais ou a um de seus
subconjuntos contínuos.
Variáveis Qualitativas
Referem-se a dados não numéricos. Exemplos dessas variáveis são: o sexo
das pessoas, a cor, o grau de instrução.
As variáveis qualitativas subdividem-se também em dois grupos:
Variáveis Qualitativas Ordinais
São aquelas que definem um ordenamento ou uma hierarquia. Como
exemplo, temos o grau de instrução, a classificação de um estudante no
curso de estatística, as posições das 100 empresas mais lucrativas etc.
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 4/11
Variáveis Qualitativas Nominais
Não definem qualquer ordenamento ou hierarquia. Como exemplos,
temos a cor, o sexo, o local de nascimento etc. Dependendo da situação,
uma variável qualitativa pode ser representada (codificada) através do
emprego de números (por exemplo: em sexo, representamos homens
como sendo “0” e mulheres como sendo “1”). Mas no tratamento
estatístico dessa variável codificada, não podemos considerá-la como
sendo quantitativa. Ela continua sendo uma variável qualitativa (pois o é
em sua essência e natureza), apesar de sua codificação numérica, que
tem como finalidade uma maior finalidade de tabulação de resultados.
Variável Aleatória
função variável aleatória. Costuma-se definir a função variável aleatória por
uma letra maiúscula e seus valores por letras minúsculas.
Seja S o espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas
moedas”, logo S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}. Se X representa
“o número de caras” que aparecem, temos que a cada ponto amostral
podemos associar um número para X, de acordo com a tabela.
 
NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS 
(Ca, Ca) 2
(Ca, Co) 1
(Co, Ca) 1
(Co, Co) 0
 
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q
(q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 5/11
Com a distribuição binomial, podemos
determinar a probabilidade de se obter k
sucessos em n tentativas.
A função para tal é:
Distribuição de Probabilidade
Suponha uma distribuição de frequências relativas ao número de acidentes
diários em um estacionamento
NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS 
0 22
1 5
2 2
3 1
 = 30
Em um dia, a probabilidade de:
f (x) = P (x = k) = ( )
n
k
p
k
. q
n−k
∑
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 6/11
• Não ocorrer acidente é: 
• Ocorrer um acidente é: 
• Ocorrerem dois acidentes é: 
• Ocorrerem três acidentes é: 
É possível, então, escrever a tabela de probabilidade:
NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS 
0 0,73
1 0,17
2 0,07
3 0,03
 = 1
 
Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x , x , x ,..., x . A
cada valor de xi correspondem pontos do espaço amostral. Para cada valor de
xi fica associada uma probabilidade pi de ocorrência (sucesso) de tais pontos
no espaço amostral. Desta forma, temos que:
P = 1
Os valores x , x , x ,..., x e seus
correspondentes p , p , p ,..., p definem uma
distribuição de probabilidade.
p =   =  0, 73
22
30
p =   =  0, 17
5
30
p =   =  0, 07
2
30
p =   =  0, 03
1
30
∑
1 2 3 n
∑ i
1 2 3 n
1 2 3 n
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 7/11
Vejamos novamente a tabela do espaço amostral relativo ao “lançamento
simultâneo de duas moedas”, incluindo uma coluna de probabilidade de X (o
número de caras).
Temos então:
NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS P(X) 
(Ca, Ca) 2 1/2 x 1/2 = 1/4 
(Ca, Co) 1
(Co, Ca) 1
(Co, Co) 0 1/2 x 1/2 = 1/4 
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma relação unívoca
entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P
(probabilidade). Nessa correspondência temos os valores xi (i = 1, 2, 3, .., n)
formando o domínio da função e os valores pi (i = 1, 2, 3, .., n) formando o
seu conjunto imagem.
Desta forma definimos a função probabilidade, representada por:
 
→ + =
1∕2  x 1∕2=1∕4
1∕2  x 1∕2=1∕4
1
4
1
4
2
4
f(x) = P(x  =   )x
i
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 8/11
A função determina a distribuição de
probabilidade da variável aleatória X.
Tomando como exemplo o lançamento de um dado, onde a variável X é
definida por “pontos de um dado” e podendo tomar os valores 1, 2, 3, 4, 5 e
6.
Sabendo que a cada um destes valores está associada apenas uma
probabilidade de realização e que P(x ) = 1, fica definida uma função, da qual
resulta a tabela de distribuição de probabilidade.
 
(X) P(X)
6 1/6
5 1/6
4 1/6
3 1/6
2 1/6
1 1/6
∑ = 1
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é um prolongamento da distribuição de Bernoulli,
devendo ser aplicada em problemas nos quais um experimento é realizado um
número de vezes preestabelecido. Cada uma destas repetições é denominadaprova ou experimento.
P(x  =   )x
i
i
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&enab… 9/11
Vamos considerar um experimento aleatório que tenha as seguintes
características:
 O experimento deve ser repetido nas mesmas condições, um número finito
de vezes, ou seja, considerar n tentativas;
 As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma
não deve afetar os resultados das demais;
 Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso e insucesso, com as
mesmas probabilidades de ocorrer;
 No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a
probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Em geral resolveremos problemas do tipo:
determinar em n tentativas a possibilidade de se
obterem k sucessos. O experimento “obtenção
de caras em cinco lançamentos sucessivos e
independentes de uma moeda” satisfaz essas
condições.

Atenção
É importante entender que, na realização de um experimento qualquer
em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento
(sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento
(insucesso) é 1 – p = q.
Suponhamos que realizemos o mesmo experimento n vezes, em tentativas
sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k
vezes nos experimentos realizados é dada pela função:
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&ena… 10/11
Em um dia, a probabilidade de:
(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso;
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova –
insucesso;
 é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a 
É importante lembrar que o sinal “!” representa
a função fatorial, logo 5! representa o produto
da sequência de 1 a 5. 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial. O
nome binomial vem do fato de ser o termo geral do
desenvolvimento do binômio de Newton.
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade utilizada em
experimentos onde é possível ter dois tipos de resultados: sucesso ou
fracasso.

Exemplo
Veja alguns exemplos <galeria/aula7/anexo/pdf_aula_7.pdf> .
f(x) = P(x  = k) = ( ) .
n
k
p
k
q
n−k
( )
n
k
n!
k!(n−k)!
( ) .
n
k
p
k
q
n−k
21/08/2018 Estácio
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2172468&courseId=13171&topicId=0&p1=c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b&ena… 11/11
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
Próximos Passos
Como reconhecer a distribuição normal (curva de Gauss) e usar suas
propriedades nas aplicações da vida real;
Como estimar áreas sob uma curva normal e usá-las para calcular
probabilidades de variáveis aleatórias como distribuições normais;
Entender o diagrama de dispersão.