Aula 8 Distribuição normal e Gráficos de dispersão

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21/08/2018 Estácio
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Disciplina: Análise Estatística
Aula 8: Distribuição normal e Gráficos de dispersão
Apresentação
Nesta aula, veremos como determinar a probabilidade de ocorrência do fenômeno
estudado para determinados valores, ou faixas de valores dentro da sua amplitude
viável de ocorrência. Entenderemos como calcular essas probabilidades utilizando a
curva normal padrão. Aprenderemos a relação entre a probabilidade de ocorrência e a
área sob a curva que representa a função probabilidade. Veremos também como a
distribuição normal pode ser utilizada nas observações feitas em muitas atividades do
dia a dia.
Objetivos
Reconhecer a distribuição normal (curva de Gauss) e como usar suas
propriedades nas aplicações do dia a dia;
Aprender como estimar áreas sob uma curva normal e usá-las para calcular
probabilidades de variáveis aleatórias como distribuições normais;
Entender o diagrama de dispersão e suas formas de utilização.
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Determinando a variável
Diversos tipos de variáveis são utilizadas em um estudo estatístico. É
importante entender o conceito matemático de uma variável.
Chamamos variável aquilo que se refere a um
determinado aspecto do fenômeno que está
sendo estudado.
 Fonte: Bohbeh / shutterstock

Exemplo
Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma
variável. Representemos essa variável pela letra X. Essa variável
pode assumir diversos valores específicos, em função dos anos de safra,
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como por exemplo, X1986, X1990 e X1992. Esses valores que a variável
assume em determinados anos não são a própria variável, mas valores
assumidos por ela para determinados objetos, ou pessoas da amostra ou
da população. Se uma amostra tiver 50 indivíduos, podemos referir-nos a
X como sendo a variável nota de estatística e a X30 como a nota de um
indivíduo particular, no caso o trigésimo.
Distribuição normal
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, podemos
considerar a distribuição normal como uma das mais empregadas.
A observação cuidadosa mostrou que a ideia de que distribuição normal não
correspondia à realidade de todos os fenômenos da vida real. De fato, não são
poucos os casos representados por distribuições assimétricas (não normais).
Mas a distribuição normal tem papel
predominante na Estatística, e os processos de
inferência nela baseados possuem vasta
aplicação.

Saiba mais
É comum na literatura encontrarmos letras maiúsculas para a notação de
variáveis e as correspondentes letras minúsculas para referência aos
valores particulares assumidos por essa variável. Porém, neste resumo
procuraremos evitar essa forma de notação.
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Gráfico da distribuição normal de
frequências
1
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real
2
A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino,
simétrica em torno da média ( ), ponto central e de maior frequência
(coincidem média, moda e mediana), que recebe o nome de curva normal ou
de Gauss
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A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real
corresponde à área total sob a curva, ou seja, a área total entre a curva e o
eixo das abscissas, que é igual a 1
x¯
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A densidade de probabilidade é mais alta no meio e diminui gradualmente em
direção às caudas. Logo, as extremidades da curva normal aproximam-se
indefinidamente do eixo das abscissas sem tocá-lo, isto é, a curva normal é
assintótica em relação ao eixo das abscissas
6
Por ser padrão, todos os momentos e coeficientes de assimetria são iguais a
zero, e o coeficiente de curtose é igual a 0,263
7
Como a curva normal é simétrica em torno da média ( ), a probabilidade de
ocorrer um valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer um
valor menor do que a média, que são iguais à metade da área, ou seja, 0,5.
Dizemos que: P(X > )= P(X < )= 0,5
Distribuição normal e variável
aleatória
Uma variável aleatória normalmente pode assumir um valor em um
determinado intervalo, e o principal interesse é determinar a probabilidade
dessa variável.
Cada distribuição normal possui uma função geradora da curva. O cálculo
dessa área necessita de conhecimentos matemáticos mais específicos.
Esta curva pode ser expressa matematicamente como segue:
x¯
x¯ x¯
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Onde:
e ≈ 2,718
π ≈ 3,1416
µ = média da população
σ = desvio-padrão da população
Representada graficamente:
Probabilidades
As probabilidades referentes à distribuição normal reduzida estão
determinadas em uma tabela específica, apresentada a seguir, não sendo
mais necessário serem calculadas.
y  =     ⋅  
1
σ  2 π
√
e
(x−μ)
2
2σ
2
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Esta tabela fornece a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre 0 e
determinado valor de z, tal que:
Esta conversão será:
Temos então que, para qualquer valor de X, podemos escrever:

Exemplo
Veja exemplos <galeria/aula8/anexo/exemplos_tabela.pdf>
sobre a utilização da tabela!
P  (0  <  Z  ≤  z)
z  =           ou        z  =  
x − x¯
s
x − μ
σ
P (    <  X  <  x)  =  P ( 0  <  Z  <  z)x
¯
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Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração.
4.ed. Porto Alegre: Artmed, 2007
Próximos Passos
Como definir o que é correlação, bem como suas espécies (positiva,
negativa e curvilínea);
Como abordar sobre a correlação linear e coeficiente de correlação
linear;
Estimar os parâmetros e apresentaremos as propriedades da equação
de regressão;
Fazer o ajustamento da reta, ressaltando a interpolação e extrapolação
e como calcular o coeficiente de correlação linear e do diagrama de
dispersão em Microsoft Excel.
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