04 Variáveis aleatórias discretas 01(1)

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Probabilidade e 
Estatística
Aula 04
Variáveis Aleatórias Discretas_01
Leitura Prévia
• Capítulo 2 – Livro do Yates – Seções 2.1 a 2.4 
– Páginas 49 a 65.
• Capítulo 2 – Seções 2.1, 2.2, 2.3, 2.4.3 e 2.5 –
Apostila Ynoguti.
Variáveis Aleatórias
Definição: Uma variável aleatória X é uma função
que associa um número real a cada resultado ζ no
espaço amostral de um experimento aleatório.
x
ζ
S
Sx
X x( ) = ζ
S : domínio de X
SX : faixa de valores de X
X(.): função que mapeia ζ ∈S em x ∈ SX.
X : v.a. que toma valores x1,x2,...,xn
Exemplo
Seja o experimento de jogar uma moeda 3 vezes.
S = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK}
X: número de caras em 3 arremessos
X associa a cada resultado ζ em S um número do 
conjunto SX = {0, 1, 2, 3}.
ζ CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK
X(ζ) 3 2 2 2 1 1 1 0
Variáveis Aleatórias Discretas
X é uma V.A. discreta se ela assume valores de 
um conjunto contável:
,...},,{ 210 xxxS X =
X é uma V.A. discreta finita se ela assume 
valores de um conjunto finito
},...,,{ 10 nX xxxS =
Função Massa de Probabilidade
][)( kkX xXPxp ==
∑ −δ=
k
kkXX xxxpxp )()()(
Função Distribuição Cumulativa (FDC)
( ) ( )xXPxFX ≤=
A fdc de uma v.a. discreta pode ser escrita como uma
soma ponderada de funções degrau unitário
∑ −=
k
kkXX xxuxpxF )()()(
onde ][)( kkX xXPxp == fornece a magnitude dos
saltos na fdc.



≥
<
=
0,1
0,0
)(
x
x
xu
FDC - Propriedades
1)(0 ≤≤ xFX
1)(lim =
∞→
xFXx
0)(lim =
−∞→
xFXx
)()(][ aFbFbXaP XX −=≤<
função não decrescente de x, isto é, se ba < ,
então )()( bFaF XX ≤
Exemplo
X : número de caras em três arremessos de uma moeda ideal
X toma apenas os valores 0, 1, 2 e 3
se fizermos p = 0.5 as probabilidades para cada um destes resultados são
1/8, 3/8, 3/8 e 1/8
1/8
1/2
7/8
1
x
F xX( )
0 1 2 3
)(xFX é simplesmente a soma das probabilidades dos resultados de
{0,1,2,3} que são menores ou iguais a x
Determine a fdc de X
Bernoulli
Bernoulli
Binomial
Binomial
Exemplo
Um bloco de 4 bits é transmitido. A probabilidade de um bit 
chegar errado é p = 10-3, independente dos demais. Qual 
a probabilidade do bloco ser recebido com dois bits 
errados?
Poisson
Poisson
Exemplo
Requisições chegam a um servidor segundo uma 
distribuição de Poisson com parâmetro α = 10 
requisições/segundo. O servidor tem capacidade de 
atender 3 requisições por segundo. Qual a probabilidade 
da capacidade do servidor ser excedida em um dado 
segundo?
Geométrica
Geométrica
Pascal
Seja uma sequência de tentativas de Bernoulli com 
probabilidade p. A v.a. de Pascal determina o número de 
tentativas, x, até o k-ésimo sucesso.
( ) ( ) kxk
x
k
X ppxP
−
−
−
−





= 1
1
1
Exemplo
A probabilidade de um circuito ser rejeitado é p = 0.2. 
Estamos interessados no evento: o quarto circuito é 
rejeitado. Determine a função massa de probabilidade da 
variável aleatória L, o número de testes necessários para 
encontrar 4 circuitos defeituosos.
( ) ( ) ( ) 44
1
3
8.02.0 −
−






= l
l
L lP
Uniforme
( ) ( )



 ++=
+−=
contrário caso0
2,1,
1
1 lkkkx
klxPX

Exercícios
• Exercícios 2.2.1 a 2.4.8 do Capítulo 2 do livro 
do Yates.
• Exercícios 6, 7, 12, 23 e 26 do Capítulo 2 da 
apostila do Ynoguti.
• Série de Exercícios No 4
– Data de entrega: Próxima aula
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	Leitura Prévia
	Número do slide 3
	Exemplo
	Variáveis Aleatórias Discretas
	Função Massa de Probabilidade
	Função Distribuição Cumulativa (FDC)
	FDC - Propriedades
	Exemplo
	Bernoulli
	Bernoulli
	Binomial
	Binomial
	Exemplo
	Poisson
	Poisson
	Exemplo
	Geométrica
	Geométrica
	Pascal
	Exemplo
	Uniforme
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