Números Binomiais e Triângulo de Pascal Teoria

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Fatorial, Número Binomial e Triângulo de Pascal – Teoria 
 
Fatorial 
 
Seja INn ∈ , o fatorial de n é definido e representado por: 
 ( ) ( ) .123...2n1nn!n ⋅⋅⋅⋅−−⋅= 
Além disso, define-se: 
 
1!1
1!0
=
=
. 
 
Ex.1: 
..........
720123456!6
12012345!5
241234!4
6123!3
212!2
=⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
=⋅⋅=
=⋅=
 
 
Ex.2: 
 (EN) Se an = 
]!n)!1n[(n
!n)!1n(
2 +−
−+
 então a1997 é 
(A)
1996
1997 
(B)
1998
1 
(C) 1998! 
(D) 1997 
(E) 1. 
 
Solução: ( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) [ ] ( ) ( )
1998
1a
1n
1
!1nn1nn
!nn
n1!1nn
11n!n
!1nn!1nn
!n!n1n
a
1997
22n
=
⇒+=−+
⋅=+−
−+=−+−
−+=
 
 
Opção (B) 
 
Ex.3: 
Calcule ∑
=
n
1k
!kk . 
Solução: 
 ( )
( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] ( ) .1!1n!1!2!2!3....!n!1n!k!1k!kk
então,!k!1k!kkqueTemos
n
1k
n
1k
−+=−+−++−+=−+=
−+=
∑∑
==
 
 
 
 
 
 
 
 
Número Binomial 
 
Sejam ,np0,INp,n ≤≤∈ o número binomial de numerador n e denominador p é definido e representado por: 
( )!pn!p
!n
p
n
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
. 
Ex.4: 
( )
( ) .356
210
!3
567
!4!3
!4567
!4!3
!7
!37!3
!7
3
7
.10
2
20
!2
45
!3!2
!345
!3!2
!5
!25!2
!5
2
5
==⋅⋅=⋅⋅⋅==−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
==⋅⋅=⋅⋅==−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
 
Ex.5: 
 (ITA) A respeito das combinações ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
n
n2
a n e ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= 1n
n2
bn temos que, para cada L,3,2,1n = . a diferença nn ba − é igual 
a: 
(A) na1n
!n
+ 
 (B) na1n
n2
+ 
(C) na1n
n
+ 
(D) na1n
2
+ 
(E) na1n
1
+ . 
 
Solução: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
.
1n
a
a
1n
n1a
1n
naba
!n!n
!n2
1n
n
!n!n
!n2
!n1n
n
!n
!n2
!n!n
!n2
ba
!1n!1n
!n2
!n!n
!n2
1n
n2
n
n2
ba
n
nnnnn
nn
nn
+
⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−=⋅+−=−
⇔⋅+−=+
−=−
⇔+−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−
 
 
Opção (E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo de Pascal 
 
É um quadro formado por números binomiais, de tal forma que a k-ésima linha seja dada por todos os números binomiais 
de numerador k, INk∈ , em ordem crescente de denominador da esquerda para a direita, ou seja: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
n
n
.......................
2
n
1
n
0
n
...........................................
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
 
 
Ex.6: 
 Prove que .n...,,2,1,0p,
pn
n
p
n =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
Solução: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] .pn
n
!pnn!pn
!n
!p!pn
!n
!pn!p
!n
p
n
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−−−=−=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
 
Ex.7: Relação de Stifel 
 Prove que .1n...,,2,1p,
p
1n
1p
1n
p
n −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 
Solução: 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
.
p
n
p
1n
1p
1n
!pn!p
!n
!1pnpn!1pp
!1nn
p
1n
1p
1n
pnp
n
!1pn!1p
!1n
p
1
pn
1
!1pn!1p
!1n
p
1n
1p
1n
!1pn!1pp
!1n
!1pnpn!1p
!1n
!1pn!p
!1n
!pn!1p
!1n
p
1n
1p
1n
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⇔−=−−−−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−−−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⇔−−−
−+−−−−
−=−−
−+−−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
 
 
Exercício 1: 
Prove que .2n,INne2n...,,1,0p,
2p
n
1p
n
2
p
n
2p
2n ≥∈−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.8: 
 Prove que .INn,2
k
n n
n
0k
∈=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑
=
 
Solução: 
Considere um conjunto S e # (S) o número de elementos de S, suponha que #(S) = n, então 
,2))S(P(# n= 
Onde P(S) é o conjunto das partes de S. 
 
Prova: 
SA)S(PA ⊆⇔∈ , logo .22...222))S(P(#,
Ax
ou
Ax
Sx n
vezesn
=××××=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉
∈
⇒∈ 44 344 21 
Além disso, existem ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
k
n
possibilidades para subconjuntos A de S, tais que ,n...,,1,0k,k)A(# == logo: 
,
k
n
))S(P(#
n
0k
∑
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
então, 
n
n
0k
2
k
n =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑
=
 
Ex.9: 
Prove que .2n
k
n
k 1n
n
1k
−
=
⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑ 
 
Solução: 
Temos que, 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
.2n
1k
1n
n
1k
1n
n
k
n
k
Logo
1k
1n
n
!kn!1k
!1n
n
!kn!1kk
!1nn
k
!kn!k
!n
k
k
n
k
1n
n
1k
n
1k
n
1k
−
===
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=−−
−⋅=−−
−=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∑∑∑
 
 
Ex.10: Teorema das Colunas 
Prove que .INn,m,
1n
1m
n
km
nk
∈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑
=
 
Solução: 
.
n
k
1
n
k
1n
1n
n
k
1n
1m
1n
k
n
k
1n
1k
,Logo.m...,,2`n,1nk,
1n
k
n
k
1n
1k
queTemos
m
nk
m
1nk
m
1nk
m
1nk
m
1nk
∑∑∑∑∑
=+=+=+=+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.11: 
Calcule .k
n
1k
∑
=
 
Solução: 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
2
1nn
!1n!2
!1nn1n
!1n!2
!1n
2
1n
1
k
k
n
1k
n
1k
+=−
−+=−
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=∑∑
==
 
 
Ex.12: 
Calcule ( )∑
=
+
n
0k
1kk . 
Solução: 
 
( ) ( )( ) .
3
n1n2n
3
2n
2
2
1k
21kk
n
1k
n
1k
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=+ ∑∑
==
 
 
Ex.13: 
(IME) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa o somatório dos quadrados dos n primeiros 
números naturais ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛∑
=
n
1k
2k . 
Solução: 
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
.
6
1n21nn
1
3
2n2
2
n1n
2
n1n
6
n1n2n
2k
2
1n
3
2n
2k1kkk1kkk
.n...,,2,1k,k1kkkqueTemos
n
1k
2
n
1k
n
1k
n
1k
n
1k
2
2
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++=+−++=
⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=−+=−+=
=∀−+=
∑
∑∑∑∑
=
====
 
 
 
Exercício 2: 
Prove que 
 ( ) ( ) ( )( )( ) .
4
n1n2n3n
2k1kk)a(
n
1k
+++=++∑
=
 
 
( )
.
4
1nn
k)b(
22n
1k
3 +=∑
=
 
 
 
Exercício 3: Teorema das Diagonais 
 
.INnem,
m
1mn
k
kn
queovePr
m
0k
∈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +∑
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4: 
 
Prove que: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
.
m
n
2
km
kn
k
n
)i(
.
n
mn
k
m
k
n
)h(
.
1n
1n2
n
k
n
k)g(
).LagrangedelaçãoRe(
n
n2
k
n
)f(
.)Eulerdelação(Re
p
hm
kp
h
k
m
)e(
.
m
1n
1
k
n
1)d(
..
1n
12
k
n
1k
1)c(
.2n1n
k
n
k)b(
.22n
k
n
1k)a(
m
m
0k
n
0k
n
0k
2
n
0k
2
p
0k
m
m
0k
k
1nn
0k
2n
n
0k
2
1n
n
0k
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
+
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
+
=
−
=
−
=