resistencia dos materiais parte 1

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Resistência dos 
Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Foto: Mastro central da ponte Manaus – Iranduba (Roberto Carlos / Agecom) 
 
 
- Mecânica e Estática 
- Propriedades de figuras planas 
- Treliças 
- Esforços solicitantes 
- Vigas 
 
1 MECÂNICA _____________________________________________________________________ 1 
1.1 Introdução ____________________________________________________________________ 1 
1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2 
1.3 Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 2 
1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4 
1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6 
2 ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 7 
2.1 Forças no plano ________________________________________________________________ 7 
2.2 Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7 
2.3 Resultante de uma força _________________________________________________________ 8 
2.4 Momento de uma força _________________________________________________________ 14 
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 14 
2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14 
2.4.3 Momento de um binário ______________________________________________________ 15 
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 18 
2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19 
2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20 
2.6.1 Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 20 
2.6.2 Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 20 
2.6.3 Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 20 
3 TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 21 
3.1 Definição ____________________________________________________________________ 21 
3.2 Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 22
4 MOMENTO DE INERCIA DAS FIGURAS PLANAS____________________________________ 28 
4.1 Área_________________________________________________________________________ 28 
4.2 Momento Estático (ou Momento de Inércia___________________________________________29 
4.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 30 
4.4 Momento de Inércia ____________________________________________________________ 34 
4.5 Translação de eixos ____________________________________________________________ 35 
4.6 Módulo Resistente _____________________________________________________________ 37 
4.7 Raio de Giração _______________________________________________________________ 38 
5 ESFORÇOS SOLICITANTES ______________________________________________________ 41 
5.1 Introdução ___________________________________________________________________ 41 
5.2 Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 41 
5.3 Convenção de sinais____________________________________________________________ 42 
6 VIGAS _________________________________________________________________________ 44 
6.1 Introdução ___________________________________________________________________ 44 
6.2 Tipos de cargas________________________________________________________________ 44 
6.2.1 Cargas distribuídas ____________________________________________________________ 44 
6.3 Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 45 
6.4 Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 59 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica e Estática 
 
 Sumário 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
letras maiúsculas 
A área 
E módulo de elasticidade 
F força 
I momento de inércia 
L comprimento 
M momento, momento fletor 
Ms momento estático 
N força normal 
P carga concentrada 
R resultante de forças, esforço 
resistente 
S esforço solicitante 
V força cortante 
 
letras minúsculas 
a aceleração 
b largura 
g aceleração da gravidade 
h dimensão, altura 
l comprimento 
m metro, massa 
max máximo 
min mínimo 
q carga distribuída 
s segundo 
v deslocamento vertical 
x distância da linha neutra ao ponto de 
maior encurtamento na seção 
transversal de uma peça fletida 
 
letras gregas 
α, θ ângulo, coeficiente 
δ deslocamento 
φ diâmetro 
ε deformação específica 
fγ coeficiente de majoração das ações 
σ tensão normal 
σ tensão normal admissível 
τ tensão tangencial 
τ tensão tangencial admissível 
υ coeficiente de Poisson 
 
índices 
adm admissível 
c compressão 
f ação 
t tração, transversal 
w alma das vigas 
max máximo 
min mínimo 
 
 
 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica e Estática
 
1
 
 
1 MECÂNICA 
 
1.1 Introdução 
 
 A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos 
movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de 
corpos sob a ação de forças. 
 A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, 
os fundamentos para as aplicações da Engenharia. 
 A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, 
Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo. 
 
 Estática 
 Mecânica dos corpos rígidos Cinemática 
 Dinâmica 
 
Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais 
 
 Fluídos incompressíveis → líquidos 
 Mecânica dos fluídos 
 Fluídos compressíveis → gases 
 
 Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica. 
 A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, 
independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados 
são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das 
propriedades do material. 
 A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: 
• movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para 
quaisquer trechos de trajetória; 
• movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais 
em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será 
uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente 
retardado; 
• movimentos de rotação. 
 
 A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força). 
 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica 
 
2
 Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são 
absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas 
deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de 
equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. 
 No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura 
do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos 
Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são 
conhecidas. 
 O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência 
mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. 
 
 Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos 
incompressíveis (líquidos)e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do 
estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica. 
 
1.2 Conceitos Fundamentais 
 Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia: 
• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, 
o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto 
de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são 
conhecidos como as coordenadas do ponto; 
• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O 
tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a 
produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um 
vetor; 
 
1.3 Sistema Internacional de Unidades 
 O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e 
unidades derivadas. 
 As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades 
derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc... 
 As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as 
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
 A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
 As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados 
dinamômetros. 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica
 
3
 O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de 
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. 
 A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida 
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 
metro quadrado de área, perpendicular à direção da força 2/ mNPa = . Pascal é também 
unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). 
 
Múltiplos e submúltiplos 
Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada 
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 = 1 000 000 000 000 
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000 
quilo k 103 = 1 000 
hecto h 102 = 100 
deca da 10 
deci d 10-1 = 0,1 
centi c 10-2 = 0,01 
mili m 10-3 = 0,001 
micro µ 10-6 = 0,000 001 
nano n 10-9 = 0,000 000 001 
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
 
Conversão de Unidades 
A unidade é equivalente a 
1MPa 1 N/mm2 
1 MPa 1 x 106 N/m2 
1 GPa 1 x 109 N/m2 
1 m 100 cm 
1 cm 0,01 m 
1 kgf 9,81 N 
1 kgf 2,20 lb 
1 polegada (ou 1") 2,54 cm 
1 m2 10000 cm2 
 
Exemplo de conversão de medidas de pressão: 
422 10×== cm
N
m
NPa 
1010
1010
242
6
2
6
×=×
×=×=
cm
kN
cm
N
m
NMPa 
2
2
42
9
2
9 10
10
1010
cm
kN
cm
N
m
NGPa ×=×
×=×= 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica
 
4
1.4 Trigonometria 
 Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da 
trigonometria. 
 A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e 
determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos 
ângulos de um triângulo. 
Círculo e Funções Trigonométricas 
 
EFsen =α 
OF=αcos 
ABtg =α 
DCg =αcot 
OB=αsec 
OCec =αcos 
1== ROE 
Triângulo retângulo 
 No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: 222 cba += . 
Relações trigonométricas 
a
c
hipotenusa
opostocatetosen ==α 
a
b
hipotenusa
adjacentecateto ==αcos 
b
c
adjacentecateto
opostocatetotg ==α 
b
a
adjacentecateto
hipotenusa ==αsec 
b
carctg=α 
a
carcsen=α 
a
barccos=α 
bC
a
α
A
B
c
triângulo retângulo 
 
Relação fundamental da trigonometria: 1cossen 22 =+ xx 
Razões Trigonométricas Especiais 
 30º 45º 60º 
Seno 
2
1 
2
2 
2
3 
Cosseno 
2
3 
2
2 2
1 
Tangente 
3
3 1 3 
 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica 
 
5
Exemplos 
 
1. Calcule o valor de c da figura 
20
º30 csen = 
202
1 c= 
 
202 =c mc 10= 
 
2. Determine o valor de b da figura 
20
º30cos b= 
202
3 b= 
 
3202 =b mb 310= 
b
20 m
30°
c
 
 
3. Calcule o valor de a da figura 
222 34 +=a 
 
22 34 +=a ma 5= 
 
4. Determine o valor do ângulo α da figura 
4
3arctg=α º87,36=α 
4 m
α
a
3 m
 
 
 
Triângulo qualquer 
Lei dos senos: R
C
c
B
b
A
a 2
sensensen
=== 
Lei dos cossenos 
Abccba cos2222 ×−+= 
Baccab cos2222 ×−+= 
Cabbac cos2222 ×−+= 
 
 
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 Mecânica
 
6
1.5 Alfabeto Grego 
 Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as 
quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento 
para as práticas comuns da Engenharia. 
 
Alfabeto Grego 
Símbolo 
Nome 
Maiúscula Minúscula
Alfa Α α 
Beta Β β 
Gama Γ γ 
Delta ∆ δ 
Épsilon Ε ε 
Zeta Ζ ζ 
Eta Η η 
Teta Θ θ 
Iota Ι ι 
Capa Κ κ 
Lambda Λ λ 
Mi Μ µ 
Ni Ν ν 
Csi Ξ ξ 
Ômicron Ο ο 
Pi Π π 
Rô Ρ ρ 
Sigma Σ σ 
Thau Τ τ 
Upsilon Υ υ 
Phi Φ ϕ 
Chi Χ χ 
Psi Ψ ψ 
Omega Ω ω 
 
 Resistência dos Materiais 
 Mecânica
 
7
2 ESTÁTICA 
 
 
2.1 Forças no plano 
 A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu 
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
 A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de 
Unidades (SI). 
 A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo 
da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, 
como indicado na Figura 1 abaixo. 
F
α
F
α
 
Figura 2.1 
 O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
 Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto 
de um corpo. 
 Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos 
diversos de um mesmo corpo. 
 
2.2 Equilíbrio de um ponto material 
 Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se 
ocupasse um ponto no espaço. 
 Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, 
este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se 
a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em 
repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com 
velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”. 
 Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, 
escreve-se: 
0==Σ RF 
onde: 
F = força 
R = resultante das forças 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
8
 A representação gráfica de todas as 
forças que atuam em um ponto material 
pode ser representada por um diagrama de 
corpo livre, como indica a figura ao lado. 
F3
F2
A
F4 F1Figura 2.2 
 
Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio 
As condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio são: 
0=Σ xF 
0º302000º3010001500 =−−=Σ sensenFx
010005001500 =−−=Σ xF ok 
 
0=Σ yF 
0866º30cos1000º30cos2000 =−−=Σ yF 
08668661732 =−−=Σ yF ok 
xA F = 1500N1
F = 1000N3 F = 866N2
30°
y
F = 2000N4
30°
Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio 
 
 
2.3 Resultante de uma força 
 Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto 
material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre 
esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de 
um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo 
grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou 
analíticas. 
a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de 
três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de 
forças, como indicado nas figuras abaixo. 
Regra do paralelogramo 
Q
A P A P
Q
R R
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
9
Regra do Triângulo 
A
Q
A
R=P+Q
P
Q
P
R=P+Q
 
Composição de forças 
R=F1+F2-F3
F3
R=F1+F2
F1
F1
R=F1+F2+F3
F2
F3
F3
F2 F3
 
Decomposição de forças F
Fx
y
x
y
F
 
 
 
 
b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de 
equilíbrio. 
Exemplos 
 
Determinar a Resultante das duas forças P e 
Q agem sobre o parafuso A. 
 
Q=60 N
25º
20ºA P=40 N
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
10
a. Soluções gráficas 
35.0°
R=98 N
A 20º
25º
P=40 N
Q=60 N
 
R=98 N
Q=60 N
A P=40 N
35.0°
 
Regra do paralelogramo Regra do triângulo 
 
b. Solução analítica: trigonometria 
Cálculo da força resultante: 
Lei dos cossenos: BPQQPR cos2222 −+= 
º155cos604024060 222 ×××−+=R 
NR 7,97= 
 
Cálculo do ângulo α 
Lei dos senos 
R
senB
Q
senA = 
7,97
º155
60
sensenA = 
25,0=senA º15=A 
º20+= Aα º35º20º15 =+=α 
A
R
Q=60 N
α
P=40 N
B
155°
C
 
 
 
 Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de 
reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de 
Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção 
e sentido contrário”. 
 Portanto, o parafuso está 
reagindo por uma força de 
mesma intensidade da resultante 
de P e Q, mas em sentido 
contrário. A força de reação 
pode ser decomposta em duas 
forças Fx e Fy, que são suas 
projeções sobre os eixos (x e y). 
 
NFx 80º35cos7,97 =×= 
NsenFy 56º357,97 =×= 
A
R=97,7 N
35°
Fx=80 N 20º
Fy=56 N
R=97,7 N
P=40 N
25º
Q=60 N
35.0°
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
11
Verificação do equilíbrio do ponto A 
Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que 
agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0
1
=∑
=
n
i
nF 
y
Q=60 N
Fy=56 N
x
25º
20ºAFx=80 N P=40 N
 
 
 
∑ = 0xF 
∑ =−×+×= 080º20cos40º45cos60xF 
 00 = ok 
 
∑ = 0yF 
∑ =−×+×= 056º2040º4560 sensenFy
 00 = ok 
 
 
 
 Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da 
atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração 
exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do 
peso P de um ponto material de massa m é expresso como. 
gmP ⋅= 
onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade. 
 
2. Determinar as forças 
nos cabos. 
gmP ⋅= 
( )2/81,9)(75 smkgP ×=
NP 736= 
30°50° A
75 kg
C
B
 
 
736 N
80°
60°
ACT
40°
TAB
 
solução gráfica: desenho do polígono de forças. 
 
º80
736
º40º60 sensen
T
sen
T ACAB == 
TAB = 647 N e TAC = 480 N 
 Resistência dos Materiais 
 Estática 
 
12
50°
30°
A
736 N
TAB
ACT
 
solução analítica: equações de equilíbrio. 
0=Σ xF 
0º50cosº30cos =⋅−⋅ ABAC TT 
º30cos
º50cos⋅= ABAC TT (1) 
0=Σ yF 
0736º30º50 =−⋅+⋅ senTsenT ACAB 
Substituindo TAC pela relação (1), tem-se 
736º30
º30cos
º50cosº50 =⋅⋅+⋅ senTsenT ABAB 
TAB = 647 N e TAC = 480 N 
 
Exercícios 
1. Determinar a força F e o ângulo α. 
A
AT =2,5 kN BT = 2,5 kN
F
y
α
x
50°20°
C
20° B50°
α
F
 
 
Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º 
2. Determinar as forças nos cabos 
x
y
60°
20°
AT
TB
P
m=50 kg
A
60°
20°
B
 
Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N 
 
3. Determinar a resultante do 
sistema de forças indicado e o seu 
ângulo de inclinação em relação ao 
eixo x. 
 
70°
F = 15 N3
F = 10 N1
x50°
F = 20 N2
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
13
Roteiro: 
a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12) 
em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12; 
b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a 
resultante entre R12 e F3); 
c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x. 
Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º 
 
4. Determinar o valor da força F. 
a) 
y
x
159,65 N
300 N
20°
60°
F 
b) 
x
F60°
346,41 N
30°
200 N y
 
 
Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N 
c) 
F
y
x
45°
45°
141,42 N
141,42 N 
d) 
y
x
F30°
60°
45°
250 N
120 N
91,9 N 
 
Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N 
e) 
329,36 N
100 N
100 N
F
60°
70°
45°
x
y
 
f) 
65°
61 kg
45°
F
450 N
 
Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
14
2.4 Momento de uma força 
 Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao 
eixo fixo. 
 Considere-se uma força F que atua em um 
corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na 
figura. 
 A força F é representada por um vetor que 
define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a 
distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
0
A
d
M0
F
 
 Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo 
dFM ×=0 
onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 
 0 = pólo ou centro de momento 
 d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de 
 alavanca 
 O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido 
de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
 Convenciona-se momento positivo 
se a força F tender a girar o corpo no 
sentido anti-horário e negativo, se tender a 
girar o corpo no sentido horário. 
M-M+
 
 No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). 
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 
 
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares 
 Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em 
relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo 
ponto 0. 
0
A
A
F F
3
1
1 2
A 2b1 b2
b3 F3
 
∑
=
=n
i
FS i
MM
1
0,0,
 
 
2.4.2 Teorema de Varignon 
 Seja R a resultante do sistema de forças S. “O 
Momento da resultante de um sistema de forças em relação a 
um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma 
algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em 
relação ao mesmo ponto O”. 
∑
=
==
n
i
FSR i
MMM
1
0,0,0,
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática 
 
15
2.4.3 Momento de um binário 
 Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em 
qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um 
dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, 
tendem a fazê-lo girar. 
b
1-F
2A
A1 F1
 
Exemplos 
1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar: 
 
a) o momento da força em relação a D; 
b) a menor força aplicada em D que ocasiona 
o mesmo momento em relação a D; 
c) o módulo e o sentido da força vertical que, 
aplicada em C, produz o mesmo momento em 
relação a D; 
d) a menor força que, aplicada em C, 
ocasiona o mesmo momento em relação a D. 
B
30°
A
D
22
5m
m
225mm C
12
5m
m
300mm
450 N
 
30°
B
197.3mm
22
5m
m
C225mm
52.6°
D12
5m
m
300mm
37.4°325
30°
22.6° A
450 N
 
 
 
Solução 
a) braço de alavanca 197,3 mm 
Momento M=F×b 
M=450×197,3= 88785 N.mm ou 
M= 88,8 N.m 
 
B
30°
A
22
5m
m 375 mm
225mm C
53.1°
36.9°
12
5m
m
D
300mm
450 N
 
b) Para se obter a menor força aplicada 
em B que ocasiona o mesmo momento 
em relação a D, deve-se utilizar o 
maior braço de alavanca, ou seja: 
375300225 22 =+=b mm 
b
MF = 8,236
375,0
8,88 ==F N 
c) 
b
MF = 7,394
225,0
8,88 ==F N 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
16
 
d) A menor força que, aplicada em C, 
ocasiona o mesmo momento em relação a D é 
aquela cujo braço de alavanca é o maior 
possível, ou seja: 
2,318225225 22 =+=b mm 
b
MF = 279
3182,0
8,88 ==F N 
30°
318,2 mm22
5m
m
C225mm
D1
25
m
m
300mm
B
A
450 N
 
 
 
2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo 
diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites. 
 Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também 
são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N. 
 O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação 
horizontal para a esquerda; 
 
O rebite B está sendo 
“empurrado” para a esquerda, 
portanto, possuirá uma reação 
horizontal para a direita. 
Determinação dos esforços 
horizontais: 
∑ = 0AM 
RBH×200=3000×600 = 9000 N 
RAH= RBH=9000 N 
B
RBV
ARAH
RAV
RBH
20
0m
m
600mm
3000 N
 
 
 
 
3. Determinar o Momento em A devido ao 
binário de forças ilustrado na figura 
 
MA= F×b 
MA= 500×0,12 = 60 N.m 
30
0m
m
12
0m
m
F1=500 N
F2=500 N 
A
30°
B
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática 
 
17
 
4. Substituir o binário da figura por uma 
força F vertical aplicada no ponto B. 
F1=F2= 500 N 
MA= F×b 
b
MF = 400
15,0
60 ==F N 
30
0m
m
150mm
AM =60N.m
12
0m
m
A
30°
F=400 N
B
 
5. Substituir o binário e a força F ilustrados 
na figura por uma única força F=400 N, 
aplicada no ponto C da alavanca. 
Determinar a distância do eixo ao ponto de 
aplicação desta força. 
 
MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m 
 
F
Md = 21,0
400
84 ==d m = 210 mm 
420
º60cos
210 ==AC mm 
30
0m
m
12
0m
m
AM 
200 N
200 N
d=210mm
150mm
A
30°
F=400 N
AC
B
C
 
 
5. Determinar a intensidade da força F para que 
atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m. 
217
º23cos
200 ==a mm = 0,217 m 
MA= F×b 
b
MF = 1,184
217,0
40 ==F N 
 
 
6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a 
figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força 
aplicada no aperto for 40 N. 
∑ = 0AM 
40 × 180 = F × 30 
240
30
18040 =×=F N 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática 
 
18
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos 
 Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam 
sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças 
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. 
0=ΣF 00=ΣM 
 As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. 
 Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, 
encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido 
no espaço: 
x
0
y
z
 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ zF 
0=Σ xM 0=Σ yM 0=Σ zM 
 
 
 
Equilíbrio ou em duas dimensões 
 As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente 
no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, 
tem-se: 
x
0
y
 
0=zF 0== yx MM 0MM z= 
 
para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no 
espaço reduzem-se a: 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 
onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser 
resolvidas para um máximo de três incógnitas. 
 O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano. 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
19
2.5 Apoios 
 Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as 
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo 
rígido está apoiado. 
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
Apoio móvel 
 ou 
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao 
plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
Apoio fixo 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
 
Engastamento 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Impede rotação. 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
20
2.6 Tipos de Estruturas 
 As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 
2.6.1 Estruturas hipostáticas 
 Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura 
hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta 
estrutura não possui restrição a movimentos 
horizontais. 
 
 
L
P
A RB
B
R
A
 
2.6.2 Estruturas isostáticas 
 Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo da estrutura da figura, as 
incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura estáfixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente 
pelas equações fundamentais da Estática. 
RA
A
HA
L
P
RB
B
 
2.6.3 Estruturas hiperestáticas 
 Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 Um tipo de estrutura hiperestática es’ta 
ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro: 
RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da 
Estática não são suficientes para resolver as equações 
de equilíbrio. São necessárias outras condições 
relativas ao comportamento da estrutura, como, p. 
ex., a sua deformabilidade para determinar todas as 
incógnitas. RA RB
HA
A
AM
L
P
B
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Estática
 
21
3 TRELIÇAS 
 
3.1 Definição 
 Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O 
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados 
unicamente nos nós. 
 Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um 
mesmo plano. 
 Para se calcular uma treliça deve-se: 
a) determinar as reações de apoio; 
b) determinar as forças nas barras. 
 A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 
vbn +=2 
onde: 
b= número de barras 
n= número de nós 
v= número de reações de apoio 
 
 Adota-se como convenção de sinais: 
barras tracionadas: positivo 
setas saindo do nó 
barras comprimidas: negativo 
setas entrando no nó 
 
 Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e 
analíticos. 
 Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, 
abaixo exemplificado. 
 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças
 
22
3.2 Método do equilíbrio dos nós 
 Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. 
 No caso da treliça da figura, no 
nó A tem-se um apoio móvel e no nó 
B, um apoio fixo. 
 Como os apoios móveis 
restringem somente deslocamentos os 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RA. 
 Como os apoios fixos 
restringem deslocamentos paralelos e 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RB e uma 
reação horizontal HE. 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática 
barras b = 9 
nós n = 6 
reações v = 3 
vbn +=2 Conclusão: 
3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática 
 
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º45
2
2 ===
adjacentecateto
opostocatetoarctgα 
a) Cálculo das reações de apoio 
Equação de equilíbrio das forças na horizontal: 
0=Σ HF conclusão: HE = 0 
Equação de equilíbrio das forças na vertical: 
0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1) 
Equação de equilíbrio de momentos: 
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer 
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se 
0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER 4
400=ER 100=ER kN 
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se: 
200100 =+AR kN logo 100=AR kN 
 
b) Cálculo das forças nas barras 
 Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças 
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas 
barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
23
determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta 
deve ser mudado. 
Nó A 
A
RA
N2
N1
 
0=Σ HF → 02 =N 
 
0=Σ VF 
01100 =+ N → 1001 −=N kN 
Nó B 
B
100
45°
N4
50
N3
 
0=Σ HF 
0º45cos43 =+ NN → 503 −=N kN 
 
0=Σ VF 
0º45450100 =−− senN → 7,704 =N kN 
Nó C 
N550
100
N6
C
 
0=Σ HF 
0550 =+ N → 505 −=N kN 
 
0=Σ VF 
06100 =+ N → 1006 −=N kN 
Nó D 
45°
50
50
N7 N8
D
 
0=Σ HF 
0º45cos750 =− N → 7,707 =N kN 
 
0=Σ VF 
0º457,70850 =++ senN → 1008 −=N kN 
Nó E 
100
100
E
N9
 
0=Σ HF → 09 =N 
Nó F Verificação 
45° 45°
100
70,770,7
0,0 0,0
F
 
0=Σ HF 
0º45cos7,70º45cos7,70 =+− → 0 = 0 ok 
 
0=Σ VF 
0º457,70º457,70100 =++− sensen →0 = 0 ok 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
24
 Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças 
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há 
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E. 
 
Resultados 
 
NAB= -100 kN compressão 
NAF= 0 
NBC= -50 kN compressão 
NBF= +70,7 kN tração 
NCF= -100 kN compressão 
NCD= -50 kN compressão 
NDF= +70,7 kN tração 
NDE= -100 kN compressão 
NFE= 0 kN 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
 
 
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura. 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
 
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras 
º43,63
1
2 === arctgα º56,26
2
1 === arctgθ 
 
a) Cálculo das reações de apoio 
0=Σ HF 40=+ BA HH kN 
0=Σ VF 020 =+BR 20−=BR kN 
0=Σ BM 01402402 =×−×−×+ AH 60=AH kN 20−=BH kN 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
25
b) Cálculo das forças nas barras 
Nó B 
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
 
0=Σ HF 
022 =+− αsenN → 4,222 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos2120 =−+ αNN → 101 =N kN 
Nó A 
60
N3
100
26.6°
A
N4
10
 
0=Σ HF 
0346 =++ θsenNN 
04,2246 =−+ θsenN → 404 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos310 =+ θN → 4,223 −=N kN 
 
 
Nó E 
40 N6
E
N5
 
0=Σ HF → 406 =N kN 
 
0=Σ VF → 05 =N kN 
Nó D 
26.6°
N7
40
D
20
 
0=Σ VF 
0720 =+− θsenN → 7,447 =N kN 
 
0=Σ HF 
0cos7,4440 =+− θsen → 0 = 0 ok 
Nó C 
22,4 44,70,0
22,4
26.6° 40C
 
0=Σ HF 
0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+−− θθθ =0 kN 
 
0=Σ VF 
07,444,224,22 =−− θθθ sensensen 
→ 10+10-20 =0 ok 
 
 
 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
26
Resultados 
 
NAB= +10 kN tração 
NAC= -22,4 kN compressão 
NBC= +40 kN tração 
NBC= +22,4 kN tração 
NCE= 0 
NCD= +44,7 kN tração 
NED= +40 kN tração 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
Exercícios 
 
1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está 
tracionada ou comprimida. 
1. 
FAB = 8 kN C 
FAC = 10 kN T 
FBC = 8,545 kN T 
C
1.2m
A
9000 N
2.4m
0.
9m
B
 
 
A
400mm
B C
500mm
37
5m
m
1200 N
2. 
FAB = 3 900 N T 
FAC = 4 500 N C 
FBC = 3600 N C 
 
3. 
FAB = FDE = FBG = FDI = 0; 
FAF = FCH = FEJ = 400 N C; 
FBC = FCD = 800 N C; 
FBF = FDJ = 849 N C; 
FBH = FDH = 283 N T; 
FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T 
 
a a a
a
B C D E
G H I J
400 N 400 N 400 N 400 N
F
a
A
400 N
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
27
2,
7m
9000 N
F
3,6m
E
2,
7m
DC
9000 N BA
 
4. 
FAB = 9 kN; 
FAC = 0; 
FBC = 11,25 kN C 
FBD = 6,75 kN T; 
FCD = 18 kN T 
FCE= 6,75 kN C; 
FDE = 22,50 kN C 
FDF = 20,25 kN T 
 
5. 
FAB = FDE = 8 kN C 
FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T 
FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C 
FBF = FDH = FCG = 4 kN T 
 a a aa
30° 30° 30° 30°
G
C
F H
4 kN4 kN
A E
DB
 
FD E
3,6 m 3,6 m
100 kN
A
1,5 m
1,5 m
1,5 m
B
C 6. 
FAB = 130 kN T 
FAD = 100 kN T 
FAE = 130 kN C 
FBC = 173,5 kN T 
FBE = 50 kN T 
FBF = 52,05 kN C 
FCF = 33,35 kN T 
FDE = 0 
FEF= 1120 kN C 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Treliças 
 
28
4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
 O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
 A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada 
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado 
de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
h
b
L
 seção
longitudinal
h
L
 seção
transversal
b
h
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
 As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
4.1 Área 
 A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para 
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela 
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
 A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). 
 A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
29
4.2 Momento Estático 
 Analogamente à definição de 
momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, defini-se Momento Estático 
(M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância 
que o separa de um eixo de referência. 
dAyM x ⋅= e dAxM y ⋅= 
x
y
x
y
dA
 
 Momento Estático de uma 
superfície plana é definido como a 
somatória de todos os momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a 
superfície total. 
∫=
A
x ydAM e ∫=
A
y xdAM 
A
x
y
x
y
dA
 
 A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3. 
 O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
 O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo 
A
3CG
y
3A
A 1
1
CG
2
CGy3CG
y
2CG
2
1CG
x
xxxx
CGx
CGx
CGx
MMMM
AyM
AyM
AyM
,3,2,1
33,3
22,2
11,1
++=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
Elemento vazado 
1
2
 
xxx MMM ,2,1 −= 
 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
30
4.3 Centro de Gravidade 
 Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o 
peso do corpo. 
 Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação 
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as 
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro 
de Gravidade (CG). 
 Portanto, atração exercida pela 
Terra sobre um corpo rígido pode ser 
representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicada 
no seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
CG
y
x CG
x
y CG
 
∫ ⋅==
A
y
CG dAxAA
M
x 1 ∫ ⋅==
A
x
CG dAyAA
My 1 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
x
1Ax 1
y1
y n
y
x n
A n
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
31
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
retângulo 
h
b
CG
y
CGx
x
y CG
 
2
bxCG = 
 
2
hyCG = 
triângulo 
h
y
CG
x
CGy
x CG
b 
3
bxCG = 
3
hyCG = 
círculo 
x
CG
y
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
Semicírculo 
CG 3
r r
___4Rπ
 
π3
4ryCG = 
¼ de círculo 
___4R
3
r
π
CG 3
___4Rπ
 
π3
4rxCG = 
 
π3
4ryCG = 
trapézio 
h
CG
y
2
h 1
x 
ba
bahh +
+⋅= 2
31
 
 
ba
bahh +
+⋅= 2
32
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
32
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo hbA ⋅= 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
dy
h
b
dA
x
 
Momento Estático 
dybdA ⋅= 
∫∫ ⋅⋅=⋅=
h
A
x dybydAyM
0
 
2
0
22
2
0
2 ⋅−⋅=

 ⋅= bhbybM
h
x 2
2hbM x
⋅= 
Centro de Gravidade 
2
2
2
h
hb
hb
A
My xCG =⋅
⋅
== 
2
hyCG = 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
( ) ( ) ( )
2
321
84
3446158
cmA
A
AAAA
=
×−×−×=
−−=
 
2
2 4
3
2
6
2
15
1
2
3
y C
G
2 x
3
= 
3,
5
1
= 
7,
5
C
G
y
y
= 
10
2
C
G
 
 
( )
( )
( )
3
,3,2,1
3
33,3
3
22,2
3
11,1
61842240900
42435,3
2404610
9001585,7
cmMMMM
cmAyM
cmAyM
cmAyM
xxxx
CGx
CGx
CGx
=−−=−−=
=××=⋅=
=××=⋅=
=××=⋅=
 
cm
cm
cm
A
My xCG 36,784
618
2
3
=== 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
33
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
12
x CG8
33
2
1 3
9
5,
69
( )
( )
2
21
2
2
2
1
87
933
96812
cmAAA
cmA
cmA
=−=
=×=
=×=
 
 
3
,2,1
3
,2
3
,1
495
81339
5761286
cmMMM
cmM
cmM
xxx
x
x
=−=
=××=
=××=
 
 
cm
cm
cm
A
My xCG 69,587
576
2
3
=== 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
x
y
3 3
6
4 2
3
4
5,
15
 
 
 A Figura 
hachurada pode ser o 
resultado de um 
retangulo (12×6) cm 
do qual foram retiradosum triângulo e um 
semicírculo. 
 
Área da figura 
( ) ( )[ ] ( )
2
22
72,53
72,565,0635,0612
cmA
cmrA
AAAA SCTR
=
=××−××−×=
−−=
π 
Momento Estático 
3
, 2163612 cmM xR =××= 
3
, 36635,04 cmM xT =×××= 
32
, 37,323
24625,0 cmM xSC =

 ×−×= ππ 
3
,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =−−= 
Coordenada yCG do centro de gravidade 
A
My xCG = cmyCG 6,272,56
63,147 == 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas
 
34
Analogamente, determina-se a coordenada xCG. 
x
y
6
3 3 4 2
1
8
6
 
3
,,,
3
2
,
3
,
3
,
73,372
26,50
2
28
9
2
631
4326126
cmMMMM
cmM
cmM
cmM
ySCyTyRy
ySC
yT
yR
=−−=
=××=
=××=
=××=
π 
 
Coordenada xCG do centro de gravidade 
A
M
x yCG = cmxCG 57,672,56
73,372 == 
 
4.4 Momento de Inércia 
 O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é 
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a 
superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A
x
y
x
y
dA
 
∫
∫
=
=
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
 
 A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4 . 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
35
Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
xxxx IIII ,3,2,1 ++= 
A 3 CG 3
A
CG
A
CG 1
2
2
1
 
 
Exemplo 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa 
pelo CG. (medidas em centímetros) 
3
8
4
4
6
6
x CG
 
12
3hbI
CGx
⋅= 
 
( )33 83128
12
1 ×−×=
CGx
I 
 
4024.1 cmI
CGx
= 
 
4.5 Translação de eixos 
 O momento de inércia de uma 
superfície em relação a um eixo qualquer 
é igual ao momento de inércia em relação 
ao eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade, acrescido do produto da área 
(A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 2CGyy xAII CG ⋅+= 
onde: 
y y
x CG
CG
CG
x
y CG
CG
x
 
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGx
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. 
CGy
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. 
CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . 
CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
36
 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que 
estão sujeitas as peças submetidas à flexão. 
 As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: 
AyM x ⋅= → 222 AyM x ⋅= → 2
2
2
A
My x= 
 
 
A
MII xxx CG
2
+= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= → AA
MII xxx CG ⋅+= 2
2
 ⇒ 
 
A
MII xxxCG
2
−= 
 
Exemplo: 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) CGx , passando pelo CG. 
a) 
 
x
h
b
dy
dA=b.dy
 
 
∫= Ax dAyI 2 
 
∫ 

 ⋅==
h h
x
ybbdyyI
0 0
3
2
3
 → 
3
3hbIx
⋅= 
b) 
h/2
-h/2
x
b
CG
h/2
+h/2
 
 
dAyI
AxCG ∫= 2 
 
 
2
2
32
2
2
3
h
h
h
h
x
hbbdyyI
CG
−−


 ⋅== ∫ 
 



 

−−

⋅=
33
223
hhbI
CGx 
 


 +⋅=
883
33 hhbI
CGx
 
 
128
2
3
33 hbhbI
CGx
⋅=⋅= 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
37
Utilizando a formulação de mudança de eixos 
x
CG
h/2
h
h/2
CG
x
b 
Momento de inércia do retângulo em 
relação ao seu CG → 
12
3
,
hbI CGx
⋅= 
2
CGxx yAII CG ⋅+= 
23
212


⋅+⋅= hbhhbI x 
12
3
412
3333 bhbhhbhbI x
⋅+=⋅+⋅= 
312
4 33 hbIhbI xx
⋅=⇒⋅= 
 
4.6 Módulo Resistente 
 Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que 
contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa 
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. 
x
ysup
yinf
x esq x dir
CG
y
 
maxy
IW CGx = 
 
maxx
IW CGy = 
onde: 
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
 A unidade do módulo resistente é [ ][ ] [ ]3
4
L
L
L = . 
 O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à 
flexão. 
 
Para o retângulo, tem-se: 
h/2
b
CG
h/2
 
12
3hbI x
⋅= hbA ⋅= 
6
2
12
2
12
23
3
hb
h
hb
h
hb
Wx
⋅=⋅⋅=
⋅
= 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
38
4.7 Raio de Giração 
 Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento 
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de 
giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
A
Ii = cm
cm
cm =2
4
 
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas 
Figura Momento de Inércia 
Momento 
Resistente Raio de Giração 
Quadrado 
 h
h
CG
 
12
4hI x = 6
3hWx = 12
hix = 
Retângulo 
b
CG
h
CGx
 
12
3bhI
CGx = 6
2hbWx
⋅= 
12
hix = 
Triângulo 
CG
b
h
x CG
 
36
3bhI
CGx
= 
12
2hbWx
⋅= 
6
2⋅= hix 
Círculo 
D
CG
x CG
 
64
4dI
CGx
π= 32
3DWx
⋅= π 
4
Dix = 
Círculo vazado 
CG
D d
CG
x
 
 
( )
64
44 dDI
CGx
−= π
 
( )
32
33 dDWx
−= π 22
4
1 dDix += 
 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
39
Exemplo 
A figura representa a seção transversal de 
uma viga “T”. Para a figura, determinar: 
a) o centro de gravidade; 
b) o momento de inércia em relação ao 
eixo x; 
c) os módulos Resistentes superior e 
inferior; 
d) o raio de giração. 
(medidas em centímetros) 
x
2
5
1
3
2
CG
3
x CG
y
y
sup
inf
32
 
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém 
montar a seguinte tabela: 
 
Figura b (cm) h (cm) yCG (cm) A (cm2) Mx (cm3) ICGi (cm4) Ixi (cm4) 
1 3 2 6 6 36 2 218 
2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 
3 3 2 6 6 36 2 218 
Σ 26 121 664,67 
 
Centro de gravidade (CG) 
cm
A
M
y xCG 65,426
121 === ∑
∑ 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf=4,65cm e ysup=2,35cm. 
Na coluna ICGi (cm4) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo 
respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão 
12/3hbI x ⋅= . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia para 
eixo x de referência para determinar a sua somatória. 
A translação de eixos é feita por meio da expressão: AyII CGx ⋅+= 2 
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à 
translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura,por meio da seguinte 
expressão: 
A
MII xxCG
2
−= 
26
12167,664
2
−=CGI 
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 455,101 cmICG = 
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 
3
sup
sup, 21,4335,2
55,101 cm
y
IW CGx === 3
inf
inf, 84,2165,4
55,101 cm
y
IW CGx === 
Finalmente, determina-se o raio de giração. 
A
Ii CGx = cmix 98,126
55,101 == 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
40
Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; b) centro 
de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento de 
inércia em relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração. 
x
1
1 4
medidas em centímetros
1
8
y
 
Respostas: 
 
A = 16 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 141,33 cm4 
Wsup = 35,33 cm3 Winf = 35,33 cm3 
i = 2,97 cm 
xmedidas em centímetros
5
2
3
3 32
y
 
Respostas: 
 
A = 86 cm2 yCG = 5,105 cm 
Ix,CG = 683,73 cm4 
Wsup = 139,67 cm3 Winf = 133,94 cm3 
i = 2,82 cm 
x1 10 2
1
4
y
medidas em centímetros 
Respostas: 
A = 25 cm2 yCG = 1,7 cm 
Ix,CG = 56,08 cm4 
Wsup = 16,99 cm3 Winf = 32,99 cm3 
i = 1,50 cm 
x
1
2,5 2,51
1
y
6
medidas em centímetros 
Respostas: 
 
A = 18 cm2 yCG =4,0 cm 
Ix,CG = 166 cm4 
Wsup = Winf =41,5 cm3 
i = 3,04 cm 
y
1,2 3,6 1,2
6 1,
2
medidas em centímetros
x
 
Respostas: 
 
A = 18,72 cm2 yCG = 3,0 cm 
Ix,CG = 43,72 cm4 
Wsup = Winf = 14,57 cm3 
i = 1,53 cm 
x
medidas em centímetros
y
1
1
1,5 3,5
1,
2
1,
2
3,
68
 
Respostas: 
 
A = 23,2 cm2 yCG = 4 cm 
Ix,CG = 179,06 cm4 
Wsup = 44,76 cm3 Winf = 44,76 cm3 
i = 2,78 cm 
 Resistência dos Materiais 
Características geométricas 
 
41
5 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
5.1 Introdução 
 Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que, 
quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de 
dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são chamados 
esforços solicitantes. 
 Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do 
material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais. 
Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica. 
 Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, 
o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, diz-
se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade. 
 Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam 
rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo serve 
para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura. 
 Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também 
evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações devem 
também cessar. 
 Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão 
submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econômico. 
 
5.2 Classificação dos esforços solicitantes 
 Os esforços solicitantes são classificados em: 
• Força Normal (N) 
 Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal. 
Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da 
força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando 
encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão. 
 As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam 
sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega 
σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração 
ou compressão. 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes
 
42
• Força Cortante (V) 
 Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que 
tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento 
da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às 
forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força 
por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau). 
 
• Momento Fletor (M) 
 Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que 
tendem a dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém 
o eixo longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal. 
 
• Momento de Torção (T) 
 A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno 
de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção. 
5.3 Convenção de sinais 
 Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os 
diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado. 
Força normal (N) 
• tração (+) 
• compressão (-) 
 
Força cortante (V) 
S
P
 
Força P tendendo girar a barra no sentido horário em relação à 
seção S: positivo (+) 
S
P
 
Força P tendendo girar a barra no sentido anti-horário em 
relação à seção S: negativo (-) 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
43
Momentos fletores (M) 
 Momento Fletor: o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas 
atuantes na peça tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na 
peça tracionam suas fibras superiores. 
OBS: não confundir Momento Fletor com Momento aplicado aos corpos rígidos, cuja 
convenção de sinais é 
• tende a girar no sentido horário ( – ) 
• tende a girar no sentido anti-horário ( + ) 
 
Momentos de Torção(T) 
 Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal 
em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a gira 
no sentido horário. 
 
Regras para o traçado dos diagramas de esforços solicitantes 
1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de 
esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força. 
2. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o 
diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da força 
concentrada. 
3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor 
apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo. 
4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento fletor 
apresenta um ponto de máximo. 
5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o 
diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso. 
6. As funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais adiante, 
estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda ordem: 
q
dx
dV
dx
Md −==2
2
. Em outras palavras, a área da figura do diagrama de força cortante é o 
valor da do momento fletor. 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes
 
44
6 VIGAS 
 
6.1 Introdução 
 Vigas são elementos de barras, 
submetidas a cargas transversais em relação a 
seu eixo e destinadas a vencer vão. 
 As cargas podem ser classificadas em 
relação à área em que são aplicadas em 
concentradas e distribuídas. As cargas 
concentradas são aquelas cuja superfície de 
contato com o corpo que lhe resiste édesprezível comparada com a área do corpo. 
As cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao 
longo de um comprimento ou sobre uma 
superfície, podendo ser uniforme ou não 
uniforme. 
VÃO (L)
P
 
Fig. 7.1 Viga simplesmente apoiada submetida a 
uma carga concentrada no meio do vão 
 
6.2 Tipos de cargas 
6.2.1 Cargas distribuídas 
 As cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas 
cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada 
equivalente (R), cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga 
distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade (CG). 
 
Carga uniformemente distribuída 
carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m, 
kN/m) 
R = carga equivalente, definida como R=q.a (área do 
retângulo) 
O ponto de aplicação da carga equivalente é o centro 
de gravidade do retângulo, ou seja,
2
ax = 
R
q
x
a
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
45
Carga distribuída variável 
a. Triangular 
O valor da carga equivalente é a área da triângulo, ou 
seja, 
2
.aqR = e é aplicada no centro de gravidade: 
centro de gravidade: 
3
.2' ax = e 
3
'' ax = 
R
q
x´ x"
a
 
b. Trapezoidal 
O valor da carga equivalente é a área do trapézio, ou 
seja, aqpR ⋅+=
2
 
e é aplicada no centro de gravidade 
qp
qpax +
+⋅= 2
3
 x´
a
p
q
R
 
6.3 Apoios ou vínculos 
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
Apoio móvel 
 ou 
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao 
plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Permite rotação. 
Apoio fixo 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Permite rotação. 
Engastamento 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
• Impede rotação. 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
46
EXEMPLOS 
1. Viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada. 
S2S1
_
Pb / L
Pba / L
+
L
ba
RA
A
RA
A C
+ P
Pb / L
(V)
Pa / L
(M)
HB
RB = Pa / L
B
Px
 
a) Cálculo das reações 
L
PaRBaPLRBM
PRBRAPRBRAF
HBHBF
A
V
H
=⇒=−+=
=+⇒=−+=
=⇒==
∑
∑
∑
0..0
00
000
 
( )
L
aLPRA
L
PaPLRA
L
PaPRAP
L
PaRA −=⇒−=⇒−=⇒=+ 
L
PbRAbaLmas =⇒=− 
b) Cálculo dos esforços solicitantes (internos) 
 Seção S1 entre A e C ax ≤≤0 (forças à esquerda) 
 Força cortante: RAV +=1 
x M1 
0 0 Momento fletor 
x
L
bPxRAM ...1 =+= a 
L
Pba 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
47
 Seção S2 entre C e B Lxa ≤≤ (forças à esquerda) 
 Força cortante: 
P
l
PbPRAV −=−+=2 
( )
L
Pa
L
LbP
L
PLPbV −=−=−=2 
 Momento fletor: 
( )axPxRAM −−+= .2 
( ) ( ) 0,.
:,/.2
=+−⇒+++−
−=⇒+−=
aLbpLabcomoRAPL
L
LPb
setemLxppaPxx
L
PbM
 
 
Obs.: O sinal de xRA.+ é positivo porque traciona a face inferior da viga e o sinal de 
( )axP −− é negativo porque traciona a face superior da viga, em relação à seção S. 
Quando 
2
Lba == tem-se 
42
PLMPRBRA máx === 
 
2. Viga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuída 
RB = qL/2RA = qL/2
0
qL/2
0
L / 2
++
+
2
qL /8
-qL/2
----
M (kN.m)
V (kN)
L/2
S
A
x
L/2
L
HB = 0
q (kN/m)
carga equivalente 
R = q . L
B
 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
48
a) Cálculo das reações 
2
.
2
.0
2
...0
.0.0
00
LqRALqRBLLqLRBM
LqRBRALqRBRAF
HBF
A
V
H
=∧=⇒=−+=
=+⇒=−+=
==
∑
∑
∑
 
b) Cálculo dos esforços solicitantes 
Seção S (forças à esquerda) 
x V 
0 
2
qL 
L 
2
qL− 
Força cortante 
xqLqV
xqRAV
.
2
.
.
−+=
−+=
 
equação do primeiro grau 
2
L 0 
 
Obs.: Quando a força cortante for mínima, o momento fletor é máximo. Portanto, deve-se 
igualar a zero a equação da força cortante para determinar o local do diagrama onde o 
momento fletor é máximo. Assim, 
22
..0.
2
. LxLqxqxqLqV =⇒=⇒=−= 
 Momento fletor 
x M 
0 0 
4
L 
32
3 2qL
2
L 
32
2qL 
carga equivalente
q . x
A
x
x / 2
S
q
RA 
2
..
2
.
2
...
2xqxLqM
xxqxRAM
−=
−=
 
L 0 
 
Obs.: A área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como 
se verá mais adiante, V
dx
dM = . Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se: 
+q.L/2
L/2
 
8
.
2
1.
2
.
2
. 2LqLLqM == 
Analogamente, do lado direito: 
8
.
2
1.
2
.
2
. 2LqLLqM == 
O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro exemplo. 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
49
3. Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre 
PMA
RA
HA
A
L
S Bx
 
a. Cálculo das reações 
∑
∑
==−=
==
PRAPRAF
HAF
V
H
00
00
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) PV += 
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. 
x M 
0 0 
Momento fletor Seção S 
xPM ⋅−= L – PL 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
O momento fletor é negativo porque 
traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o 
momento fletor é linear e depende de 
x. A medida distância x inicia-se na 
extremidade livre da viga. 
 
 
 
A B
0
+
0
-PL _
RA=P
P
L
S
V
M
x
P
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
50
4. Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída 
a. Cálculo das reações 
∑
∑
==−=
==
qLRAqLRAF
HAF
V
H
00
00
MA
carga equivalente
R = q x L
RA
HA
A
L
S
q
B
x
 
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
x V 
0 0 qxV += 
L qL 
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. 
x M 
0 0 
Momento fletor Seção S 
 
22
2qxxxqM −=⋅⋅−= 
L 
2
2qL− S
x B
carga equivalente
R = q . x
x/2 x/2
 
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância x 
inicia na extremidade livre da viga. 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
A B
0
+
0
-q.L /22 _
RA=q.L
q.L
L
S
V
M
x
q
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes
 
51
5. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão. 
a
RA=Mc / L
x
A
S
L - a
L RB=-Mc / L
M
C
c
B
 
a) Cálculo das reações 
∑ −==+= RBRARBRAFV 00 
b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante 
L
M
V c+= 
Momento fletor x
L
MxRAM c ⋅+=⋅+= 
No trecho AC o momento externo traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é 
positivo. 
x M 
0 0 x
L
MM c ⋅= a 
L
aM c 
 
No trecho CB, o momento externo 
traciona a face superior da viga logo, o 
momento fletor neste trecho é negativo. 
Portanto, em x=a, tem-se: 
c
c ML
aMM −+= 
( )
L
aLM
L
LMaMM ccc −−=−+= 
+
(L-a)
L
0
cM
0
c-M
a
RA=Mc / L
_
a
L
Mc
M
-Mc
+
L
V
RB=-Mc / L
A
cM
C B
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
52
6. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade. 
A
aM
B
L
M / La -M / La
 
a) Cálculo das reações 
∑ −==+= RBRARBRAFV 00 
b) Cálculo dos esforços solicitantes 
Força cortante: 
L
MV a+= (constante) 
Momento fletor aMM −= (constante) 
É negativo porque traciona a face superior da 
viga 
 
-M
0
a _
0
M / La
M / La
+
L
M
V
-M / La
A
aM
B
 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
EXERCÍCIOS 
1. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: 
P=6 kNMA
L=3 m
RA
HA
A S B
x
 
a. Cálculo das reações 
kNRARAF
HAF
V
H
∑
∑
==−=
==
6060
00
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
53
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
kNPV 6=+= 
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. 
 
Momento fletor Seção S 
xPM ⋅−= 
183
00
−
Mx
 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
O momento fletor é negativo porque 
traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o 
momento fletor é linear e depende de x. 
 
A B
L=3 m
0
+
0
-18
_
RA=6 kN
6
S
V (kN)
M (kN.m
x
P=6 kN
 
2. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: 
q=4 kN/m
MA
carga equivalente
R=4 x 2=8 kN
L=2 m
RA
HA
A S B
x
 
 
 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
54
a. Cálculo das reações 
kNRAF
HAF
V
H
∑
∑
=×−=
==
8240
00
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
qxV += 
82
00
Vx
 
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. 
 
Momento fletor Seção S 
22
2
2 xxxM −=⋅⋅−= 
82
00
−
Mx
 
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau. 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
A B
L=2 m
0
+
0
-8
_
RA=6 kN
8
S
V (kN)
M (kN.m
x
q=4 kN/m
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
55
3. Dado a viga abaixo, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de 
força cortante e momento fletor. 
NOTA: Quando a força cortante é 
mínima, o momento fletor é máximo. 
Como V
dx
dM = , ou seja, a integral da 
força cortante é o momento fletor, 
então, a área do diagrama de V 
corresponde a M . 
2438 =× e mkN ⋅=× 24212 
 
P=20 kN
24
RA=8 kN
0
8
20
A
+
_
S1 S2
C
3m 2m
5m
-12
V (kN)
M (kN.m)
RB=12 kN
B
HB
 
a) cálculo das reações 
∑
∑
∑
=×−×+=
=+=−+=
==
032050
2000
00
RBM
kNRBRAPRBRAF
HBF
A
V
H
 
kNRARA
RBRA
kNRBRB
82012
20
12605
==+
=+
==
 
 Pelas fórmulas deduzidas: 
kN
L
PaRAkN
L
PbRA 12
5
3208
5
220 =×===×== 
b) cálculo dos esforços solicitantes 
Convenção de sinais para força cortante: 
S P
-
 
tende girar a viga no sentido horário em 
relação à seção S 
+
S
P
 
tende girar a viga no sentido anti-horário em 
relação à seção S 
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
56
xM
xRAM
⋅=
⋅+=
8
)(
1
1
05
243
2Mx
Força cortante 
 Seção S1 
A
RA=8 kN
S1
X
 
kNV
RAV
81
1
+=
+=
 
 
• A reação RA tende a cortar a viga na seção S1 no sentido horário ⇒ (+) 
 Seção S2 
A
RA=8 kN
S2
3m (x-3)
P=20 kN
X
 
kNV
PRAV
122082
2
−=−=
−+=
 
 
• Notar que V1 e V2 não dependem de x. Portanto, V1 e V2 serão constantes no diagrama 
de força cortante. 
Momento fletor Seção S1 
 
243
00
1Mx
 
• Momento fletor (+) por tracionar a face inferior. 
Seção S2 
 
( )
( )
6012
60208
3208
3
2
2
2
2
+−=
+⋅−⋅=
−⋅−⋅=
−⋅−⋅+=
xM
xxM
xxM
xPxRAM
 
• Notar que as equações que definem o momento fletor dependem de x e são lineares. 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
57
4. Calcular os esforços, trocar os diagramas de V e M e dimensionar a viga abaixo. 
10 x 5 = 50 kN
carga equivalente 
31,25
L / 2L / 2L / 2L / 2
++
RA = 25 kN
2525
2,5 m2,5 m2,5 m2,5 m
++
L = 5 m
2,5 m
L / 2
A
----
M (kN . m)M (kN . m)
S
V (kN)V (kN)
25252525
RB = 25 kNRB = 25 kN
HB = 0
q = 10 kN / m
B
 
a) Cálculo das reações 
 
( )
( )
kNRAkNRB
RB
RBM
kNRBRA
RBRAF
BHF
A
V
H
2525
1255
05,251050
50
05100
00
==
=
=⋅⋅−⋅+=
=+
=⋅−+=
==
∑
∑
∑
 
 Pelas fórmulas deduzidas: kNLqRBRA 25
2
510
2
=×=⋅== 
a) Cálculo dos esforços solicitantes 
A
q
RA = 25 kN
x
carga equivalente
q . xx / 2
S
 
Força Cortante 
xV
xqRAV
1025−=
⋅−+=
 
 
• A reação RA tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) e a força (q . x), 
carga equivalente, tende a cortar a viga na seção S no sentido anti-horário (-); 
• No caso de carregamento distribuído, a equação da força cortante depende de x, 
portanto , trata-se de uma função linear; 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
58
• Sabe-se que, quando a força cortante é mínima, o momento fletor é máximo, portanto, 
necessita-se saber a que distância do apoio A, V = 0. Então, 0 = 25 – 10x. 
mxx 5,22510 =⇒= , ou seja, 2L 
Diagrama de Força Cortante 
x V 
2 25 
2,5 0 
5 -25 
2525
V (kN)V (kN)
função linear
++2525
2,5 m2,5 m
--
 
 
 
 Obs.: A área da figura resultante do diagrama de força cortante é o momento fletor. 
• Do lado esquerdo 
mkN ⋅=× 25,31
2
255,2 
• Do lado direito: 
mkN ⋅=× 25,31
2
255,2 
Momento fletor 
A
q
RA 
x
x / 2
carga equivalente
q . x
S
 
2
2
525
2
1025
2
xxM
xxM
xxqxRAM
⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
⋅⋅−⋅+=
 
• Notar que a reação RA gera um momento fletor na seção S que traciona a face inferior 
(+) e a força equivalente (q . x). Gera um momento que traciona a fibra superior (-); 
• No caso de carregamento distribuído, a equação do momento fletor depende de (x2), 
portanto, trata-se de uma função quadrática que resulta numa parábola do 2º grau. 
Diagrama de Momento Fletor 2525 xxM ⋅−⋅= 
x M 
0 0 
2,5 31,25 
5 0 ++
2,5 m2,5 m2,5 m2,5 m
M (kN . m)M (kN . m)
31,25 
 
 
Pelas fórmulas deduzidas: mkNLqM máx ⋅=×⋅= 25,318
510
8
22
 
 Resistência dos Materiais 
 Esforços solicitantes 
 
59
6.4 Equações diferenciais de equilíbrio 
 Os esforços solicitantes são obtidos a partir das equações de equilíbrio que regem o 
comportamento das vigas. 
 Seja a viga em balanço submetida a um carregamento genérico (q), como ilustrado 
na Figura abaixo. 
L
q
x dx
 
Figura 7.2. Viga em balanço 
 O equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga está ilustrado