CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
1a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
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		Exercício: CCE1298_EX_A1_201802332456_V1 
	19/03/2019 (Finaliz.)
	Aluno(a): JEANDERSON NERIS IZIDORO LIMA
	2019.1 - F
	Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
	201802332456
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
t2s(2)−ts=1−sen(t)t2s(2)−ts=1−sen(t)
		
	
	Ordem 1 e grau 1.
	
	Ordem 4 e grau 2.
	
	Ordem 2 e grau 2.
	 
	Ordem 2 e grau 1.
	
	Ordem 1 e grau 2.
	
Explicação:
Ordem de uma ED corresponde a ordem da derivada de mais alta ordem da ED. Grau de uma ED corresponde ao grau ("expoente") do termo da ED que definirá sua ordem
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o limite da função (t2 , cos t, t3) parametrizada quando t tende a zero.
		
	
	(0,1)
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	(0,1,0)
	
	(1,1,1)
	
	(0,2,0)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos:
		
	
	y = -x + 5 ln | x + 1 | + C
	
	y = ln | x - 5 | + C
	
	y = -3x + 8 ln | x - 2 | + C
	 
	y = x + 5 ln | x + 1 | + C
	
	y = x + 4 ln| x + 1 | + C
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - (y(IV))2+3xy′+2y=e2x(y(IV))2+3xy′+2y=e2x
II - d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)
III - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0
Assinale a alternativa verdadeira.
		
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	Apenas a alternativa I e II é linear.
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	 
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	I, II e III são lineares.
	
Explicação:
I possui função exponencial e III tem o termo y2y2
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da substituição:
Função: yy =  x416x416
EDO:y′=x(y12)y′=x(y12)
		
	
	x4=x16x4=x16 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
	x4=x4x4=x4 são iguais, portanto resolve a EDO.
	 
	x34=x34x34=x34 são iguais, portanto resolve a EDO.
	
	x34=x316x34=x316 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
	x34=x34x34=x34 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
Explicação:
y′=x34y′=x34, substituindo na EDO, encontramos a igualdade:
x34=x34x34=x34
que resolve a EDO.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy - (sen x)dx = 0, obtemos:
		
	
	sen y + cos y = C
	 
	sen y + cos x = C
	
	sen x - cos x = C
	
	sen x - cos y = C
	
	sen x + cos y = C
	
Explicação: Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2.
		
	 
	(2,cos 2, 3)
	
	(2,cos 4, 5)
	
	(2,0, 3)
	
	(2,sen 1, 3)
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
(y(IV))3+3xy(3)+2y=e2x(y(IV))3+3xy(3)+2y=e2x.
		
	 
	Ordem 4 e grau 3.
	
	Ordem 3 e grau 3.
	
	Ordem 4 e grau 8.
	
	Ordem 3 e grau 4.
	
	Ordem 4 e grau 7.
		 
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		Exercício: CCE1298_EX_A2_201802332456_V1 
	19/03/2019 (Finaliz.)
	Aluno(a): JEANDERSON NERIS IZIDORO LIMA
	2019.1 - F
	Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
	201802332456
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação diferencial ordinária em que a função y depende exclusivamente da variável x, tal que dy - ex.dx = 0 e y(0) = 2. Determine a solução para as condições iniciais apresentadas.
		
	 
	ex + 1
	
	ex - 1
	
	ex
	
	ex - 2
	
	ex + 2
	
Explicação:
dy ¿ ex.dx = 0 , logo  dy = ex.dx. Integrando, temos: y = ex + C. Para x = 0, Y = 2. Portanto, 2 = e0 + C, logo C = 1. Assim, y =  ex + 1.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Podemos afirmar que  o número inicial de bactérias é:
		
	
	Aproximadamente 150 bactérias.
	 
	Aproximadamente 160 bactérias.
	
	Nenhuma bactéria
	
	Aproximadamente 165 bactérias.
	
	Aproximadamente 170 bactérias.
	
Explicação:
Aproximadamente 160 bactérias.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28?
		
	
	8
	
	2
	
	10
	 
	4
	
	6
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis:
dydt=et−ydydt=et−y
		
	
	y=et−yy=et−y 
	
	y=ln(et+c)y=ln(et+c)
	
	y=ety+ky=ety+k
	
	y=ln(e)+cy=ln(e)+c
	 
	y=t+ky=t+k
	
Explicação:
eydy = etdt
ey = et + c
y = ln(et + c)
 
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução geral para a EDO de primeira ordem a seguir:
dy/dx  = 2ycosx
		
	
	y = c.e(senx)/2
	
	y = c.esen2x
	 
	y = c.e2senx
	
	y = c.esen(x/2)
	
	y = c.esen3x
	
Explicação:
dy  = 2ycosx.dx
dy/y  = 2cosx.dx
ln(y) = 2senx + k,  y > 0
y = e2senx + k
y = ek.e2senx
y = c.e2senx
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 4y = 32?
		
	
	4
	
	2
	
	10
	 
	8
	
	6
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação diferencial xdy - ydx = 0, obtemos:
		
	
	y = ln x + C
	 
	ln y = ln x + C
	
	e) x = ln y + C
	
	ln y = x + C
	
	y + x = C
	
Explicação:
Resposta: a) ln y = ln x + C
Faça xdy=ydxxdy=ydx  separe as variáveis dy/y=dx/xdy/y=dx/x e integre ambos os membros
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
                                                                             (y,,)2 -  3yy, + xy = 0
		
	
	ordem 1 grau 2
	
	ordem 1 grau 1
	
	ordem 2 grau 1
	
	ordem 1 grau 3
	 
	ordem 2 grau 2
	
	
		 
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		Exercício: CCE1298_EX_A3_201802332456_V1 
	19/03/2019 (Finaliz.)
	Aluno(a): JEANDERSON NERIS IZIDORO LIMA
	2019.1 - F
	Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
	201802332456
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que cos 3t ,  5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração.
		
	
	V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t)
	
	V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t)
	 
	V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) =  ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t)
	
	V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t)
	
	V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinantede ordem n:
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2xe2x  ;
                             g(x)g(x)=senxsenx     e     
                              h(x)h(x)= `x^2 + 3*x + 1
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00.
		
	 
	-2     
	
	 1       
	
	 -1     
	
	 7
	
	 2      
	
Explicação:
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou LD.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
		
	
	Homogênea de grau 2.
	
	Homogênea de grau 4.
	 
	Homogênea de grau 3.
	
	Não é homogênea.
	
	Homogênea de grau 1.
	
Explicação:
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
		
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear;
	
	equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear
	 
	equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
	
	equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear.
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y).
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
		
	 
	É homogênea de grau 3.
	
	Não é homogênea.
	
	É homogênea de grau 2.
	
	É homogênea de grau 4.
	
	É homogênea de grau 1.
	
Explicação:
Aplica-se o teste descrito no texto da questão.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h
		
	
	0
	
	( - sen t, - cos t)
	 
	( -sent, cos t)
	
	( sen t, - cos t)
	
	1
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dada uma função de modo que f(5,6)=7  e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que  f(20,24) é:
		
	
	24
	 
	28
	
	7
	
	20
	
	1
	
Explicação:
28
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial.
		
	
	Apenas I é correta.
	
	Apenas I e II são corretas.
	
	Apenas II e III são corretas.
	 
	Todas são corretas.
	
	Apenas I e III são corretas.
	
	 
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4a aula
		
	 
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		Exercício: CCE1298_EX_A4_201802332456_V1 
	19/03/2019 (Finaliz.)
	Aluno(a): JEANDERSON NERIS IZIDORO LIMA
	2019.1 - F
	Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
	201802332456
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma  uma equação diferencial exata é necessário que:
		
	 
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x.
	
	A derivada de M em relação à x seja igual à derivada de N em relação à x.
	
	Nenhuma da alternativas
	
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
	A derivada de N em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
Explicação:
Essa resposta é a condição para que tenhamos uma EDO exata
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0.
		
	
	y = C1e-t + C2
	
	y = C1e-3t + C2e-2t
	
	y = C1e-t + C2et
	
	y = C1et + C2e-5t
	 
	y = C1e-t + C2e-t
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x)
		
	
	ordem 1 grau 1
	
	ordem 1 grau 2
	 
	ordem 2 grau 1
	
	ordem 1 grau 3
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	São grandezas escalares, exceto:
		
	
	A espessura da parede da minha sala é 10cm.
	
	A energia cinética nos pontos da trajetória do trenzinho da montanha russa.
	
	A temperatura do meu corpo
	 
	João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros.
	
	O carro parado na porta da minha casa.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0(x−y)dx+(x+y)dy=0
 
		
	
	Apenas I e III.
	 
	Apenas I e II.
	
	Todas são exatas.
	
	Todas não são exatas.
	
	Apenas II e II.
	
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy = 0 será exata quando dM/ dy = dN / dx
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas:
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1.
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.
		
	
	C1=1C1=1; C2=ln2C2=ln2
PVC
	
	C1=2C1=2; C2=1C2=1
PVC
	
	C1=√3C1=3; C2=√2C2=2
PVC
	
	C1=−1C1=-1; C2=− 2C2=- 2
PVI
	 
	C1=1C1=1; C2=2C2=2
PVI
	
Explicação:
O chamado, problema de valor inicial - PVI, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
O chamado, problema de valor contorno - PVC, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos curvas-solução, em  dois pontos distintos, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x)
		
	
	ordem 3 grau 3
	
	ordem 1 grau 3
	 
	ordem 2 grau 3
	
	ordem 1 grau 1
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0
		
	
	I, II e III são exatas.
	
	Apenas a II.
	 
	Apenas a I.
	
	I, II e III são não exatas.
	
	Apenas a III.
		 
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		Exercício: CCE1298_EX_A5_201802332456_V1 
	19/03/2019 (Finaliz.)
	Aluno(a): JEANDERSON NERIS IZIDORO LIMA
	2019.1 -F
	Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
	201802332456
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
		
	
	Separável, Homogênea e Exata
	
	Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	 
	Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear
y´−2xy=xy´−2xy=x
		
	
	y=12+cex2y=12+cex2
	
	y=12+ce−x3y=12+ce−x3
	 
	y=−12+cex2y=−12+cex2
	
	y=−12+ce−x3y=−12+ce−x3
	
	y=−12+ce−x2y=−12+ce−x2
	
Explicação:
y=−12+cex3y=−12+cex3
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] . ∫u(x)q(x)dx∫u(x)q(x)dx onde u(x) = e^(∫p(x)dx∫p(x)dx
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o Wronskiano W(x,xex)W(x,xex)
		
	
	x2e2xx2e2x
	
	exex
	
	x2x2
	
	2x2ex2x2ex
	 
	x2exx2ex
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2⋅xe2⋅x  ;
                             g(x)g(x)=senxsenx     e     
                               h(x)=x²+3x+1h(x)=x²+3x+1
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00.
		
	
	 1       
	
	 7
	 
	-2     
	
	 2      
	
	 -1     
	
Explicação:
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[−π,π][-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,costt,sent,cost são linearmente dependentes.
		
	 
	t=0t=0
	
	t=πt=π
	
	t=π2t=π2
	
	t=π4t=π4
	
	t=π3t=π3
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável.
		
	
	y = c.x
	 
	y = c.x^4
	
	y = c.x^3
	
	y = c.x^5
	
	y = c.x^7
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Identifique no intervalo[ - π,ππ,π] onde as funções {t,t2, t3}{t,t2, t3} são  lineramente dependentes.
		
	
	t= πt= π
	
	t=−π2t=-π2
	 
	t=0t=0
	
	t= π3t= π3
	
	t=−πt=-π
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para x =0, y = 4, determine a solução desta EDO.
Dado que y' = dy/dx
		
	
	y = (-3e2x + 19.e-2x)/4
	
	y = (3e2x + 13.e-2x)/4
	 
	y = (e2x + 15.e-2x)/4
	
	y = (2e2x + 14.e-2x)/4
	
	y = (- e2x + 16.e-2x)/4
	
Explicação:
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx)
y. e2x = (1e4x)/4 + c
y = (e2x)/4 + c.e-2x
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4 + c.e-2.0
4 = 1/4 + c
c = 15/4
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4