Modulo2-Lista4(Gabarito)-Analise1-Turma12013-ProfCelius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 Lista 4 1.o/2013
1) Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(0) = 0 e f(x) = e−1/x
2
para x 6= 0.
a) Calcule f ′(x) para x 6= 0. Em seguida, justifique a afirmac¸a˜o de que f e´ deriva´vel em
x = 0 e calcule f ′(0).
Resposta: f ′(x) = 2x3 e
−1/x2 e f ′(0) = limx→0 f ′(x) = 0
b) Proceda de forma ana´loga para calcular f ′′(x), x 6= 0, e f ′′(0).
Resposta: f ′′(x) = (− 6x4 +
4
x6 ) e
−1/x2 e f ′′(0) = limx→0 f ′′(x) = 0
c) Determine os pontos cr´ıticos e os pontos de inflexa˜o de f .
Resposta: ponto cr´ıtico: x = 0; pontos de inflexa˜o: x = ±
√
6
3
1
d) Determine os intervalos em que a func¸a˜o e´ crescente, decrescente, coˆncava e convexa,
e esboce o gra´fico da func¸a˜o.
Resposta: decrescente:(−∞, 0); crescente:(0,∞); coˆncava:(−∞,−
√
6
3 )∪(
√
6
3 ,∞); convexa:(−
√
6
3 ,
√
6
3 )
e) Justifique a afirmac¸a˜o de que f e´ de classe C∞. Em seguida, decida se a func¸a˜o e´
anal´ıtica em x = 0.
Resposta: f (n)(0) = limx→0 f (n)(x) = 0 ∀ n ∈ N; f na˜o e´ anal´ıtica em x = 0
2) Suponha f e g func¸o˜es anal´ıtica em um ponto c, e indique a diferenc¸a por h = f − g.
O ponto c e´ um zero de ordem p ∈ {0} ∪ N da func¸a˜o h se h(j)(c) = 0 para 0 ≤ j ≤ p e
h(p+1)(c) 6= 0. Se h(j)(c) = 0 para todo j = 0, 1, 2, . . . , o ponto c e´ dito de ordem infinita.
a) Obtenha a expressa˜o da se´rie de Taylor de h em torno do ponto c.
Resposta:
∑∞
n=0
h(n)(c)
n! (x− c)
n
b) Conclua que, se c e´ um zero de ordem p, enta˜o h escreve-se como h(x) = (x−c)p+1ϕ(x),
onde ϕ(c) 6= 0 .
Resposta: h(x) = (x− c)p+1
∑∞
n=0
h(p+1+n)(c)
(p+1+n)! (x− c)
n = (x− c)p+1ϕ(x), com ϕ(c) = h
(p+1+n)(c)
(p+1+n)! 6= 0
c) Nas condic¸o˜es do item anterior, obtenha δ > 0 tal que ϕ(x) 6= 0 para |x− c| < δ.
Resposta: ϕ e´ cont´ınua em x = c, e basta escolher ǫ = |ϕ(c)|2
d) Ainda nas condic¸o˜es do item anterior, conclua que c e´ um zero isolado da func¸a˜o h,
isto e´, que h(x) 6= 0 para 0 < |x− c| < δ.
Resposta: basta notar que (x− c)p+1 6= 0 para 0 < |x− c| < δ
e) Use os itens anteriores para concluir que, se existe uma sequeˆncia xn → c, com xn 6= c
e f(xn) = g(xn) ∀n, enta˜o f(x) = g(x) para todo x em alguma vizinhanc¸a de c.
Resposta: x = c na˜o e´ zero isolado de h⇒ x = c e´ zero de ordem infinita ⇒ h ≡ 0
Ana´lise 1 Mo´dulo 2 Lista 4 1.o/2013 – 1/2
3) Considere a func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = 1 + x2. Para uma partic¸a˜o pi de [0, 1],
indique por s(f, pi) e S(f, pi) as somas inferior e superior correspondentes. Em particular,
para a partic¸a˜o pin = {0 <
1
n
< · · · j
n
< · · · < 1}, pode-se mostrar que sn = s(f, pin) e´ uma
sequeˆncia crescente, Sn = S(f, pin) e´ decrescente e sn ≤ Sn ∀ n.
1
a) Calculando, verifique que s1 < s2 e S1 > S2.
Resposta: s1 = 1 < 98 = s2 e S1 = 2 >
13
8 = S2
b) Verifique que, refinando a partic¸a˜o pin com um u´nico ponto, isto
e´, pi = pin ∪ {a} = {0 <
1
n
< · · · j
n
< a < j+1
n
· · · < 1}, tem-se que
sn ≤ s(f, pi) e S(f, pi) ≤ Sn.
Resposta: notar que mj(xj − xj−1) = mj(xj − a) + mj(a − xj−1) ≤
mj1(xj − a) + mj2(a − xj−1), onde os mjk sa˜o os ı´nfimos nos intervalos
correspondentes, a ana´logamente para os Mjk
c) Use induc¸a˜o para mostrar que o resultado do item anterior e´ verdadeiro se a partic¸a˜o
pin for refinada com um nu´mero qualquer de pontos.
Resposta: o item anterior ja´ e´ o passo indutivo
d) Do item anterior conclua, em particular, que sm ≤ Sn quaisquer que sejam m e n. Da´ı
e da monotonicidade, conclua ainda que existem os limites lim sn e limSn.
Resposta: notar que π = πn ∪ πm refina πn e πm; notar em seguida que sm e´ cota inferior para
(Sn) e Sn e´ cota superior para (sm)
e) Finalmente, calcule sn e Sn usando a identidade 1
2 + 22 + · · ·n2 = 1
6
n(n+ 1)(2n+ 1),
e verifique que lim sn = limSn.
Resposta: sn = 1 + 16 (1 −
1
n )(2−
1
n ), Sn = 1 +
1
6 (1 +
1
n )(2 +
1
n ) e lim sn = limSn = 1 +
1
3
4) Para α ∈ R, a equac¸a˜o
(1− x2)y′′(x)− xy′(x) + α2y(x) = 0
e´ conhecida como a equac¸a˜o de Chebyshev, e esta´ associada a` apro-
ximac¸o˜es uniformes de func¸o˜es cont´ınuas por polinoˆmios. A soluc¸a˜o
pode ser escrita na forma de uma se´rie y(x) =
∑
∞
n=0 anx
n, com os
coeficientes an a serem determinados.
— func¸a˜o - - polinoˆmio
Nesse sentido, observe que a equac¸a˜o equivale a y′′(x) + (α2y(x)− xy′(x)−x2y′′(x)) = 0,
onde os termos entre pareˆnteses corresponte a uma se´rie em poteˆncias da forma xn.
a) Por uma mudanc¸a no ı´ndice do somato´rio, escreva tambe´m a se´rie de y′′(x) em poteˆncias
da forma xn.
Resposta: y′′(x) =
∑∞
n−0(n+ 2)(n+ 1)an+2x
n
b) Obtenha as relac¸o˜es de recorreˆncia, expressando an+2 em temos de an.
Resposta: an+2 = an(n2 − α2)/[(n+ 1)(n+ 2)]
c) Do item anterior tem-se que y(x) = a0y0(x) + a1y1(x), em que y0(x) e uma se´ria em
poteˆncia pares e y1(x) e´ uma se´rie em poteˆncias ı´mpares. Use o teste da raza˜o para
determinar o raio de convergeˆncia destas se´ries.
Resposta: ambas de raio r = 1
d) Obtenha os treˆs primeiros termos de cada uma das se´ries y0(x) e y1(x).
Resposta: y0(x) = 1− α
2
2 x
2 − α
2(22−α2)
4! x
4 + · · · e y1(x) = x+
1−α2
3! x
3 + (1−α
2)(32−α2)
5! x
5 + · · ·
e) Se α for um inteiro na˜o negativo, enta˜o a equac¸a˜o possui uma soluc¸a˜o polinomial de
grau α. Determine esse polinoˆmio nos casos em que α = 0, 1, 2 e 3.
Resposta: p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = 1− 2x2 e p3(x) = x− 8x3/3!
Ana´lise 1 Mo´dulo 2 Lista 4 1.o/2013 – 2/2