Prova Substitutiva de Calculos Avançados

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14/10/2021 15:35 GRA1267 CÁLCULO AVANÇADO GR0552-212-9 - 202120.ead-10503.04
https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEARN/Controller?COURSE_ID=_730909_1 1/5
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Numa aula de Cálculo, discutia-se a definição de ponto de inflexão de uma função: para uma
função duas vezes diferenciável, um ponto de inflexão é um ponto tal que 
muda de sinal em ou seja, os sinais de em uma vizinhança à esquerda e à direita de tem
sinais diferentes. 
 
 
 Diante da definição acima, alguns alunos propuseram as seguintes afirmações: 
 
 
1. Toda função periódica tem 0 ou infinitos pontos de inflexão.
2. Todo polinômio de grau 4 possui exatamente 0 ou 2 pontos de inflexão.
3. Todo polinômio de grau 3 possui exatamente um ponto de inflexão.
 
 É correto o que se afirma em
III, apenas.
I, II e III.
Resposta Incorreta. As funções constantes são periódicas e não possuem ponto
de inflexão, já que suas segundas derivadas são constantes iguais a zero. Assim,
é possível que uma função periódica não tenha pontos de inflexão. Por outro lado,
suponha que é periódica, é um ponto de inflexão de e é um período de 
Afirmamos que tem infinitos pontos de inflexão: de fato, a periodicidade de 
implica que , e, consequentemente, , é periódica com período . Assim, se 
muda de sinal no ponto também muda de sinal em todos os infinitos pontos da
forma onde é um inteiro. Assim, possui infinitos pontos de inflexão, e
afirmação I. é verdadeira. 
Se é um polinômio de grau 4, sua segunda derivada é um polinômio de grau 2.
Assim, ele só pode mudar de sinal na vizinhança de suas raízes. Sabemos que um
polinômio de grau 2 pode admitir 0, 1 ou 2 raízes reais. No entanto, se ele admite
apenas uma raiz real, então ele é um quadrado perfeito, e portanto, não troca de
sinal. Assim, de fato possui exatamente 0 ou 2 raízes reais. O item II. está
correto. 
 Por fim, se é um polinômio de grau 3, então é um polinômio de grau, que
sempre admite exatamente uma raiz real, e troca de sinal em sua vizinhança.
Assim, a asserção III. também está correta.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Sabe-se que uma circunferência tem a seguinte equação em coordenadas polares:
 
 
 
 Qual são, respectivamente, o raio e o centro de ?
Resposta Correta. Para encontrar o raio e o centro da circunferência, vamos
primeiramente transformar sua equação para coordenadas retangulares. Para
isso, usamos que e Assim, a equação fica
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
14/10/2021 15:35 GRA1267 CÁLCULO AVANÇADO GR0552-212-9 - 202120.ead-10503.04
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Rearranjando a equação e completando quadrados, temos que
a equação é . Assim, trata-se de uma circunferência de raio 2 e
centro no ponto 
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Considere a equação diferencial 
 
 A respeito de suas soluções, considere as seguintes afirmações: 
 
 
1. Toda solução dessa equação satisfaz 
2. Toda solução dessa equação satisfaz 
3. Toda solução dessa equação satisfaz 
 
 É correto o que se afirma em
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A afirmação I. está correta. Reescrevendo essa equação na
forma padrão, obtemos Um fator integrante para essa equação
é . Assim, multiplicando ambos os lados pelo fator e integrando,
obtemos Para qualquer valor de temos que
 
 
A afirmação III. está correta. De fato, para qualquer real, temos que
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Seja uma progressão geométrica não crescente e sem termos nulos de quatro termos.
 
 Sabendo que o produto do terceiro termo dessa PG com a soma dos dois primeiros é igual ao seu
último termo e a soma de sua razão com o primeiro termo é igual a 2, o valor do seu terceiro termo
é? Assinale a alternativa correta.
Resposta Incorreta. 
As alternativas e poderiam ser obtidas por um aluno que, por engano, um
valor de ao invés do valor do terceiro termo. 
 
 
 A alternativa poderia ser obtida por um aluno que, por engano,
considerasse que o terceiro termo é dado por e considerasse a raiz 
 
 
 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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A alternativa poderia ser obtida por um aluno que, por engano,
considerasse que o terceiro termo é dado por 
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Seja uma elipse de centro na origem e que intersecta os eixos nos pontos e 
 
 Uma equação de em coordenadas polares é
Resposta Correta. 
Vamos escrever primeiramente uma equação para em coordenadas retangulares.
Baseado nos pontos de intersecção de com os eixos, sabemos que a equação
dessa elipse em coordenadas retangulares é Usando as fórmulas 
e temos que Multiplicando ambos os
lados dessa equação por 36 e rearranjando os termos, usando que
obtemos a equação 
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Seja o ponto de coordenadas 
Uma representação de em coordenadas polares é
Resposta Correta. 
Para encontrar as coordenadas retangulares de usamos as fórmulas
e No nosso caso, e Assim, temos que
e 
 Para calcular usamos que com Temos
Como e temos que
 Usando que e que
temos que Assim, as coordenadas do
ponto são 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
Considere a equação diferencial real. 
 
 Sabendo que o valor de é
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1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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da resposta: Resposta correta. Um fator integrante dessa equação é Assim,
obtemos que e portanto logo 
Como obtemos Assim, e
Assim, 
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Numa aula de séries, o professor ensinava aos alunos o teste da comparação de limites para
convergência de séries. 
 
Sobre esse teste, considere as seguintes afirmações:
1. Pelo teste da comparação de limites, as séries e são ambas
convergentes ou ambas divergentes.
2. Pelo teste da comparação de limites, as séries e são ambas
convergentes ou ambas divergentes.
3. Pelo teste da comparação de limites, as séries e são ambas
convergentes ou ambas divergentes.
 
 É correto o que se afirma em
III, apenas.
I, apenas.
Resposta Incorreta. A afirmação II está incorreta. Nesse caso,
que não existe, e portanto o teste da comparação de limites é inconclusivo. A
afirmação III está incorreta. Nesse caso, e portanto, o teste da
comparação de limites diz que a convergência de implica na
convergência de 
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Seja uma PA de três termos positivos. 
 
 Sabendo que o primeiro termo dessa PA é igual a 1 e que, somando-se 1, 2 e 3, respectivamente,
ao primeiro, segundo e terceiro termos dessa PA obtemos uma PG, temos que a razão dessa PG é
igual a
6.
1.
Resposta Incorreta. A alternativa 0 poderia ser obtida por um aluno que
considerasse 2, 2, 2 como uma PA, obtendo assim sua razão como 0. A alternativa
-1 poderia ser obtida por um aluno que assinalasse o valor da razão da PA original
ao invés do valor da razão da PG. A alternativa 2 poderia ser obtida por um aluno
que assinalasse o valor de um termo da PG ao invés de sua razão. A alternativa 6
poderia ser obtida por um aluno que assinalasse o valor da soma dos termos da
PG ao invés de sua razão.
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0 em 1 pontos
14/10/2021 15:35 GRA1267 CÁLCULO AVANÇADO GR0552-212-9 - 202120.ead-10503.04
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Pergunta 10
RespostaSelecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Considere a seguinte equação da curva em coordenadas polares: 
 
 
A curva representada por essa equação é uma
reta.
reta.
Resposta Correta. Multiplicando os dois lados da equação por
temos que a equação é Usando a fórmula de conversão
de coordenadas polares para retangulares, temos que essa equação
correspondente a é a equação de uma reta.
1 em 1 pontos