Aula - 3 - Análise no Domínio do Tempo e o Operador Convolução

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Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 3 – Análise no Domínio do Tempo e o Operador 
Convolução
Sumário
• Equações Diferenciais e de Diferença
• Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Análise no Domínio do Tempo Discreto
• O Somatório de Convolução
• A Integral de Convolução
Sistemas LIT
• Neste curso serão estudados os sistemas LIT
▫ Conhecendo-se o sinal de entrada de um sistema e 
as equações que o regem, é possível obter o sinal 
de saída.
▫ No tempo contínuo temos as equações diferenciais 
e no tempo discreto as equações de diferenças
Equações Diferenciais
• Os sistemas LCIT
▫ Equações diferenciais:
Equações de Diferenças
• Os sistemas LDIT
▫ Equações de diferenças:
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta temporal:
▫ Resposta total y(t) ou y[n]
▫ Propriedade da decomposição:
� y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada
� y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Resposta entrada nula:
▫ x(t) = 0
▫ A combinação linear de y0(t) e suas n derivadas 
sucessivas é zero para todo t
▫ Para isso y0(t) e suas n derivadas devem ter a 
mesma forma
▫ Que função possui essa propriedade?
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Resposta entrada nula:
▫ Que função possui essa propriedade?
� A função exponencial
▫ Presume-se, então, que 
é a solução da equação.
substituir
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Resposta entrada nula:
▫ Após substituição:
▫ Sendo Q(λ) chamado de polinômio característico 
do sistema, ele independe da entrada
▫ λ possui N soluções (assumindo que elas são 
distintas): 
Solução não-trivial:
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Resposta entrada nula:
▫ Portanto ela possui N soluções:
▫ A solução geral da equação 
é dada por:
Raízes características do sistema
Modos
Autovalores
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Resposta entrada nula:
▫ Casos especiais:
� Raízes repetidas
� Raízes complexas conjugadas
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Exemplo 2.1 (a) – raízes distintas:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Exemplo 2.1 (b) – raízes reais repetidas:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo Contínuo
• Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Papel das Condições Auxiliares
• Por que precisamos das condições auxiliares 
para obter a resposta de entrada nula?
▫ A operação diferenciação é não-invertível
▫ Para obter y(t) unicamente de dy(t)/dt precisamos 
de uma informação extra como y(0)
▫ Da mesma forma, para obter y(t) de d2y(t)/dt2
precisamos de 2 condições, chamadas de 
condições auxiliares, e assim por diante
• Quando a condição auxiliar é dada no tempo 
t=0, chamamos de condição inicial
O Comportamento de Entrada Nula
• Assuma que um sistema mecânico esteja em 
repouso
▫ Aplique momentaneamente um distúrbio, remova o 
distúrbio (a partir dessa remoção a resposta é a de 
entrada nula), o sistema não entrará em repouso 
instantaneamente
▫ O sistema entrará em repouso depois de algum tempo, 
de acordo com as características do sistema
▫ Esta resposta deverá ser mantida sem qualquer fonte 
externa
▫ O sistema usa uma combinação linear de seus modos 
característicos para voltar para a posição de repouso 
(de acordo com certas condições iniciais)
Ressonância
• Qualquer sinal constituído pelo modo 
característico de um sistema é mantido pelo 
próprio sistema que não oferece obstáculo a tais 
sinais
• Equivalente a solicitar a um alcoólatra que prove 
um whisky!
• Alimentar um sistema com um sinal de entrada 
da forma do seu modo característico causará o 
fenômeno de ressonância 
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Resposta entrada nula:
▫ x[n] = 0
▫ A combinação linear de y0[n] e seus avanços é zero
▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma 
forma
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Resposta entrada nula:
▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma 
forma
▫ Assim, a equação de diferenças pode ser escrita por
Polinômio Característico (independe da entrada):
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Resposta entrada nula:
▫ A solução da equação de diferenças é portanto:
▫ A resposta temporal y0 [n] é a soma de 
exponenciais complexas
Raízes características do sistema
Modos
Autovalores
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Resposta entrada nula:
▫ determinam a resposta a condições 
iniciais e influenciam na resposta a um sinal de 
entrada
▫ Os modos característicos definem todo o 
comportamento do sistema
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Resposta entrada nula:
▫ Casos Especiais:
� Raízes múltiplas
� Raízes complexas conjugadas
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Exemplo 3.10: (Raízes reais distintas)
▫ Equação de diferenças:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Exemplo 3.10: (Raízes reais múltiplas)
▫ Equação de diferenças:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo Discreto
• Exemplo 3.10: (Raízes complexas conjugadas)
▫ Equação de diferenças:
▫ Condições iniciais:
▫ Resposta entrada nula:
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa
▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições 
inicias nulas)
▫ Para obter e entender a resposta a uma entrada 
qualquer é necessário conhecer a resposta ao 
impulso do sistema, h(t)
▫ Qualquer entrada pode ser quebrada em vários 
pulsos retangulares, cada pulso produz uma 
resposta do sistema
▫ Como o sistema é LIT, a resposta do sistema a x(t)
é a soma de sua resposta para todos os 
componentes dos pulsos retangulares
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa
▫ A resposta do sistema a x(t) é a soma de sua 
resposta para todos os componentes dos pulsos 
retangulares (com ∆t aproximando de zero, temos 
impulsos)
h(t): resposta ao impulso
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto
▫ A entrada é um somatório de impulsos
▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições 
iniciais nulas)
▫ No sistema abaixo
como obter y[n]?
?
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto
▫ A entrada é um somatório de impulsos
▫ A saída a uma entrada externa é dada por:
Somatório de Convolução!
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta Total– Caso discreto
▫ A saída total do sistema é dada por:
Resposta 
Entrada Nula
Resposta 
Estado nulo
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
▫ Voltando ao caso contínuo... Condições iniciais 
nulas e largura do pulso tendendo a zero
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
▫ Assim:
� Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a 
resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada
Integral de Convolução!
Análise no Domínio do Tempo
• Resposta Total– Caso Contínuo
▫ A saída total do sistema LIT é dada por:
Resposta 
Entrada Nula
Resposta 
Estado nuloConvolução
• Somatório de Convolução
▫ Considerando o sistema linear e invariante no 
tempo:
?
Convolução
• Somatório de Convolução
▫ Considerando o sistema linear e invariante no 
tempo:
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
inverte
Convolução
• Somatório de Convolução
desloca
Convolução
• Somatório de Convolução
multiplica
Convolução
• Somatório de Convolução
multiplica
Convolução
• Somatório de Convolução
soma
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução:
?
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução
Convolução
• Somatório de Convolução: propriedades
Convolução
• Somatório de Convolução: propriedades
Convolução
• Entendimento intuitivo da Convolução
▫ Assuma que a resposta ao impulso caia linearmente 
com o tempo:
▫ Divida a entrada em pulsos, como, por exemplo:
Convolução
• Entendimento intuitivo da Convolução
▫ A resposta do sistema em t é determinada pela entrada x(τ) 
ponderada por h(t-τ) no pulso sombreado, mais a contribuição de 
todos os pulsos anteriores de x(τ). A soma de todos essas entradas 
é a integral de convolução:
ponderação
Por isso a reversão temporal...
1 segundo
Convolução
• Sistemas Interconectados
▫ Conexão paralela:
▫ Em cascata:
Convolução
• Sistemas Interconectados
▫ Integração:
▫ Diferenciação
Convolução
• Sistemas Interconectados
▫ Considere que:
� x(t) é um impulso e h(t) a resposta ao impulso
� Assim, a resposta ao degrau, g(t) é dada por:
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Manter x(τ) e fazer a reversão de g(τ)
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Deslocar g(τ) no tempo determinado (t1) e integrar 
(t1>0) – área debaixo do produto, sendo ela o 
resultado da convolução para o valor de t
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Deslocar g(τ) no tempo determinado (t2) e integrar 
(t2<0)
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Deslocar g(τ) no tempo para todos os valores de t e 
integrar (para t≤-3 elas não se sobrepõem)
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Resultado final
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Exemplo 2.7: 
Convolução
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução
� Exemplo 2.7: 
• Integral de Convolução
Convolução
• Integral de Convolução
Usando a tabela:
Convolução
Convolução
• Integral de Convolução
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução:
?
Propriedades da Convolução
• Integral de Convolução
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução:
?
• Integral de Convolução: propriedades
Convolução
• Integral de Convolução: propriedades
Convolução
Exercícios
• 2.4-2
• 2.4-4
• 2.4-5
• 2.4-7 (tabela)
• 2.4-11 d)
• 2.4-12
• 2.4-16
• 2.4-18 c) e d)
• 2.4-29
• 2.6-6
• 3.6-1, 3,6-2, 3,6-3
• 3.6-7
• 3.8
• 3.10