analise de variancia

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Análise de variância
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A análise de variância de um fator (ANOVA) é uma técnica de teste de hipóteses usada para comparar as médias de três ou mais populações. 
A variância é calculada de dois jeitos diferentes; os dois valores resultantes formam uma razão.
1. O MSB, quadrado médio entre, que consiste na variância entre as amostras, mede as diferenças relacionadas ao tratamento dado a cada amostra.
 2. O MSW, quadrado médio dentro, que consiste na variância dentro das amostras, mede as diferenças relacionadas às entradas dentro da mesma amostra. A variância dentro das amostras deve-se a erro amostral. 
ANOVA
H0: (Todas as médias populacionais são iguais.)
Ha: Ao menos uma das médias é diferente das outras.
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Cada grupo recebe um ‘tratamento’ diferente. A variação da grande média (média de todos os valores em todos os grupos) é medida. O tratamento (ou fator) será a variável que distingue os membros de uma amostra da outra. 
Primeiro calcule SSB, depois divida por k – 1, os graus de liberdade. (k = o número de tratamentos ou fatores.)
QUADRADO MÉDIO ENTRE
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Calcule SSW e divida por N – k, os graus de liberdade.
 Se MSB tem um valor próximo ao de MSW, a variação não se deve aos efeitos diversos que os tratamentos diversos exercem sobre a variável. A razão entre as duas medidas (razão F) é próxima a 1. 
 Se MSB é significativamente maior que MSW, é provável que a variação se deva às diferenças nos tratamentos ou fatores, e a razão F diferirá significativamente de 1.
QUADRADO MÉDIO DENTRO
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A tabela abaixo mostra a quantia gasta anualmente com leitura (em US$) por uma amostra aleatória de consumidores norte-americanos, residentes em quatro regiões distintas. Sendo você pode concluir que as médias de gasto são diferentes? 
Oeste
223
184
221
269
199
171
Sul
103
143
164
119
99
Meio-Oeste
246
169
246
158
167
76
214
Nordeste
308
58
141
109
220
144
316
108
204
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
0,10,
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Uma distribuição F com g.l.N = 3, g.l.D = 23
0
1
2
3
4
5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
4. Determine o valor crítico. 
2,34
5. Determine a região de rejeição.
0,10
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Determine a distribuição amostral.
0,10
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Oeste
223
184
221
269
199
171
Sul
103
143
164
119
99
Meio-Oeste
246
169
246
158
167
76
214
Nordeste
308
58
141
109
220
144
316
108
204
177,00 
4.050,05
135,71 
1.741,39
210,14 
1.020,80
Calcule a média e a variância de cada amostra.
Calcule , a média de todos os valores.
6. Determine a estatística teste.
185,14
9.838,66
4.779
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 Média n
 1 185,14 7 66,26 463,8
 2 177,00 6 0,00 0,0
 3 135,71 7 1.704,86 11.934,0
 4 210,14 7 1.098,26 7.687,8
Quadrado médio entre
20.086
6.695,33
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 n s2
 1 7 9.838,66 59.031,9
 2 6 4.050,05 20.250,2
 3 7 1.741,39 10.448,4
 4 7 1.020,80 6.124,8
95.855
4.167,61
6.955,33
4.167,61
1,669
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7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
0,10
0
1
2
3
4
5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Como F = 1,669 não cai na região de rejeição, não rejeite a hipótese nula.
Não há evidência suficiente para aceitar a alegação de que as médias não são iguais. Os gastos com leitura são os mesmos nas quatro regiões.
2,53
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Análise de variância de um fator
 Análise de variância
Source DF SS MS F P
Factor 3 20085 6695 1.61 0.215
Error 23 95857 4168
Total 26 15942
Pelo método do valor P, você não rejeitaria a hipótese nula, já que 0,215 > 0,10. Não há evidência suficiente para acreditar que o gasto com leitura é diferente nas regiões distintas.
p< a, rejeita Ho p>a, aceita Ho
RESULTADO NO MINITAB
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ANOVA I – Exemplo
Considere-se a variável saldo médio para as seguintes regiões: Norte, Sul, Interior. Os saldos foram obtidos de agências de povoações com menos de 100.000 habitantes.
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ANOVA I – Exemplo
Instruções passo a passo para o cálculo do valor de F São necessárias os seguintes valores:
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ANOVA I – Passo a passo
1. Cálculo de SQbet
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ANOVA I – Passo a passo
2. Cálculo de SQtot
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ANOVA I – Passo a passo
3. Cálculo de SQerro
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ANOVA I – Passo a passo
4. Cálculo dos graus de liberdade
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ANOVA I – Passo a passo
5. Cálculo dos MQ
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ANOVA I – Passo a passo
6. Cálculo do valor F para MQbet
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ANOVA I – Passo a passo
7. Consultar o valor F na tabela e concluir.
Na tabela, 1=glbet e 2=glerro. Assim:
Uma vez que o valor calculado (7,45) é superior ao valor da tabela (3,68), rejeita-se a hipótese nula e conclui-se que há diferenças estatisticamente significativas entre os saldos médios das agências das três regiões consideradas.
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One-way refers to the fact that only one variable is being considered. Suppose different teaching techniques are used in 3 elementary school reading classes. 1) whole language 2) phonics and 3) a combination of whole language and phonics. Reading levels at the end of a school year are measured. Mean square between would measure the differences among the 3 samples related to the 3 different methods used. If one of the methods is significantly better (or significantly worse) the mean square between would be larger. Mean square within is a measure of the normal and natural variation from one student to another within the same group.
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Hopefully, students will have technology tools that perform most of the calculations. Emphasize the logic of the interpretation of the F-ratio.
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Students should be encouraged to use a statistical calculator to find the sample means and variances. Remind them to square the standard deviation to find the variance. The alternative hypothesis states at least one of the means is different from the others. This test does not identify which one it is. There are additional tests available for this purpose.
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In this example there are 4 groups so k=4.
There are 27 individual value and 27 – 4 = 23. 
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Students should use statistical calculators to find the mean and standard deviation for each sample. Remind them to square each standard deviation to determine the variance. Those who use the TI-83 can go directly to an F-test. Explain the x-double- bar symbol for the mean of all values. This is sometimes called the grand mean.
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The grand mean was 177. The difference between the mean from each sample and the grand mean is calculated and then squared. Each result is multiplied by the number of values in the particular sample. Finally, the sum is calculated.
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Each variance is multiplied by one less than the number in the sample. The sum is calculated for the SS_w. To find the mean squares within divide by N-k.
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Students will prefer to perform this test using a technology tool. The slight difference between the Minitab result and the one shown earlier is due to rounding off. The results are the same.