Métodos dos Minimos Quadrados

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MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS
MOTIVAÇÃO
É uma técnica de aproximação mais usada na análise numérica e em problemas práticos;
Busca aproximações para medidas obtidas experimentalmente com um certo grau de incerteza;
Os dados aproximados podem conter erros;
Estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
CASO DISCRETO
Sejam dados os pontos (𝑥1, f(𝑥1)), (𝑥2, f(𝑥2)), ..., (𝑥𝑚f(𝑥𝑚)) 
E sejam as funções 𝑔1(x), 𝑔2(x), ..., 𝑔𝑛(x) escolhidas de alguma forma
E considerando m>=n
O objetivo é encontrar os coeficientes 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎n tal que:
A função h(x)= 𝑎1𝑔1(𝑥) + 𝑎2𝑔2(𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑔𝑛
 (𝑥) , se aproxime ao máximo de f(x).
Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk
O objetivo é encontrar 𝑎 tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima. Logo:
Ou seja:
MINIMIZANDO OS DEsVIOS
Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos;
Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Regra da Cadeia
Assim temos o seguinte sistema de n equações lineares com n incógnitas, como 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3, …, 𝑎𝑛.
Que é equivalente a:
As equações deste sistema linear são chamadas de equações normais. Este sistema pode ser descrito como 𝐴̂ 𝑎̂ = 𝑏̂
EXEMPLO
CASO CONTÍNUO
Seja f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g1(x) e g2(x) duas funções contínuas em [a, b]
 É preciso encontrar duas constantes reais a1 e a2 tais que esteja "o mais próximo possível" de f(x).
CASO CONTÍNUO
Os coeficientes a1 e a2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de 
 seja o menor possível 
Obter o mínimo para:
CASO CONTÍNUO
Para encontrar os mínimos de F:
CASO CONTÍNUO
Assim:
 Se 
Pode- se definir o sistema linear como:
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
PROPRIEDADES
O sistema de equações normais resultante é bem condicionado e tem a forma: 
Modelo polinomial-Polinómios ortogonais
PROPRIEDADES
O sistema reduz-se à forma diagonal, com solução facilmente obtida a partir de: 
CaSO NÃO LINEAR
Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode ser não linear nos parâmetros, e para se aplicar o método dos quadrados mínimos, é necessário que se efetue uma linearização do problema através de alguma transformação conveniente. São elas:
CASO NÃO LINEAR
Hipérbole:
Curva geométrica:
Caso não linear
Curva trigonométrica:
Curva exponencial:
Para fazer o ajuste da exponencial é necessário fazer uma
linearização da função, ou seja, basta fazer as seguintes
transformações:
y=a . bx (1) 
Aplicando logaritmos em ambos os membros tem-se
ln y = ln (a . bx ) . 
Aplicando a propriedade do produto e considerando a, b
positivos e b (diferente de ) 1
ln y = ln a + ln bx 
Caso não linear
Aplicando a propriedade da potência tem-se 
ln y = ln a + xln b . (2) 
 Fazendo Y=ln y, A= ln b e B= ln a e fazendo as substituições em (2) tem-se
 Y= Ax + B . 
Caso não linear
Calcula-se estão os valores de A e B a partir dos valores de xi e Yi=ln yi
O coeficiente de determinação é o seguinte:
Caso não linear
APLICAÇÃO
O custo de investimento (C) em construção civil de um arejador num sistema de lamas ativadas numa Estação de Tratamento de Águas Residuais depende do volume(v)do tanque da seguinte forma:
RESOLUÇÃO