aula5_TESTE DE HIPOTESES_COM_DUAS_AMOSTRAS

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Pontifícia Universidade Católica – PUCRS
	Faculdade de Matemática – Departamento de Estatística 
	Profa. Rossana Fraga Benites 
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TESTE DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS
	
TESTE DE HIPOTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS
	O procedimento associado com o teste da diferença entre duas médias é similar ao utilizado no teste de um valor hipotético da media populacional, exceto que se utiliza o erro padrão da diferença entre medias como base para se determinar o valor da estatística de teste associada com os resultados das amostras.
	A hipótese nula (Ho) usualmente testada é a de que as duas amostras tenham sido obtidas de populações com médias iguais, ou seja .
	O uso da distribuição normal, nesse caso, esta baseado nas mesmas condições que o caso de uma média (ou uma amostra), exceto que estão envolvidas duas amostras independentes. Na prática dizemos que a distribuição normal pode ser utilizada quando o desvio-padrão da população σ (sigma) for conhecido ou as variâncias forem conhecidas.
	O uso da distribuição de Student (t) leva em conta se as variâncias populacionais são equivalentes ou diferentes. Na prática utilizamos a distribuição t quando o desvio-padrão da população, σ (sigma), for desconhecido ou as variâncias forem desconhecidas e utilizamos o desvio-padrão da amostra, s.
	Estudaremos os seguintes casos:
	A) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS CONHECIDAS
	Consideremos duas populações normais independentes com médias e e variâncias e , sendo e duas amostras independentes obtidas, respectivamente, dessas populações, e e suas médias. 
	A estatística de teste a ser usada é:
	Observação: Quando as variâncias populacionais forem desconhecidas, mas (n + n) ≥ 30, usamos as suas estimativas não tendenciosas (variâncias amostrais e ), no cálculo da estatística de teste :
	B) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS EQUIVALENTES E DESCONHECIDAS 
	Quando as variâncias de duas populações Normais forem desconhecidas, mas iguais e (n + n) < 30, usamos uma media ponderada das variâncias amostrais e , no cálculo da estatística de teste :
	A distribuição t é utilizada com um número de graus de liberdade igual a gl = n
	C) POPULACÕES NORMAIS COM VARIÂNCIAS DESIGUAIS E DESCONHECIDAS 
	Quando as variâncias de duas populações Normais forem desconhecidas e diferentes sendo que (n + n) < 30, usamos as variâncias amostrais e , no cálculo da estatística de teste :
	A distribuição t é utilizada com um número de graus de liberdade igual a:
TESTE DE HIPOTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS MEDIAS POPULACIONAIS COM OBSERVACÕES EMPARELHADAS
	Fazemos testes de comparação de médias para dados emparelhados (amostras pareadas), obtidas de populações Normais, quando os resultados das duas amostras são relacionados dois a dois, de acordo com algum critério que fornece uma influência entre os vários pares e sobre os valores de cada par. Para cada par definido, o valor da primeira amostra está claramente associado ao respectivo valor da segunda amostra. 
	Para observações emparelhadas, ou amostras pareadas, o teste apropriado para a diferença entre duas médias consiste em determinar primeiro a diferença “d” entre cada par de valores, e então testar a hipótese nula de que a média das diferenças na população é zero. Então, do ponto de vista de cálculo, o teste é aplicado a uma única amostra de valores d.
	A média e o desvio padrão da amostra de valores “d” são obtidos pelas fórmulas:
	A estimativa do erro padrão da diferença média entre observações emparelhadas é obtida pela fórmula:
	Uma vez que o erro padrão da diferença média é calculado com base nas diferenças observadas em amostras emparelhadas (logo σ é desconhecido) e uma vez que os valores de d geralmente podem ser admitidos como tendo distribuição Normal, as distribuições t são apropriadas para testar a hipótese nula de que . A distribuição t nesse caso terá um número de graus de liberdade igual a: gl = n-1
	A estatística de teste, então, será dada por:
	Observe que, se n≥30 utilizamos z(distribuição normal) no lugar de 
 
TESTE DE HIPÓTESES DA DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES POPULACIONAIS
	Quando desejamos testar a hipótese de que as proporções em duas populações não são diferentes, as duas proporções amostrais, correspondentes, são combinadas para determinar o erro padrão da diferença entre proporções.
	A estimativa combinada da proporção populacional, baseada nas proporções obtidas em duas amostras independentes, é dada por:
	O erro padrão da diferença entre proporções, usado em conjunção com o teste na suposição de não existir diferença entre as proporções populacionais, é dado por:
	O uso da distribuição normal, nesse caso, está baseado nas mesmas condições que o caso de uma proporção (ou uma amostra), exceto que estão envolvidas duas amostras independentes. Na prática dizemos que a distribuição normal pode ser utilizada nesse teste sempre que (n + n) ≥ 30.
	Então a estatística de teste para testar a diferença entre duas proporções populacionais é:
	TESTE DE HIPÓTESES DA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS POPULACIONAIS
	Entre as várias aplicações de um teste de hipóteses da igualdade de variâncias, destacamos o uso em conexão com o teste t de duas amostras para médias, onde se precisa verificar se as variâncias populacionais são iguais.
	Dadas as amostras aleatórias independentes de tamanhos e de populações com variâncias e e admitindo que essas populações tenham distribuições aproximadamente normais, costuma-se basear os testes da hipótese nula na estatística F.
	As razões ou , denominadas de razões de variâncias, são valores de uma variável aleatória com distribuição F. Esta importante distribuição contínua depende de dois parâmetros chamados graus de liberdade do numerador e do denominador. Os valores desses parâmetros são e se calcularmos . Analogamente, esses valores serão e se calcularmos .
	A seguinte tabela nos apresenta os critérios para testar a hipótese nula 
Hipótese
 H1
Estatística
de teste
Rejeitar 
Ho se
Aceitar
Ho se