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Universidade do Vale do Para´ıba Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo APOSTILA DE TERMODINAˆMICA Profa. Dra. Aˆngela Krabbe 1 Ao Aluno Esta apostila sera´ elaborada ao longo da disciplina de Termodinaˆmica, ministrada nos cursos das Engenharias da Univap. A apostila sera´ uma compilac¸a˜o das notas de aula que estara˜o fundamentadas nos livros listados na bibliografia recomendada. Estas notas de aula na˜o substituira˜o o uso dos livros textos, mas podera˜o auxilia´-lo no entendimento dos conteu´dos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livros seja utilizado para uma melhor compreensa˜o dos conteu´dos desse curso. Sa˜o Jose´ dos Campos, 2017 2 Contents 1 Temperatura 4 1.1 Temperatura e Equil´ıbrio te´rmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Escalas de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Escala Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Escala Celsius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Escala Fahrenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Dilatac¸a˜o Te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Teoria Cine´tica dos Gases 13 2.1 O Ga´s Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Massa Molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Propriedades Moleculares dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Uma visa˜o molecular da pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Trajeto´ria Livre Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Distribuic¸a˜o das velocidades moleculares . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4 Distribuic¸a˜o das Energias moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Primeira Lei da Termodinaˆmica 28 3.1 A absorc¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Calor espec´ıfico molar de um ga´s ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1 Volume constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Pressa˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Mecanismos de transfereˆncia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.1 Conduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2 Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica 41 4.0.1 Ma´quinas Te´rmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 1 Temperatura A termodinaˆmica – a cieˆncia da energia no contexto mais amplo – surgiu lado a lado com a revoluc¸a˜o industrial em decorreˆncia do estudo sistema´tico sobre a conversa˜o de energia te´rmica em movimento e trabalho mecaˆnico. Da´ı o nome termo + dinaˆmica. De fato, a ana´lise de motores e geradores de va´rios tipos permanece sendo o foco da termodinaˆmica para a engenharia. Pore´m, como cieˆncia, a termodinaˆmica agora se estende a todas as formas de conversa˜o de energia, incluindo as que envolvem os organismos vivos. Por exemplo: • Motores convertem energia dos combust´ıveis em energia mecaˆnica de pisto˜es, en- grenagens e rodas de movimento; • Ce´lulas de combust´ıvel convertem energia qu´ımica em energia ele´trica; • Ce´lulas fotovoltaicas convertem energia eletromagne´tica da luz em energia ele´trica; • Organismos convertem energia qu´ımica dos alimentos em uma variedade de outras formas de energia, incluindo energia cine´tica, energia sonora e energia te´rmica; 1.1 Temperatura e Equil´ıbrio te´rmico O conceito central da termodinaˆmica e´ a temperatura. Estamos ta˜o familiarizados com essa palavra que temos a tendeˆncia de sermos excessivamente confiantes. Comec¸aremos com a ide´ia do senso comum de que a temperatura seja uma medida de qua˜o “quente” ou “frio” esta´ um sistema. Essa “sensac¸a˜o de temperatura” nem sempre e´ confia´vel. Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrima˜o de ferro parece estar mais frio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de ambos estarem a mesma temperatura. Por queˆ? Esse erro na nossa percepc¸a˜o ocorre porque o ferro remove energia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira. Portanto, vamos entender o conceito de temperatura mais profundamente. Suponha que tive´ssemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato com o outro e isolados de influeˆncias externas. Voceˆ poderia perceber que o corpo mais quente iria se esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, voceˆ perceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partir 4 1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA CHAPTER 1. TEMPERATURA desse momento, as temperaturas dos corpos na˜o sofrera˜o alterac¸o˜es, isto e´, eles atingira˜o uma situac¸a˜o final, denominada estado de equil´ıbrio te´rmico. LEI ZERO DA TERMODINAˆMICA - Se cada um dos sistemas A e B esta´ em equil´ıbrio te´rmico com um terceiro sistema C, enta˜o A e B esta˜o em equil´ıbrio te´rmico entre si. Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero e´: “Todo corpo possui uma propriedade chamada temperatura”. A lei zero surgiu no se´culo XX, na de´cada de 1930, muito depois da primeira e segunda leis da termodinaˆmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito de temperatura, a qual e´ fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um nu´mero de ordem menor para designa´-la. 1.2 Escalas de Temperatura A temperatura e´ uma das sete grandezas ba´sicas do S.I. e esta´ relacionada a` energia te´rmica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma grandeza f´ısica, e´ necessa´rio que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito quantitativo desta grandeza. Esta medida e´ feita com termoˆmetros. 1.2.1 Escala Kelvin A escala que universalmente adotada em f´ısica e´ a escala Kelvin, na qual o zero da escala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absoluto da temperatura. A escala Kelvin e´ calibrada no chamado ponto tr´ıplice da a´gua, na qual o gelo, a´gua l´ıquida e vapor d’a´gua coexistem em equil´ıbrio te´rmico e vale exatamente: T3 = 273, 16K (1.1) 1.2.2 Escala Celsius O grau Celsius (◦C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em home- nagem ao astroˆnomo sueco Anders Celsius (1701–1744), que foi o primeiro a propoˆ-la em 1742. Esta e´ utilizada em quase todos os pa´ıses do mundo para as medidas do dia a dia e comerciais. Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibrac¸a˜o: • o ponto de congelamento da a´gua corresponde → 0◦C • o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua → 100 ◦C Enquanto que os valores de congelac¸a˜o e evaporac¸a˜o da a´gua esta˜o aproximadamente corretos, a definic¸a˜o original na˜o e´ apropriada como um padra˜o formal: ela depende da definic¸a˜o de pressa˜o atmosfe´rica padra˜o, que por sua vez depende da pro´pria definic¸a˜o de 5 1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA CHAPTER 1. TEMPERATURA temperatura. A definic¸a˜o oficial atual de grau Celsius define 0,01 ◦C como o ponto triplo da a´gua, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da diferenc¸a de temperatura entre o ponto triplo da a´gua e o zero absoluto. Esta definic¸a˜o garante que 1 grau Celsius apresenta a mesma variac¸a˜o de temperatura que 1 kelvin. A temperatura na escala Celsius Tc em termos da escala Kelvin e´ dada pela equac¸a˜o: Tc = T − 273, 15◦C (1.2) 1.2.3 Escala Fahrenheit A escala Fahrenheit tambe´m foi originalmente baseada em dois pontos fixos: • o ponto de congelamento da a´gua corresponde → 32◦F • o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua → 212 ◦F A Fig.1.1 mostra as relac¸o˜esentre as essas treˆs escalas de temperatura. Transformando ◦F para ◦C: Tc − 0 100− 0 = TF − 32 212− 32 Tc 100 = TF − 32 180 Tc = 5 9 (TF − 32) (1.3) Transformando ◦F para K: T − 273 373− 273 = TF − 32 212− 32 T − 273 100 = TF − 32 180 T − 273 = 5 9 (TF − 32) T = 5 9 (TF − 32) + 273 (1.4) 6 1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA CHAPTER 1. TEMPERATURA Figure 1.1: Escalas de Temperatura Exerc´ıcios 1. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem? R: -40 2. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem? R:574,25 3. A resisteˆncia de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entre o ponto tr´ıplice da a´gua e o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua na pressa˜o atmosfe´rica. Qual a temperatura medida por este termoˆmetro para o ponto de ebulic¸a˜o normal da a´gua? 380,2K 4. Voceˆ deve se preocupar se o seu me´dico lhe disser que a sua temperatura e´ de 310 K? Explique sua resposta. R: 36,85◦C 5. A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit e´ igual a : (a) duas vezes a da escala Celsius? (b) metade da escala Celsius? 6. Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71◦C. Que temperatura e´ esta na escala Fahrenheit e Kelvin? R: 202,15K; -95,8◦F 7. Suponha que voceˆ encontre antigas anotac¸o˜es cient´ıficas que descrevem uma escala de temperatura chamada ◦Z, na qual o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua e´ 65◦Z e o ponto de congelamento e´ de -14◦Z. A que temperatura na escala Farenheit uma temperatura T= -98,0◦Z corresponderia? R: -159,4 F 8. Supondo que em um livro de f´ısica muito antigo voceˆ encontre a refereˆncia a uma escala P, cujos pontos fixos eram -20◦P para a fusa˜o do gelo e 130◦P para a a´gua em ebulic¸a˜o. Determine: (a) a relac¸a˜o entre a escala Celsius e essa escala e (b) a temperatura em graus Celsius que corresponde a 70◦P. R: ;(b)60◦C 9. Para medir a febre de pacientes, um estudante de medicina criou sua pro´pria escala linear de temperatura. Nessa nova escala, os valores 0 e 10 correspondem, respec- tivamente, a 37◦C e 40◦C. Qual a temperatura em que o valor nu´mero de ambas escalas coincidem? R: 52,9◦C 7 1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA CHAPTER 1. TEMPERATURA Figure 1.2: Trilhos ferrovia´rios deformados por causa da expansa˜o te´rmica. 1.3 Dilatac¸a˜o Te´rmica Praticamente todas as substaˆncias, sejam so´lidas, l´ıquidas ou gasosas, dilatam-se com o aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura e´ diminu´ıda e o efeito da variac¸a˜o de temperatura, especialmente a dilatac¸a˜o, tem muitas implicac¸o˜es na vida dia´ria. A dilatac¸a˜o te´rmica de um so´lido sugere um aumento da separac¸a˜o me´dia entre os a´tomos do so´lido. Voceˆ ja´ deve ter notado um espac¸amento nos blocos de concreto das ruas e avenidas, bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse espac¸amento e´ necessa´rio justamente por causa da dilatac¸a˜o que os materiais sofrem. Tambe´m em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo, para abrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma. O controle da temperatura feito atrave´s de termostatos com laˆminas bimeta´licas, uti- lizadas no ferro ele´trico e em termopares que sa˜o os dispositivos que constam em au- tomo´veis e outros tipos de termoˆmetros, ocorre com base na dilatac¸a˜o de certos materiais. Dilatac¸a˜o Linear Se a temperatura de uma haste meta´lica de comprimento L for elevada de uma quan- tidade ∆T , verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade ∆L = Lα∆T, (1.5) onde α e´ uma constante chamada de coeficiente de expansa˜o linear de um dado material. Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quando aquecido de 0◦C a 30 ◦C? Dado: αFerro = 12×10−6(◦C)−1. ∆L = Lα∆T = 12× 10−6(◦C)−1×10m× (30◦C–0◦C) = 0, 0036m = 3, 6mm. (1.6) 8 1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA CHAPTER 1. TEMPERATURA Dilatac¸a˜o Superficial e Volume´trica Para muitos so´lidos os coeficientes de dilatac¸a˜o sa˜o os mesmos nas diversas dimenso˜es (dilatac¸a˜o isotro´pica). Considerando que uma placa de dimenso˜es L01 e L02 para uma dada temperatura inicial Ti sofra dilatac¸a˜o para L1 e L2 quando variamos a temperatura em ∆T . Sendo α∆T = ∆L L0 muito menor que 1 (α∆T << 1) ∆L = L− L0 (1.7) substituindo 1.7 em 1.5, temos L− L0 = L0α∆T L = L0 + L0α∆T L = L0(1 + α∆T ) (1.8) Para os comprimentos L1 e L2 , temos: L1 = L01(1 + α∆T ) (1.9) L2 = L02(1 + α∆T ) (1.10) Podemos, enta˜o, definir uma relac¸a˜o entre a variac¸a˜o de a´rea sofrida pela placa, onde: A0 = L01L02 (1.11) A = L1L2 (1.12) A = L01(1 + αδT )L02(1 + α∆T ) A = L01L02(1 + 2α∆T + (α∆) 2) A = A0(1 + 2α∆T + (α∆) 2) (1.13) Como α∆T << 1, enta˜o α∆T >> (α∆T )2, podemos assim desconsiderar o termo (α∆T )2 A = A0(1 + 2α∆T ) A = A0 + 2αA0∆T A− A0 = 2αA0∆T 9 1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA CHAPTER 1. TEMPERATURA ∆A = 2αA0∆T (1.14) O mesmo procedimento pode ser feito em relac¸a˜o a` dilatac¸a˜o volume´trica dos so´lidos, chegando a equac¸a˜o ∆V = 3αV0∆T (1.15) Tambe´m e´ poss´ıvel deduzir essa relac¸a˜o usando o ca´lculo diferencial. Consideremos um cubo de um material com um lado L e volume V = L3. Na temperatura inicial, os valores sa˜o L0 e V0. Quando a temperatura aumenta de dT , a aresta aumenta de dL, e o volume aumenta uma quantidade dV dada por dV = dV dL dL = 3L2dL (1.16) Substitu´ımos agora L e V pelos valores iniciais L0 e V0. Conforme a equac¸a˜o 1.5, dL e´ dado por dL = αL0dL (1.17) Como V0 = L 3 0, podemos expressar dV do seguinte modo dV = 3L20αL0dT = 3αV0dT (1.18) O comportamento incomum da a´gua L´ıquidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e teˆm coeficientes me´dios de expansa˜o de volume dez vezes maiores do que dos so´lidos. A a´gua fria e´ uma excec¸a˜o a` regra, como voceˆ pode ver a partir da curva de densidade versus temperatura, mostrada na Fig. 1.3. Conforme a temperatura aumenta de ◦C a 4◦C, a a´gua se contrai e, enta˜o, sua densidade aumenta. Acima de 4◦C, a a´gua se expande com o aumento de temperatura e, enta˜o, sua densidade diminui. Portanto, a densidade da a´gua atinge um valor ma´ximo de 1 g/cm3 a 4◦C. Podemos usar esse comportamento incomum de expansa˜o te´rmica da a´gua para ex- plicar por que uma lagoa comec¸a a congelar na superf´ıcie em vez de no fundo. Quando a temperatura do ar cai de, por exemplo, 7◦C para 6◦C, a´ agua da superf´ıcie tambe´m esfria e, consequentemente, diminui em volume. A a´gua da superf´ıcie e´ mais densa que abaixo da superf´ıcie, que na˜o esfriou e diminui em volume. Como resultado, a a´gua da superf´ıcie afunda, e a mais quente do fundo se move para a superf´ıcie. Quando a temperatura do ar esta´ entre 4◦C e 0◦C, no entanto, a a´gua da superf´ıcie se expande a` medida que esfria, ficando menos densa que a abaixo da superf´ıcie. O processo de mistura para, e eventual- mente a a´gua da superf´ıcie congela. A` medida que a a´gua congela, o gelo permanece na superf´ıcie, porque e´ menos denso que a a´gua. O gelo continua a se acumular na superf´ıcie, enquanto a a´gua perto do fundo permanece a 4◦C. Se na˜o fosse esse o caso, peixes e outras formas de vida marinha na˜o sobreviveriam. 10 1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA CHAPTER 1. TEMPERATURA Figure 1.3: Variac¸a˜o na densidade da a´gua a` pressa˜o atmosfe´rica com a temperatua. Exerc´ıcios 1. Uma re´gua me´trica de ac¸o esta´ para ter a sua marcac¸a˜o gravada e deseja-se que os intervalos de mil´ımetros apresentem uma exatida˜o de 5× 10−5 a uma determinada temperatura. Qual e´ a variac¸a˜o ma´xima da temperatura que pode ocorrer durante a gravac¸a˜o? Dado: αac¸o = 11× 10−6(◦C)−1 R: 4,55◦C 2. Uma barra feita com uma liga de alumı´nio mede 10 cm a 20◦C e 10,015 cm no ponto de ebulic¸a˜o da a´gua. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamentoda a´gua? (b) Qual e´ a sua temperatura, se o seu comprimento e´ de 10,009 cm? R: (a) 9,99625cm; (b) 68◦C 3. Um furo circular em uma placa de alumı´nio possui um diaˆmetro de 2,725 cm a 12◦C. Qual o diaˆmetro do furo quando a temperatura da placa e´ aumentada ate´ 140◦C? Dado: αAl = 23× 10−6(◦C)−1 R: 2,733cm 4. Um cubo de lata˜o tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua a´rea superficial, se a temperatura subir de 20 para 75◦C? Dado: αlata˜o = 19× 10−6(◦C)−1. R: 11, 29 cm2 5. Uma barra de ac¸o a 25 ◦C tem 3 cm de diaˆmetro. Um anel de lata˜o tem diaˆmetro in- terior de 2,992 cm a 25◦C. A que temperatura comum o anel se ajustara´ exatamente a barra? R: 360,46◦C. 6. O comprimento de um fio de alumı´nio e´ de 40 m a 20. Sabendo-se que o fio e´ aquecido ate´ 60◦C e que o coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmica linear do alumı´nio e´ 24× 10−6(◦C)−1, determine: (a) a dilatac¸a˜o do fio e (b) o comprimento final do fio. R: (a) 0,0384 m; (b) 40,0384 m 7. Uma placa retangular de alumı´nio tem a´rea de 40 cm2 a 0◦C. Calcule a a´rea final da placa a (a) 50◦C e (b) -20◦C. R: (a) 40,096 cm2; (b) 39,9616 cm2 8. Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de base 4 cm2 e comprimento 1 m a` temperatura de 68◦F. Determine o comprimento e o volume dessa barra a` 11 1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA CHAPTER 1. TEMPERATURA temperatura de 518◦F. Considere αestanho = 20 × 10−6(◦C)−1. R: (a) 100,5 cm; (b)406 cm3 12 2 Teoria Cine´tica dos Gases 2.1 O Ga´s Ideal A equac¸a˜o de expansa˜o de volume ∆V = 3αV0∆T e´ baseada na suposic¸a˜o de que o material tem volume inicial Vi antes que a variac¸a˜o na temperatura ocorra. Esse e´ o caso para l´ıquidos e so´lidos, porque teˆm volume fixo a certa temperatura. Para gases, o caso e´ completamente diferente. As forc¸as interatoˆmicas dentro dos gases sa˜o muito fracas, e, em muitos casos podemos imagina´-las como na˜o existentes e, ainda assim, fazer boas aproximac¸o˜es. Portanto, na˜o ha´ separac¸a˜o de equil´ıbrio para os a´tomos e nenhum volume “padra˜o” a certa temperatura; o volume depende do tamanho do recipiente. Como resultado, na˜o podemos expressar variac¸o˜es no volume ∆V em um processo em um ga´s com a equac¸a˜o 1.15. Para um ga´s e´ u´til saber as quantidades volume V , pressa˜o p e temperatura T se relacionam para uma amostra de ga´s de massa m. Em geral, a equac¸a˜o que relaciona essas quantidades, chamada equac¸a˜o de estado e´ muito complicada. Se o ga´s e´ mantido a uma pressa˜o muito baixa (ou massa espec´ıfica baixa), no entanto, a equac¸a˜o de estado e´ bastante simples, e pode ser determinada a partir de resultados experimentais. Um ga´s de densidade ta˜o baixa e´ geralmente chamado de ga´s ideal. Ga´s ideal e´ um ga´s cujas propriedades representam o comportamento limite de gases reais com massas espec´ıficas suficientemente baixas. O ga´s ideal e´ uma abstrac¸a˜o, mas e´ uma abstrac¸a˜o u´til porque: 1. Gases reais - com massas espec´ıficas suficientemente baixas apresentam um com- portamento pro´ximos de um ga´s ideal; 2. as propriedades termodinaˆmicas de um ga´s ideal esta˜o relacionados entre si atrave´s de uma forma simples. Atrave´s de experimentos desenvolvidos em laborato´rio com gases reais descobriu-se que as suas presso˜es p , volume V , e temperatura T esta˜o esta˜o relacionadas por pV = NkT (2.1) Aqui N e´ o nu´mero de mole´culas contidas no volume V e k e´ uma constante chamada constante de Boltzman. O seu valor medido e´: 13 2.1. O GA´S IDEAL Teoria Cine´tica dos Gases k = 1, 38× 10−23J/K A temperatura T na equac¸a˜o acima sera´ sempre expressa em Kelvins. Frequentemente e´ u´til expressar a quantidade de ga´s em termos do nu´mero de mols n: n = N NA onde NA e´ a constante de Avogrado, isto e´, o nu´mero de mole´culas contidas em um mol de qualquer substaˆncia. O cientista italiano Amadeo Avogrado (1776-1856) sugeriu que todos os gases conteˆm o mesmo nu´mero de a´tomos ou mole´culas quando eles ocupam o mesmo volume sob as mesmas condic¸o˜es de temperatura e pressa˜o. O seu valor e´ NA = 6, 02 times10 23 mole´culas/mol O mol e´ uma das sete unidades de base do SI e e´ definido como o nu´mero de a´tomos em uma amostra de 12 g de carbono-12. Em termos de nu´mero de mols, pode-se escrever a equac¸a˜o 2.1 como pV = nRT (2.2) ondeR = k/NA e´ uma constante, chamada constante molar do ga´s. O seu valor e´R = 8, 31 J/mol K. Considerando somente gases contidos em recipientes lacrados, o nu´mero de mols (e o nu´mero de mole´culas) na˜o mudara´ durante um problema deste tipo. Neste caso, pV = nRT = constante (2.3) Se o ga´s estiver inicialmente no estado i, caracterizado pelas varia´veis de estado pi, Vi, e Ti, e em algum momento posterior estiver em outro estado final f , as varia´veis de estado para esses dois estados estara˜o relacionadas por : pfVf Tf = piVi Ti (2.4) 2.1.1 Massa Molar A massa de uma mole´cula e´ determinada somando-se as massas dos a´tomos constitu- intes da mole´cula. As massas atoˆmicas sa˜o geralmente fornecidas em unidades de u. Por exemplo, a massa de uma mole´cula de dio´xido de enxofre (SO2) e´ m(SO2) = m(S) + 2 ·m(O) = 32, 1u+ 2 · (16, 0u) = 64, 1u onde: 1u = 1, 661 · 10−24 g ou 1, 661 · 10−27 kg. Como muitas vezes descrevemos um ga´s em termos do nu´mero de mols (n), podemos fazer o mesmo com a massa de uma mole´cula e calcular a chamada massa molar M , a qual e´ simplesmente a massa da mole´cula multiplicada pelo nu´mero de mole´culas por mol 14 2.1. O GA´S IDEAL Teoria Cine´tica dos Gases M = m ·NA A massa molar, medida em gramas e´ numericamente igual a` massa molecular, medida em u. Assim, a massa molar do SO2 e´ M = 64, 1 g/mol = 0, 0641 kg/mol. Exerc´ıcios 1. Um cilindro isolado com um eˆmbolo montado conte´m oxigeˆnio a uma temperatura de 20◦C e uma pressa˜o de 15 atm em um volume de 22 litros. O eˆmbolo e´ baixado, diminuindo o volume do ga´s para 16 litros e, simultaneamente, a temperatura e´ aumentada para 25◦C. Supondo que o oxigeˆnio comporta-se como um ga´s ideal sob estas condic¸o˜es, qual e´ a pressa˜o final do ga´s? R : pf = 21atm 2. (a) Calcule o volume ocupado por 1 mol de um ga´s ideal em condic¸o˜es normais, isto e´, pressa˜o de 1 atm e temperatura de 0◦C. R : V = 2,246 · 10−2m3 = 22,46l (b) Mostre que o nu´mero de mole´culas por cm3 em condic¸o˜es normais e´ 2, 68×1019. 3. O melhor va´cuo que pode ser obtido em laborato´rio corresponde a uma pressa˜o de aproximadamente 10−18 atm, ou, ou 1, 01 × 10−13 Pa. Quantas mole´culas existem por cm3 neste va´cuo a 22 ◦C. R : N = 22,8 mole´culas 4. Uma quantidade de ga´s ideal ocupa um volume de 2,47 m3 a 12,0◦C e a 108 kPa. (a) Quantos mols do ga´s esta˜o presentes? R : n = 112,64 mols (b) Se a pressa˜o e´ aumentada para 316 kPa e a temperatura e´ aumentada para 31,0 ◦C, qual e´ o novo volume ocupado pelo ga´s? R : Vf = 0,900m3 5. Ga´s oxigeˆnio com volume de 1130 cm3 a 42,0◦C e a uma pressa˜o de 101 kPa expande ate´ que o seu volume seja 1530 cm3e sua pressa˜o seja 106 kPa. Determine (a) o nu´mero de mols de oxigeˆnio no sistema. R : 0,044 mols (b) a sua temperatura final. R : 447,62K 6. Certa massa gasosa sob pressa˜o de 3 atm ocupa um volume de 20 l a temperatura de 27 ◦C. Determine: (a) o volume ocupado pelo ga´s a 127 ◦C, sob a mesma pressa˜o.R : 26,7litros (b) a pressa˜o que o ga´s exerce a 27◦C quando ocupa o volume de 40 l. R : 1,5litros (c) em que temperatura o volume de 20 l do ga´s exerce a pressa˜o de 5 atm. R : 500K 7. Uma seringa de injec¸a˜o com o eˆmbolo na marca de 20 cm3, a` temperatura ambiente de 27◦C e a` pressa˜o de 1, 0 × 105 Pa, e´ vedado e colocado em um freezer a -13◦C. Verica-se que, ao atingir o equil´ıbrio te´rmico, o eˆmbolo esta´ na marca de 18 cm3. Determine nessas condic¸o˜es a pressa˜o do ar aprisionado na seringa. R: 9, 6 × 104 Pa 8. Um freezer, regulado para manter a temperaturaem seu interior a -10◦C, foi ligado quando a temperatura ambiente estava 30◦C. Calcule a pressa˜o em seu interior apo´s certo tempo de funcionamento. R: 0,87atm 15 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 2.2 Propriedades Moleculares dos Gases Nesta sec¸a˜o estudaremos o modelo de ga´s ideal do ponto de vista microsco´pico. Con- struiremos um modelo estrutural de um ga´s mantido em um recipiente. A estrutura matema´tica e as previso˜es feitas por este modelo constituem a teoria cine´tica dos gases. Em nosso modelo estrutural, faremos as seguintes suposic¸o˜es: 1. O nu´mero de mole´culas no ga´s e´ alto e a separac¸a˜o me´dia entre elas e´ grande quando comparada com suas dimenso˜es. 2. As mole´culas obedecem a`s leis do movimento de Newton, mas, como um todo se movem aleatoriamente. 3. As mole´culas interagem somente por meio de forc¸as de curto alcance durante coliso˜es ela´sticas. 4. As mole´culas fazem coliso˜es ela´sticas com as paredes. 5. O ga´s ideal em considerac¸a˜o e´ uma substaˆncia puras, isto e´, todas as mole´culas sa˜o ideˆnticas. 2.2.1 Uma visa˜o molecular da pressa˜o Considere que as N mole´culas de um ga´s ideal estejam confinadas em um recipiente cu´bico de lado L, conforme mostra a figura 2.1. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 4 As moléculas desse gás estão continu- amente colidindo com as paredes do recipi- ente. Vamos analisar especificamente a co- lisão de uma molécula, que se dirige para colidir com a parede do recipiente paralela ao plano yz e que passa pela origem. Quando ela colide com a parede, não acon- - mvx x +mvx tecerá mudança nas componentes y e z do momento linear, mas a componente x do momento linear mudará de sinal, aconte- cerá uma reversão neste movimento. Esta- mos considerando que as colisões são perfeitamente elásticas. A variação do mo- mento dever-se-á apenas a mudança da componente x . !p = pf – pi = mvx – (-mvx) = 2mvx Sejam A1 e A2 as paredes do cubo perpendiculares ao eixo x . A molécula vai colidir com a face A1 e levar um intervalo y A2 A1 x z de tempo !t para colidir com a face oposta A2 e depois colidir novamente com A1 . O tempo t necessário para essa molécula ir de uma face até outra é dado por t=L/vx , e desse modo: Xv L tt 2 2 ==! A variação do momento linear de uma molécula, num intervalo !t entre duas coli- sões com a mesma face do recipiente é dada por: L mv vL mv t p X X XX 2 /2 2 == ! ! A equação anterior nos dá a força que uma molécula exerce na face considerada. Para se encontrar a força total exercida por todas as moléculas, devemos considerar as contribuições de todas as N moléculas: ( )22 22 1 XNXXX vvv L m F +++= ! A pressão que essas moléculas exercerão dependerá da força média e será dada por: ( )22 22 132 XNXX X vvv L m L F p +++== ! onde estamos representando o valor médio de uma grandeza A por <A> . Como as moléculas não são distinguíveis, os valores médios das componentes x de cada uma das moléculas são iguais, ou seja: Figure 2.1: Choque ela´stico de uma part´ıculas contra as paredes do recipiente cu´bico. Vamos nos concentrar na ana´lise de uma u´nica mole´cula de massa m, cuja velocidade ~v pode ser decomposta segundo as componentes vx, vy e vz. Quando essa mole´cula atinge a face A1 do cubo mostrado na figura 2.1, ela rebate com componente de velocidade na direc¸a˜o x invertida, uma vez que todas as coliso˜es sa˜o admitidas como ela´sticas, isto e´, 16 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases vx → −vx. Na˜o havera´ qualquer efeito sobre vy ou vz, de modo que a variac¸a˜o da quantidade de movimento linear da mole´cula possui apenas uma componente na direc¸a˜o x, expressa por (Quantidade de movimento final) − (Quantidade de movimento inicial) = (−mvx)− (mvx) = −2mvx Uma vez que a quantidade de movimento linear total e´ conservada durante a colisa˜o, a quantidade de movimento linear atribu´ıda a` sua a´rea A1 e´ +2mvx . Suponha que essa mole´cula atinja a a´rea A2 sem colidir com qualquer outra mole´cula ao longo de sua trajeto´ria. O tempo necessa´ria para cruzar o cubo e´ ∆t = L vx . Em A2 ela novamente possui componente de velocidade na direc¸a˜o x invertida, re- tornando para A1. Admitindo que na˜o haja colisa˜o com outra mole´cula, a trajeto´ria completa leva um tempo igual a ∆t = 2L vx , que e´ o tempo entre as coliso˜es com a superf´ıcie A1. A forc¸a impulsiva me´dia exercida por essa mole´cula sobre A1 e´ igual a` quantidade de movimento transferida dividida pelo intervalo de tempo entre as transfereˆncias, isto e´, Fx = 2mvx 2L/vx = mv2x L . Para obter a forc¸a total sobre A1, deve-se somar as quantidades mv2x L para todas as mole´culas Fx = m L (v21x + v 2 2x + v 2 3x + ...). Em seguida, para obter a pressa˜o, divide-se essa forc¸a pela a´rea A1, ou seja, L 2. A pressa˜o e´, portanto, p = Fx a´rea = m(v21x+v 2 2x+v 2 3x+...) L L2 = m L3 (v21x + v 2 2x + v 2 3x + ...). Se N e´ o nu´mero total de mole´culas do recipiente, enta˜o Nm e´ a massa total, e a massa espec´ıfica (ρ) sera´ dada por ρ = Nm L3 , assim, m L3 = ρ N 17 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases e p = ρ ( v21x + v 2 2x + v 2 3x + ... N ) . A quantidade entre pareˆnteses e´ o valor me´dio de v2x para as mole´culas do recipiente, que sera´ representada por (v2x)med. Assim, p = ρ(v2x)med. Para qualquer mole´cula, v2 = v2x + v 2 y + v 2 z . Uma vez que existem muitas mole´culas e tendo em vista que elas se movem de forma totalmente aleato´ria, os valores me´dios de v2x, v 2 y e v 2 z sa˜o ideˆnticos, e o valor de cada um e´ exatamente um terc¸o do valor me´dio de v2. Logo, (v2x)med = (v2)med 3 assim, p = 1 3 ρ(v2)med. A raiz quadrada de (v2)med e´ chamada velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas, e vale vrms = √ (v2)med vrms = √ 3p ρ . Exerc´ıcios 1. Verifica-se que cinco mole´culas escolhidas ao acaso possuem velocidades de 500, 600, 700, 800 e 900m/s. (a) Ache sua velocidade me´dia. R : vmed = 700m/s (b) Qual a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas? R : vrms = 714m/s 2. Calcule a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas de hidrogeˆnio na temperatura de 0,00◦C e a uma pressa˜o de 1,00atm, admitindo que o hidrogeˆnio seja um ga´s ideal. Nessas condic¸o˜es, o hidrogeˆnio possui massa espec´ıfica ρ de 8, 99 ·10−2 kg/m3. R : vrms = 1836m/s 3. Um recipiente cu´bico possui 10cm de lado e conte´m oxigeˆnio a uma pressa˜o de 1,0atm e uma temperatura de 300K. (a) Quantos mols de oxigeˆnio esta˜o presentes no interior do recipiente? R : n = 0,041 mols (b) Quantas mole´culas? R : N = 2,5 · 1022mole´culas (c) Dado que a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas e´ 483m/s, calcule a taxa aproximada que as mole´culas atingem as superf´ıcies do recipiente. R : Taxa ≈ 2 · 1025coliso˜es/s 4. Uma massa gasosa ocupa um volume de 20 l, em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura. Se a pressa˜o sobre o ga´s for dobrada e sua temperatura for elevada ate´ atingir um valor de 1040◦F, qual o volume que esse ga´s ocupara´? R: 30,5l 18 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 2.2.2 Trajeto´ria Livre Me´dia v.t (a) (b) (c) v.!t Figure 2.2: a) Choque entre duas mole´culas ideˆnticas dediaˆmetro d. b) Descric¸a˜o alter- nativa: choque entre uma mole´cula com diaˆmetro 2d e outra pontual. c) Cilindro gerado pelo deslocamento da part´ıcula de diaˆmetro 2d. Entre coliso˜es sucessivas, o movimento de uma mole´cula de um ga´s ideal e´ retil´ıneo e uniforme. A distaˆncia me´dia que uma mole´cula percorre entre duas coliso˜es sucessivas e´ chamada trajeto´ria livre me´dia. Se tivermos duas mole´culas de diaˆmetro d, ocorrera´ uma colisa˜o quando seus centros se aproximarem de uma distaˆncia d (Figura 2.2a). Uma descric¸a˜o equivalente das coliso˜es entre mole´culas consiste em considerar uma delas pontual e a outra com diaˆmetro 2d, pois a colisa˜o ocorrera´ quando os seus centros se aproximarem de uma distaˆncia d (Figura 2.2b), assim como na situac¸a˜o anterior. Se estivermos observando uma mole´cula nas suas mu´ltiplas coliso˜es, podemos consid- erar que ela tem um diaˆmetro 2d e as outras sa˜o pontuais. Em um intervalo de tempo ∆t, a mole´cula ‘maior’ percorre um cilindro cuja a´rea de sec¸a˜o transversal e´ pid2, o comprimento e´ Lcil = v ·∆t, onde v e´ a velocidade da mole´cula (Figura 2.2c). O volume do cilindro sera´: Vcil = a´rea da base × comprimento Vcil = pid 2 × v ·∆t Considere que o volume do recipiente no qual o ga´s esta´ confinado seja V e que o recipiente contenha N mole´culas. Assim, o nu´mero de mole´culas pontuais no cilindro e´ Ncil = N Vcil V = Npid2v∆t V 19 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases Uma vez que a mole´cula em movimento e as mole´culas pontuais exercem forc¸as umas sobre as outras, esse e´ tambe´m o nu´mero de coliso˜es associadas a` mole´culas em movimento no intervalo de tempo ∆t. A trajeto´ria livre me´dia λ e´ a distaˆncia total percorrida pela mole´cula em movimento no intervalo de tempo ∆t, dividida pelo nu´mero de coliso˜es ocorridas neste intervalo, ou λ = Lcil Ncil = v∆tV Npid2v∆t λ = V Npid2 Esse resultado e´ apenas uma primeira aproximac¸a˜o, pois ele se baseia na hipo´tese de que apenas uma mole´cula se move e que todas as outras esta˜o em repouso. Uma conclusa˜o similar sobre a me´dia pode ser obtida para o caso em que as mole´culas possuem velocidades diferentes. Um ca´lculo completo, considerando a distribuic¸a˜o real das velocidades das mole´culas fornece vrelativa = √ 2 · vme´dia. Como resultado, temos que a trajeto´ria livre me´dia me´dia e´: λ = V√ 2Npid2 ou, em termos da pressa˜o p e temperatura T λ = kT√ 2ppid2 Exerc´ıcios 1. Quais sa˜o (a) a trajeto´ria livre me´dia e (b) a taxa me´dia de coliso˜es para o nitrogeˆnio a` temperatura ambiente (T = 300K) e a` pressa˜o atmosfe´rica (p = 1, 01 · 105Pa)? Uma mole´cula de nitrogeˆnio possui diaˆmetro efetivo d = 3, 15 · 10−10m e, para as condic¸o˜es estabelecidas, uma velocidade me´dia vmed = 478m/s. R: a) λ = 9,3 · 10−8m; b) taxa = 5,1 · 109 coliso˜es/segundo 2. A 2500 km acima da superf´ıcie da Terra, a massa espec´ıfica e´ de aproximadamente 1 mole´cula/cm3. Qual a trajeto´ria livre me´dia prevista? Suponha o diaˆmetro molec- ular igual a 2, 0 · 10−8cm. R: λ = 5,6 · 1012m 3. O livre percurso me´dio das mole´culas de nitrogeˆnio, a 0◦C e 1atm, e´ 0, 80·10−5cm. A esta temperatura e pressa˜o ha´ 2, 7 · 1019 mole´cula/cm3. Qual o diaˆmetro molecular? R: 3,2 · 10−10m 20 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 2.2.3 Distribuic¸a˜o das velocidades moleculares O f´ısico escoceˆs James Clerk Maxwell (1831-1879) foi quem primeiro resolveu o prob- lema da distribuic¸a˜o das velocidades em um ga´s contendo um grande nu´mero de mole´culas. A distribuic¸a˜o de mole´culas de Maxwell para uma amostra de ga´s com temperatura T contendo N mole´culas, cada uma com massa m, e´ dada por N(v) = 4piN ( m 2pikBT )3/2 v2e−mv 2/2kBT . (1) A figura 2.3 mostra duas distribuic¸o˜es de velocidades para N = 105 mole´culas de ni- trogeˆnio (N2), considerando as temperaturas de 300K (curva azul) e 900K (curva laranja). Figure 2.3: Exemplos da distribuic¸a˜o das velocidades moleculares para o N2. N(v) e´ o produto N(v) · dv (adimensional) e fornece o nu´mero de mole´culas que possuem velocidades na faixa de v a v+dv. Ao integrar os nu´meros de mole´culas presentes entre v = 0 e v → ∞, devemos obter o nu´mero total de mole´culas do sistema (N). Isto e´, deve ser verdadeira a equac¸a˜o N = ∫ ∞ 0 N(v) · dv Consequeˆncias da Distribuic¸a˜o de Velocidades Pode-se obter muitas informac¸o˜es u´teis a partir da equac¸a˜o de distribuic¸a˜o das veloci- dades moleculares (Eq. 1). 1. A velocidade mais prova´vel (vp): Essa e´ a velocidade para a qual (N(v)) apre- senta seu valor ma´ximo. Esse valor pode ser obtido impondo N(v) dv = 0 e resolvendo para v. O resultado e´ vp = √ 2kBT m ou vp = √ 2RT M 21 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 2. A velocidade me´dia (vme´d): Para se obter a velocidade me´dia das mole´culas, adiciona-se todas as velocidades individuais e divide-se pelo nu´mero de mole´culas, isto e´: vme´d = 1 N ∫ ∞ 0 v ·N(v) · dv O resultado e´ vme´d = √ 8kBT pim ou vme´d = √ 8RT piM 3. A velocidade me´dia quadra´tica (vrms): Essa quantidade ja´ foi obtida no ini- cio do cap´ıtulo. Para obteˆ-la a partir da equac¸a˜o de distribuic¸a˜o de velocidades, procedemos conforme descrito no item anterior, exceto pelo fato de se obter o valor me´dio de v2, ou seja: (v2)me´d = 1 N ∫ ∞ 0 v2 ·N(v) · dv Esta integrac¸a˜o resulta em (v2)me´d = 3kBT m . A velocidade me´dia quadra´tica e´ igual a` raiz quadrada dessa quantidade, isto e´, vrms = √ (v2)me´d. Como resultado temos: vme´d = √ 3kBT m ou vme´d = √ 3RT M 4. A energia cine´tica me´dia de translac¸a˜o por mole´cula (Ktrans): Devido a` hipo´tese de que o ga´s ideal e´ monoatoˆmico, a energia cine´tica de translac¸a˜o e´ a u´nica forma de energia que a mole´cula pode possuir. Uma mole´cula pontual na˜o pode possuir energia de rotac¸a˜o e admite-se que na˜o hajam variac¸o˜es nas energias internas da mole´cula. Para obtermos Ktrans, devemos, inicialmente, obter a energia cine´tica de translac¸a˜o total do conjunto de N mole´culas e, em seguida, dividi-la por N . A energia total K e´ K = 1 2 m(v21 + v 2 2 + ...+ v 2 N) K = 1 2 mN (v21 + v 2 2 + ...+ v 2 N) N K = 1 2 mNv2rms Substituindo v2rms = 3kBT/m, temos K = 3 2 NkBT Dividindo por N, teremos Ktrans Ktrans = 3 2 kBT 22 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases Exerc´ıcios 1. As velocidades de dez part´ıculas em m/s sa˜o: 0,0; 1,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0 e 6,0. Determine: (a) a velocidade me´dia; R: vme´d = 3,1 m/s (b) a velocidade me´dia quadra´tica; R: vrms = 3,5 m/s (c) a velocidade mais prova´vel. R: vp = 3,0 m/s 2. Um tanque de volume de 0, 300m3 conte´m 2 mols de ga´s He´lio a 20, 0◦C. Supondo que o He´lio comporta-se como um ga´s ideal, encontre: (a) a energia interna total do ga´s. R: K = 7,30 · 103J (b) a energia me´dia por mole´cula. R: Ktrans = 6,07 · 10−21J 3. Calcule a massa de uma mole´cula de nitrogeˆnio, N2. O peso molecular e´ 28 kg/kmol. R: 4, 65× 10−26 kg 4. Uma gotinha de mercu´rio tem um raio de 0,5 mm. Quantos a´tomos de mercu´rio existem na gotinha? (Para Hg, M = 202 Kg/ kmol e ρ = 13600kg/m3). R: 2, 1×1019 5. Quantas mole´culas existem em 70 cm3 de benzeno? (Para o benzeno, ρ = 0, 88gcm−3 e M = 78 kg/mol). R: 4, 8× 1023 23 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 2.2.4 Distribuic¸a˜o das Energias moleculares Uma descric¸a˜o alternativa do movimento das mole´culas pode ser obtida observando a distribuic¸a˜o das energias ao inve´s da distribuic¸a˜o das velocidades. Isto e´, observandoa distribuic¸a˜o de N(E), de modo que N(E) · dE fornece o nu´mero de mole´culas com energias entre E e E + dE. Sendo o nu´mero de mole´culas com energias cine´ticas entre E e E + dE ideˆntico ao nu´mero de mole´culas com velocidades entre v e v + dv, matematicamente temos: N(E) · dE = N(v) · dv, N(E) = N(v) · dv dE (1) Considerando que as mole´culas possuam apenas energia cine´tica, temos: E = 1 2 mv2 v = ( 2E m )1/2 (2) dv dE = 1 2 E−1/2 ( 2 m )1/2 (3) Dado: N(v) = 4piN ( m 2pikBT )3/2 v2e−mv 2/2kBT (4) Substituindo as equac¸o˜es (2), (3) e (4) na equac¸a˜o (1), temos: N(E) = 2N√ pi 1 (kBT )3/2 E1/2e−E/kBT (5) A equac¸a˜o (5) e´ a distribuic¸a˜o das energias de Maxwell-Boltzmann. A partir desta equac¸a˜o, pode-se calcular a frac¸a˜o de mole´culas de um ga´s que possuem energias entre E e E + dE, que e´ expressa por N(E)dE N . Conforme considerado anteriormente, N e´ o nu´mero total de mole´culas, e pode ser deter- minado por N = ∫ ∞ 0 N(E) · dE. 24 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases Lista de revisa˜o I 1. Suponha que em uma escala linear de temperatura X, a a´gua ferva a -53,5◦X e se congele a -170◦X. Qual a temperatura de 340 K na escala X? R: -91,1 ◦X 2. Em um dia quando a temperatura alcanc¸a 60 ◦F, qual e´ a temperatura em graus Celsius e em kelvins? R:288,56 K e 15,56 ◦C 3. O ouro tem ponto de fusa˜o de 1.064 ◦C e um ponto de ebulic¸a˜o de 2.660 ◦C. (a) Expresse estas temperaturas em graus Fahrenheit e kelvis. (b) Calcule a diferenc¸a entre estas temperaturas nas 3 escalas termome´tricas utilizadas. R: (a) 1947,2 ◦F e 4820 ◦F; 1337 K e 2933 K (b) ∆=1596 ◦C, 1596 K e 2872,8 ◦F 4. A variac¸a˜o dia´ria da temperatura da ponte Golden Gate em Sa˜o Francisco pode exceder 20 ◦C. O comprimento da ponte e´ de aproximadamente 2 km e ela e´ feita de ac¸o (α = 1, 1×10−5 ◦C−1). Qual e´ aproximadamente a variac¸a˜o do comprimento da ponte para esta variac¸a˜o de temperatura? R: ∆L = 44 cm 5. Um mastro de alumı´nio de uma bandeira possui 33 m de altura. De quanto aumenta o seu comprimento quando a temperatura sobe 15 ◦C? (αAl = 2, 3× 10−5 ◦C−1) R: ∆L = 1,138 cm 6. Uma esfera oca de alumı´nio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15 ◦C. O coeficiente de dilatac¸a˜o linear do alumı´nio e´ 2, 3× 10−5 ◦C−1. De quantos cm3 varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobre para 40◦ C? O volume da cavidade aumenta ou diminui? R: ∆Vi = 7,23cm 3 7. Uma barra retil´ınea e´ formada por uma parte de lata˜o soldada em outra de ac¸o. A 20 ◦C, o comprimento total da barra e´ 30 cm, dos quais 20 cm de lata˜o e 10 cm de ac¸o. Os coeficientes de dilatac¸a˜o linear sa˜o 1, 9 × 10−5 ◦C−1 para o lata˜o e 1, 1 × 10−5 ◦C−1 para o ac¸o. Qual e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o linear da barra? R: α = 1,63× 10−5/◦C 8. O comprimento de uma haste, medido com uma re´gua de ac¸o (α = 1, 1×10−5 ◦C−1) a temperatura ambiente de 20 ◦C, e´ igual a 20,05 cm. Em seguida, a haste e a re´gua sa˜o colocadas em um forno a 270 ◦C. Dentro deste forno, o comprimento da haste medida com a mesma re´gua e´ de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmica do material da haste. R: α = 2,3× 10−5/◦C. A haste e´ feita de alumı´nio. 9. Um ga´s ideal ocupa um volume de 100 cm3 a 20, 0 ◦C e 100 Pa. (a) Encontre o nu´mero de mols do ga´s no recipiente. (b) Quantas mole´culas do ga´s esta˜o no recipiente? R: n = 4,1× 10−6 mols e N = 2,47× 1018 mole´culas 10. Massa espec´ıfica e´ massa dividida pelo volume. Se o volume V depende da tem- peratura, a massa espece´fica ρ tambe´m depende. Mostre que a variac¸a˜o na massa espece´fica ∆ρ com uma variac¸a˜o de temperatura ∆T e´ dada por ∆ρ = −βρ∆T, onde β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica. Explique o sinal negativo. 25 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 11. Dado um tanque de he´lio com volume de 0, 100 m3 e pressa˜o 150 atm. Quantos balo˜es este tanque pode inflar se cada bala˜o cheio for uma esfera de 0,300 m de diaˆmetro em uma pressa˜o absoluta de 1,20 atm? R: 884 balo˜es 12. Um ga´s ideal e´ mantido em um recipiente de volume constante. Inicialmente, sua temperatura e´ 10, 0 ◦C e sua pressa˜o 2,50 atm. Qual sera´ sua pressa˜o quando sua temperatura for 80, 0 ◦C? R: p = 3,15× 105 Pa 13. Um cilindro conte´m oxigeˆnio e´ temperatura de 20 ◦C, pressa˜o de 15 atmosferas e volume de 100 litros. Um eˆmbolo e´ deslocado no cilindro de modo a diminuir o volume do ga´s para 80 litros e aumentando sua temperatura para 25 ◦C. Supondo que o oxigeˆnio se comporte como ga´s ideal nestas condic¸o˜es, determinar sua pressa˜o final. R: p= 19,07 atm 14. Sendo a velocidade quadratica me´dia das mole´culas de um ga´s dada por vrms = √ 3p ρ , encontre uma equac¸a˜o que relacione a vrms com a temperatura (T ) e a massa molar (M). R: vrms = ( 3RT M )1/2 15. A 0 ◦C e a` pressa˜o de 1, 000 atm a densidade do ar, do oxigeˆnio e do nitrogeˆnio sa˜o, respectivamente 1, 293 kg/m3, 1, 429 kg/m3 e 1, 251 kg/m3. Calcule a percentagem de nitrogeˆnio no ar, a partir desses dados, supondo apenas a presenc¸a destes dois u´ltimos gases. R: 76,4 % 16. Em um per´ıodo de 1, 00 s, 5, 00× 1023 mole´culas de nitrogeˆnio atingem uma parede com uma a´rea de 8, 00 cm2. Se as mole´culas deslocam-se com uma velocidade de 300 m/s e atingem a parede frontalmente em coliso˜es perfeitamente ela´sticas, qual a pressa˜o exercida na parede? (A massa molecular de uma mole´cula de N2 e´ 4, 68× 10−26 kg.) R: p=1,76× 104 Pa 17. A massa da mole´cula de H2 e´ 3, 32 × 10−24 g. Se 1023 mole´culas de hidrogeˆnio chocam-se por segundo contra 2, 0 cm2 de uma parede inclinada de 45◦ em relac¸a˜o a` direc¸a˜o da velocidade, que vale 105 cm/s, qual e´ a pressa˜o que elas exercem sobre a parede? R: p=2,35× 103 Pa 18. Uma bolha de ar de 19, 4 cm3 de volume esta´ no fundo de um lago com 41,5 m de profundidade, onde a temperatura e´ de 3, 80 ◦C. A bolha sobe ate´ a superf´ıcie, que esta´ a` temperatura de 22, 6 ◦C. Considere que a temperatura da bolha e´ a mesma da a´gua a` sua volta e determine o seu volume no instante imediatamente anterior a` chegada da bolha a` superf´ıcie. R: Vf = 106,7cm 3 19. A 273◦F e 1, 00 × 10−2 atm a densidade de um ga´s e´ de 1, 24 × 10−5 g/cm3. (a) Determinar a vrms para as mole´culas do ga´s. (b) Determinar a massa molar do ga´s. R: (a) vrms = 494m/s; (b) 4,15 ×10−2 kg/mol 20. (a) Determinar o valor me´dio da energia cine´tica das mole´culas de um ga´s ideal a 0, 00 ◦C e a 100, 0 ◦C. (b) Qual e´ a energia cine´tica por mol de um ga´s ideal nessas temperaturas? (a)5,65× 10−21 J e 7,72× 10−21J; (b) 3401 J e 4647 J 26 2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases 21. (a) Quantos a´tomos de ga´s he´lio enchem um bala˜o de 30, 0 cm de diaˆmetro a 20, 0 ◦C e 1,00 atm? (b) qual e´ a energia cine´tica me´dia dos a´tomos de he´lio? (c) Qual e´ a velocidade me´dia quadra´tica dos a´tomos de he´lio? R: (a) 3,53×1023 mole´culas; (b) 6,07× 10−21 J; (c) 1,35 km/s 22. Um reservato´rio de ac¸o conte´m 315 g de amoˆnia (NH3) a uma pressa˜o absoluta de 1, 35×106 Pa e a uma temperatura de 77, 0 ◦C. (a) Qual o volume desse reservato´rio? (b) Faz-se uma verificac¸a˜o posterior no reservato´rio quando a temperatura diminuiu para 22 ◦C e a pressa˜o absoluta caiu para 8, 68 × 105 Pa. Quantos gramas de ga´s escapou do reservato´rio? R: (a) 39,9 l; (b) 14,13 mols; (c) 74,71g 23. Nas CNTP (Condic¸o˜es Normais de Temperatura e Pressa˜o - 0 ◦C e 1,00 atm) a trajeto´ria livre me´dia dos a´tomos no he´lio e´ de 285 nm. Determinar (a) o nu´mero de mole´culas por metro cu´bico e (b) o diaˆmetro efetivo dos a´tomos de he´lio. R: (a) 2,68× 1025 mole´culas; (b) 1, 72× 10−10 m = 0,172nm 24. Um reservato´rio cil´ındrico com 56,0 cm de comprimentoe 12,5 cm de diaˆmetro, mante´m 0,350 mols de ga´s nitrogeˆnio a uma pressa˜o de 2,05 atm. Determine a velocidade me´dia quadra´tica (vrms) das mole´culas de nitrogeˆnio. R: 660m/s 25. A 2500 km acima da superf´ıcie da Terra, a massa espec´ıfica e´ de aproximadamente 1 mole´cula/cm3. Qual a trajeto´ria livre me´dia? Suponha um diaˆmetro molecular igual a 2, 0× 10−8 cm. R: 5,6× 1012m 26. Calcule a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas de amoˆnia (NH3) a 56, 0 ◦C. Um a´tomo de nitrogeˆnio possui uma massa de 2, 33 × 10−26 kg e um a´tomo de hidrogeˆnio possui massa de 1, 67× 10−27 kg. R: 694 m/s 27. A temperatura no espac¸o interestrelar e´ de 2,7 K. Determine a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas de hidrogeˆnio a essa temperatura. R: 183 m/s 28. O livre percurso me´dio das mole´culas de nitrogeˆnio, a 0 ◦C e 1 atm, e´ 0, 80 × 10−5 cm. A essa temperatura e pressa˜o ha´ 2, 7 × 1019 mole´culas/cm3. Qual o diaˆmetro molecular? R: 3,2× 10−10 29. Considere uma amostra de ga´s argoˆnio a 35, 0 ◦C e sob pressa˜o de 1,22 atm. Suponha que o raio de um a´tomo (esfe´rico) de argoˆnio seja de 0, 710×10−10 m. Calcule a frac¸a˜o do volume do recipiente que e´ realmente ocupada pelos a´tomos. R:4,34× 10−5 30. Dez part´ıculas se movem com a seguinte distribuic¸a˜o de velocidades: quatro a 200 m/s, duas a 500 m/s e quatro a 600 m/s. Calcule as velocidades me´dia e me´dia quadra´tica. R: 458 m/s 27 3 Primeira Lei da Termodinaˆmica Calor (Q) e´ a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhanc¸a devido a uma diferenc¸a de temperatura entre eles. Calor na˜o e´ uma propriedade dos sistemas ter- modinaˆmicos, e por tal na˜o e´ correto afirmar que um corpo possui mais calor que outro, e ta˜o pouco e´ correto afirmar que um corpo ”possui” calor. O conceito de calor utilizado pela populac¸a˜o, em senso comum, de forma na˜o cient´ıfica, geralmente e´ apegado a` ideia do calo´rico. Assim, costuma-se ouvir casos como: “que calor!”, “que frio!” e outros. Percebe- mos que isso e´ errado uma vez que o termo ”calor” e´ a transic¸a˜o de energia de um corpo mais quente para um corpo mais frio. Podemos transferir energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de Trabalho W por meio de uma forc¸a atuando sobre um sistema. Calor e trabalho , diferentemente da temperatura, da pressa˜o e do volume, na˜o sa˜o propriedades intr´ınsecas de um sistema. Eles possuem significado apenas quando descrevem a transfereˆncia do ambiente para o sistema. O calor e´ positivo quando energia se transfere do seu ambiente para uma energia te´rmica do sistema (dizemos que o calor e´ absorvido). O calor e´ negativo quando se transfere energia de uma energia te´rmica do sistema para o seu ambiente (dizemos que o calor e´ liberado ou perdido). Essa transfereˆncia de energia e´ mostrada na figura 3.1 Antes de os cientistas se darem conta de que o calor e´ energia transferida, o calor era medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da a´gua. Assim, a caloria (cal) foi definida como a quantidadade de calor que elevaria a temperatura de 1 g de a´gua de 14,5 ◦C para 15,5 ◦C . Em 1948, a comunidade cient´ıfica decidiu que ja´ que o calor e´ energia transferida, a unidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o joule (J). As relac¸o˜es entre as va´rias unidades de calor sa˜o: 1cal = 3, 969× 10−3Btu = 4, 186J (3.1) 3.1 A absorc¸a˜o de calor Capacidade Calor´ıfica Quando certa quantidade de calor e´ transmitida para um corpo, na maioria dos casos sua temperatura aumenta. A propriedade f´ısica que define a quantidade de calor Q necessa´ria 28 3.1. A ABSORC¸A˜O DE CALOR Primeira Lei da Termodinaˆmica Figure 3.1: Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), o sistema perde Calor (Q) para o ambiente ate´ que se estabelec¸a um equil´ıbrio te´rmico (b). (c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistema absorve calor ate´ se estabelecer o equil´ıbrio te´rmico. para aquecer determinado material ∆T e´ chamada capacidade te´rmica, sendo definida matematicamente como: C = Q ∆T ou Q = C∆T (3.2) Desse modo poderemos calcular a capacidade te´rmica de 1 litro de a´gua, de 2 litros de a´gua, 1 litro de azeite, etc. A capacidade te´rmica caracteriza o corpo, e na˜o a substaˆncia que o constitui. Dois corpos de massas e de substaˆncias diferentes podem possuir a mesma capacidade te´rmica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma substaˆncia possuem capacidades te´rmicas diferentes. A grandeza que caracteriza uma substaˆncia e´ o calor espec´ıfico. Calor Espec´ıfico E´ definido como sendo a quantidade de calor Q necessa´ria para elevar em 1oC a massa de 1g de determinado material, ou seja: c = Q m∆T 29 3.1. A ABSORC¸A˜O DE CALOR Primeira Lei da Termodinaˆmica Q = mc∆T (3.3) A unidade no SI e´ J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor espec´ıfico e´ cal/(g.◦C). Calores de Transformac¸a˜o Como foi mencionado, uma substaˆncia altera a sua temperatura quando ela troca calor com a sua vizinhanc¸a. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de calor e manter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 ◦C e´ retirada do congelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 ◦C. Esse material ira´ absorver calor da sua vizinhanc¸a e transformar-se em a´gua a uma temperatura de 0◦C. No exemplo acima na˜o houve mudanc¸a de temperatura, mas houve mudanc¸a de estado f´ısico, do estado so´lido para o l´ıquido. A propriedade f´ısica que define a quantidade de calor (Q) necessa´ria para uma mudanc¸a de fase de uma massa m de determinada substaˆncia e´ chamada calor latente, e e´ definida como L = Q m (3.4) Q = Lm (3.5) A unidade do calor latente e´ cal/g. Calor latente de fusa˜o Lf e´ o termo usado quando a mudanc¸a de fase e´ do so´lido para o l´ıquido (fundir significa “combinar por derretimento”), e o calor latente de vaporazic¸a˜o Lv e´ o termo usado quando a mudanc¸a de fase e´ do l´ıquido para o gasoso ( o l´ıquido “vaporiza”). O calor latente de va´rias substaˆncias varia consideravelmente. Exerc´ıcios 1. Em um episo´dio de gripe, um homem de 80 kg tem 39◦C de febre (cerca de 2 ◦C acima da temperatura normal de 37 ◦C). Considerando que o corpo humano e´ constitu´ıdo essencialmente de a´gua, qual seria o calor necessa´rio para produzir essa variac¸a˜o de temperatura? Dado: c =1,00 cal/g ◦C R: 160 kcal. 2. Calcule a energia necessa´ria para elevar a temperatura de 0,500 kg de a´gua por 3 ◦C . R: 1500 cal 3. Qual o calor espec´ıfico da a´gua no S.I.? 4190 J/kg K 4. A temperatura de uma pec¸a de metal de 0,0500 kg e´ elevada para 200,0 ◦C e enta˜o e´ colocada em um be´quer isolado contendo 0,400 kg de a´gua inicialmente a 20 ◦C. Se a temperatura final de equil´ıbrio do sistema combinado for 22,4 ◦C, descubra o calor espec´ıfico do metal. Despreze as trocas de calor com o be´quer. R: 0,108 cal/ g ◦C Qagua +Qmetal = 0 30 3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica 5. Qual a energia total transferida para a a´gua no exerc´ıcio anterior? R: 960 cal 6. Um estudante faz uma refeic¸a˜o que conte´m 2000 kcal de energia. Ele deseja realizar uma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0 kg. Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia? Considere que ele levanta o peso a uma distaˆncia de 2,00 m cada vez. R: 8542 vezes W = Ph = mgh 7. Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m = 720 g a -10◦C para leva´-la ao estado l´ıquido a 15 ◦C? R: 71856 cal 8. Que massa de vapor d’a´gua a 100 ◦C deve ser misturada com 150 g de gelo no seu ponto de fusa˜o, em um recipiente isolado termicamente, para produzir a´gua l´ıquida a 50◦C? Dados: cagua = 1 cal/g◦C, Lf = 79, 5 cal/g, Lv = 539 cal/g R: 32,97 g 3.2Trabalho Nesta sec¸a˜o, olhamos com algum detalhe como a energia pode ser transferida na forma de calor (Q) e trabalho (W) entre um sistema e o seu ambiente. As grandezas Q e W na˜o sa˜o caracter´ısticas do estado de equil´ıbrio do sistema, mas sim dos processos termodinaˆmicos pelos quais o sistema passa de um estado de equil´ıbrio para outro. Desse modo, se o sistema vai de um estado de equil´ıbrio inicial i para outro estado de equilibrio final, por dois caminhos diferentes, para cada caminho ele tera´ um valor de (Q) e (W) espec´ıfico. Neste caso, Q e W sa˜o definidos como: Q = calor transferido para o sistema W = trabalho realizado pelo sistema Por exemplo, considere um so´lido ou um fluido em um cilindro com um pista˜o mo´vel, como mostrado na Figura 3.2. Suponha que a sec¸a˜o reta do cilindro possua a´rea A e que a pressa˜o exercida pelo sistema sobre a face do pista˜o seja igual a P . A forc¸a total F exercida pelo sistema sobre o pista˜o e´ dada por F = PA. Quando o pista˜o se move uma distaˆncia infinitesimal dx, o trabalho dW realizado por essa forc¸a e´ Figure 3.2: O trabalho infinitesimal realizado pelo sistema durante a pequena expansa˜o dW = Fdx = PAdx (3.6) 31 3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica Pore´m, Adx = dV (3.7) onde dV e´ uma variac¸a˜o infinitesimal do volume do sistema. Logo, o trabalho realizado pelo sistema durante essa variac¸a˜o infinitesimal do volume e´ dW = PdV (3.8) Para uma variac¸a˜o finita de volume entre o estado inicial e o final, temos W = ∫ V f V i PdV (3.9) Em geral, a pressa˜o do sistema pode variar durante a variac¸a˜o do volume. Esse e´ o caso, por exemplo, dos cilindros de um motor de automo´vel quando os pisto˜es movem-se para frente e para tra´s. Para calcular a integral na equac¸a˜o 3.9, devemos saber como a pressa˜o no sistema varia em func¸a˜o do volume. A figura 3.3 e´ representada graficamente pela a´rea embaixo da curva de P em func¸a˜o de V entre os limites V1 e V2. O trabalho e´ positivo quando o sistema se expande (Fig. 3.3a). Quando um sistema e´ comprimido, seu volume diminui e ele realiza trabalho negativo sobre as vizinhanc¸as. Figure 3.3: O trabalho realizado e´ dado pela a´rea embaixo da curva em um diagrama PV Trabalho realizado a temperatura constante Suponha que um ga´s ideal em um arranjo pista˜o-cilindro se expanda de um volume inicial Vi ate´ um volume final Vf enquanto mantemos a temperatura T do ga´s constante. Um processo como este, em temperatura constante, e´ chamado de expansa˜o isote´rmica e o inverso (quando o V se reduz pela compressa˜o) e´ chamado de compressa˜o isote´rmica. Neste caso, o trabalho e´: W = NKT ln Vf Vi (3.10) 32 3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica Trabalho realizado a pressa˜o constante W = p(Vf − Vi) = p∆V (3.11) Trabalho realizado a volume constante W = 0 (3.12) Casos especiais da Primeira Lei da Termodinaˆmica 1. Processos adiaba´ticos. Um processo adiaba´tico e´ um processo que ocorre ta˜o rapidamente ou ocorre em um sistema que esta´ ta˜o bem isolado que na˜o ocorre nenhuma transfereˆncia de energia na forma de calor entre o sistema e o seu ambiente. Num processo adiaba´tico, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodinaˆmica: ∆Eint = −W (3.13) 2. Processos a volume constante. Sa˜o os chamados processos isovolume´tricos. Usando a definic¸a˜o de trabalho executado pelo sistema entre os estado inicial e final, encontramos que: Wif = ∫ f i PdV = 0 (3.14) pois na˜o aconteceu variac¸a˜o de volume. Atrave´s da Primeira Lei da Termodinaˆmica encontramos que: ∆Eint = Q (3.15) 3. Processos C´ıclicos. Num processo c´ıclico o sistema passa por va´rias transformac¸o˜es, mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que Ei = Ef e portanto na˜o existe variac¸a˜o de energia interna, logo: Q = W (3.16) Exerc´ıcios 1. Calcule o trabalho realizado por um ga´s ideal que se expande isotermicamente desde o volume inicial Vi ate´ o volume final Vf . R : Wif = NKT ln Vf Vi 33 3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica 2. Um mol de oxigeˆnio (suponha que ele seja um ga´s ideal) se expande a uma temper- atura constante de T de 310 K de um volume inicial Vi de 12 l para um volume final de Vf de 19 l. Qual o trabalho realizado pelo ga´s durante a expansa˜o? R: 1180J 3. O diagrama PV da figura abaixo mostra uma se´rie de processos termodinaˆmicos. No processo ab, 150 J de calor sa˜o fornecidos ao sistema, e no processo bd, 600 J de calor sa˜o fornecidos ao sitema. Calcule a) a variac¸a˜o da energia interna no processo ab, abd e acd R : Eint,ab = 150J,Eint,abd = 510J,Eint,acd = 600J Figure 3.4: Um diagrama PV mostrando os diversos processos termodinaˆmicos 4. Um sistema termodinaˆmico e´ levado de um estado inicial A para um outro estado B e de volta ao estado A, passando pelo estado C, como mostrado pela trajeto´ria ABCA no diagrama p− V . (a) Complete a tabela da Figura abaixo preenchendo-a com + ou - para o sinal de cada grandeza termodinaˆmica associada com cada etapa do ciclo. (b) Calcule o valor nume´rico do trabalho realizado pelo sistema para o clico ABCA completo. R: -20 J 34 3.3. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica 5. Quando um sistema e´ levado do estado i para o estado f ao longo da trajeto´ria iaf na Figura abaixo, Q = 50 cal e W = 20 cal. Ao longo da trajeto´ria ibf , Q = 36 cal. (a) Qual o valor de W ao longo da trajeto´ria ibf? R: 6 cal (b) Se W = −13 cal para a trajeto´ria de volta fi, qual sera´ Q para esta trajeto´ria? R: -43 cal (c) Considere Eint,i = 10 cal. Qual e´ Eint,f? R: 40 cal (d) Se Eint,b = 22cal, qual o valor de Q para a trajeto´ria ib e para a trajeto´ria bf? R: 18 cal 3.3 Calor espec´ıfico molar de um ga´s ideal Energia Interna A energia interna Eint de um ga´s monoatoˆmico e´ func¸a˜o apenas da temperatura de um ga´s; ela na˜o depende de nenhuma outra varia´vel. Para um ga´s monoatoˆmico, a energia interna do ga´s ideal e´ simplesmente a soma das energias cine´ticas de translac¸a˜o de seus ato´mos. Considerando uma amostra de n mols de um ga´s ideal e´, a energia interna e´ dada por: Eint = 3 2 nRT (3.17) 3.3.1 Volume constante A figura 3.5 mostra n moles de um ga´s ideal na pressa˜o p e temperatura T , confinados em um cilindro de volume fixo V . Este estado inicial i do ga´s esta´ marcado no diagrama p− V . Suponha agora que voceˆ adiciona uma pequena quantidade de energia ao ga´s sob a forma de calor Q aumentando lentamente a temperatura do reservato´rio te´rmico. A temperatura do ga´s se eleva de uma pequena quantidade para T + ∆T , e a sua pressa˜o se eleva para p+ ∆p, levando o ga´s ao estado final f . O calor esta´ relacionado com a variac¸a˜o de temperatura por : Q = nCV ∆T (volume constante) (3.18) onde CV e´ uma constante chamada calor espec´ıfico molar a volume constante. Como o volume e´ mantido constante, o ga´s na˜o consegue se expandir e portanto na˜o consegue realizar nenhum trabalho. Assim podemos escrever a ∆Eint como: 35 3.3. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica Figure 3.5: Processo a volume cosnatante em um diagrama p− V . ∆Eint = nCV ∆T (3.19) Esta equac¸a˜o nos diz que uma variac¸a˜o na energia interna Eint de um ga´s ideal con- finado depende apenas da variac¸a˜o de temperatura do ga´s; ela na˜o depende de qual tipo de processo produz a variac¸a˜o na temperatura. 3.3.2 Pressa˜o Constante Agora supomos que a temperatura do ga´s ideal e´ aumentada da mesma pequena quan- tidade ∆T como antes, mas que a energia necessa´ria (calor Q) e´ adicionada com o ga´s sujeito a pressa˜o constante. Esse processo e´ mostrado na figura 3.6. Figure 3.6: Processo a pressa˜o constante em um diagrama p−V . O trabalho p∆V e´ dado pela a´rea sombreada. O calor esta´relacionado com a variac¸a˜o de temperatura por : Q = nCp∆T (pressa˜o constante) (3.20) 36 3.3. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica onde Cp e´ uma constante chamada calor espec´ıfico molar a pressa˜o constante. Este Cp e´ maior do que o calor espec´ıfico molar a volume constante CV , pois agora deve-se fornecer energia na˜o apenas para elevar a temperatura do ga´s, mas tambe´m para que o ga´s realize trabalho. Exerc´ıcios 1. Encontre os valores dos calores espec´ıficos molares para os casos isoba´rico e iso- volume´trico para um ga´s ideal a partir da Primeira Lei da Termodinaˆmica. R : Cv = 12,5J/mol K e Cp = 20,8J/mol K 2. Dado que as curvas do diagrama (p− V ) abaixo representam variac¸o˜es isote´rmicas, e que as variac¸o˜es de energia ∆Eab e ∆Eac sa˜o iguais, encontre uma relac¸a˜o entre CV e Cp a partir da Primeira Lei da Termodinaˆmica. R : Cp −Cv 3. A partir da relac¸a˜o para os gases ideais pV γ = constante, encontre uma relac¸a˜o entre V e T sejam as u´nicas varia´veis R : TVγ−1 = constante 4. Um cilindro conte´m 3 mols de ga´s he´lio a` temperatura de 300 K. (a) Quanta energia deve ser transferida para o ga´s pelo calor para aumentar sua temperatura para 500 K se ele for aquecido a volume constante? R: 7479 J (b) Quanta energia deve ser transferida para o ga´s pelo calor a pressa˜o constante para aumentar a temperatura para 500 K? R: 12465 J 5. Qual o trabalho realizado no exerc´ıcio anterior no processo isoba´rico? R: 4986 J 6. A mistura ar-combust´ıvel no cilindro de um motor a diesel a 20 ◦C e´ comprimida a partir de uma pressa˜o inicial de 1 atm e volume de 800 cm3 para um volume de 60 cm3. Considerando que a mistura se comporta como um ga´s ideal com γ = 1, 40 e a compressa˜o e´ adiaba´tica, descubra a pressa˜o e a temperatura finais da mistura. R: 826 K 37 3.4. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica 3.4 Mecanismos de transfereˆncia de calor A transfereˆncia de calor de um ponto a outro de um meio se da´ atrave´s de treˆs processos diferentes: convecc¸a˜o, radiac¸a˜o e conduc¸a˜o. Figure 3.7: Exemplos dos mecanismos de transfereˆncia de calor. A convecc¸a˜o ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor e´ transferido pelo movimento do pro´prio fluido, que constitui uma corrente de convecc¸a˜o. Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substitu´ıdo por um fluido mais frio, o que gera naturalmente correntes de convecc¸a˜o. O borbulhar da a´gua fervente em uma panela e´ o resultado de correntes de convecc¸a˜o. A radiac¸a˜o transfere calor de um ponto a outro atrave´s da radiac¸a˜o eletromagne´tica. A radiac¸a˜o te´rmica e´ emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode aqueceˆ-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar e´ uma forma de aproveitamen to da radiac¸a˜o solar para a produc¸a˜o de calor. Um ferro em brasa emite radiac¸a˜o te´rmica e aquece a regia˜o que o rodeia. A conduc¸a˜o de calor so´ pode acontecer atrave´s de um meio material, sem que haja movimento do pro´prio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios so´lidos sob o efeito de diferenc¸as de temperatura. 3.4.1 Conduc¸a˜o Considere um bloco cujo material tem espessura ∆x e um corte transversal de a´rea A com as faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2, onde T2 > T1. O bloco permite que a energia seja transferida da regia˜o de alta temperatura para a de baixa temperatura por meio da conduc¸a˜o te´rmica. A taxa de transfereˆncia de energia pelo calor P = Q ∆t e´ proporcional a` a´rea do corte transversal do bloco e a` diferenc¸a de temperatura e inversamente proporcional a` espessura do bloco: P = Q ∆t ∝ A∆T ∆x Como cada material tem uma condutividade te´rmica espec´ıfica, introduzimos a constante k na equac¸a˜o, assim: P = kA∆T ∆x (Watts). 38 3.4. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica Fluxo de energia T2>T1 !x T2 T1 A Resisteˆncia Te´rmica a` conduc¸a˜o (R) Se voceˆ estivesse interessado em isolar a sua casa ou em manter as latinhas de re- frigerante geladas em um piquinique, voceˆ esta´ mais interessado em maus condutores de calor do que em bons condutores. Por esse motivo, o conceito de resisteˆncia te´rmica R foi introduzido na pra´tica de engenharia. O valor R de uma parede de espessura ∆x e´ definido como R = ∆x k (3.21) Quanto menor for a condutividade te´rmica do material do qual uma parede e´ feita, maior sera´ o valor de R, assim algo que possua um alto valor R e´ um mau condutor te´rmico, portanto um bom isolante te´rmico. A unidade normalmente usada para R (que nos Estados Unidos pelo menos, quase nunca e´ indicada e´: ft2 ◦F h/Btu. Para uma barra composta contendo diversos materiais de espessuras ∆x1,∆x2, ... e condutividade te´rmicas k1, k2, ... a taxa de trasnfereˆncia de energia pela barra no estado esta´vel e´ P = A∆T∑ R (3.22) 3.4.2 Radiac¸a˜o Radiac¸a˜o te´rmica e´ a radiac¸a˜o eletromagne´tica emitida por um corpo em qualquer tem- peratura. A radiac¸a˜o e´ uma forma de transmissa˜o de calor pela qual um segundo corpo pode absorver as ondas que se propagam pelo espac¸o em forma de energia eletromagne´tica aumentando sua temperatura. A taxa de emissa˜o de energia de um corpo por meio da radiac¸a˜o te´rmica a partir de sua superf´ıcie e´ proporcional a` quarta poteˆncia de sua temperatura superficial absoluta. Este princ´ıpio e´ conhecido como a Lei de Stefan e e´ expressa por: P = σAeT 4, 39 3.4. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica onde: P e´ a poteˆncia irradiada pelo corpo (W); σ e´ a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5, 6696× 10−8 W/(m2K4); A e´ a a´rea da superf´ıcie do corpo (m2); e e´ a emissividade; T a temperatura da superf´ıcie do corpo (K). Exerc´ıcios 1. Uma janela cuja a´rea e´ de 2,0m2 e´ envidrac¸ada com vidro de espessura de 4,0 mm. A janela esta´ na parede de uma casa e a temperatura externa e´ 10 ◦C . A temperatura no interior da casa e´ 25◦C. Quanta energia e´ transferida atrave´s da janela pelo calor em 1h? Dados: kvidro = 0, 8W/(m ◦C) R : 2,16× 107 J 2. O filamento de tungsteˆnio de uma laˆmpada de 100W irradia 2W de luz (os demais 98W sa˜o carregados para fora por convecc¸a˜o e conduc¸a˜o). O filamento tem a´rea superficial de 0,250mm2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura do filamento. R: 3491 K 3. Uma barra de ouro esa´ em contato te´rmico com uma barra de prata de mesmo comprimento e a´rea. Uma extremidade da barra composta de ouro e´ mantida a 80◦C e a extremidade oposta esta´ a 30◦C. Quando a transfereˆncia de energia atinge o estado estaciona´rio, qual a temperatura da junc¸a˜o? Dados: kAu = 314W/(m ◦C) e kAg = 427W/(m◦C) R: 51,18 ◦C 4. A figura abaixo mostra a sec¸a˜o transversal de uma parede feita de pinho branco com espessura La e de tijolos com espessura Ld, envolvendo duas camadas de um material desconhecido com espessuras e condutividades ideˆnticas. A condutividade te´rmica do pinho e´ ka e a do tijolo e´ kd. A a´rea da face A da parede e´ desconhecida. A conduc¸a˜o te´rmica atrave´s da parede ja´ atingiu o regime permanente; as u´nicas temperaturas de interface conhecidads sa˜o T1 = 25 ◦C, T2 = 20◦C e T5 = −10.◦C. Considerando Ld = 2La e kd = 5ka, qual e´ a temperatura da interface T4? R: - 8 ◦C Figure 3.8: Exerc´ıcio 5 40 4 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica 4.0.1 Ma´quinas Te´rmicas Ma´quina te´rmica ou motor e´ um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma de calor, e realiza trabalho u´til. Por exemplo, em um processo t´ıpico, no qual uma usina de energia produz eletricidade, um combust´ıvel - por exemplo, carva˜o - e´ queimado e os gases produzidosa altas temperaturas sa˜o usados para converter a´gua l´ıquida em vapor. Esse vapor e´ direcionado para as laˆminas de uma turbina, colocando-a em rotac¸a˜o. A energia mecaˆnica associada a essa rotac¸a˜o e´ usada para acionar um gerador ele´trico. A ma´quina te´rmica carrega alguma substaˆncia que trabalha por um processo c´ıclico durante o qual (1) a substaˆncia que trabalha absorve energia do calor de um reservato´rio de energia em alta temperatura, (2) o trabalho e´ realizado pelo motor, e (3) a energia e´ expelida pelo calor para um reservato´rio em temperatura mais baixa. Figure 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica de uma ma´quina te´rmica A figura 4.1 representa esquematicamente uma ma´quina te´rmica. O motor absorve uma quantidade de energia |Qq| (usamos valores absolutos para realizar todas as trans- 41 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica fereˆncias de enegia por calor positivo, e a direc¸a˜o da transfereˆncia e´ indicada com um sinal negativo). Wmaq −→ ma´quina realiza trabalho −Wmaq −→ ma´quina realiza trabalho Qf −→ calor fornecido para o reservato´rio frio Como a substaˆncia de trabalho passa por um ciclo ∆Eint = 0 . A partir da Primeira Lei da Termodinaˆmica , ∆Eint = Q − W = Q − Wmaq, e o trabalho resultante Wmaq realizado sobre uma ma´quina te´rmica e´ igual a` energia resultante Qtot transferida para ele. Portanto: Wmaq = |Qq| − |Qf | (4.1) A eficieˆncia te´rmica de uma ma´quina e´ definida como: e = Wmaq |Qq| = |Qq| − |Qf | |Qq = 1− |Qf | |Qq| (4.2) A equac¸a˜o 4.2 mostra que uma ma´quina te´rmica tem 100% de eficieˆncia (e = 1) somente se |Qf | = 0, isto e´ se a energia na˜o e´ expelida para o reservato´rio frio. Como as eficieˆncias de ma´quinas reais sa˜o bem abaixo de 100%, a seguinte versa˜o alternativa da Segunda Lei da Termodinaˆmica nos diz: Na˜o e´ poss´ıvel nenhuma se´rie de processos cujo u´nico resultado seja a transfereˆncia de energia de calor de um reservato´rio te´rmico e a completa conversa˜o desta energia em trabalho. 42 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica Lista de revisa˜o II 1. Uma geo´loga trabalhando no campo toma seu cafe´ da manha˜ em uma x´ıcara de alumı´nio. A x´ıcara possui uma massa igual a 0,120 kg e estava inicialmente a 20 ◦C quando a geo´loga a encheu com 0,300 kg de um cafe que estava inicialmente a uma temperatura de 70 ◦C. Qual e´ a temperatura final depois que o cafe´ e a x´ıcara atingem o equil´ıbrio te´rmico? (Suponha que o calor espec´ıfico do cafe´ seja igual ao da a´gua (cH2O w 4190 J/kgK), e que na˜o exista nenhuma troca com o meio ambiente (cAl w 910 J/kgK)). Resp.: Tf = 66 ◦C 2. Um calor´ımetro de alumı´nio de 250 g conte´m 0, 5 l de a´gua a 20 ◦C, inicialmente em equil´ıbrio. Coloca-se dentro do calor´ımetro um bloco de gelo de 100 g. Calcule a temperatura final do sistema. O calor espec´ıfico do alumı´nio e´ 0, 21 cal/g◦C e o calor latente de fusa˜o do gelo e´ de 80 cal/g (durante o processo de fusa˜o, o gelo permanece a 0 ◦C). Resp.: Tf = 4,7 ◦C 3. Um calor´ımetro de lata˜o de 200 g conte´m 250 g de a´gua a 30 ◦C, inicialmente em equil´ıbrio. Quando 150 g de a´lcool et´ılico a 15 ◦C sa˜o despejadas dentro do calor´ımetro, a temperatura de equil´ıbrio atingida e´ de 26, 3 ◦C. O calor espec´ıfico do lata˜o e´ 0, 09 cal/g◦C. Calcule o calor espec´ıfico do a´lcool et´ılico. Resp.: c = 0,59 cal/g◦C 4. Um calor´ımetro de capacidade te´rmica igual a 50 cal/g conte´m uma mistura de 100 g de agua e 100 g de gelo, em equil´ıbrio te´rmico. Mergulha-se nele um aquecedor ele´trico de capacidade te´rmica desprez´ıvel, pelo qual se faz passar uma corrente, com poteˆncia P constante. Apo´s 5 minutos, o calor´ımetro conte´m a´gua a 39, 7 ◦C. O calor latente de fusa˜o e´ 80 cal/g. Qual e´ a poteˆncia (em W) do aquecedor? Resp.: P = 250 W 5. A uma temperatura ambiente de 27 ◦C, uma bala de chumbo de 10 g, com uma velocidade de 300 m/s, penetra num peˆndulo bal´ıstico de massa igual a 200 g e fica retida nele. se a energia cine´tica dissipada pela bala fosse totalmente gasta em aqueceˆ-la, daria para derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantas gramas? O calor espec´ıfico do chumbo e´ 0, 031 cal/g◦C, sua temperatura de fusa˜o e´ de 327 ◦C e o calor latente de fusa˜o e´ 5,85cal/g. Resp.: md = 1,6 g 6. Uma chaleira de alumı´nio contendo a´gua em ebulic¸a˜o, a 100 ◦C, esta´ sobre uma chama. O raio do fundo da chaleira e´ de 7,5 cm e sua espessura e´ de 2 mm. A condutividade te´rmica do alumı´nio e´ 0, 49 cal/s cm ◦C. A chaleira vaporiza 1 l de a´gua em 5 min. O calor de vaporizac¸a˜o da a´gua a 100 ◦C e´ de 540 cal/g. A que temperatura esta´ o fundo da chaleira? Despreze as perdas pelas superf´ıcies laterais. Resp.: T = 104,6 ◦C 7. Uma caixa de isopor usada para manter as bebidas frias em um piquenique possui a´rea total (incluindo a tampa) igual a 0, 80 m2, e a espessura de sua parede mede 2,0 cm. A caixa este´ cheia de a´gua, gelo e latas de Coca-Cola a 0 ◦C. Qual e´ a taxa de fluxo de calor para o interior da caixa, se a temperatura da parede externa for de 30 ◦C? Qual e´ a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia? Resp.: H = 12 W = 12 J/s e m = 3,1 kg 43 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica 8. Uma barra de ac¸o de 10,0 cm de comprimento e´ soldada pela extremidade a uma barra de cobre de 20,0 cm de comprimento. As duas barras sa˜o perfeitamente isoladas em suas partes laterais. A sec¸a˜o reta das duas barras e´ um quadrado de lado igual a 2,0 cm. A extremidade livre da barra de ac¸o e´ mantida a 100 ◦C pelo contato com vapor d’a´gua obtido por ebulic¸a˜o, e a extremidade livre da barra de cobre e´ mantida a 0 ◦C por estar em contato com gelo. Calcule a temperatura na junc¸a˜o entre as duas barras e a taxa total da transfereˆncia de calor. Resp.: T = 20,7 ◦C e H = 15,9 W 9. Uma placa quadrada de ac¸o, com lado igual a 10 cm, e´ aquecida em uma forja ate´ uma temperatura de 800 ◦C. Sabendo que a emissividade e´ igual a 0,60, qual e´ a taxa de energia transmitida por radiac¸a˜o? Resp.: H = 900 W 10. Sabendo que a a´rea total do corpo de uma pessoa e´ 1, 20 m2, e que a temperatura da superf´ıcie e´ de 37 ◦C, calcule a taxa total de transfereˆncia de calor do corpo por radiac¸a˜o. Se o meio ambiente esta´ a uma temperatura de 20 ◦C, qual a taxa resultante de calor perdido pelo corpo por radiac¸a˜o? A emissividade do corpo e´ pro´xima da unidade. Resp.: H = 628 W e Htotal = 127 W 11. Voceˆ deseja comer um sundae com calda quente com um valor aliment´ıcio de 900 Calorias (kcal) e a seguir subir correndo va´rios lances de escada para transformar em energia a sobremesa ingerida. Ate´ que altura tera´ de subir? Use a sua massa como paraˆmetro de entrada. Resp.: uma pessoa com 60 kg teria que subir ∼ 6400 m 12. Um grama de a´gua (1 cm3) se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo de ebulic¸a˜o a uma pressa˜o constante de 1 atm. O calor de vaporizao para essa pressa˜o e´ Lv = 2, 256 × 106J/kg. Calcule a) o trabalho realizado pela a´gua quando ela se transforma em vapor; b) o aumento de sua energia interna. Resp.: a) W = 169 J e ∆E = 2087 J 13. A` pressa˜o atmosfe´rica, a vaporizac¸a˜o completa de 1 l de a´gua a 100 ◦C gera 1, 671 m3 de vapor de a´gua. O calor latente de vaporizac¸a˜o da a´gua a esta temperatura e´ 539,6 cal/g. (a) Quanto trabalho e´ realizado pela expansa˜o do vapor no processo de vaporizac¸a˜o de 1 l de a´gua? (b) Qual e´ a variac¸a˜o de energia interna do sistema nesse processo? Resp.: a)W = 1,64 · 105 J; b)∆E = 2,09 · 106 J 14. Um quarto to´pico conte´m cerca de 2500 moles de ar. Calcule a variac¸a˜o de energia interna para essa quantidade de ar quando ele e´ resfriado de 23, 9 ◦C ate´ 11, 6 ◦C mantendo-se uma pressa˜o constante igual a 1, 0 atm. Considere o ar um ga´s ideal com γ = 1, 40. Resp.: ∆E = −6,39 · 105 J 15. A raza˜o de compressa˜o
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