Matemática para Concurso Público

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SEFAZ-RS 
 
1 Álgebra: conjuntos e conjuntos numéricos ........................................................................................ 1 
Sistema legal de medidas .................................................................................................................. 38 
Razões e proporções ......................................................................................................................... 46 
Sequências numéricas ....................................................................................................................... 53 
Regras de três simples e compostas ................................................................................................. 63 
Porcentagem ..................................................................................................................................... 77 
Equações e inequações de 1º e 2º graus ........................................................................................... 83 
Progressões aritmética e geométrica ............................................................................................... 104 
Análise combinatória, arranjos e permutações ................................................................................. 104 
Matrizes determinantes e sistemas lineares..................................................................................... 115 
2 Trigonometria ................................................................................................................................ 152 
3 Geometria Plana ........................................................................................................................... 182 
4 Juros simples. Montante e juros. Descontos simples. Equivalência simples de capital. Taxa real e 
taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. 5 Juros compostos. Montante e juros. Desconto 
composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização 
contínua ............................................................................................................................................... 222 
6 Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial ..................................... 234 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
CONJUNTOS 
 
Conjunto1 é uma reunião ou agrupamento, que poderá ser de pessoas, seres, objetos, classes…, dos 
quais possuem a mesma característica e nos dá ideia de coleção. 
 
Noções Primitivas 
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definições: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto. 
 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de 
conjuntos pois possuem elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um 
livro. 
 
Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras 
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A. 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x

A. 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como Representar um Conjunto 
1) Pela designação de seus elementos 
Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos: 
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais 
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 
 
2) Pela sua característica 
Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: 
{x, | (tal que) x tem a propriedade P}. 
 
Exemplos: 
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}. 
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10}. 
 
 
 
 
1GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
1 Álgebra: conjuntos e conjuntos numéricos 
 
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3) Pelo diagrama de Venn-Euler 
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama 
de Venn. 
 
 
Exemplos: 
- Conjunto das vogais 
 
 
- Conjunto dos divisores naturais de 10 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e 
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja, dizemos que estes conjuntos são distintos e 
escrevemos A ≠ B. 
 
Exemplos: 
a) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 
 
b) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade 
dos conjuntos. 
 
Tipos de Conjuntos 
- Conjunto Universo 
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. 
 
Exemplo: 
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 
 
- Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 
0 ou, simplesmente { }. 
 
Exemplo: 
A = {x| x é natural e menor que 0}. 
 
- Conjunto Unitário 
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 
 
Exemplos: 
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3}. 
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- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6}. 
 
 - Conjuntos Finitos e Infinitos 
Finito: quando podemos enumerar todos os seus elementos. 
Exemplo: Conjuntos dos Estados da Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, 
Minas Gerais}. 
Infinito: contrário do finito. 
Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. A reticências representa o 
infinito. 
 
Relação de Pertinência 
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou 

 não pertence). Ele relaciona elemento 
com conjunto. 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto B = {1, 3, 5, 7} 
 1∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B 
 2 

B, 6 

 B , 9 

 B 
 
Subconjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos deum outro conjunto B, dizemos 
que A é subconjunto de B. 
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas 
caraterísticas de um conjunto maior. 
 
Exemplos: 
- B = {2, 4} ⊂ A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 ∈ {2, 3, 4, 5, 6} e 4 ∈ {2, 3, 4, 5 ,6} 
 
 
- C = {2, 7, 4} 

 A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7 

 {2, 3, 4, 5, 6} 
- D = {2, 3} ⊂ E = {2, 3}, pois 2 ∈ {2, 3} e 3 ∈ {2, 3} 
 
 
DICAS: 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
 
Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: 
B= {{ },{2},{4},B} 
Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos, então B possui 2n 
subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. 
Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6}, basta calcularmos 
aplicando o fórmula: 
Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele próprio. 
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Relação de Inclusão 
Deve ser usada para estabelecer a relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto 
é subconjunto ou não de outro conjunto. 
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: 
 
⊂→Está contido ⊃→Contém 
⊄→Não está contido ⊅→Não contém 
 
Exemplo: 
Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4} 
Dizemos que B ⊂ A ou que A ⊃ B 
 
Operações com Conjuntos 
- União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem 
a A ou a B. Representa-se por A U B. 
Simbolicamente: A U B = {x | x∈A ou x∈B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3} U {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4} U {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 
- {2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 
- {a, b} U 

 = {a, b} 
 
- Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, 
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3, 4} ∩ {3, 5} = {3} 
- {1, 2, 3} ∩{2, 3, 4} = {2, 3} 
- {2, 3} ∩{1, 2, 3, 5} = {2, 3} 
- {2, 4} ∩{3, 5, 7} = 

 
 
Observação: Se A∩B =

, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
- Propriedades dos conjuntos disjuntos 
1) A U (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A U B) = A 
3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 
4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
 
 
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- Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre 
os respectivos números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas 
vezes. 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim 
a relação dada será verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma 
eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 
2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 
3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 
4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
- Diferença 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta 
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. 
Simbolicamente: A – B = {x | x ∈ A e x 

 B} 
 
 
Exemplos: 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A =
 
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} 
 
Note que A – B ≠ B - A 
 
 
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- Complementar 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B 
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Dizemos complementar de B em relação a A. 
 
 
Exemplos: 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} 
A
 = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } 
B
= {0, 1, 2} 
c) C = 

C
= S 
 
Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos 
Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos 
dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para 
resolvê-los. 
 
Exemplos: 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes 
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do 
partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam 
à pesquisa? 
Resolução pela Fórmula 
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
» n(A U B) = 92 + 80 – 35 
» n(A U B) = 137 
 
Resolução pelo Diagrama: 
- Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, 
então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. 
- Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, 
então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. 
- Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 
responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à 
pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. 
 
 
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem 
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? 
(A) 16 motoristas 
(B) 32 motoristas 
(C) 48 motoristas 
(D) 36 motoristas 
 
 
 
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Resolução: 
 
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 
Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 
Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 
A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. 
Resposta: B 
 
3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos 
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da 
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? 
(A) 20% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 33% 
(E) 35% 
Resolução: 
 
70 – 50 = 20. 
20% utilizam as duas empresas. 
Resposta: A. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 
13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos 
vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas 
comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e 
Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número 
de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a 
(A) 15. 
(B) 21. 
(C) 18. 
(D) 27. 
(E) 16. 
 
02. (UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP) Em uma pequena cidade,circulam apenas dois 
jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade 
mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por 
centos não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 29% 
(E) 35% 
 
03. (TRT 19ª – Técnico Judiciário – FCC) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 
15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. 
Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar 
documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar 
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processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que 
todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de 
(A) 58. 
(B) 65. 
(C) 76. 
(D) 53. 
(E) 95. 
 
04. (Metrô/SP – Oficial Logística – FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de 
um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país conquistou medalhas 
apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou 
uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo 
com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma 
medalha de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas 
conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde NM – AOCP) Qual é o número de elementos 
que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
06. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e 
B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o 
conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
07. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa biblioteca são lidos 
apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que 
todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de 
frequentadores que leem ambos, é representado: 
(A) 26% 
(B) 40% 
(C) 34% 
(D) 78% 
(E) 38% 
 
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08. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança do Trabalho – FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, 
investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 
pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as 
linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total 
de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente 
que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
09. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa recepção, foram 
servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 
7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 2 
 
10. (Corpo de Bombeiros/MT – Oficial de Bombeiro Militar – UNEMAT) Em uma pesquisa realizada 
com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, constatou-se que 
300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas operadoras (A e B) 
e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
(A) 420 
(B) 650 
(C) 500 
(D) 720 
(E) 800 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
De acordo com os dados temos: 
7 vereadores se inscreveram nas 3. 
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer 
nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) 
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. 
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. 
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 
 
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 
 
 
 
 
 
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02. Resposta: D 
 
26 + 7 + 38 + x = 100 
x = 100 - 71 
x = 29% 
 
03. Resposta: B 
Técnicos arquivam e classificam: 15 
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 
Classificam e atendem: 4 
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 - 
4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. 
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 
 
04. Resposta: D 
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três 
medalhas multiplica-se por 3. 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 
 
05. Resposta: B 
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto 
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
10 elementos. 
 
06. Resposta: E 
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. 
A – B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 
 
 
 
 
 
 
 
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07. Resposta: B 
 
 
80 – x + x + 60 – x = 100 
- x = 100 - 140 
x = 40% 
 
08. Resposta: E 
 
 
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 
92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 
x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 
 
09. Resposta: C 
 
 
2 + 3 + 4 + x = 10 
x = 10 - 9 
x = 1 
 
10. Resposta: C 
 
 
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. 12 
300 – 150 = 150 
270 – 150 = 120 
Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total). 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais2 é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Númerosprimos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
Construção dos Números Naturais 
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
 
2IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
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. 13 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas duas operações: adição (e subtração) e 
multiplicação (e divisão). 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “.”, para indicar a multiplicação. 
 
Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
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. 14 
 
 
Relações Essenciais numa Divisão de Números Naturais 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (SABESP – Aprendiz – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de 
recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e 
vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e 
sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os 
pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (Pref. Imaruí/SC - Auxiliar De Serviços Gerais - PREF. IMARUI) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
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. 15 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (Pref. Águas de Chapecó/SC– Operador de Máquinas – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em 
uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma 
geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 345 
bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 
67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois 
de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Durante um mutirão para 
promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco 
regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. UFGD – Técnico em Informática– AOCP) Joana pretende dividir um determinado número de 
bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que 
fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
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. 16 
(D) 27. 
(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – Almoxarife – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse 
mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma gráfica, a máquina 
utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos 
(P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Alternativa: B 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Alternativa: E 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0  D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Alternativa: B 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
 
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. 17 
05. Alternativa: A 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Alternativa: E 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Alternativa: D 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Alternativa: E 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Alternativa: A 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Alternativa: D 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros3 como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, 
tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Z+ , Z_ , Z*). 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
3IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
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Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Operações entre Números Inteiros 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
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. 19 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
Ex.: 
10 – (10+5) = 
10 – (+15) = 
10 – 15 = 
- 5 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20) : (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (–4) 
Logo (– 20) : (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
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. 20 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência xn do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é 
denominado a base e o número n é o expoente. xn = x . x . x . x ... x, x é multiplicado por x, n vezes. 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (–8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
(–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
(-13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
[(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. 
(-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
(+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número x. O número n é o índice da raiz enquanto que 
o número x é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
√𝑥
𝑛
 = b 
bn = x 
 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número x. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
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. 21 
9
 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 
9
 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número x. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8
 = 2, pois 2³ = 8 
(b) 
3 8
 = –2, pois (–2)³ = -8 
(c) 
3 27
= 3, pois 3³ = 27 
(d) 
3 27
 = –3, pois (–3)³ = -27 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a.(b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac 
 
Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-
los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, 
bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes 
negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas 
atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior 
quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
 
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. 22 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro 
menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus 
obtiveram os seguintes resultados: 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado 
estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de 
trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando 
os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é 
CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
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. 23 
07. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que 
durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia 
e noite, em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirira vista uma televisão que 
custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses 
que ele levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo 
degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 
degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
 
 
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. 24 
04. Resposta: C 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D 
420: 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional4 é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma 
questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). 
 
4IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 25 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
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. 26 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 333... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
b) Seja a dízima 5, 1717... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. 
 
c) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica 
é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo 
(2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 
0 (um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3
 
 
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. 27 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
b
a
e q = 
d
c
. 
 
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fraçãoou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que 
vale em toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
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. 28 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
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. 29 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou 2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1 = 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0
= 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais. 
Por exemplo, o número 
9
100

 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10

 como 
3
10

, quando 
elevados ao quadrado, dão 
9
100
. 
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
E o número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ 
dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os 
demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como 
disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada 
uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela 
recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 
2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de 
candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 30 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
04. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um 
Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de 
R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi 
descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 
 
Obtém-se 
(A) ½. 
(B) 1. 
(C) 3/2. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
06. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(A) −4; −1; √16; √25;
14
3
 
(B) −1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(C) −1; −4; 
14
3
; √16; √25 
(D) −4; −1; √16;
14
3
; √25 
(E)−4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
07. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, 
o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 31 
09. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre 
qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Alternativa: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
03. Alternativa: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
04. Alternativa: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
05. Alternativa: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 32 
06. Alternativa:D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Alternativa: B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Alternativa: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Alternativa: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Alternativa: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais5 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
 
5IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 33 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
 
> ;< ou ] ; [ 
 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 34 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 35 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 36 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual aodobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 37 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 38 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
Sistema legal de medidas 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 39 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 40 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveuuma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 41 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
04. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 42 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 43 
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO E ÂNGULO) 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. 
A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 x 
 
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, então 
acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) das 2 
para a coluna minutos. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 44 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
 
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. 
Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então: 
 
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) 
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”) 
 
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema de tempo – hora, 
minuto e segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 
 
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. 
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo. 
 
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema 
grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas. 
 
Questões 
 
01. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem 
deve administrar 250 ml de soro fisiológico em umpaciente durante 90 minutos. Para obter a vazão 
correta do soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do 
soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por 
minuto dever ser de, aproximadamente, 
(A) 28. 
(B) 42. 
(C) 56. 
(D) 70. 
 
02. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos 
para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. 
Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 45 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
03. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
04. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml 
pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. 
Logo, 250 : 1,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 
 
02. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 46 
03. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
04. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
 
 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão6 de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho. 
 
 
6IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
Razões e proporções 
 
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. 47 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
Razões Especiais 
 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção7. 
Onde: 
 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
7IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
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. 48 
Exemplo: 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
69
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 49 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30min𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) André, 
Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem apresentada, uma proporção. 
Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos mais novo que Carlos. Assim, a 
soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 50 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. A 
razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 51 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3
𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
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. 52 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livros 
 
Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥+ 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro: 2k 
Segundo: 5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo: 5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 
𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja, 2p = 5m 
 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
 
 
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. 53 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
 
 
Sequências numéricas 
 
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. 54 
2. Fórmula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
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. 55 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimentode modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
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. 56 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
 
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. 57 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
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. 58 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
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. 59 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igualà média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
Exemplo: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
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. 60 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) O primeiro e 
o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do 
segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
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. 61 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
11. (MPE/AM – Agente de Apoio- Administrativo – FCC) Considere a sequência numérica formada 
pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a 
seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
 r = 48 – 45 = 3 
 𝑎1 = 45 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
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. 62 
 𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
 𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
 𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
06. Resposta: E. 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
 100 = 4 ∙ 𝑞2 
 𝑞2 = 25 
 𝑞 = 5 
 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
 𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
 
 
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. 63 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
 𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
 𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples8. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
8MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
Regras de três simples e compostas 
 
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. 64 
 
 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância”no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
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. 65 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
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. 66 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
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. 67 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 68 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpãoem quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 69 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 70 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 71 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta9. 
 
Exemplos: 
1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
9MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 72 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² 
de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em umdia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 73 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 
1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 74 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 75 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 76 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
19200080. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 77 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem10. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
 
10IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
Porcentagem 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 78 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 79 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 80 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse comprado o produto, com 
25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 15% deles são 
estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em 
relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 81 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Quando 
calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – FUMARC) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado 
em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 82 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 83 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando:85% - 17% = 68%. 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
Equações e inequações de 1º e 2º graus 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 84 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 85 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 86 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 87 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cadaum: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 88 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
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. 89 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
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. 90 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação11 é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
 
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. 91 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
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. 92 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz 
ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto 
auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √𝑥 < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (Assistente Administrativo) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. Enfermagem) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1)> x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (TRT 6ª Região – Auxiliar Técnico - FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou 
o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número 
negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? 
 
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. 93 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento – UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, 
R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, 
respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Alternativa: D 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
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. 94 
03. Alternativa: C 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Alternativa: A 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Alternativa: B 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06. Alternativa: E 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Alternativa: B 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Alternativa: B 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
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. 95 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita12, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
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IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
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. 96 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
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. 97 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma:x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
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. 98 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
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. 99 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
 
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. 100 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
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. 101 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 102 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos. Logo: 
S = {x ϵ R |x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
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. 103 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E. 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
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. 104 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C. 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
 
 
OBS.: Este assunto foi abordado no tópico de sequências. 
 
 
 
A Análise Combinatória13 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
 
13IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia 
Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
Progressões aritmética e geométrica 
 
Análise combinatória, arranjos e permutações 
 
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. 105 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
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. 106 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
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. 107 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar onumerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
 
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. 108 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
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. 109 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que 
se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
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. 110 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
 
 
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. 111 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑+ 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
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. 112 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, 
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só 
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições 
alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
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. 113 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
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. 114 
05. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
07. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A. 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
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. 115 
09. Resposta: D. 
F _ _ _ _ P4 = 4! 
I _ _ _ _ P4 = 4! 
L _ _ _ _p4 = 4! 
U_ _ _ _P4 = 4! 
ZF_ _ _P3 = 3! 
ZIF_ _P2 = 2! 
ZILFU-1 
ZILUF 
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 
Portanto, ZILUF está na 106 posição. 
 
10. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
 
 
MATRIZES 
 
Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em 
tabelas, colunas e linhas. Exemplos: 
 
 
 
Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes14. O crescente uso dos computadores tem 
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, 
Matemática, Física, dentre outras. 
 
Definição 
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais 
dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: 
 
14IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacoes-envolvendo-matrizes.html 
Matrizes determinantes e sistemas lineares 
 
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. 116 
 
 
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à 
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou 
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. 
 
Exemplos 
𝐴 = (5 −1
1
2
) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥3 
 
𝐵 = [
7 −2
3 4
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 
 
𝐶 = ‖
√5 1/3 1
7 2 −5
−4 1/5 2
‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 
 
𝐷 = [
−1 5 8
−1 2 −3
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3 
 
Exemplo 
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j 
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 
 
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. 117 
Matrizes Especiais 
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos: 
 
- Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo 
𝐴 = [1 7 −5] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 
 
- Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1
−5
7
] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 
 
- Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. 
 
Exemplo 
𝐶 = (
0 0
0 0
0 0
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 
 
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, 
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. 
 
Exemplo 
𝐷 = (
3 2
−4 1
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. 
 
 
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). 
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. 
 
 
 
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os 
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. 
 
Exemplos 
 
 
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 
 
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛 𝑥 𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
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. 118 
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma 
matriz e vice e versa. Ou seja: 
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a 
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
 
Exemplo 
 
𝐴 = [
2 −1
7 10
] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [
2 7
− 10
] 
 
Observe que: 
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. 
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. 
 
Generalizando, temos: 
 
 
 - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. 
Representamos por -A tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. 
 
Exemplo 
 
 
 
- Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
- Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. 
 
Exemplo 
 
 
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. 119 
Classificação de acordo com os elementos da matriz 
 
- Real: se todos os seus elementos são reais. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
1 −5
3 2
] 
 
- Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1 −5
3 𝑖
] 
 
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
 
 
Igualdade de matrizes 
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus 
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: 
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q 
 
Sendo A = B, temos: 
m = p e n = q 
 
 
Operações com matrizes 
 
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida 
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. 
 
 
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. 120 
Exemplo 
 
 
Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento simétrico: A + (-A) = 0 
Elemento neutro: A + 0 = A 
 
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição 
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz 
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma 
condição e uma técnica mais elaborada. Vejamos: 
 
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B 
(segunda). 
 
 
 
Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. 
 
Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, 
depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse 
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. 121 
produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. 
Exemplo 
 
 
A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. 
 
Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades 
Associativa: (A.B). C = A.(B.C) 
Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B 
 
Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente 
A.B ≠ B.A 
 
Matriz Inversa 
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In 
e A-1.A = In ou seja: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
 
 
Exemplos 
1) A matriz 𝐵 = [
8 −2
3 −1
] é inversa da matriz 𝐴 = [
1
2
−1
3
2
−4
] , pois: 
 
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = (
2 5
1 3
) 𝑒 𝐵 = (
1 2
1 1
) , são inversas entre si: 
 
Portanto elas, não são inversas entre si. 
 
3) Dada a matriz 𝐴 = [
2 1
3 2
], determine a inversa, A-¹. 
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
[
2 1
3 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Fazendo as igualdades temos: 
{
2𝑎 + 𝑐 = 1
3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
2𝑏 + 𝑑 = 0
3𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 
 
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. 122 
Então a matriz inversa da matriz A é: 
𝐴−1 = [
2 −1
−3 2
] 
 
Equação Matricial 
 
No caso das equações com matrizes (equações matriciais), elas são equações cujas incógnitas são 
matrizes. 
Vejamos um exemplo: 
Encontre a matriz X da equação 2.A+B=X, sabendo que: 
 
Neste exemplo, a incógnita já estava isolada. 
Vejamos um exemplo em que a incógnita não está isolada na equação. Nestes casos devemos tomar 
cuidado ao operarmos as matrizes de um lado para o outro da igualdade. 
Exemplo: 
Resolva a equação a seguir: X+B=2A, utilizando as mesmas matrizes do exemplo anterior. 
Antes de substituirmos as matrizes, façamos o isolamento da incógnita, lembrando sempre das 
propriedades das operações das matrizes. 
 
Note que não passamos a matriz B para o outro lado da igualdade; na verdade operamos a matriz 
oposta de B (matriz -B) dos dois lados. 
Devemos tomar esse cuidado, pois quando nos depararmos com produto de matrizes,não poderemos 
passar a matriz para o outro lado dividindo; deveremos operar a matriz inversa dos dois lados. 
O diferencial das equações que conhecíamos para as equações com matrizes está nesse maior 
cuidado ao isolarmos a incógnita. 
Voltando à resolução da equação, temos que substituir os valores das matrizes A e B na equação. 
Sendo assim: 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Rio de Janeiro/RJ – Prof. Ensino Fund. – Matemática- Pref. de Rio de Janeiro-
RJ) Considere as matrizes A e B, a seguir. 
 
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: 
(A) 9 
(B) 0 
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. 123 
(C) – 9 
(D) – 11 
 
02. (BRDE – Analista de Sistemas-Suporte – FUNDATEC) Considere as seguintes matrizes: 
𝐴 = [
2 3
4 6
] , 𝐵 = [
2 3
4 5
6 6
] 𝑒 𝐶 = [
2 1 0
4 6 7
], a solução de C x B + A é: 
(A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 
 
(B) [
10 14
78 90
] 
 
(C) [
2 3
4 5
] 
 
(D) [
6 6
20 36
] 
 
(E) [
8 11
74 84
] 
 
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma 
das regiões da cidade durante uma semana. 
 
 
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da 
semana. 
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno 
do 7º dia será: 
(A) 61 
(B) 59 
(C) 58 
(D) 60 
(E) 62 
 
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma 
matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 
cumpridas: 
(A) a=0 e d=0 
(B) c=1 e b=1 
(C) a=1/c e b=1/d 
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1 
(E) b=-c e a=d=1/2 
 
05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da 
multiplicação das matrizes A e B abaixo: 
 
𝐴 = (
2 1
3 −1
) ∙ 𝐵 = (
0 4 −2
1 −3 5
) 
 
(A) (
−1 −5 1
1 15 11
) 
 
(B) (
1 5 1
−1 15 − 11
) 
 
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. 124 
(C) (
1 5 − 1
1 −15 11
) 
 
(D) (
1 5 1
1 15 11
) 
 
(E) (
−1 5 − 1
1 15 − 11
) 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
 
(
6 𝑦
7 2
) + (
1 −3
8 5
) = (
7 7
15 7
) 
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
 
Respostas 
01. Resposta: D. 
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 
𝐵. 𝐴 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1
] . [
1 2 −2
−1 3 0
2 1 3
] → 
 
[
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3
−1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3
] = [
7 4 −10
5 8 14
1 −11 9
] 
 
Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. 
 
02. Resposta: B. 
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. 
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível 
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 
𝐶 𝑥𝐵 = [
2 1 0
4 6 7
] . [
2 3
4 5
6 6
] → [
2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6
4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6
] = [
8 11
74 84
] 
 
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma 
ordem: 
[
8 11
74 84
] + 𝐴 = [
8 11
74 84
] + [
2 3
4 6
] → [
8 + 2 11 + 3
74 + 4 84 + 6
] = [
10 14
78 90
] 
 
03. Resposta: E. 
Turno i –linha da matriz 
Turno j- coluna da matriz 
2º turno do 2º dia – a22=18 
3º turno do 6º dia-a36=25 
1º turno do 7º dia-a17=19 
Somando:18+25+19=62 
 
04. Resposta: E. 
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] + [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
2𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 
2d=1 
D=1/2 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 125 
05. Resposta: B. 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5
3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5
) 
 
 𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 5 1
−1 15 − 11
 ) 
 
06. Resposta: D. 
(
6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 7
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
) 
y=10 
 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como 
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema 
linear”. 
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos 
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras 
verticais, como no exemplo abaixo: 
 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] 
Chamamos determinante dessa matriz o número: 
det A = [ a11] = a11 
 
Exemplos 
- A = [-2] → det A = - 2 
- B = [5] → det B = 5 
- C = [0] → det C = 0 
 
Determinante de uma Matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 2: 
 
Chamamos de determinante dessa matriz o número: 
 
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Esquematicamente: 
 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 126 
Exemplos 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
 Chamamos de determinante dessa matriz: 
 
 
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada 
Regra de Sarrus: 
 
- Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz. 
 
 
 
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos 
produtos, temos: 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 127 
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1ª e 2ª linhas, ao invés de 
repetirmos a 1ª e 2ª colunas. 
 
Propriedades 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 
 
- Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. 
 
Exemplo 
 
- Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si 
a posição de duas filas paralelas, então temos: 
detB = - detA 
 
Exemplo 
 
B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A. 
detA = ad - bc 
detB = bc - ad = - (ad - bc) = - detA 
 
Assim, 
detB = - detA 
 
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais” tem 
determinante igual a zero. 
 
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna 
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA. 
 
Assim: detA = 0 
 
- Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos 
uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA 
 
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” 
um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). 
 
Exemplo 
 
 
 
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos 
de A por k, então: 
 
det(k.A) = kn.detA 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANAAVILA DOMINGUES
 
. 128 
Exemplo 
 
Assim: 
det(k.A) = k3.detA 
 
- Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos 
correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são 
iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então temos: 
 
detC = detA + detB 
 
Exemplos: 
 
 
- Propriedades 5 (Teorema de Jacobi): O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila 
qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. 
 
Exemplo: 
Considere o determinante detA= 
 
 Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 129 
Exemplo: 
Vamos calcular o determinante D abaixo. 
 
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 
 
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 
 
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 
 
Observe que D1 = D, de acordo com a propriedade. 
 
Consequência da propriedade 5: Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos 
de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. 
 
Exemplo: 
Seja D= 
0514
1223
821

 
 
Observe que cada elemento da 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª 
coluna multiplicada por 3. 
 
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 
Use a regra de Sarrus e verifique. 
 
- Propriedade 6 (Teorema de Binet): Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
det(A.B) = detA . detB 
 
Exemplo: 
 
Logo, det(AB) = detA. detB 
 
Consequência da propriedade 6: Sendo A uma matriz quadrada e n

N*, temos: 
det(Na) = (detA)n 
 
Sendo A uma matriz inversível, temos: 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 130 
detA-1=
Adet
1
 
 
Justificativa: Seja A matriz inversível. 
A-1 . A = I 
det(A-1. A) = det I 
detA-1 . detA = det I 
detA-1 = 
Adet
1
 
 
Uma vez que det I = 1, onde i é a matriz identidade. 
 
Determinantes – Teorema de Laplace 
 
- Menor complementar e Cofator: Dada uma matriz quadrada A = (aij)nxn (n 2), chamamos menor 
complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que 
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
Sendo A=










212
014
321
, temos: 
M11=
21
01 =2 
M12=
22
04 =8 
M13=
12
14 =2 
 
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor 
complementar de aij. 
 
Exemplo: 
 
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz cofator de A, a matriz cujos elementos são os 
cofatores dos elementos de A e indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A 
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj A. 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 131 
Exemplo: 
 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem n 
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Então: 
 
- Para n = 1 
A=[a11] 

det A=a11 
 
- Para n 
 2: 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 132 
ou seja: 
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n 
 
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos 
elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
Sendo A=






2221
1211
aa
aa
, temos: 
detA = a11.A11 + a12.A12, onde: 
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 
 
Assim: 
detA = a11.a22 + a12.(-a21) 
 
detA = a11.a22 - a21.a12 
 
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente. 
- Sendo 
 
 
 
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. 
 
- Teorema de Laplace 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
 
 


1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 133 
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que 
calcular apenas um cofator. 
 
 
 
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em 
determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, 
e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com 
a regra de Sarrus, por exemplo. 
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade 
de zeros. 
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante 
pelo teorema de Laplace. 
 
Exemplo: 
 
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de 
Laplace, calcularemos ainda três cofatores. 
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31 = -2 e A41 = 3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando 
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: 
 
 
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: 
 
 
Aplicamos a regra de Sarrus, 
 
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) 
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 
detA = -35 
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. 134 
- Aplicação do Teorema de Laplace 
 
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da: 
- 1ª coluna, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim: 
 
1ª. A é triangular superior 
 
 
 
2ª. A é triangular inferior 
 
 
 
- Determinante de Vandermonde e Regra de Chió 
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das 
potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números 
quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
Determinante de Vandermonde de ordem 3 
 
 

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. 135 
Determinante de Vandermonde de ordem 4 
 
 
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. 
 
- Propriedade 
 
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-
se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do 
determinante. 
 
Exemplo: 
Calcule o determinante; 
 
 
Sabemos que detA = detAt, então: 
 
 
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: 
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 
 
Questões 
 
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o 
determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
, é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) –2. 
(C) 4. 
(D) –1. 
 
02. (PM/SP – Sargento Cfs – CETRO) É correto afirmar que o determinante |
1 𝑥
−2 4
|é igual a zero 
para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
 
03. (CGU –Administrativa – ESAF) Calcule o determinante da matriz: 
(
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥
) 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 136 
(A) 1 
(B) 0 
(C) cos 2x 
(D) sen 2x 
(E) sen x/2 
 
04. (Pref. Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
, assinale a alternativa que apresenta o valor do 
determinante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4. 
 
05. (Cobra Tecnologia – Técnico De Operações – Documentos/Qualidade - ESPP) O valor de b 
para que o determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do 
sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
 é igual a: 
(A) 2. 
(B) -2. 
(C) 4. 
(C) -1. 
 
06. (SEAP/PR – Professor de Matemática – PUC/PR) As planilhas eletrônicas facilitaram vários 
procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o 
determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse 
valor. Em uma planilha eletrônica, temos os valores armazenados em suas células: 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa 
planilha fornece o valor do determinante: 
 
Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir, 
 
 
ao acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: 
(A) 1512 
(B) 7 
(C) 4104 
(D) 2376 
(E) 8424 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 137 
07. (TRANSPETRO – Engenheiro Júnior – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utilizado para 
controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a 
construção do quadro abaixo. 
 
1 3 2 0 
3 1 0 2 
2 3 0 1 
0 2 1 3 
 
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor 
do determinante associado à matriz M é 
(A) 42 
(B) 44 
(C) 46 
(D) 48 
(E) 50 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 - 2y 
x = 7 – 4 = 3 
 
|3
𝑏
2
2 2
| = 8 
6 – b = 8 
B = - 2 
 
02. Resposta: C 
D = 4 - (-2x) 
0 = 4 + 2x 
x = - 2 
 
03. Resposta: C 
det = cos²x - sen²x 
det = cos(2x) 
 
04. Resposta: A 
 𝐴 = (
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
 
2 2 −1
) 
 
 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
2 2 −1
| 
 
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 
 
05. Resposta: B 
 {
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 138 
 {
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
Somando as equações: 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 – 4 = 3 
 
 𝐷𝑒𝑡 = |3
𝑏
2
2 2
| 
 
6 – b = 8 
b = - 2 
 
06. Resposta: A 
 
A.B=I 
 
(
1 0 1
2 1 0
0 1 1 
) ∙ (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
(
𝑎 + 𝑔 𝑏 + ℎ 𝑐 + 𝑖
2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓
𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 
 
{
𝑐 + 𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 = 0
𝑓 + 𝑖 = 1
 
 
Da primeira equação temos: 
c=-i 
substituindo na terceira: 
f-c=1 
 
{
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
{
−2𝑐 − 𝑓 = 0
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
Somando as equações: 
-3c=1 
C=-1/3 
f=2/3 
 
07. Resposta: D 
 𝑀 = (
1 3 2
3 1 0
2 3 0
 
0
2
1
0 2 1 3
) 
 
 
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. 139 
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso 
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. 
 𝐶13 = (−1)
4 ∙ |
3 1 2
2 3 1
0 2 3 
| 
 
 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 
A13=2.23=46 
 
 𝐶43 = (−1)
7 |
1 3 0
3 1 2
 2 3 1 
| 
 
 𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 
A43=1.2=2 
D = 46 + 2 = 48 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é 
possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática 
aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum 
a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. 
 
Definição 
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, 
x3,.., xn são as incógnitas. 
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. 
 
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. 
 
Solução de uma equação linear 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na 
equação obtemos uma igualdade. 
4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 
 
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n 
variáveis. 
 
Dessa forma temos: 
𝑎) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑥 + 𝑦 = 4
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑏) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
Matrizes associadas a um sistema 
Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os 
coeficientes das equações que formam o sistema. 
 
 
 
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. 140 
Exemplo: 
𝑎) {
4𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 5𝑦 = −2
 
 
Temos que: 
𝐴 = (
4 3
2 −5
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (
4 3
2 −5
 
1
−2
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 
 
 
Solução de um sistema 
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada 
uma das equações do sistema. 
 
Exemplo: 
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 
{
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 
2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 
3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) 
 
Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. 
 
 
 
Exemplos: 
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 − 3𝑦 = −2
 
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 
 
B) O sistema {
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
 
C) O sistema {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). 
 
 
Sistemas escalonados 
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não 
nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada(ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes 
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
 
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. 141 
Exemplos de sistemas escalonados: 
 
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª 
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. 
 
- Resolução de um sistema na forma escalonado 
Temos dois tipos de sistemas escalonados. 
 
1º) Número de equações igual ao número de variáveis 
 
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda 
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. 
Assim temos: 
-2z = 8 → z = -4 
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 
 
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). 
O sistema tem uma única solução logo é SPD. 
 
2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas 
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será 
chamada de variável livre do sistema. 
Vamos ao passo a passo: 
 
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será 
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 
 
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
𝑦 = 2 − 𝑧
 
 
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: 
x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z 
 
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada 
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. 
 
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. 
 
 
 
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. 142 
Sistemas equivalentes e escalonamento 
Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é 
solução de S2. 
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como 
vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades 
que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 
 
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de 
uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo 
sistema S’ equivalente a S. 
𝑆 {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 3
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 
 
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 
𝑆′ {
3𝑥 − 3𝑦 = 12
6𝑥 + 9𝑦 = 9
 , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 
 
 
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema 
linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um 
novo sistema S’, equivalente a S. 
𝑆 {
−𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 
 
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: 
𝑆′ {
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.)
← 
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
𝑥 − 2𝑦 = −1 
(+) 
 
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é 
verificada: 
x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 
 
 
 
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan 
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 
 
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se 
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em 
geral, mais simples. 
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 
2. 
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, 
até o sistema ficar escalonado. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
 
 
 
 
 
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. 143 
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: 
 
 
 
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, 
entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
−4𝑦 + 5𝑧 = 19
 
 
Que é equivalente a: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
𝑧 = 3
 
Substituímos a 3ª equação pela soma 
dela com a 2ª equação, multiplicada por 4: 
 
4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧 = 3
 
 
 
O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. 
A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) 
 
Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes 
ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
 
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): 
-3x + 3y – 6z = -3 
3x – 2y – z = 0 
 y – 7z = -3 
 
 
 
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.) 
-8x + 8y – 16z = -8 
8x - 6y + 2z = 2 
 2y – 14z = -6 
 
 
 
 
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. 144 
Deixamos a 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
0 = 0
 
(-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 
-2y + 14z = 6 
2y – 14z = -6 
 0 = 0 
 
 
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação 
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
A variável livre do sistema é z, então temos: 
(I) y = 7z – 3 
(II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 
 
Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] 
 
Sistemas homogêneos 
Observe as equações lineares seguintes: 
 
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 
 
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações 
homogêneas. 
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de 
solução nula, trivial ou imprópria. 
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema 
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. 
 
 
 
Exemplo: 
Escalonando o sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑣𝑒𝑚: 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto 
poderá ser retirada do sistema. 
 
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). 
Vamos ver algumas de suas soluções: 
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. 
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. 145 
- α = 1 → (4,-3,1) 
- α = -2 → (-8,6,-2)As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. 
 
Regra de Cramer 
Consideramos o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é 𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 
 
Escalonando o sistema, obtemos: {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
 (∗) 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos (
𝑎 𝑒
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
. 
 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
), cujo determinante 
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, D ≠ 0. 
 
Resumindo: 
 
Um sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 é possível e determinado quando 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema 
é dada por: 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒆 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 
 
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema 
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares 
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos 
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
 
Exemplo: 
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
 
 
De início temos que |
1 1 1
4 −1 −5
2 1 2
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 
 
𝐷𝑥 = |
0 1 1
−6 −1 −5
−3 1 2
| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
18
−9
= −2 
 
𝐷𝑦 = |
1 0 1
4 −6 −5
2 −3 2
| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−27
−9
= 3 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 0
4 −1 −6
2 1 −3
| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
9
−9
= −1 
 
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das 
equações do sistema. 
Assim, S = {(-2,3-1)}. 
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. 146 
Discussão de um sistema 
 
Consideremos novamente o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 , cuja forma escalonada é: 
 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)⏟ 
𝐷
. 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 
 
em que 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema. 
 
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da 
Regra de Cramer. 
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), 
temos SPI ou SI. 
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: 
 
D ≠ 0 → SPD 
D = 0 → (SPI ou SI) 
 
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos 
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) 
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. 
 Exemplo: 
 
Vamos discutir, em função de m, o sistema {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 +𝑚𝑧 = 2
 
 
Temos: 𝐷 = |
1 −2 3
3 1 1
2 3 𝑚
| = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 
 
- Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. 
- Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2, podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema 
e resolvê-lo: 
 
{
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2
⟺ {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
ou ainda {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
7𝑦 − 8𝑧 = 2
, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Assim: 
m ≠ - 2 → SPD 
m = -2 → SPI 
 
Observações: 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é 
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. 
 
 
 
 
 
 
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. 147 
Questões 
 
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares
 é correto afirmar que: 
(A) o sistema não possui solução. 
(B) o sistema possui uma única solução. 
(C) x= 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
(D) o sistema é homogêneo. 
(E) o sistema possui mais de uma solução. 
 
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: 





2
532
myx
yx
 
 
03. Resolver e classificar o sistema: 








422
73
53
zyx
yx
zyx
 
 
04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 








03
522
52
mzyx
zyx
zyx
 
 
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
 
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 
 
07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
08. Se os sistemas: 
S1: {
x + y = 1
 x – 2y = −5
 e S2: {
ax – by = 5
 ay – bx = −1
 
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
(A) 1 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 9 
(E) 10 
 
09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
{
x + 3y − 2z = 3
2x − y + z = 12
4x + 3y − 5z = 6
 
 
10. Resolver o sistema 





25
72
yx
yx . 
 
 
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. 148 
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares 
 
(
𝑥 + 2𝑦 +
3
2 𝑧 =
3
2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
) 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. 
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). 
(C) O sistema possui infinitas soluções. 
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. 
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 
 
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + 
b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 
 
01212
63
42
D 
03636
69
46
xD
 
01818
93
62
yD
 
 
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução. 
 
02. Resposta: 







2
3
/mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 
 
32
1
32
 m
m
D
 
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
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. 149 







2
3
/mRm
 
 
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. 
Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz 
 
 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 
;1
25
25




D
D
x x
 
;2
25
50




D
D
y
y
4
25
100



D
D
z z
 
 
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 
 
04. Resposta: 
 3/  mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. 
Assim:mm
m
D 423212
13
212
121
 
D = -5m + 15 
 
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
 3/  mRm 
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. 150 
05. Resposta: 14. 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 
 
06. Resposta: S = (1,3,15). 
Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será 
o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β). 
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função 
desses valores. 
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: 
γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, 
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno 
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 
 
07. Resposta: m = -10/3. 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução. 
 
08. Resposta: E. 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1 
 x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
 
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. 
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
 
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 
 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: 
-3b = 9 \ b = - 3 
 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
 
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. 151 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
 
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 
 
10. Resposta: 
  13 ,S
 
 
11. Resposta: C. 
 
𝐷 = |
1 2
2 1
 
3
2
1
2 4 3
| = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 
 
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado) 
 
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 
𝐷𝑥 = |
3
2
2
2 1
 
3
2
1
3 4 3
| =
9
2
+ 6 + 24 −
9
2
− 6 − 12 = 12 
Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 152 
12. Reposta: D. 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) 
(II) 4a + b – 2c = 9 
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) 
Então: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) b +2c = 5 
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), 
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). 
Substituímos c em (II): 
b + 2α = 5 
b = 5 - 2α 
substituímos b e c em (I): 
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 
2a + 15 - 6α + 4α = 17 
2a = 17 – 15 + 6α - 4α 
2a = 2 + 2α : (2) 
a = 1 + α 
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: 
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A palavra trigonometria significa: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida), traduzido mais ou menos 
para estudo das medidas de três ângulos. A figura que tem três ângulos chama-se Triângulo. 
 
Em todo triângulo retângulo os lados recebem nomes especiais. O maior lado (oposto do ângulo de 
90°) é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados menores (opostos aos dois ângulos agudos) são 
chamados de Catetos. 
 Observe a figura: 
 
 
 Para estudo de Trigonometria, são definidos no triângulo retângulo, três razões chamadas 
trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 
 
- 𝑠𝑒𝑛 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
- 𝑐𝑜𝑠 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
- 𝑡𝑔 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
2 Trigonometria 
 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
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. 153 
 
No triângulo acima, temos: 
 
Como podemos notar, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 
Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°. 
No triângulo retângulo um ângulo mede 90°, então: 
90° + α + β = 180° 
α + β = 180° - 90° 
α + β = 90° 
 
Quando a soma de dois ângulos é igual a 90°, eles são chamados de Ângulos Complementares. E, 
neste caso, sempre o seno de um será igual ao cosseno do outro. 
 
Valores Notáveis 
A tabela a seguir representa os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°, 
considerados os três ângulos notáveis da trigonometria. 
 
 30° 45° 60° 
sen 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
cos √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tg √3
3
 
1 √3 
 
Nestas relações, além do senx e cosx, temos: tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec 
(cossecante). 
 
Questões 
 
01. Um avião levanta voo formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sua altura, em metros, após 
ter percorrido 600 m será: 
(A) 100 
(B) 200 
(C) 300 
(D) 400 
(E) 500 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 154 
02. (UDESC) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. 
 
 
Sabendo-se que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano 
inclinado medem 280√3 cm, conforme mostra a figura acima, então, a escada deverá ter: 
(A) 10 degraus 
(B) 28 degraus 
(C) 14 degraus 
(D) 54 degraus 
(E) 16 degraus 
 
03. (FUVEST) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo 𝛼, como mostra a figura. 
 
 
Sabendo que sen20° = 0,342 e cos20° = 0,940, a altura da torre, em metros, será aproximadamente: 
(A) 14,552 
(B) 14,391 
(C) 12,552 
(D) 12,391 
(E) 16,552 
 
04. (U. Estácio de Sá) Simplificando a expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛17º. 𝑐𝑜𝑡𝑔17°. 𝑐𝑜𝑡𝑔73°. 𝑠𝑒𝑐73°, encontramos: 
(A) – 2 
(B) – 1 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 5 
 
05. Qual das afirmativas abaixo é falsa: 
(A) sen3x + cos3x = 1 
(B) 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
(C) sen2x + cos2x = 1 
(D) 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
(E) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
06. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra o perfil de um muro 
construído para conter uma encosta pouco estável. A primeira parte da rampa tem 10m de comprimento 
e inclinação de 25° com a horizontal,e a segunda parte tem 10 m de comprimento e inclinação de 50° 
com a horizontal. 
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. 155 
 
Considerando sen25° = 0, 42 e cos25° = 0,91, o valor da altura total do muro (h) é, aproximadamente: 
(A) 11,1m. 
(B) 11,8m. 
(C) 12,5m. 
(D) 13,2m. 
(E) 13,9m. 
 
07. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma 
altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme 
mostra figura abaixo. 
 
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com 
o chão e a uma distância BR de medida 6√2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos 
A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do 
deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre 
(A) 3 e 4. 
(B) 4 e 5. 
(C) 5 e 6. 
(D) 6 e 7. 
 
08. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) As medidas 
dos catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo 10 cm e com o seno de um dos ângulos 
agudos valendo 0,8 são: 
(A) 5cm e 4cm. 
(B) 3cm e 5cm. 
(C) 6cm e 8cm. 
(D) 4cm e 6cm. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Do enunciado temos a seguinte figura. 
 
 
600 m é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo dado, então temos que usar o seno. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 156 
sen30° =
cat. oposto
hipotenusa
 
 
1
2
=
h
600
 → 2h = 600 → h = 600 : 2 = 300 m 
 
02. Resposta: C. 
Para saber o número de degraus temos que calcular a altura BC̅̅̅̅ do triângulo e dividir por 20 (altura de 
cada degrau). No triângulo ABC, BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ são catetos, a relação entre os dois catetos é a tangente. 
tg30° =
cat.oposto
cat.adjacente
=
BC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
AC̅̅ ̅̅
 
 
 
Número de degraus = 280 : 20 = 14 
 
03. Resposta: A. 
Observando a figura, nós temos um triângulo retângulo, vamos chamar os vértices de A, B e C. 
 
Como podemos ver h e 40 m são catetos, a relação a ser usada é a tangente. Porém no enunciado 
foram dados o sen e o cos. Então, para calcular a tangente, temos que usar a relação fundamental: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝛼𝑥
 → 𝑡𝑔𝛼 =
0,342
0,940
 → tg𝛼 = 0,3638 
 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 → 0,363 =
ℎ
40
 → h = 40.0,363 → h = 14,552 m 
 
04. Resposta: D. 
Temos que usar as relações fundamentais. 
 
 
𝑦 =
𝑐𝑜𝑠17°
𝑠𝑒𝑛73°
 
 
Sendo 17° + 73° = 90° (ângulos complementares), lembrando que quando dois ângulos são 
complementares o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, resulta que sen73° = cos17°. Então: 
𝑦 =
𝑐𝑜𝑠17°
𝑐𝑜𝑠17°
= 1 
 
05. Resposta: A. 
 
06. Resposta: B. 
Observando a figura, temos: h = x + y 
 
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. 157 
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 e 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥25º =
𝑥
10
 → 0,42 =
𝑥
10
 → x = 10.042 → x = 4,2 
 
𝑠𝑒𝑛50º =
𝑦
10
 → 𝑠𝑒𝑛(2.25º) =
𝑦
10
 → 2. 𝑠𝑒𝑛25º. 𝑐𝑜𝑠25º =
𝑦
10
 → 2.0,42.0,91 =
𝑦
10
 
 
 →0,76 =
𝑦
10
 → y = 10.076 → y = 7,6 
 
h = 4,2 + 7,6 = 11,8 
 
07. Resposta: B. 
Do enunciado temos a seguinte figura: 
 
 
BR = 6√2 
𝑠𝑒𝑛45° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√2
2
=
ℎ
6√2
 → 2ℎ = 6√2. √2 → 2h = 12 → h = 6 
 
O ângulo BRP = 45º, logo o triângulo BRP é isósceles → BP = PR = h = 6 
 
No triângulo APR: 𝑡𝑔30º =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
ℎ
𝑥+6
 
 
√3
3
=
6
𝑥+6
 → √3. (𝑥 + 6) = 18 → 𝑥 + 6 =
18
√3
. Racionalizando, temos: 
 
𝑥 + 6 =
18.√3
√3.√3
 → 𝑥 + 6 =
18√3
3
 → 𝑥 + 6 = 6√3 (√3 ≅ 1,7) 
 
x = 6.1,7 – 6 
x = 10,2 – 6 = 4,2 
 
08. Resposta: C. 
 Pelo enunciado a hipotenusa mede 10 e o seno de um dos ângulos (vamos chamar este ângulo de α) 
mede 0,8. 
 
 
 𝑠𝑒𝑛 ∝=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 0,8 = 
𝑥
10
 → x = 10.0,8 → x = 8 cm 
 
 Pelo Teorema de Pitágoras: 
 x2 + y2 = 102 
 82 + y2 = 100 → 64 + y2 = 100 → y2 = 100 – 64 → y2 = 36 → y = 6 cm 
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. 158 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos. 
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações 
trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, 
de acordo com o mais conveniente. 
Importante sabermos que: 
sen x = sen (180º - x) 
cos x = - cos (180º - x) 
 
 
Lei dos senos: 
 
Resolvendo a situação da figura, temos: 
Iremos aplicar a lei dos senos: 
 
100
𝑠𝑒𝑛 120°
=
𝑥
𝑠𝑒𝑛 45°
⟶
100
𝑠𝑒𝑛 60°
=
𝑥
𝑠𝑒𝑛 45°
 
 
Pela tabela de razões trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛 45° =
√2
2
∴ 𝑠𝑒𝑛 60° =
√3
2
 
Lei dos cossenos 
a² = b² + c² - 2.b.c.cosA 
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB 
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC 
 
Exemplo: 
Analise o esquema abaixo: 
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos? 
 
x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º 
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5 
x² = 8900 – 4000 
x² = 4900 
x = 70 m 
Seriam gastos 70 metros de cano. 
 
Referência 
brasilescola.com 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. 4ª edição. Editora Ática, 2011. 
DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática.Vol. Único, 1ª, 2ª e 3ª Parte. 4ª edição. São Paulo: Ática, 2015 (Coleção Projeto VOAZ). 
 
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. 159 
Questões 
 
01. Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Qual é a medida 
do terceiro lado? 
(A) 4√7 cm 
(B) √7 cm 
(C) 3√7 cm 
(D) 5√7 cm 
(E) 2√7 cm 
 
02. Qual é o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: 
 
(A) √13 
(B) 2√13 
(C) 3√13 
(D) 4√13 
(E) 5√13 
 
03. No triângulo abaixo, pede-se determinar o valor de x: 
 
(A) √32 𝑐𝑚 
(B) √2 𝑐𝑚 
(C) 8√2 𝑐𝑚 
(D) 8√256 𝑐𝑚 
(E) 8√80 𝑐𝑚 
 
04. (Universidade Federal de Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 
10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo: 
 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é: 
(A) 5(5 + √15) 
(B) 5(5 + √5) 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 160 
(C) 5(5 + √13) 
(D) 5(5 + √11) 
(E) 5(5 + √7) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, 
aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: 
x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º 
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2 
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2 
x² = 172 – 48 * 3 
x² = 172 – 144 
x² = 28 
x = 2√7 cm 
 
02. Resposta: B. 
Pela lei dos cossenos 
x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º 
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2 
x² = 100 – 48 
x² = 52 
√x² = √52 
x = 2√13 
 
03. Resposta: C. 
 Pela lei dos senos: 
 
𝑥
𝑠𝑒𝑛45°
=
8
𝑠𝑒𝑛30°
 
 
𝑥. 𝑠𝑒𝑛30° = 8. 𝑠𝑒𝑛45° 
 
𝑥.
1
2
= 8.
√2
2
 
 
𝑥 = 8√2 𝑐𝑚 
 
04. Resposta: E. 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo, 
basta somar os comprimentos do lado do triângulo. 
10 + 15 + x 
O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cossenos: 
x2 =102 + 152 – 2·10·15·cos 60° 
x2 = 100 + 225 – 2·150·cos 60° 
x2 = 325 – 300·1/2 
x2 = 325 – 150 
x2 = 175 
x = √175 (Basta decompor o 175 em fatores primos) 
x = √52. 7 
x = 5√7 
Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é: 
10 + 15 + x 
25 + 5√7 
5·5 + 5√7 
5(5 + √7) 
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. 161 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre 
um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. 
 
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio 
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto 
determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o 
eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro 
ponto B=(0,y'). 
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco 
AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). 
 
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k
)=y' 
 
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do 
arco de medida x radianos. 
 
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a 
medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M. 
 
 
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = 
cos(a) = cos(a+2k ) = x' 
 
Tangente: Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é 
perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta 
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM 
correspondente ao ângulo a. 
 
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) 
= µ(AT) = t' 
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O 
seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. 
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: 
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 
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. 162 
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes 
 
Ângulos no segundo quadrante 
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre 
o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro 
quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. 
Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no 
segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. 
 
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos(
/2)=0 e sen( /2)=1 
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. 
 
Ângulos no terceiro quadrante 
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao 
intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em 
relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O 
seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. 
 
 
Em particular, se a= radianos, temos que cos( )= - 1, sen( )=0 e tg( )=0 
 
Ângulos no quarto quadrante 
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, 
o cosseno é positivo e a tangente é negativa. 
 
 
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas 
são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sen(3 /2)=-1 
 
Simetria em relação ao eixo OX 
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M 
em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais 
opostos. 
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. 163 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM', obtemos: 
sen(a) = - sen(b) 
cos(a) = cos(b) 
tg(a) = - tg(b) 
 
Simetria em relação ao eixo OY 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico 
a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são 
simétricas. 
 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = sen(b) 
cos(a) = - cos(b) 
tg(a) = - tg(b) 
 
Simetria em relação à origem 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico 
de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas. 
 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = - cos(b) 
tg(a) = tg(b) 
 
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis 
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita 
frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples 
observação no círculo trigonométrico. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 164 
 
 
Primeira relação fundamental 
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as 
áreas da Matemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo 
a. 
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do 
que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y"). 
 
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como: 
 
 
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por 
(cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, 
aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a). 
 
 
Segunda relação fundamental 
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função 
tangente, é dada por: 
tg(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. 
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tg(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, 
segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tg(a)=sen(a)/cos(a) não é 
verdadeira para estes últimos valores de a. 
Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência 
trigonométrica na figura seguinte. 
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. 165 
 
 
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: 
AT 
 
MN 
= 
OA 
 
ON 
Como AT=|tg(a)|, MN=|sen(a)|, AO = 1 e ON = |cos(a)|, para todo ângulo a, 0 < a < 2 com a 
/2 e a 3 /2 temos 
tg(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
 
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença 
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0<a<2 e 0<b<2 , a>b, então;sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
 
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: 
tg(a+b)= 
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) 
 
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
 
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a).cos(b), segue a fórmula: 
tg(a+b)= 
tg(a) + tg(b) 
 
1 - tg(a)tg(b) 
Como 
sen(a-b) = sen(a).cos(b) - cos(a).sen(b) 
cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) 
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: 
 
tg(a-b)= 
tg(a) - tg(b) 
 
1 + tg(a)tg(b) 
 
Arcos côngruos (ou congruentes) 
Os arcos no círculo trigonométrico possuem origem e extremidade. Uma volta completa no círculo 
trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad. mas nem todos os arcos possuem o mesmo comprimento, 
pois eles podem ter número de voltas completas diferentes. Com isso podemos definir que: 
 
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. 166 
1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º. 
2º quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva → 90º < α < 180º. 
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º. 
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º. 
 
Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma extremidade e 
diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras. 
 
 
Uma regra prática e eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a 
diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos 
arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero. 
Exemplo: 
Verificar se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos. 
8390º – 6230º = 2160 
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos. 
 
De maneira geral: 
 
a) Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é 
dada por αº + k.360º, com k ϵ Z. 
 
b) Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a 
ele é dada por α + 2kπ, com k ϵ Z. 
 
 
Exemplos: 
1) Um móvel partindo do ponto A, origem dos arcos, percorreu um arco de 1690°. Quantas voltas 
completas deu e qual quadrante parou? 
 
Logo, o móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário. Como 180º < 250º < 270º, o móvel parou 
no 3º quadrante. 
 
2) Verifique se são côngruos os seguintes arcos: 22π/5 rad e 52π/5 rad. 
 
22𝜋
5
2𝜋
=
22
10
=
20
10
+
2
10
= 2 +
1
5
 
 
 
22𝜋
5
= (2 +
1
5
) . 2𝜋 = 4𝜋 +
2𝜋
5
= 2.2𝜋 +
2𝜋
5
 
 
52𝜋
5
2𝜋
=
52
10
=
50
10
+
2
10
= 5 +
1
5
 
 
52𝜋
5
= (5 +
1
5
) . 2𝜋 = 10𝜋 +
2𝜋
5
= 5.2𝜋 +
2𝜋
5
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 167 
Os arcos são côngruos, pois ambos são expressos pela forma 
2𝜋
5
+ 2𝑘𝜋. 
 
Referência 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy – Matemática Fundamental – 2º grau Volume Único – FTD - São Paulo: 1994 
 
Questões 
 
01. ( MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Se um arco mede α graus, a expressão geral 
dos arcos côngruos a ele é dada por α + k 360° , onde k é um número inteiro. Por outro lado, se um arco 
mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2 kπ, onde k é um número 
inteiro. Um móvel A, partindo do ponto de origem dos arcos de uma circunferência trigonométrica, 
percorreu um arco de 1690 graus. O móvel B, partindo deste mesmo ponto de origem, percorreu um arco 
de 35π⁄8 radianos. Desse modo, pode-se afirmar que o móvel: 
(A) A deu 4 voltas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. 
(B) A deu 4 voltas no sentido horário e parou no III quadrante. 
(C) B deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. 
(D) B deu 2 voltas completas no sentido horário e parou no I quadrante. 
(E) independente do número de voltas, os móveis A e B pararam no primeiro quadrante. 
 
02. (PETROBRAS – Técnico de Estabilidade Junior – CESGRANRIO) No ciclo trigonométrico de 
centro O, representado na figura, os ângulos PÔB e QÔS são congruentes, e o arco AP, tomado no 
sentido anti-horário, mede 164°. Reduzindo-se o arco AQ ao primeiro quadrante, o valor encontrado será 
igual a 
 
(A) 16° 
(B) 24° 
(C) 64° 
(D) 74° 
(E) 86° 
 
03. (Marinha – Fuzileiro Naval – Marinha) Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um 
relógios quando são exatamente 7 horas? 
(A) 210° 
(B) 180° 
(C) 165° 
(D) 150° 
(E) 120° 
 
04. (PETROBRAS – Técnico de Estabilidade Junior – CESGRANRIO) 
 
Se o arco AQ mede 294°, o arco PS mede: 
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. 168 
(A) 114° 
(B) 156° 
(C) 164° 
(D) 204° 
(E) 246° 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Basta reduzirmos a primeira volta ambos os ângulos. 
1690° = 250° + 4.360, ou seja deu quatro voltas no sentido anti-horário e parou no 3° quadrante. 
35π⁄8 = 32π⁄8 + 3π⁄8 . Ou seja, ele deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no 1° 
quadrante. 
 
02. Resposta: D. 
Observe que o arco AB possui 180°, Como o arco AP = 164°, nos resta que PB = 180° – 164° = 16°, 
portanto QS = 16°, temos que AQ = 270° - 16° = 254°, como a questão pede para encontrar no primeiro 
quadrante devemos fazer 254° – 180° = 74° 
 
03. Resposta: D. 
 
Observe que no relógio temos 12 horas, como uma volta completa é de 360°, ao dividirmos por 12 
obtemos 30° então para cada hora possuímos 30 graus. 
No exercício, o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio de 7 para 12 temos 5 horas, logo 5 . 
30 = 150°. 
 
04. Resposta: B. 
Como AQ = 294°, QA (no sentido anti-horário) = 360° – 294° = 66°, mas de P até o ponto onde temos 
no ciclo 180° possui o mesmo valor (66°) Então o arco PS = 66° + 90° = 156° 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo 
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: 
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da 
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π 
e que possuem a mesma imagem. Observe: 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
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. 169 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, 
onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, 
função cosseno e função tangente. 
 
Características da função seno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da 
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
 
 
 
Características da função cosseno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal 
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 170 
Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
 
Características da função tangente 
É uma função f : R → R queassocia a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Para os ângulos de 90º, 270º e depois correspondentes a estes fora da primeira volta, a tangente deles 
não existe!!! 
Sinais da função tangente: 
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
Função trigonométrica inversa 
As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. Mas, para cada uma delas, 
podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa. 
 
- A função inversa do seno, denotada por arcsen, é definida como: 
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. 171 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 
 
 
 
- A função inversa do cosseno, denotada por arccos, é definida como: 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 172 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos 
 
 
- A função inversa da tangente, denotada por arctan, é definida como: 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan 
 
Referências 
 brasilescola.com 
 uff.br/webmat 
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. 173 
Questões 
 
01. (IFB – Professor de Matemática – IFB/2017) As funções senoides por serem periódicas são muito 
utilizadas nos cálculos de movimentos de marés, movimentos de pêndulos, sinais de ondas sonoras e 
luminosas, etc. A função representa o movimento de maré de uma localidade 
na região norte do Brasil. Em relação à função dada, assinale as afirmações dadas a seguir 
como VERDADEIRAS com (V) ou FALSAS com (F). 
( ) É uma função periódica e seu período é 2π. 
( ) Sua imagem é o intervalo [−1,1]. 
( ) O domínio é o conjunto dos números reais. 
( ) É uma função periódica e seu período é π. 
( ) Se anula em infinitos valores para x. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de cima para baixo. 
(A) F, V, V, V, F 
(B) F, F, V, V, V 
(C) V, F, F, V, V 
(D) F, V, F, V, V 
(E) V, F, V, F, V 
 
02. (IF/SC – Professor de Matemática – IF/SC) Dada a função f (x) = sen x - cos x, quantos zeros 
tem a função no intervalo 
(A) nenhum 
(B) um 
(C) dois 
(D) três 
(E) quatro 
 
03. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 
(A) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
(B) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(C) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(D) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /6, pi /6]. 
 
04. Qual é o valor de y = tg(arcsen 2/3)? 
(A) (
√
3
5
3
) 
(B) (1/2) 
(C) (
√
1
2
5
) 
(D) (
√
5
3
5
) 
 
05. Qual é o valor da equação 2*sen(3x) + 1 = 0? 
(A) S = {x E R/x = π/3 + kπ/3 ou x = - π/3 + kπ/3, k E Z} 
(B) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
(C) S = {x E R/x = 7π/8 + kπ/3 ou x = - π/8 + kπ/3, k E Z} 
(D) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/6 ou x = - π/18 + 2kπ/6, k E Z} 
 
06. Qual é o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0? 
(A) x = π/ 6 + 2kπ/ 3, k E Z. 
(B) x = π/ 6 + kπ/ 3, k E Z. 
(C) x = π/ 3 + kπ/ 3, k E Z. 
(D) x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
 
 
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. 174 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O período de uma função y = a+b*sen(cx+d) é simplesmente 2pi/c, assim o período da função em 
específico é pi. Logo a primeira afirmativa é FALSA. 
A imagem da função pode ser encontrada considerando que toda função seno está entre -1 e 1. Veja: 
-1 ≤ sen(2x+pi/2) ≤ 1 
 
-3 ≤ 3sen(2x+pi/2) ≤ 3 
 
-2 ≤ 1+3sen(2x+pi/2) ≤ 4 
 
Assim, Im(f(x)) = [-2, 4]. Ou seja, a segunda afirmação também é FALSA. Analisando as afirmações 
só nos resta a alternativa B como resposta. 
 
02. Resposta: D. 
 
Observe que para a função dar zero, temos que ter senx = cosx, assim temos o ângulo de 45° e seus 
correspondentes no 2°, 3° e 4° quadrantes, mas precisamos ficar atentos a alguns fatos: 
- A função é no intervalo de 0 à 3pi, ou seja, uma volta e meia no círculo; 
- os sinais de seno e cosseno variam de acordo com o quadrante: 
1ºQ: senx = + e cosx = + 
2°Q: senx = + e cosx = - (não serve pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
3ºQ: senx = - e cosx = - 
4°Q: senx = - e cosx = + (não serve, pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
 
Então as soluções estão no 1° e 3° quadrantes, mas o intervalo é de uma volta e meia, assim passa 
pelo primeiro quadrante 2 vezes e 1 vez pelo terceiro quadrante, portanto possui 3 soluções. 
 
03. Resposta: A. 
 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: 
Para x: -1 < 4x < 1, ou seja, -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição 
vista acima, deveremos ter -pi /2 < y < pi /2. 
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
 
04. Resposta: D. 
Seja w = arcsen 2/3. 
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação 
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: 
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. 
Logo: 
cosw = ± √5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, intervalo 
no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +√5 / 3. 
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (√5 / 3)] = 2/√5 / 3 
Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (√5 / 3)/ 5 que é o valor de y procurado. 
 
05. Resposta: B. 
Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6 
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R. 
 x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3 
Concluímos que o conjunto solução é: 
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
 
06. Resposta: D. 
Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero. 
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos: 
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. 175 
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0  sen 7x / 2*cos3x /2 = 0  sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ  x = 2kπ / 7, k E Z 
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z. 
Então: 3x = π + 2kπ  x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z} 
Obs.: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: 
sen (5x) + sen (2x) = 0  sen (5x) = - sen (2x) 
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos: 
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos: 
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma 
igualdade. 
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, 
é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita. 
sen x = cos 2x 
sen 2x – cos 4x = 0 
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0 
 
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica. 
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15 
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a 
incógnita não pertence à função trigonométrica. 
 
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas 
elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma: 
sen x = sen α 
cos x = cos α 
tg x = tg α 
 
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que 
a incógnita deverá assumir em cada equação. 
 
Resolução da 1ª equação fundamental 
- sen x = sen α 
Para que dois arcos x e α da primeira volta possuam o mesmo seno, é necessário que suasextremidades estejam sobre uma única horizontal. Podemos dizer também que basta que suas 
extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos senos. 
Assim, os valores de x que resolvem a equação sen x = sen α (com α conhecido) são x = α ou x = π- 
α. Veja a figura: 
 
 
- cos x = cos α 
Para que x e α possuam o mesmo cosseno, é necessário que suas extremidades coincidam ou sejam 
simétricas em relação ao eixo dos cossenos, ou, em outras palavras, que ocupem no ciclo a mesma 
vertical. 
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. 176 
 
Nessas condições, com α dado, os valores de x que resolvem a equação cos x = cos α são: x = a ou 
x = 2π- α. 
 
- tg x = tg α 
Dois arcos possuem a mesma tangente quando são iguais ou diferem π radianos, ou seja, têm as 
extremidades coincidentes ou simétricas em relação ao centro do ciclo. 
 
Assim temos x = α ou x = α ±π como raízes da equação tg x = tg α 
 
Solução geral de uma equação 
Quando resolvemos uma equação considerando o conjunto universo mais amplo possível, 
encontramos a sua solução geral. Essa solução é composta de todos os valores que podem ser atribuído 
à incógnita de modo que a sentença se torne verdadeira. 
Exemplo: 
Ao resolver a equação sen x = ½ no conjunto dos reais ( U=R), fazemos: 
sen x = ½  sen x = sen π/6  ⌊𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 
Obtendo todos os arcos x (por meio da expressão geral dos arcos x) que tornam verdadeira a sentença 
sen x = ½ 
 
Portanto: S = { x ϵ R | x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ϵ Z) 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
http://www.mundoeducacao.com 
www.brasilescola.com.br 
 
Questões 
 
01. (Bombeiros MG) As soluções da equação trigonométrica sem(2x) – 1/2 = 0, que estão na primeira 
determinação são: 
(A) x = π/12 ou x = 3π/24 
(B) x = π/12 ou x = 5π/12 
(C) x = π/6 ou x = 3π/12 
(D) x = π/6 ou x = 5π/24 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 177 
02. (PC/ES - Perito Criminal Especial – CESPEUnB) Considerando a função f(x) = senx - √3 cosx, 
em que o ângulo x é medido em graus, julgue o item seguinte: 
f(x) = 0 para algum valor de x tal que 230º < x < 250º. 
( ) Certo ( )Errado 
 
03. (PREVIC - Técnico Administrativo – Básicos – CESPEUnB) Em um estudo da interação entre 
caça e predador, tanto a quantidade de predador quanto a quantidade de caça foram modeladas por 
funções periódicas do tempo. No início dos anos 2000, a quantidade de predadores em certa região, em 
milhares, era dada pela função P(t) = 5 + 2cos(
𝜋𝑡
12
)em que o tempo t é considerado em meses. A partir 
dessa situação, julgue o item seguinte. 
O gráfico abaixo corresponde à função: P (t), 0 ≤ t ≤ 35. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (UNIPAR) A soma de todas as raízes da equação 
3
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 4, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é igual a: 
(A) 5π 
(B) 4π 
(C) 3π 
(D) 2π 
(E) π 
 
05. (FGV) Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel tenha sido dada (em milhares de 
reais) por 𝑅(𝑡) = 3000 + 1500. 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
6
), em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro 
e assim por diante. A receita de março foi inferior à de fevereiro em: 
(A) R$ 850.000,00 
(B) R$ 800.000,00 
(C) R$ 700.000,00 
(D) R$ 750.000,00 
(E) R$ 650.000,00 
Resposta 
 
01. Resposta: B 
Temos então: sem(2x) = 1/2 
Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6. 
Resolvendo: 
2x = π/6 
x = π/12 
ou 
2x = 5π/6 
x = 5π/12 
 
02. Resposta: Certo 
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥, então para f(x) = 0, temos: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
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. 178 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥  (passar o 𝑐𝑜𝑠𝑥 dividindo para o 1° membro) 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑥
= √3  (das relações fundamentais temos que 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
) 
𝑡𝑔𝑥 = √3 
Verificando no ciclo quais ângulos tem este valor de tangente: 
 
x = 60° ou x = 240° 
 
03. Resposta: Errado 
P(t) = 5 + 2. cos (
πt
12
) 
Se t = 0: 
P(0) = 5 + 2. cos (
π.0
12
) 
P(0) = 5 + 2. cos0 , sabendo que cos0 = 1: 
P(0) = 5 + 2.1 
P(0) = 5 + 2 = 7 
 
se t = 0  P = 7, temos o ponto de início do gráfico sendo (0, 7) e não (0, 5) como está no gráfico. 
 
04. Resposta: B 
 
3
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 4 
 3 = 4. (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 
 3 = 4 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4 − 3 
 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
4
 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√
1
4
 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±
1
2
 
 
Os ângulos que tem cosseno igual a mais ou menos ½ são: π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3. 
 
𝜋
3
+
2𝜋
3
+
4𝜋
3
+
5𝜋
3
= 
 =
𝜋+2𝜋+4𝜋+5𝜋
3
=
12π
3
= 4𝜋 
 
05. Resposta: D 
Lembrando que 
𝜋
6
=
180°
6
= 30°  R(t) = 3000 + 1500.cos(30°.t) 
No mês de fevereiro: t = 2 
R(2) = 3000 + 1500.cos(30°.2) 
R(2) = 3000 + 1500. cos60° 
R(2) = 3000 + 1500.1/2 
R(2) = 3000 + 750 = 3.750 
 
No mês de março: t = 3 
R(3) = 3000 + 1500.cos(30°.3) 
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. 179 
R(3) = 3000 + 1500.cos90° 
R(3) = 3000 + 1500.0 
R(3) = 3.000 
 
Logo, a receita em março foi menor em: 3.750 – 3.000 = 750. 
No enunciado foi dito que a fórmulas está em milhares de reais, portanto, R$ 750.000,0 
 
INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Inequação trigonométrica será onde teremos os sinais da desigualdades, e algum valor trigonométrico, 
por exemplo: 
Senx> -1 
Cosx≤ 1 
tgx≥-2 
 
Vejamos os seis tipos de inequações trigonométricas fundamentais: 
 
1° tipo) sen x > n (sen x ≥ n) 
Seja n o seno de um arco y qualquer, tal que 0 ≤ n < 1. Se sen x > n, então todo x entre y e π – y é 
solução da inequação, assim como podemos ver na parte destacada de azul na figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x > n 
 
A solução dessa inequação pode ser dada na primeira volta do ciclo trigonométrico como S = { x | 
y < x < π – y}. Para estender essa solução para o conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x | 
y + 2kπ < x < π – y + 2kπ, k } ou S = { x | y + 2kπ < x < (2k + 1)π – y, k } 
 
2° tipo) sen x < n (sen x ≤ n) 
Se sen x < n, então a solução é dada por dois intervalos. A figura a seguir representa essa situação: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, a solução pode ser dada como S = { x | 0 ≤ x ≤ y ou π – y ≤ x ≤ 2π} . 
No conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x | 2kπ ≤ x < y + 2kπ ou π – y + 2kπ ≤ x ≤ (k + 
1).2π, k }. 
 
 
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. 180 
3° tipo) cos x > n (cos x ≥ n) 
Seja n o cosseno de um arco y, tal que – 1 < n < 1. A solução deve ser dada a partir de dois intervalos: 0 
≤ n < 1 ou – 1 < n ≤ 0. Veja a figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x > n 
 
Para que a solução dessa inequação esteja na primeira volta do ciclo trigonométrico, devemos 
apresentar S = { x | 0 ≤ x < y ou 2π – y ≤ x < 2π }. Para estender essa solução para o conjunto 
dos reais, podemos dizer que S = { x | 2kπ ≤ x < π + 2kπ ou 2π – y + 2kπ < x < (k + 1).2π, 
k }. 
 
4° tipo) cos x < n (cos x ≤ n) 
Nesses casos, há apenas um intervalo e uma única solução. Observe a figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, a solução é S = { x | y < x < 2π – y}. No conjunto dos reais, a solução 
é S = { x | y + 2kπ < x < 2π – y + 2kπ, k }. 
 
5° tipo) tg x > n (tg x ≥ n) 
Seja n a tangente de um arco y qualquer, tal que n > 0. Se tg x > n, há duas soluções como podemos 
ver na figura: 
 
Representaçãoda solução da inequação trigonométrica do tipo tg x > n 
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. 181 
A solução dessa inequação pode ser dada no conjunto dos reais como S = { x | y + 2kπ < x 
< π/2 + 2kπ ou y + π + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ}. Na primeira volta do ciclo, temos: S = { x | y < x 
< π/2 ou y + π < x < 3π/2, k }. 
 
6° tipo) tg x < n (tg x ≤ n) 
Esse caso é semelhante ao anterior. Se n > 0, temos: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, temos como solução: S = { x | 0 ≤ x < y ou π/2 < x < y + π ou 3π/2 < x 
< 2π}. No conjunto dos reais a solução é S = { x | kπ ≤ x < y + kπou π/2 + kπ < x < (k + 1).π, 
k }. 
 
Questões 
 
Considere o intervalo [0;2π], para resolver as inequações em “x” nos exercícios 01 e 02 
 
01. O conjunto solução da inequação 2cosx ≤ 1 é? 
(A) S = {x IR/ 
π
3
 ≥ x ≥ 
5π
3
 } 
(B) S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
(C) S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
(D) S = {x IR/ 
π
4
 ≤ x ≤ 
5π
4
 } 
(E) S = {x IR/ 
2π
3
 ≤ x ≤ 
π
3
 } 
 
02. O conjunto solução da inequação senx ≥ 
1
2
 é? 
(A) S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
(B) S = {x IR/ 
5π
4
 ≤ x ≤ 
π
4
 } 
(C) S = {x IR/ 
π
4
 ≤ x ≤ 
5π
4
 } 
(D) S = {x IR/ 
5π
6
 ≤ x ≤ 
π
6
 } 
(E) S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
2cosx ≤ 1, então 
cosx ≤ 
1
2
, se observarmos no círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1 quadrante, cos60° = 
1
2
, 
portanto em radianos teremos cos
π
3
 = 
1
2
, e no 4º quadrante será 2π - 
π
3
 = 
5π
3
, então a solução dessa 
inequação será: 
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. 182 
 
S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
 
02. Resposta: E. 
senx ≥
1
2
 
Observe que se imaginarmos o círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1° quadrante, 
sen30°= 
1
2
, portanto em radianos teremos sen
π
6
 = 
1
2
, e no 2° quadrante o correspondente de 
π
6
 será 
5π
6
, 
assim a inequação será da seguinte forma: para valores maiores que ½ no seno. 
 
Assim a solução será: 
S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
 
 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
3 Geometria Plana 
 
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. 183 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
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. 184 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
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. 185 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
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. 186 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
 
 
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. 187 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
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. 188 
06. (Pref. de Curitiba – Docência I – NC-UFPR) Sabendo que as retas r e s da figura ao lado são 
paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 189 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinaladosna figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
 
 
 
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. 190 
Elementos de um ângulo 
 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 191 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
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. 192 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Exemplos: 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
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. 193 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
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. 194 
d) 
 
 
Resoluções 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
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. 195 
Questões 
 
01. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
(A) 375’’. 
(B) 22.500”. 
(C) 3.615’’ 
(D) 2.950’’ 
(E) 25.000’’ 
 
02. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
(A) 60° 
(B) 90° 
(C) 45° 
(D) 120° 
(E) 135° 
 
03. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
(A) 60° 
(B) 30° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 150° 
 
04. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
(A) 35° e 55° 
(B) 40° e 50° 
(C) 20° e 70° 
(D) 45° e 45° 
(E) 40° e 55° 
 
05. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Qual é p valor 
do ângulo y? 
 
(A) 45° 
(B) 90° 
(C) 135° 
(D) 120° 
(E) 155° 
 
06. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
(A) 11º; 159º. 
(B) 12º; 158º. 
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. 196 
(C) 10º; 160º. 
(D) 15º; 155º. 
(E) 16º; 150º. 
 
07. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
(A) 135° 
(B) 40° 
(C) 90° 
(D) 100° 
(E) 45° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
02. Resposta: A. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
03. Resposta: B. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
04. Resposta: A. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
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. 197 
x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
05. Resposta: C. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
06. Resposta: A. 
3m - 12ºe m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
07. Resposta: E. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
POLÍGONOS 
 
Um polígono15 é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Elementos de um polígono 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
 
15 DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
www.somatematica.com.br 
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. 198 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o número de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígono. 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
 
 
 
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. 199 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
07. ( Pref. de Cerrito/SC – Técnico em Enfermagem – IESES/2017) Um eneágono tem um de seus 
lados com 125 cm, como todos os lados são iguais o seu perímetro será de: 
(A) 625cm. 
(B) 750cm. 
(C) 1.500cm. 
(D) 1.125 cm. 
(E) 900 cm. 
 
Comentários 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados) → n = 7 
Si = (n – 2).180° 
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. 200 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados) → n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5 → pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 201 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
 
07. Resposta: D. 
Um eneágono possui 9 lado, portanto 9x125 = 1.125cm. 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular16 pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
I) Triângulo Equilátero: 
 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
 
II) Quadrado: 
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
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. 202 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 →𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
 → 10 =
𝑟
2
 → r = 2.10 → r = 20 cm 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos queracionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
 → 𝑟 =
12√2
2
 → 𝑟 = 6√2 dm 
 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 
 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
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. 203 
Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,… , 𝑛 − 2 
 
Então: 
 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 +⋯+ 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 +⋯+ 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Questão 
 
01. (TJ/RS – Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos 
medindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área 
do primeiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2. 
(C) 3√2 e 10√2. 
(D) 5 e 6. 
(E) 6 e 10. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A razão entre as Áreas =e igual ao quadrado da razão entre os lados. 
O triângulo de catetos 3 e 5 possui área igual a 7,5. Já o outro triângulo possui o dobro de área, 
conforme o enunciado. Assim sendo teremos: 
A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 3²/x² 
X = 3√2 
E A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 5²/y² 
Y= 5√2. 
 
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. 204 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
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. 205 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
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. 206 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
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. 207 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta:C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
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. 208 
- Teorema de Tales17: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
17SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
www.jcpaiva.net/ 
conteudoonline.objetivo.br 
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. 209 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
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. 210 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 06. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB̅̅ ̅̅ = 21 e AC̅̅̅̅ = 20. BD̅̅ ̅̅ é a bissetriz 
do ângulo AB̂C. Quanto mede AD̅̅ ̅̅ ? 
(A) 42/5 
(B) 21/10 
(C) 20/21 
(D) 9 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
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. 211 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em 
qualquer posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa. 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
y2 = 212 + 202 
y2 = 441 + 400 
y2 = 841 
𝑦 = √841 
y = 29 
Pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
 
 
21
𝑥
=
29
20 − 𝑥
 
 
29. 𝑥 = 21(20 − 𝑥) 
29𝑥 = 420 − 21𝑥 
29𝑥 + 21𝑥 = 420 
50𝑥 = 420 
𝑥 =
420
50
=
42
5
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
 
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. 212 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
 
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. 213 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
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. 214 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
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. 215 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
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. 216 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
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. 217 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 218 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 219 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 220 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada,é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 221 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 222 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
 
 
JUROS SIMPLES18 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
 
18 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
4 Juros simples. Montante e juros. Descontos simples. Equivalência simples de 
capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. 5 
Juros compostos. Montante e juros. Desconto composto. Taxa real e taxa 
efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 223 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 224 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemáticafinanceira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 225 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
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. 226 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS19 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
 
19 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 227 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 228 
Exemplo 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resposta 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
Questões 
 
01. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
02. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
03. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
 
 
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. 229 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
02. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
03. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
04. Resposta: B. 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, NOMINAL, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES, REAL E 
APARENTE20 
 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. 
As taxas serão incorporadas sempre ao capital. 
 
Taxa Efetiva 
São aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização(valorização). Utilizado muito em caderneta de poupança. 
 
Exemplos 
 
- Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
- Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
20 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
mundoeducacao.com/matematica/taxa-efetiva-taxa-real.htm 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 230 
Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir com 
unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!! 
 
Taxa Nominal 
São aquelas cujas unidade de tempo NÃO coincide com as unidades de tempo do período de 
capitalização. 
Exemplos 
 
 
- 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
- 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobrir a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa) 
 
Exemplo 
 
 
Como são 12 meses que existem no ano, então dividimos a taxa por 12, trazendo a taxa para o mesmo 
período da capitalização, tendo assim a taxa efetiva da operação. 
 
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente. 
 
Taxas Proporcionais ou Lineares (regime de juros simples) 
São taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao mesmo período de 
tempo irão gerar o mesmo montante. 
 
Exemplos 
- 2% a.s é proporcional quantos % a.a? 
Como 1 ano tem 2 semestre 2%. 2(semestres) = 4% a.a 
- Uma taxa de 60% a.a geraria as seguintes taxas: 5% a.m (60%/12 meses);10% a.b (60%/6 
bimestres); 20% a.q(60%/3quadrimestres) .... 
 
Taxas Equivalentes (regime de juros compostos) 
As taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma 
proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
 
Exemplos 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 231 
- 24% a.a é equivalente a %a.m? 
Vamos aplicar o conceito acima, para resolução deste exemplo: 
(1+ia)=(1+im)12 (expoente na menor unidade de tempo) (1+0,24) = (1+im)12  1,24 = (1+im)12  Para 
retirar o expoente, basta fazermos a operação inversa da potenciação  √1,24 
12 = √(1 + 𝑖𝑚)12
12
 
√1,24 
12 = 1 + 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 1,24
1
12 − 1 
Algumas bancas informam o valor da raiz, outras deixam como está. 
 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
Taxa Real, Aparente e Inflação 
Taxa Real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos. 
Taxa Aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais). 
Taxa de Inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra. 
 
Podemos escrever todas essas taxas em função uma das outras: 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
 
Onde: (1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
 ,independe da quantidade de períodos e do regime de juros. 
 
Exemplos 
 
01. Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
− Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
− Período de aplicação: um ano. 
− Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
− Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é 
(A) R$ 53.550,00. 
(B) R$ 53.500,00. 
(C) R$ 53.000,00. 
(D) R$ 52.500,00. 
(E) R$ 51.500,00. 
 
Observe que o período de aplicação é de 1 ano, então tanto faz utilizar o regime de juros simples ou 
compostos. 
C = R$ 50.000,00 
t= 1 ano 
ii = 5% = 0,05 
ir = 2% = 0,02 
M=? 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)  (1+ia) = (1+0,02).(1+0,05i)  (1+ia) = 1,02 . 1,05  (1+ia) = 1,071  
 ia = 1,071-1  ia = 0,071(taxa efetiva da operação) 
Aplicando a fórmula do montante: M = C.(1+i)t  M= 50 000.(1+0,071)1  50 000. 1,071  
M= 53.550,00 
Resposta: A. 
 
02. Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 por 2 meses, recebendo ao final desse prazo o montante de R$ 
1.060,00. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi 
de aproximadamente 
(A) 1,92. 
(B) 1,90. 
(C) 1,88. 
(D) 1,86. 
(E) 1,84. 
 
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. 232 
Neste exemplo, está nos faltando saber o valor da taxa de juros aparente, mas com as outras 
informações do enunciado podemos chegar ao seu valor: 
C = 1.000,00 
M = 1.060,00 
t = 2 meses 
ir = 4% = 0,04 
ii= ? 
(1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑎) =
1060
1000
 ⇒ (1 + 𝑖𝑎) = 1,06 
 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ 1,06 = (1 + 0,04). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ (1 + 𝑖𝑖) =
1,06
1,04
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = 1,0192 ⇒ 
 
𝑖𝑖 = 1,0192 − 1 ⇒ 𝑖𝑖 = 0,0192 ⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙) ⇒ 1,92 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere as seguintes situações: 
I- Carlos comprou um produto que à vista custava R$ 1.000,00. Como ele não tinha todo esse valor, 
ele fez um plano de pagamento com 12 prestações iguais, de R$ 100,00 cada uma, sem entrada. 
II- Ana comprou o mesmo produto que Carlos, na mesma loja e com o mesmo preço à vista, mas fez 
o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 100,00 e mais 11 prestações de R$ 100,00 cada 
uma. 
 
Com base nessas situações, é possível afirmar corretamente que: 
(A) a taxa de juros do plano de Ana foi menor que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(B) a taxa de juros do plano de Ana foi igual à taxa de juros do plano de Carlos. 
(C) a taxa de juros do plano de Ana foi maior que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(D) não há como comparar as taxas de juros dos planos de Ana e de Carlos. 
 
02. (TJ/PE - Analista Judiciário-Contador - FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, 
com juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, 
aproximadamente, 
(A) 21,7%. 
(B) 22,5%. 
(C) 24,8%. 
(D) 32,4%. 
(E) 33,7%. 
 
03. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de: 
(A) 12,5% trimestral. 
(B) 16% quadrimestral. 
(C) 25,5% semestral. 
(D) 36,0% anual. 
(E) 52% anual. 
 
04. (BAHIAGÁS – Técnico de Processos Tecnológicos – IESES) Uma pessoa faz um investimento 
em uma aplicação que rende 14% de juros (taxa aparente) anuais. Porém a inflação em seu país é de 
10% anuais. Portanto a taxa de juros real que remunera a aplicação é: 
(A) Maior que 3,8% e menor que 3,9% ao ano. 
(B) Maior que 3,6% e menor que 3,7% ao ano. 
(C) Menor que 3,6% ao ano. 
(D) Maior que 3,9% ao ano. 
(E) Maior que 3,7% e menor que 3,8% ao ano. 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um financiamento está sendo 
negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 233 
A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: 
(A) 10,00% 
(B) 20,21% 
(C) 21,00% 
(D) 22,10% 
(E) 24,20% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
I. Carlos: 12 . 100 = 1200 
II. Ana: 100 + 11 . 100 = 100 + 1100 = 1200 
Os valores são iguais, porém Carlos não deu entrada e Ana sim. Por isso, a taxa de juros do plano de 
Ana foi maior que a de Carlos. 
 
02. Resposta: B. 
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% 
a.m(taxa efetiva). 
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre. 
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 
0,225043 x 100  it= 22,5043% 
 
03. Resposta: C. 
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das 
questões vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado: 
4,25% a.m 
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada) 
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta) 
Anual = 4,25.12 = 51% (errada) 
 
04. Resposta: B. 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
Jogando os valores que temos, na fórmula. 
1+ 0,14=(1+taxa real) . (1+ 0,1 
1,14= (1+taxa real) . (1,1) 
1,14/1,1= (1+taxa real) 
1,0363= 1+ taxa real 
1.0363-1=taxa real 
Taxa real = 0,0363 
Taxa real = 3,63% 
 
05. Resposta: C. 
Taxa nominal: 20%a.a. capitalizada semestralmente, ou seja 20/2 = 10% ao semestre. 
Agora, basta determinar a taxa efetiva: 
 
(1+iquero) = (1+itenho) 
(1+iquero)1 = (1+0,10)² 
iquero = 1,21 – 1 = 0,21 = 21% 
 
 
 
 
 
 
1498042 E-book gerado especialmente para POLYANA AVILA DOMINGUES
 
. 234 
 
 
DESCONTOS 
 
Entende-se por Valor Nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data 
de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou 
um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença 
entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
 
Valor descontado = Valor nominal – Desconto 
 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros 
compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, 
restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: 
(a) desconto “por dentro” (ou racional) e; 
(b) desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
 
Exemplo 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que irá receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor para o proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
 
DESCONTOS SIMPLES21 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações