HIBBELER 7 Ed. resolucao em portugues resistencia dos materiais r c hibbeler 7a edicao atualizado compactado

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RESOLUÇÃO RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS R. C. HIBBELER 
 7ª EDIÇÃO 
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
 
Resolução: Steven Róger Duarte dos San 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos 
 
 
SUMÁRIO 
 
1.0 TENSÃO .................................................................................................................................................................... 1 
1.1 PROBLEMAS ................................................................................................................................................ 2 
1.2 PROBLEMAS .............................................................................................................................................. 26 
1.3 PROBLEMAS .............................................................................................................................................. 51 
1.4 PROBLEMAS DE REVISÃO ..................................................................................................................... 68 
2.0 DEFORMAÇÃO ..................................................................................................................................................... 73 
2.1 PROBLEMAS .............................................................................................................................................. 74 
3.0 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ........................................................................................ 91 
3.1 PROBLEMAS .............................................................................................................................................. 92 
3.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 104 
3.3 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 108 
4.0 CARGA AXIAL .................................................................................................................................................... 113 
4.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 114 
4.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 130 
4.3 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 150 
4.4 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 159 
4.5 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 172 
5.0 TORÇÃO ............................................................................................................................................................... 177 
5.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 178 
5.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 199 
5.3 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 214 
5.4 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 222 
5.5 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 234 
5.6 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 245 
6.0 FLEXÃO ................................................................................................................................................................ 251 
6.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 252 
6.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 291 
6.3 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 334 
6.4 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 346 
6.5 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 367 
6.6 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 382 
7.0 CISALHAMENTO TRANSVERSAL ................................................................................................................. 389 
7.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 390 
7.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 413 
7.3 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 424 
7.4 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 441 
8.0 CARGAS COMBINADAS ................................................................................................................................... 448 
8.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 449 
 
 
8.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 456 
8.3 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 493 
9.0 TRANSFORMAÇÃO DA TENSÃO ................................................................................................................... 505 
9.1 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 506 
9.2 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 550 
9.3 PROBLEMAS ............................................................................................................................................ 581 
9.4 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................... 591 
10.0 TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO .................................................................................................... 597 
10.1 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 598 
10.2 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 627 
10.3 PROBLEMAS ..........................................................................................................................................643 
10.4 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................. 658 
11.0 PROJETO DE VIGAS E EIXOS ...................................................................................................................... 663 
11.1 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 664 
11.2 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 691 
11.3 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................. 707 
12.0 DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS ................................................................................................................... 713 
12.1 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 714 
12.2 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 742 
12.3 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 758 
12.4 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 783 
12.5 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 792 
12.6 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 801 
12.7 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 807 
12.8 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................. 817 
13.0 FLAMBAGEM DE COLUNAS ......................................................................................................................... 824 
13.1 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 825 
13.2 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 852 
13.3 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 879 
13.4 PROBLEMAS .......................................................................................................................................... 892 
13.5 PROBLEMAS DE REVISÃO ................................................................................................................. 907 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................................... 914 
APÊNDICE A - PROPRIEDADES MECÂNICAS MÉDIAS DE MATERIAIS TÍPICOS DE ENGENHARIA 
(Unidades SI) ............................................................................................................................................................... 915 
APÊNDICE B - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE PERFIS ESTRUTURAIS ......................................... 916 
APÊNDICE C - INCLINAÇÃO E DEFLEXÃO DE VIGAS ................................................................................. 920 
APÊNDICE D - CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBLER 7ª EDIÇÃO ........................... 922 
 
 
 
 
 APRESENTAÇÃO 
 
Este livro começou a ser desenvolvido ainda quando era acadêmico do curso de engenharia civil pelo Centro 
Universitário de Anápolis Unievangélica – GO devido ao fascínio que tive pela disciplina. Contém as resoluções passo 
a passo de todos os problemas do livro R. C. Hibbeler 7ª edição dos capítulos 1 ao 13 (sujeito a correções e melhorias). 
No apêndice D existe um quadro de correções de algumas respostas do livro do Hibbeler, que pude observar que não 
estão de acordo com as respostas desenvolvidas neste livro devido a conversão de unidades. 
A Resistência dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos é uma disciplina de grande importância nos cursos de 
engenharia, pois o aluno começa a observar o curso de uma forma mais madura, devido ser uma disciplina mais voltada 
para a prática de engenharia e por propiciar desafios. O objetivo aqui é desperta o interesse do aluno pra tal e mostrar 
que a Resistência dos Materiais não é um bicho de sete cabeças. E é claro, um material que sirva de apoio para 
professores que ministram essa disciplina. 
Bons estudos, e faça bom proveito. 
 
O autor.
 
1 
 
Capítulo 1 
 
 
 
 
 
Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão 
2 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.1 - PROBLEMAS 
1.1. Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada coluna. Em (a), o 
segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em (b), a coluna tem uma massa de 
200 kg/m. 
 
 Figura 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Determine o torque resultante interno que age sobre as seções transversais nos pontos C e D do eixo. O eixo está 
preso em B. 
 
 Figura 1.2 
 
 
(a) Coluna (a) 
W2 = 400 × 9,81 × 1,2 = 4,7088 kN 
W1 = 30 × 9,81 × 3 = 8,829 kN ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
NA – 4,7088 – 8,829 – 5 – 6 = 0 
NA = 24,54 kN 
(b) Coluna (b) 
W = 200 × 9,81 × 3 = 5,886 kN ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
NA – 5,886 – 8 – 6 – 6 – 4,5 – 4,5 = 0 
NA = 34,9 kN 
↶ + ∑ MC = Ͳ ∴ 250 − TC = 0 ∴ TC = 250 N.m 
 ↶ + ∑ Mୈ = Ͳ ∴ TD + 250 − 400 = 0 ∴ TD = 150 N.m 
Tensão 
3 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.3. Determine o torque resultante interno que age nas seções transversais nos pontos B e C. 
 
 Figura 1.3 
 
 
 
 
*1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem 
sobre a seção no ponto A. 
 
 Figura 1.4 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ 
TB − 500 + 350 = 0 
TB = 150 N.m 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
TC − 500 = 0 
TC = 500 N.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −VAcos(60°) + NAcos(30°) − 80sen(45°) = 0 [1] 
 ↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
MA + 80cos(45°) × 0,3cos(30°) − 80sen(45°) × (0,1 + 0,3sen30°) = 0 
MA = −0,55 N.m 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VAsen(60°) + NAsen(30°) – 80cos(45°) = 0 [2] 
Solucionando as equações [1] e [2], obtem-se: 
VA = 20,7 N e NA = 77,3 N 
Tensão 
4 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.5. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D do elemento AB. 
 
 
Figura 1.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୆ሺElemento ABሻ = Ͳ 
0,4Ay −70 = 0 
Ay = 175 N 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
175
 
+ Cy = 0 
Cy = 175 N 
↶ + ∑ M୆ሺElemento BCሻ = Ͳ 
0,15 ×175 − 0,2Cx = 0 
Cx = 131,25 N 
՜ + ∑ F x = Ͳ 
Ax – 131,25 = 0 
Ax = 131,25 N 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
ND + 131,25 = 0 
ND = −131,25 N 
՜ + ∑ F୷ =Ͳ 
 – VD – 175 = 0 
VD = −175 N 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
MD + 175 × 0,05 = 0 
MD = −8,75 N.m 
Tensão 
5 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.6. A viga AB é suportada por um pino em A e por um cabo BC. Determine as cargas internas resultantes que agem na 
seção transversal no ponto D. 
 
 
Figura 1.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −2TBCsen(θ) – 5 × 1,2 = 0 
TBC = 12 kN 
ϕ = arctangቀଵ,ଶଵ,଺ቁ = arctang(0,75) = 36,87° 
θ + ϕ = artangቀ ଶଵ,଺ቁ= arctang(1,25) = 51,34° 
θ = 51,34° − 36,87° = 14,47° 
 
ա + ∑ F୶ = Ͳ −ND − 12cos(14,47°) − 5cos(36,87°) = 0 
ND = −15,63 kN 
ՠ + ∑ F୷ = Ͳ 
VD + 12sen(14,47°) – 5sen(36,87) = 0 
VD = 0 kN 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ −MD + dBDTBCsen(θ)−5sen(ϕ) × dBD = 0 
MD = 0 kN.m 
Tensão 
6 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.7. Resolva o Problema 1.6 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E. 
 
Figura 1.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −2TBCsen(θ) – 5 × 1,2 = 0 
TBC = 12 kN 
ϕ = arctangቀଵ,ଶଵ,଺ቁ = arctang(0,75) = 36,87° 
θ + ϕ = artangቀ ଶଵ,଺ቁ = arctang(1,25) = 51,34° 
θ = 51,34° − 36,87° = 14,47° 
 
ա + ∑ F୶ = Ͳ −NE – 12cos(14,47°) – 5cos(36,87°) = 0 
 NE = −15,63 kN 
ՠ + ∑ F୷ = Ͳ 
VE + 12cos(14,47°) – 5sen(36,87°) = 0 
VE = 0 kN 
↶ + ∑ M୉ = Ͳ −ME + dBETBCsen(θ)−5sen(ϕ) × dBE = 0 
ME = 0 kN.m 
Tensão 
7 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.8. A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm peso uniforme de 750 N/m. Se o guindaste e a carga pesam 
1.500 N, determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A, B e C. 
 
Figura 1.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 1 (0≤ x ≤ Ͳ,ͻ mሻ ՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NA = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VA – 0,675 – 1,5 = 0 
VA = 2,17 kN 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −MA−1,5 × 0,9−0,675 × 0,45 = 0 
MA= −1,654 kN.m 
Seção 2 (0≤ x ≤ ͵,͵ m) ՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NB = 0 kN 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ −MB − 1,5 × 3,3 − 2,457 × 1,65 = 0 
MB = −9,034 kN.m 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VB – 2,475 – 1,5 = 0 
VB = 3,98 kN 
Seção 3 (0≤ y ≤ ͳ,ͷ m) ՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
VC = 0 kNNC 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ −MC − 2,925 × 1,95 − 3,9 × 1,5 = 0 
MC = −11,554 kN.m 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ −NC – 1,125 – 2,925 – 1,5 = 0 
NC = −5,55 kN 
 
Tensão 
8 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.9. A força F = 400 N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes na raiz do dente, isto é, 
no centroide da seção a-a (ponto A). 
 
 Figura 1.9 
 
 
 
 
1.10. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que 
passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais. 
 
Figura 1.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ա + ∑ F୶ = Ͳ 
VA – 400cos(15°) = 0 
 VA = 368,37 N 
 ՠ + ∑ F୷ = Ͳ 
NA – 400sen(15°) = 0 
NA = 103,57 N 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −MA + 400cos(15°) × 0,00575 – 400sen(15°) × 0,004 = 0 
MA = 1,808 N.m 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −3 × 27 – ቀ͸ + ଶ × ଵ,ଷହଷ ቁ(8,1) + 6RB = 0 
RB = 22,815 kN 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
RA + 22,815 – 27 – 8,1 = 0 
RA = 12,286 kN 
 
 ՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NC = 0 kN 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
12,285 – 16,2 – VC = 0 
VC = 3,92 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
MC + 16,2 × 1,8 – 12,285 × 3,6 = 0 
MC = 15,07 kN.m 
 
 
Tensão 
9 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.11. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que 
passam pelos pontos D e E. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais. 
 
 
Figura 1.11 
 
 
 
 
 
 
Ponto E 
 
 
 
 
 
Ponto D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −3 × 27 – ቀ͸ + ଶ × ଵ,ଷହଷ ቁ(8,1) + 6RB = 0 
RB = 22,815 kN 
 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
RA + 22,815 – 27 – 8,1 = 0 
RA = 12,286 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NE = 0 kN 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VE – 2,03 = 0 
VE = 2,03 kN 
 ↶ + ∑ M୉ = Ͳ − ME − 2,03 × ଵ,ଷହଷ = 0 
ME = −0,911 kN.m 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
ND = 0 kN 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ −VD – 8,1 + 12,285 = 0 
VD = 4,18 kN 
 ↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
MD + 8,1 × 0,9 – 12,285 × 1,8 = 0 
MD = 14,823 kN.m 
 
Tensão 
10 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.12. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre (a) seção a-a e (b) seção b-b. Cada seção está localizada 
no centroide, ponto C. 
 
Figura 1.12 
 
(a) Seção a-a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
3,6 × 3 – 6sen(45°) × RB = 0 
RB = 2,545 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ − NC − 2,5456cos(45°) = 0 
NC = −1,8 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
2,5456sen(45°) − 2,4 + VC = 0 
VC = −1,723 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
MC + 2,4 × 2 – 2,5456 × 4sen(45°) = 0 
MC = 2,4 kN.m 
 
(b) Seção b-b 
 ՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NC + 2,5456 – 2,4cos(45°) = 0 
NC = −0,85 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VC – 2,4sen(45°) = 0 
VC = 1,7 kN 
 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
MC + 2,4 × 2 – 2,5456 × 4sen(45°) = 0 
MC = 2,4 kN.m 
 
Tensão 
11 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.13. Determine a resultante das forças internas normal e de cisalhamento no elemento e : (a) seção a-a e (b) seção b-
b, sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. Considerando θ = 60°. A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo 
do centroide do elemento. 
 
 
 Figura 1.13 
 
 
 
 
 
1.14. Determine a resultante das forças interna normal e de cisalhamento no elemento na seção b-b, cada uma em função 
de θ. Represente esses resultados em gráficos para Ͳ ≤ θ ≤ ͻͲ°. A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do 
centroide do elemento. 
 
 
 Figura 1.14 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
Va-a = 0 N 
՜ + ∑ F୷ = Ͳ 
Na-a = 650 N 
 ՛ + ∑ F୶ = Ͳ 
Nb-b = 650sen(90°− 60º) 
Nb-b = 325 N 
 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Vb-b = 650cos(90° − 60º) 
Vb-b = 563 N 
՛ + ∑ F୶ = Ͳ 
Nb-b – 650sen(90°− θ) = 0 
Nb-b = 650cos(θ) 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Vb-b − 650cos(90°− θ) = 0 
Vb-b = 650sen(θ) 
 
(a) Seção a-a (b) Seção b-b 
Tensão 
12 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.15. A carga de 4.000 N está sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M, que pesa 450 N. Determine 
as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B na viga. A viga pesa 600 N/m e está 
fixada à parede em A. 
 
 
Figura 1.15 
 
 
 
 
 
 
 
*1.16. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelos pontos C e D da viga no 
Problema 1.15. 
 
Figura 1.16 
Continua... 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −NB – 2 = 0 
NB = − 2 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VB – 0,72 – 4 = 0 
VB = 4,72 kN 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ −MB − 0,72 × 0,6 + 2 × 0,45 − 4 × 1,275 = 0 
MB = −4,632 kN.m 
 
Tensão 
13 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
Ponto C 
 
 
 
 
 
Ponto D 
 
 
 
 
 
1.17. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B. 
 
Figura1.17 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −NC – 2 = 0 
NC = −2 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VC – 4 – 1,26 = 0 
VC = 5,26 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ −MC + 2 × 0,45 – 1,26 × 1,05 – 4 × 2,175 = 0 
MC = −9,123 kN.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
ND = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VD – 2,52 – 4 – 0,45 = 0 
VD = 6,97 kN 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ −MD − 0,45 × 1,2 − 2,52 × 2,1 − 4 × 4,275 = 0 
MD = −22,932 kN.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NB = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VB – 1.440 = 0 
VB = 1.440 kN 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ −MB – 1.440 × ସଷ = 0 
MB = −1.920 kN.m 
 
Tensão 
14 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.18. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção 
transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais. 
 
Figura 1.18 
 
 
 
 
Ponto C 
 
 
 
 
 
1.19. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D no Problema 1.18. 
 
Figura 1.19 
 
Continua... 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −4,5 × 4,5 – 4,5 × 6 + 9RB = 0 
RB = 5,25 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
RA + 5,25 – 4,5 – 4,5 = 0 
RA = 3,75 kN 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NC = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ −VC – 0,5 – 1,5 + 3,75 = 0 
VC = 1,75 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
MC – 3,75 × 3 + 0,5 × 1 + 1,5 × 1,5 = 0 
MC = 8,5 kN.m 
Tensão 
15 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
Ponto D 
 
 
 
 
 
*1.20. A estrutura do poste de energia elétrica suporta os três cabos, e cada um deles exercem uma força de 4 kN nas 
escoras. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A, B e C, determine as cargas internas resultantes nas seções 
transversais que passam pelos pontos D, E e F. 
 
 
 Figura 1.20 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −4,5 × 4,5 – 4,5 × 6 + 9RB = 0 
RB = 5,25 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
RA + 5,25 – 4,5 – 4,5 = 0 
RA = 3,75 kN 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
ND = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VD – 0,5 – 3,5 + 5,25 = 0 
VD = −1,25 kN 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ −MD - 3,5 × 1,5 − 0,5 × 2 + 5,25 × 3 = 0 
MD = 9,5 kN.m 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
Ax − Cx = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ −Ay – Cy + 12 = 0 [2] ↶ + ∑ M = Ͳ M – 4 × 1,2 – 4 × 1,2 + 4,1,2 = 0 
M = 4,8 kN.m 
Continua... 
Tensão 
16 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
PontoD 
 
 
Ponto E 
 
 
 
Ponto F 
 
 
 
 
1.21. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2,5 kN. O pino de ligação está conectado à chapa em A e B. A 
ação de aperto sobre a borda do tambor é tal que somente forças horizontais e verticais são exercidas sobre o tambor em 
G e H. Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto I. 
 
Figura 1.21 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ 
1,2Ay + 0,9Ax – 4 × 2,4 = 0 [3] ↶ + ∑ M୆ = Ͳ 11,2Cy + 0,9Cx − 4 × 2,4 = 0 [4] Resolvendo as equações, obtem-se: Ax = 2,67 kN Ay = 6 kN 
Cx = 2,67 kN Cy = 6 kN 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
VD = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
ND = 0 kN 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
MD = 0 kN.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −VE + 2,67 = 0 
VE = 2,67 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
NE − 6 = 0 
NE = 6 kN 
↶ + ∑ M୉ = Ͳ 
ME − 2,67 × 0,9 = 0 
ME = 2,4 kN.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
VF + 2,67 – 2,67 = 0 
VF = 0 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
NF – 6 – 6 = 0 
NF = 12 kN 
↶ + ∑ M୊ = Ͳ 
MF + 2,67 × 0,9 − 2,67 × 2,67 = 0 
MF = 4,8 kN.m 
Continua... 
Tensão 
17 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
Ponto I 
 
 
 
 
 
1.22. Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos K e J no guindaste de 
tambores no Problema 1.21. 
 
 Figura 1.22 
 
 
 
 
 
RAC = RBD = R 
 ՛ + ∑ F୷ = Ͳ −RACcos(30°) – RBDcos(30°) + 2,5 = 0 
R = 1,443 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
VI – 1,443cos(60°) = 0 
VI = 0,722 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ −NI + 1,443sen(60°) = 0 
NI = 1,25 kN 
 ↶ + ∑ M୍ = Ͳ −MI + 1,443cos(60°) × 0,2 = 0 
MI = 0,144 kN.m 
 
RAC = RBD = R ՛ + ∑ F୷ = Ͳ −RACcos(30°) – RBDcos(30°) + 2,5 = 0 
R = 1,443 kN 
Continua... 
Tensão 
18 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
Ponto J 
 
 
 
 
 
 Ponto K 
 
 
 
 
1.23. O cano tem massa de 12 kg/m. Se ele tiver fixado à parede em A, determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal em B. Despreze o peso da chave CD. 
 
 
 Figura 1.23 
 
 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NJ + 1,443 = 0 
NJ = −1,443 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VD = 0 kN 
↶ + ∑ M୎ = Ͳ 
MJ = 0 kN.m 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
3,016 − NK = 0 
NK = 3,016 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VK = 0 kN 
↶ + ∑ M୏ = Ͳ 
MK = 0 kN.m 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
(NB)x = 0 N 
՛ + ∑ F୸ = Ͳ 
(VB)z = 12 × 9,81 × 0,4 + 12 × 9,81 × 0,2 
(VB)z = 70,6 N 
↶ + ∑ሺT୆ሻ୶ = Ͳ 
(TB)x = 47,088 × 0,2 
(TB)x = 9,42 N.m 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
(VB)y = 0 N 
↶ + ∑ሺM୆ሻ୷ = Ͳ 
(MB)y = 60 × 0,35 – 60 × 0,05 – 47,088 × 0,2 – 23,544 × 0,1 
(MB)y = 6,23 N.m 
↶ + ∑ሺM୆ሻ୸ = Ͳ 
(MB)z = 0 N.m 
Tensão 
19 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.24. A viga mestra AB suporta a carga na asa do avião. As cargas consideradas são a reação da roda de 175 kN em 
C, o peso de 6 kN do combustível no tanque da asa, com centro de gravidade em D, e o peso de 2 kN da asa, com centro 
de gravidade em E. Se a viga estiver fixada à fuselagem em A, determine as cargas internas resultantes na viga nesse 
ponto. Considere que a asa não transfere nenhuma carga à fuselagem, exceto pela viga. 
 
 Figura 1.24 
 
 
 
 
 
 
1.25. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B do poste de 
sinalização. O poste está fixado ao solo, e uma pressão uniforme de 50 N/m² age perpendicularmente à parede frontal 
da placa de sinalização. 
 
 Figura 1.25 Continua... 
∑ F୶ = Ͳ 
(VA)x = 0 kN 
∑ F୷ = Ͳ 
(NA)y = 0 kN 
∑ F୸ = Ͳ 
(VA)z + 175 – 6 – 2 = 0 
(VA)z = −167 kN ↶ + ∑ሺT୅ሻ୷ = Ͳ 
(TA)y + 0,45 × 6 – 0,3 × 2 = 0 
(TA)y = −2,1 kN.m 
↶ + ∑ሺM୅ሻ୸ = Ͳ ሺۻۯሻܢ = ૙ ↶ + ∑ሺM୅ሻ୶ = Ͳ (MA)x – 6 × 1,8 – 2 × 3,6 + 175 × 3 = 0 
(MA)x = −507 kN.m 
Tensão 
20 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
1.26. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e está sujeito ás polias nele fixadas. Determine 
as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D. As forças de 400 N agem na direção 
–z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção +y. Os suportes A e B exercem somente as componentes y e z da força 
sobre o eixo. 
 
 Figura 1.26 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ F୶ = Ͳ 
(VB)x = 750 N 
∑ F୷ = Ͳ 
(VB)y = 0 N 
∑ F୸ = Ͳ 
(NB)z = 0 N 
∑ሺT୆ሻ୸ = Ͳ 
(TB)z = 570 × 0,5 
(TB)z = 375 N.m ↶ + ∑ሺM୆ሻ୶ = Ͳ 
(MB)x = 0 N.m 
↶ + ∑ሺM୆ሻ୷ = Ͳ 
 (MB)y = 750 × 7,5 
 (MB)y = 5.625 N.m 
∑ M୆ = Ͳ 
(0,4i) × (160j) + (0,7i) × (400j) + (1,1i) × (-800k) + (1,4i) × (- Ay j + Az k) = 0 
(880 – 1,4Az)j + (334 + 1,4Ay)k = 0 
880 – 1,4Az = 0 ∴ Az = 628,57 N 
334 + 1,4Ay = 0 ∴ Ay = 245,71 N 
∑ F୷ = Ͳ 
By = 314,29N 
∑ F୸ = Ͳ 
Bz = 171,43 N 
Continua... 
Tensão 
21 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.27. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais, A e B, e está sujeito às forças aplicadas às polias nele 
fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C. As forças de 
400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção +y. Os apoios A e B exercem somente as 
componentes y e z da força sobre o eixo. 
 
 Figura 1.27 
 
 
 
 
 
 
∑ F୶ = Ͳ 
(ND)x = 0 N 
∑ F୷ = Ͳ 
(VD)y + 160 – 314,29 = 0 
(VD)y = 154,3 kN 
∑ F୸ = Ͳ 
(VD)z + 171,43 = 0 
(VD)z = −171,4 N 
∑ሺTୈሻ୶ = Ͳ 
(TD)x = 0 N.m 
↶ + ∑ሺMୈሻ୷ = Ͳ 
(MD)y + 171,43 × 0,55 = 0 
(MD)y = −94,3 N.m 
↶ + ∑ሺMୈሻ୸ = Ͳ 
(MD)z + 314,29 × 0,55 – 160 × 0,15 = 0 
(MD)z = −149 N.m 
∑ M୆ = Ͳ 
(0,4i) × (160j) + (0,7i) × (400j) + (1,1i) × (−800k) + (1,4i) × (−Ayj + Azk) = 0 
(880 – 1,4Az)j + (334 + 1,4Ay)k = 0 
880 – 1,4Az = 0 ∴ Az = 628,57 N 
334 + 1,4Ay = 0 ∴ Ay = 245,71 N 
∑ F୷ = Ͳ 
By = 314,29 N 
∑ F୸ = Ͳ 
Bz = 171,43 N 
Continua... 
Tensão 
22 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
*1.28. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal da estrutura nos pontos F e G. O contato 
em E é liso. 
 
 Figura 1.28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ F୶ = Ͳ 
(NC)x = 0 N 
∑ F୷ = Ͳ 
(VC)y − 246 = 0 
(VC)y = 246 N 
∑ F୸ = Ͳ 
(VC)z – 800 + 628,57 = 0 
(VC)z = 171 N 
∑ሺTେሻ୶ = Ͳ 
(TC)x = 0 N.m 
↶ + ∑ሺMେሻ୷ = Ͳ 
(MC)y – 800 × 0,2 + 629 × 0,5 = 0 
(MC)y = −154 N.m 
↶ + ∑ሺMେሻ୸ = Ͳ 
(MC)z + 246 × 0,5 = 0 
(MC)z = −123 N.m 
՜ + ∑ F୷ = Ͳ 
720 – By − 720sen(30°) = 0 
By = 360 N 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ 
0,9Cy – 720sen(30°) × 1,8 = 0 
Cy = 720 N 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
1,5FE – 400 × 2,7 = 0 
FE = 720 N 
Ponto F 
 
ՠ + ∑ F୶ = Ͳ 
NF = 0 N 
ա + ∑ F୷ = Ͳ 
VF – 400 = 0 
VF = 400 N 
↶ + ∑ M୊ = Ͳ − MF – 400 × 0,6 = 0 
MF = 240 N.m 
Continua... 
Tensão 
23 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
1.29. A haste do parafuso está sujeita a uma tensão de 400 N. Determine as cargas internas resultantes que agem na 
seção transversal no ponto C. 
 
Figura 1.29 
 
 
 
 
 
1.30. O cano tem massa de 12 kg/m e está preso à parede em A. Determine as cargas internas resultantes que agem na 
seção transversal que passa por B. 
 
 Figura 1.30 
 
 
Ponto G 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
83,54 + NG = 0 
NG = 83,54 N 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VG – 360 = 0 
VG = 360 N 
↶ + ∑ Mୋ = Ͳ 
360 × 0,45 − MG = 0 
MG = 162 N.m 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
400 + NC = 0 
NC = −400 N 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VC = 0 N 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
MC + 400 × 0,15 = 0 
MC = −60 N.m 
∑ F୶ = Ͳ 
(VB)x = 0 N 
∑ F୷ = Ͳ 
(NB)y = −600 N ∑ F୸ = Ͳ (VB)z = 235,44 + 235,44 + 450 ∴ (VB)z = 921 N 
Continua..
. 
Tensão 
24 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
1.31. A haste curvada tem raio r e está presa em B. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção 
transversal que passa pelo ponto A, o qual está localizado a um ângulo θ em relação à horizontal. 
 
 Figura 1.31 
 
 
 
 
 
*1.32. A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w. Se ela estiver no plano horizontal, determine as 
cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B. Dica: A distância entre o centroide C 
do segmento AB e o ponto O é CO = 0,9745r. 
 
 Figura 1.32 
 
 
 
↶ + ∑ሺM୆ሻ୶ = Ͳ 
(MB)x = 1 × 235,44 + 2 × 235,44 + 2 × 45 
(MB)x = 1.606 N.m 
∑ሺT୆ሻ୷ = Ͳ 
(TB)y = 0 N.m 
↶ + ∑ሺM୆ሻ୸ = Ͳ 
(MB)z = −800 N.m 
ՠ + ∑ F୶ = Ͳ 
NA – Psen(90° − θ) = 0 
NA = Pcos(θ) 
ա + ∑ F୷ = Ͳ 
VA – Pcos(90° − θ) = 0 
VA = Psen(θ) 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
MA – P(r – rcosθ) = 0 
MA = Pr(1 – cosθ) 
∑ F୷ = Ͳ 
NB = 0 
∑ F୸ = Ͳ 
VB – πସ rw = 0 ∴ VB = 0,785 wr ∑ሺM୆ሻ୶ = Ͳ (MB)x + πସ rw × 0,9745rsen(22,5°) = 0 ∴ (MB)x = −0,293wr² 
 
∑ሺT୆ሻ୷ = Ͳ 
TB = 
πସ rw(r – 0,9745rcos22,5°) 
TB = 0,0783 wr² 
 
Tensão 
25 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.33. Um elemento diferencial tomado de uma barra curva é mostrado na figura. Mostre que dN/dθ = V, dV/dθ = −N, 
dM/dθ = −T e dT/dθ = M. 
 
 
Figura 1.33 
 
 ∑ F୶ = Ͳ ∴ Ncos ቀୢθଶ ቁ + Vsen ቀୢθଶ ቁ − ሺN + dNሻ cos ቀୢθଶ ቁ + ሺV + dVሻsen ቀୢθଶ ቁ = Ͳ ∑ F୷ = Ͳ ∴ Nsen ቀୢθଶ ቁ − Vcos ቀୢθଶ ቁ + ሺN + dNሻ sen ቀୢθଶ ቁ + ሺV + dVሻcos ቀୢθଶ ቁ = Ͳ ∑ M୶ = Ͳ ∴ Tcos ቀୢθଶ ቁ + Msen ቀୢθଶ ቁ − ሺT + dTሻ cos ቀୢθଶ ቁ + ሺM + dMሻsen ቀୢθଶ ቁ = Ͳ ∑ M୷ = Ͳ ∴ Tsen ቀୢθଶ ቁ − Mcos ቀୢθଶ ቁ + ሺT + dTሻ sen ቀୢθଶ ቁ + ሺM + dMሻcos ቀୢθଶ ቁ = Ͳ sen ቀୢθଶ ቁ = ୢθଶ , cos ቀୢθଶ ቁ = ͳ Vdθ − dN + ୢ୚ୢθଶ = Ͳ ∴ Vdθ − dN = Ͳ ∴ ܌ۼ܌𝛉 = ܄ Ndθ + dV + ୢ୒ୢθଶ = Ͳ ∴ Ndθ + dV = Ͳ ∴ ܌܄܌𝛉 = −ۼ Mdθ − dT + ୢ୑ୢθଶ = Ͳ ∴ Mdθ − dT = Ͳ ∴ ܌𝐓܌𝛉 = ۻ Tdθ + dM + ୢ୘ୢθଶ = Ͳ ∴ Tdθ + dM = Ͳ ∴ ܌ۻ܌𝛉 = −𝐓 
Tensão 
26 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.2 - PROBLEMAS 
1.34. A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN aplicada no centroide da área da seção transversal. Determine a 
tensão normal média que age na seção a-a. Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da 
área. 
 
 Figura 1.34 
A = 10 × 150 × 2 + 10 × 140 = 4.400 mm² 
ı = ୔୅ = ଼ × ଵ଴యସ.ସ଴଴ = 1,82 MPa 
1.35. O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm, determine a tensão 
média de cisalhamento no pino. 
 
Figura 1.35 
 
IJ୫éୢ = ୚୅ = ୚πరୢమ = ଵ,ହ × ଵ଴యπర × ଺మ = 53,05 MPa 
Tensão 
27 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.36. Durante uma corrida, o pé de um homem com massa 75 kg é submetido momentaneamente a uma força 
equivalente a 5 vezes o seu peso. Determine a tensão normal média desenvolvida na tíbia T da perna desse homem na 
seção a-a. A seção transversal pode ser considerada circular, com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro interno de 25 
mm. Considere que a fíbula F não está suportando nenhuma carga. 
 
Figura 1.36 
 P = 5mg = 5 × 75 × 9,81 = 3.678,75 N 
ıméd= ୔୅ = ୔πరሺୢబమ − ୢ౟మሻ = ଷ.଺଻଼,଻ହπరሺସହమ − ଶହమሻ = 3,346 MPa 
 
1.37. O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções 
transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume 
infinitesimal localizados em cada seção. 
 
 Figura 1.37 
 σ୆ = NBɎͶdBʹ = ͷͲͲɎͶ × ͸ͷʹ = 151 kPa σେ = NCɎͶdCʹ = ͷͲͲɎͶ × ͳͶͲʹ = 32,5 kPa σୈ = NDɎͶdDʹ = ʹͲͲɎͶ ×ͳͲͲʹ = 25,5 kPa 
Tensão 
28 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.38. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm. Se a distância de tensão no apoio desenvolvida pela carga variar como 
mostra a figura, determine a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto onde ela é aplicada.Figura 1.38 
 
 
 
 
 
1.39. A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB, cujo diâmetro médio é 6 mm. Se um binário for 
aplicado à alavanca, determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a alavanca. 
 
 
Figura 1.39 
 
T = 20 × 0,5 = 10 N.m ɒ୫éୢ = ୘ଶ୲୅ౣéౚ = ଵ଴ଶ × ଴,଴଴଺ × ஠ × ଴,଴଴ଷ; = 29,5 MPa 
 
 
 
F1 = (60 + 40) × 106 × (0,120/2) = 30 kN 
F2 = 40 × 106 × 0,03 × 0,005 = 6 kN ՠ + ∑ F୷ = Ͳ F = 30 + 6 = 36 kN ↶ + ∑ M = Ͳ ଶଷ × 60 × 6 + 124 × 30 – 36d = 0 
 d = 110 mm 
Tensão 
29 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.40. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média 
atingir 0,84 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar. 
 
Figura 1.40 
A = 350 × 25 × 2 + 3 × 50 × 100 = 32.500 mm² σ୰୳୮ = PadmA ∴ Padm = ırupA = 0,84 × 32.500 = 27,3 kN 
 
1.41. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se ele for submetido a uma força P = 4 kN aplicada 
em seu centro, determine a tensão normal média no material. Mostre o resultado sobre um elemento de volume 
infinitesimal do material. 
 
Figura 1.41 
A = 350 × 25 × 2 + 3 × 50 × 100 = 32.500 mm² 
 σ୰୳୮ = PadmA = Ͷ × ͳͲ͵͵ʹ.ͷͲͲ = 0,123 MPa 
 
Tensão 
30 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.42. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Determine qual das hastes 
está submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor. Considere θ = 30°. O diâmetro de cada haste é dado na 
figura. 
 
Figura 1.42 
 
 
 
 
1.43. Resolva o Problema 1.42 para θ = 45°. 
 
 Figura 1.43 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
FACcos(30°) − FADcos(45°) = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ FACsen(30°) + FADsen(45°) – 250 = 0 [2] Resolvendo as equações [1] e [2]: FAC = 183,2 N e FAD = 224,2 N 
ı୅ୈ = ୊ఽీπరୢఽీమ = ଶଶସ,ଶπర × ଻,ହమ ોۯ۲ = 5,07 MPa ı୅େ =
୊ఽిπరୢఽిమ = ଵ଼ଷ,ଶπర × ଺మ ોۯ۱ = 6,473 MPa 
 
ı୅୆ = ୊ఽాπరୢఽామ = ଶହ଴πర × ଽమ ોۯ۰ = 3,93 MPa 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
FACcos(45°) − FADcos(45°) = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ FACsen(45°) + FADsen(45°) – 250 = 0 [2] Resolvendo as equações [1] e [2]: FAC = FAD = 176,78 N 
ı୅୆ = ୊ఽాπరୢఽామ = ଶହ଴πర × ଽమ = 3,93 MPa ı୅େ = ୊ఽిπరୢఽిమ = ଵ଻଺,଻଼πర × ଺మ = 6,252 MPa ı୅ୈ = ୊ఽీπరୢఽీమ = ଵ଻଺,଻଼πర × ଻,ହమ = 4,001 MPa 
Tensão 
31 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.44. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Determine o ângulo de 
orientação θ de AC de modo que a tensão normal média na haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste 
AD. Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
 
 Figura 1.44 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.45. O eixo está sujeito à força axial de 30 kN. Se ele passar pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, 
determine a tensão no mancal que age sobre o colar C. Determine também a tensão de cisalhamento média que age ao 
longo da superfície interna do colar no ponto onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro. 
 
Figura 1.45 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
FACcos(θ) – FADcos(45°) [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FACsen(θ) + FADsen(45°) – 250 = 0 [2] 
ıAC = 2ıAD 
FAC = 1,28FAD [3] 
Solucionando as equações: 
θ = 56,466° 
FAD = 140,92 N 
FAC = 180,377 N 
ı୅ୈ = ୊ఽీπరୢఽీమ = ଵସ଴,ଽଶπర × ଻,ହమ ોۯ۲ = 3,19 MPa ı୅େ =
୊ఽిπరୢఽిమ = ଵ଼଴,ଷ଻଻πర × ଺మ ોۯ۱ = 6,38 MPa ı୅୆ = ୊ఽాπరୢఽామ = ଶହ଴πర × ଽమ ોۯ۰ = 3,93 MPa 
σ୫ୟ୬ୡୟ୪ = ୔୅ = ଷ଴ሺଵ଴యሻಘరሺ଺଴మ − ହଷమሻ ોܕ܉ܖ܋܉ܔ = ૝ૡ, ૜ ۻ۾܉ ɒ୫éୢ =
୚୅ = ଷ଴ሺଵ଴యሻ஠ሺହଶሻሺଵ଴ሻ ૌܕé܌ = 18,4 MPa 
Tensão 
32 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.46. Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angular de 60°. Determine a tensão de 
cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda. 
 
 Figura 1.46 
 
 
 
 
 
 
1.47. O gancho é usado para sustentar o tubo de tal modo que a força no parafuso vertical é 775 N. Determine a tensão 
normal média desenvolvida no parafuso BC se ele tiver diâmetro de 8 mm. Considere que A seja um pino. 
 
Figura 1.47 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ − 8 + Vcos(60°) + Ncos(30°) = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ − Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 [2] Resolvendo [1] e [2], obtem-se: V = 4 kN e N = 6,93 kN A′ = ୅ୱୣ୬ሺ଺଴°ሻ = ଶହ × ଷ଴ୱୣ୬ሺ଺଴°ሻ = 866,03 mm² ɒ୫éୢ = ୚୅′ = ସ × ଵ଴య଼଺଺,଴ଷ = 4,62 MPa σ = ୒୅′ = 8 MPa 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
775 × 0,04 – 0,07FBCcos(20°) = 0 
FBC = 471,28 N 
σ୆େ = ୊ాిಘరୢాిమ = ସ଻ଵ,ଶ଼ಘర × ଼మ = 9,38 MPa 
Tensão 
33 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.48. A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N. Determine a tensão de cisalhamento média e 
a tensão normal média desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da seção a-a a 15° em relação ao eixo da 
prancha. 
 
Figura 1.48 
 
 
 
 
 
 
1.49. A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 N e uma placa a outra. Determine as 
componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga cria na face da solda, seção AB. 
 
 Figura 1.49 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
- Vcos(15°) – Ncos(75°) + 425 = 0 [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Nsen(75°) − Vsen(15°) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: N = 109,86 N e V = 410 N 
 σ = NA = ͳͲͻ,ͺ͸ʹͷ × ͹ͷsenሺͳͷ°ሻ = 0,0152 MPa ɒ୫éୢ = ୚୅ = ସଵ଴ʹͷ × ͹ͷsenሺͳͷ°ሻ = ૙, ૙૞૟ૠ ۻ۾܉ 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
Vcos(60°) − Ncos(30°) + 250 = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ − Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: N = 216,506 N e V = 125 N 
σ = NA = ʹͳ͸,ͷͲ͸ͳͷͲ × ͷͲsenሺ͸Ͳ°ሻ = 25 kPa ɒ୫éୢ = ୚୅ = ଵଶହͳͷͲ × ͷͲsenሺ͸Ͳ°ሻ = ૚૝, ૝૜ ܓ۾܉ 
Tensão 
34 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52° sob uma carga axial de 100 kN. Se o diâmetro 
do corpo de prova for 12 mm, determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média que agem na área do 
plano de falha inclinado. Determine também qual a tensão normal média em atuação sobre a seção transversal quando 
acorreu a falha. 
 
Figura 1.50 
 
 
 
 
 
 
 
1.51. Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P. Determine a 
tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma seção na qual ela ocorre. 
 
 
Figura 1.51 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
100 – Ncos(38°) – Vcos(52°) = 0 [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ −Vsen(52°) + Nsen(38°) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: N = 78,8 kN e V = 61,57 kN 
σ = NA = ͹ͺ,ͺ × ͳͲ͵Ɏ × ͳʹʹͶsenሺͷʹ°ሻ = 549,05 MPa ɒ୫éୢ = ୚୅ = ଺ଵ,ହ଻ × ଵ଴యɎ × ͳʹʹͶsenሺͷʹ°ሻ = ૝૛ૢ ۻ۾܉ 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
Ncos(90°−θ) + Vcos(θ)−P = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ Nsen(90°−θ) – Vsen(θ) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: 
 N = Vtang(θ) e V = ୔ୱୣ୬ሺθሻ୲ୟ୬୥ሺθሻ + ୡ୭ୱ ሺθሻ 
Para que V seja máximo, ୢ୚ୢθ = 0 
Logo: θ = 45° 
Substituindo θ em V, obtem-se: V = ୔√ଶ ɒ୫éୢ = ୚୅′ = ୚ʹAsenሺͶͷ°ሻ = ۾૛ۯ 
Tensão 
35 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.52. A junta está submetida a uma força axial de 5 kN. Determine a tensão normal média que age nas seções AB e 
BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura. 
 
Figura 1.52 
 
 
 
 
 
 
1.53. O garfoestá sujeito a força e a um binário. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso que age nas 
seções transversais que passam por A e B. O parafuso tem 6 mm de diâmetro. Dica: O binário sofre a resistência de um 
conjunto de forças desenvolvidas nas hastes do parafuso. 
 
 Figura 1.53 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
NABcos(30°) – 5cos(45°) = 0 [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ − NBC − NABsen(30°) + 5sen(45°) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: NAB = 4,082 kN e NBC = 1,4945 kN 
 
ı୅୆ = NABAAB = Ͷ,ͲͺʹቀͳͲ͵ቁͶͲ × ͷͲ = 2,04 MPa ı୆େ = NBCABC = ͳ,ͶͻͶͷቀͳͲ͵ቁͷͲ × ͷͲ = 0,598 MPa 
Continua... 
Tensão 
36 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
ૌۯ = ૙ ۻ۾܉ ∑ F୸ = Ͳ ∴ ʹ,ͷ − ʹF୸ = Ͳ ∴ F୸ = ͳ,ʹͷ kN ∑ M୸ = Ͳ ∴ ͳʹͲ − Ͳ,ͲͷF୶ = Ͳ ∴ F୶ = ʹ.ͶͲͲ N = ʹ,Ͷ kN F୆ = √F୶ଶ + F୷ଶ = √ʹ.ͶͲͲଶ + ͳ.ʹͷͲଶ = ʹ.͹Ͳ͸,Ͳͳ N ሺɒ୆ሻ୫éୢ = ଶ.଻଴଺,଴ଵಘర×଺మ = ૢ૞, ૠ ۻ۾܉ 
1.54. Os dois elementos usados na construção da fuselagem de um avião estão interligados por uma solda em boca-de-
peixe a 30°. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média no plano de cada solda. Considere que 
cada plano inclinado suporta uma força horizontal de 2 kN. 
 
Figura 1.54 
 
 
 
 
 
1.55. Os grampos na fileira AB contida no grampeador estão colados de modo que a tensão de cisalhamento máxima 
que a cola pode suportar é θmáx = 84 kPa. Determine a força mínima F que deve ser aplicada ao êmbolo para extrair um 
grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem deformação pela fenda em C. As dimensões externas do 
grampo são mostradas na figura, e a espessura é 1,25 mm. Considere que todas as outras partes são rígidas e despreze o 
atrito. 
 
 Figura 1.55 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ − Ncos(60°) – Vcos(30°) + 2 = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ Nsen(60°) – Vsen(30°) = 0 [2] Solucionando as equações [1] e [2]: N = 1 kN e V = 1,732 kN 
ı = ୒୅ = ଵ଴యయళ,ఱ × మఱ౩౛౤ሺయబ°ሻ = Ͳ,ͷ͵͵͵͵ MPa = ૞૜૜, ૜૜ ܓ۾܉ IJ୫éୢ = ୚୅ = ଵ,଻ଷଶ × ଵ଴యయళ,ఱ × మఱ౩౛౤ሺయబ°ሻ = Ͳ,ͻʹ͵͹͸ MPa = ૢ૛૜, ૠ૟ ܓ۾܉ 
A = (7,5 – 1,25) × 1,25 × 2 + 12,5 × 1,25 = 31,25 mm² 
 θ୫á୶ = FA ∴ Fmín = Aθmáx = 31,25 × 0,084 = 2,63 N 
Tensão 
37 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.56. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se for aplicada uma carga de 8 kN ao anel 
em B, determine a tensão normal média em cada haste se θ = 60°. 
 
 Figura 1.56 
 
 
 
 
 
1.57. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao 
anel em B, determine o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente. Qual 
é essa tensão? 
 
 Figura 1.57 
 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
FBCcos(60°) – FAB = 0 [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FBCsen(60°) – 8 = 0 [2] 
Solucionando [1] e [2], obtem-se: 
FBC = 9,2376 kN e FAB = 4,6188 kN 
ı୅୆ = FABπͶdABʹ = Ͷ,͸ͳͺͺ × ͳͲ͵πͶ × Ͷʹ = ૜૟ૡ ۻ۾܉ ı୆େ = ୊ాిπరୢాిమ = ଽ,ଶଷ଻଺ × ଵ଴యπర × ଺మ = ૜૛ૠ ۻ۾܉ 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
FBCcos(θ) – FAB = 0 [1] 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FBCsen(θ) – 8 = 0 [2] 
Resolvendo [1] e [2], obtem-se: 
FBC = 
଼ୱୣ୬ሺθሻ e FAB = ଼୲ୟ୬୥ሺθሻ 
 
ıAB = ıBC ∴ θ = 63,6° 
FBC = 
଼ୱୣ୬ሺ଺ଷ,଺°ሻ = 8,93 kN ı୅୆ = ı୆େ = ୊ాిπరୢాిమ = ଼,ଽଷ × ଵ଴యπర × ଺మ = ૜૚૟ ۻ۾܉ 
Tensão 
38 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.58. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². Determine a tensão normal média em 
cada elemento resultante da aplicação da carga P = 40 kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão. 
 
 
Figura 1.58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto C ↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
40 × 2,4 + 30 × 1,2 − 0,9FBC = 0 
FBC = 146,667 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
0,8FAB – FAE = 0 
FAE = 53,33 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
0,6FAB – 40 = 0 
 FAB = 66,667 kN 
Ponto A Ponto B ՛ + ∑ F୷ = Ͳ − 0,6FAB − FBE + 0,6FBD = 0 
FBD = 116,667 kN 
Ponto E ՜ + ∑ F୶ = Ͳ − FED + FAE = 0 
FED = 53,33 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FBE – 30 = 0 
FBE = 30 kN 
ı୅୆ = ୊ఽా୅ = ଺଺,଺଺଻ × ଵ଴య଻଼଴ = ૡ૞, ૝ૠ ۻ۾܉ ሺ𝐓ሻ 
ı୅୉ = σ୉ୈ = ହଷ,ଷଷ × ଵ଴య଻଼଴ = ૟ૡ, ૜ૠ૟ ۻ۾܉ ሺ۱ሻ 
ı୆୉ = ୊ాు୅ = ଷ଴ × ଵ଴య଻଼଴ = ૜ૡ, ૝૟૛ ۻ۾܉ ሺ𝐓ሻ 
ı୆ୈ = ୊ాీ୅ = ଵଵ଺,଺଺଻ × ଵ଴య଻଼଴ = ૚૝ૢ, ૞ૠ૜ ۻ۾܉ ሺ۱ሻ 
ı୆େ = ୊ాి୅ = ଵସ଺,଺଺଻ × ଵ଴య଻଼଴ = ૚ૡૡ, ૙૜૝ ۻ۾܉ ሺ𝐓ሻ 
Tensão 
39 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.59. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². Se a tensão normal máxima em qualquer 
barra não pode ultrapassar 140 MPa, determine o valor máxima P das cargas que podem ser aplicadas à treliça. 
 
Figura 1.59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*1.60. O tampão é utilizado para vedar a extremidade do tubo cilíndrico que está sujeito a uma pressão interna p = 650 
Pa. Determine a tensão de cisalhamento média que a cola exerce sobre os lados do tubo necessária para manter o tampão 
no lugar. 
 
 Figura 1.60 
Ponto A ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
0,6FAB – P = 0 
FAB = 1,667P 
Ponto E ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FBE – 0,75P = 0 
FBE = 0,75P 
σ୅୆ = σୟୢ୫ = FABA ͳͶͲ = ଵ,଺଺଻୔଻଼଴ 
P = 65,52 kN 
σ୆୉ = σୟୢ୫ = FBEA ͳͶͲ = ଴,଻ହ୔଻଼଴ 
P = 145,6 kN 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ 
2,4P + 0,75P × 1,2 − 0,9FBC = 0 
FBC = 3,667P 
σ୆େ = σୟୢ୫ = FBCA ͳͶͲ = ଷ,଺଺଻୔଻଼଴ 
P = 29,78 kN 
ɏ = VA ∴ V = ɎͶ × Ͳ,Ͳ͵ͷ; × ͸ͷͲ = Ͳ,͸ʹͷͶ N 
IJ୫éୢ = ୚୅ = ଴,଺ଶହସπ × ଴,଴ସ × ଴,଴ଶହ = ૚ૢૢ ۾܉ 
Tensão 
40 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.61. O alicate de pressão é usado para dobrar a extremidade do arame E. Se uma força de 100 N for aplicada nas hastes 
do alicate, determine a tensão de cisalhamento média no pino em A. O pino está sujeito a cisalhamento duplo e tem 
diâmetro de 5 mm. Somente uma força vertical é exercida no arame. 
 
Figura 1.61 
 
 
 
 
 
1.62. Resolva o Problema 1.61 para o pino B, o qual está sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de diâmetro. 
 
 Figura 1.62 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୉ = Ͳ 
37,5Ay – 87,5By = 0 [1] 
↶ + ∑ Mୈ = Ͳ − 25By + 100 × 125 = 0 [2] Solucionando [1] e [2], obtem-se: Ay = 1.166,667 N e By = 500 N ሺIJ୫éୢሻ୅ = ୅౯ଶ୅ = ଵ.ଵ଺଺,଺଺଻ଶ × ɎͶ × ͷ; = ૛ૢ, ૠ૙ૢ ۻ۾܉ 
↶ + ∑ M୉ = Ͳ 
37,5Ay – 87,5By = 0 [1] ↶ + ∑ Mୈ = Ͳ − 25By + 100 × 125 = 0 [2] 
Resolvendo [1] e [2], obtem-se: 
Ay = 1.166,667 N e By = 500 N 
ሺIJ୫éୢሻ୆ = ୆౯ଶ୅ = ଵ.ଵ଺଺,଺଺଻ଶ × ɎͶ × ͷ; = ૚૛, ૠ૜૛ ۻ۾܉ 
Tensão 
41 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.63. A lâmpada de engate do vagão é sustentada pelo pino de 3 mm de diâmetro em A. Se a lâmpada pesar 20 N e peso 
do braço extensor AB for 8 N/m, determine a tensão de cisalhamento média no pino necessária para sustentar a lâmpada. 
Dica: A força de cisalhamento no pino é causada pelo binário exigido para o equilíbrio em A. 
 
Figura 1.63 
 
 
 
 
*1.64. A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento distribuído mostrado. Determine a tensão normal 
média e a tensão de cisalhamento média que agem nas seções a-a e b-b. A seção transversal quadrada do elemento CB 
tem 35 mm. Considere w = 8 kN/m. 
 
 Figura 1.64 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ − 0,45 × 7,2 – 0,9 × 20 + 0,032V = 0 
V = 663,75 N 
IJ୫éୢ = ୚୅ = ଺଺ଷ,଻ହπర × ଷ² = ૢ૜, ૢ૙૚ ۻ۾܉ 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
0,8FBC × 3 – (8 ×3) × 1,5 = 0 
FBC = 15 kN՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
15 – Nୟ−ୟ = 0 
Na-a = 15 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Va-a = 0 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ Nୠ−ୠ – 15 × 0,6 = 0 
Nb-b = 9 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
15 × 0,8 − Vୠ−ୠ = 0 
Vb-b = 12 kN 
Seção a-a Seção b-b 
ıୟ−ୟ = ଵହ × ଵ଴యଷହ × ଷହ = ૚૛, ૛ ۻ۾܉ IJୟ−ୟ = ૙ ۻ۾܉ ıୠ−ୠ = ଽ × ଵ଴యଷହ × ଷହ = ૝, ૝૚ ۻ۾܉ IJୠ−ୠ = ଵଶ × ଵ଴యଷହ × ଷହ = ૞, ૡૡ ۻ۾܉ 
Tensão 
42 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.65. O elemento A da junta escalonada de madeira usada na treliça está submetida a uma força de compressão de 5 
kN. Determine a tensão normal média que age na haste do pendural C com diâmetro de 10 mm e no elemento B com 
espessura de 30 mm. 
 
 Figura 1.65 
 
 
 
 
1.67. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determine a tensão de cisalhamento média 
desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada 
um tem diâmetro de 18 mm. 
 
 Figura 1.67 
 
 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
5cos(60°) – FB = 0 
 FB = 2,5 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ − 5cos(30°) + FC = 0 
FC = 4,33 kN 
ıେ = ୊ి୅ୡ = ସ,ଷଷ × ଵ଴యπర × ଵ଴మ = ૞૞, ૚ ۻ۾܉ 
ı୆ = ୊ాAB = ଶ,ହ × ଵ଴యସ଴ × ଷ଴ = ૛, ૙ૡ ۻ۾܉ 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
2 × 15 × 0,5 + 4 × 15 × 2 + 4 × 15 × 3,5 + 4,5 × 15 – FBCsen(30°) = 0 
FBC = 165 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −165cos(30°) + Ax = 0 
Ax = 142,8942 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ −15 – 4 × 15 – 4 × 15 – 2 × 15 + Ay + 165sen(30°) = 0 
Ay = 60,5 kN 
 A = √ሺA୶ሻ; + ሺA୷ሻ; = √ͳͶʹ,ͺͻͶʹଶ + ͸Ͳ,ͷଶ 
A = 165 kN 
IJ୅ = ୅ଶ୅′ = ଵ଺ହ × ଵ଴యଶ × ಘర × ଵ଼మ = ૜૛૝ ۻ۾܉ ૌ۰ = ૌ۱ = ૜૛૝ ۻ۾܉ 
Tensão 
43 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.68. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Determine o valor máximo P das cargas que a viga 
suportará se a tensão de cisalhamento média em cada pino não puder ultrapassar 80 MPa. Todos os pinos sofrem 
cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18 mm. 
 
 Figura 1.68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.69. A estrutura está sujeita a carga de 1 kN. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso em A em função 
do ângulo da barra θ. Represente essa função em gráfico para Ͳ ≤ θ ≤ ͻͲ° e indique os valores de θ para os quais essa 
tensão é mínima. O parafuso tem diâmetro de 6 mm e está sujeito a cisalhamento simples. 
 
 Figura 1.69 
 
 
 
Continua... 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ − 0,5 × P – 4P × 1,5 – 4P × 3 – 2P × 4,5 + 5Ay = 0 
 Ay = 5,5P 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ − P – 4P – 4P – 2P + 5,5P + FBCsen(30°) = 0 
FBC = 11P 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
Ax − 11P × cos(30°) = 0 
Ax = 9,5263P 
A = √A୶ଶ + A୷ଶ = √ሺͻ,ͷʹ͸͵Pሻଶ + ሺͷ,ͷPሻଶ = 11P 
IJୟୢ୫ = ୅ଶ୅′ ∴ ͺͲ = ଵଵ୔ଶ × πర × ଵ଼మ 
P = 3,70 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
0,15FABcosθ + 0,6 FABsenθ – 1,05 = 0 
 F୅୆ = ͳ,ͲͷͲ,͸senθ + Ͳ,ͳͷcosθ 
ɒ୅ = ୊ఽా୅ = ૚૜૜,ૠ ૛,૚૟ܛ܍ܖ𝛉 + ૙,૞૝܋ܗܛ𝛉 
Tensão 
44 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
1.70. O guindaste giratório está preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode deslocar-se ao 
longo da flange inferior da viga, Ͳ,͵ m ≤ x ≤ ͵,͸ m. Se a capacidade de carga normal máxima do guindaste for 7,5 kN, 
determine a tensão normal média máxima na barra BC de 18 mm de diâmetro e a tensão de cisalhamento média máxima 
no pino de 16 mm de diâmetro em B. 
 
 
Figura 1.70 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a tensão seja mínima: ୢதdθ = Ͳ ୢதୢθ ቀ ଵଷଷ,଻ଶ,ଵ଺ୱୣ୬θ + ଴,ହସୡ୭ୱθቁ = Ͳ 
Sendo assim, resolvendo a derivada, obtem-se: θ = 75,96° 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −7500x + 3FBCsen(30°) = 0 
FBC = 5.000x 
Para que a tensão seja máxima: x = 3,6 m 
FBC = 5.000 × 3,6 = 18.000 N 
ıୠୟ୰୰ୟ = FBCABC = ͳͺ.ͲͲͲπͶ × ͳͺʹ = ૠ૙, ૠ૜૟ ۻ۾܉ 
IJ୮୧୬୭ = FBCAB = ͳͺ.ͲͲͲπͶ × ͳ͸ʹ = ૝૝, ૠ૟૛ ۻ۾܉ 
Tensão 
45 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.71. A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P. Determine a tensão normal média e a 
tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um ângulo θ em relação à horizontal. 
Represente em gráfico a variação dessas tensões em função de θ (Ͳ ≤ θ ≤ ͻͲº). 
 
Figura 1.71 
 
 
 
 
 
 
 
*1.72. A lança tem peso uniforme de 3 kN e é alçada até a posição desejada por meio do cabo BC. Se o cabo tiver 
diâmetro de 15 mm, construa um gráfico da tensão normal média no cabo em função da posição da lança θ para Ͳ ≤θ ≤ ͻͲº. 
 
 Figura 1.72 
Continua... 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ − P + Ncos(90° − θ) + Vcos(θ) = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Nsen(90° − θ) – Vsen(θ) = 0 [2] 
Solucionando as equações [1] e [2], obtem-se: 
N = Psen(θ) e V = −Pcosሺθሻ = Pcosሺθሻ ՠ 
ı = ୒୅′ = ୔ୱୣ୬θఽ౩౛౤θ = ۾ۯ ܛ܍ܖ૛𝛉 ɒ = ୚୅′ = ୔ୡ୭ୱθఽ౩౛౤θ = ۾૛ۯ ܛ܍ܖ૛𝛉 
Tensão 
46 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.73. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m². Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída 
uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura, determine a tensão 
normal média na barra em função de x para Ͳ < x ≤ Ͳ,ͷ m. 
 
 
Figura 1.73 
 
 
 
 
 
(BC)² = 1² + 1² − 2 × 1 × 1 × cos(ϕ) 
BC = √ʹ − ʹsenሺθሻ (√ʹ − ʹsenθ൯ଶ = ሺͳ − senθሻଶ + xଶ 
x = cosθ 
cosሺαሻ = ୶√ଶ − ଶୱୣ୬ሺθሻ = ୡ୭ୱθ√ଶ − ଶୱୣ୬θ 
 sen(α) = ଵ − ୱୣ୬ሺθሻ√ଶ − ଶୱୣ୬ሺθሻ 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −3 × 0,5cos(θ) + Fcos(α) × [1 – (1 – senθ)] + Fsen(α)cos(θ) = 0 
F = 1,5√ʹ − ʹsenሺθሻ kN 
σ୆େ = FA = ቀͳ,ͷ√ʹ – ʹsenሺθሻቁቀͳͲ͵ቁɎͶ × ͳͷʹ ≅ ૚૛√૚ − ܛ܍ܖ𝛉 ۻ۾܉ 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
3 + 6 + 8 × 1,25 – R = 0 
R = 19 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ ሺSeçãoሻ 
N + 8x – 19 = 0 
N = (19 – 8x) kN 
ı = ୒୅ = ሺଵଽ − ଼୶ሻ(ଵ଴య൯ସ଴଴ = ሺ૝ૠ, ૞ − ૛૙ܠሻ ۻ۾܉ 
Tensão 
47 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.74. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m². Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída 
uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura, determine a tensão 
normal média na barra em função de x para Ͳ,ͷ m < x ≤ ͳ,ʹͷ m. 
 
 Figura 1.74 
 
 
 
 
1.75. A coluna é feita de concreto de densidade 2,30 Mg/m³ e está sujeita a uma força de compressão axial de 15 kN 
em sua extremidade superior B. Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação 
à base. Observação: por causa da deformação localizada nas extremidades, o resultado servirá apenas para determinar 
a tensão normal média em seção removida das extremidades da coluna. 
 
 Figura 1.75 
 
 
 
 
 
 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
3 + 6 + 8 × 1,25 – R = 0 
R = 19 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ ሺSeçãoሻ 
N + 6 + 8x – 19 = 0 
N = (13 – 8x) kN 
σ = ୒୅ = ሺଵଷ − ଼୶ሻ(ଵ଴య൯ସ଴଴ × ଵ଴−ల = ሺ૜૛, ૞ − ૛૙ܠሻ ۻ۾܉ 
V = (π × 0,180²)(4) = 0,4071504076 m3 
W = (2,30 × ͳͲଷሻ(9,81)(0,4071504076) = 9,186535 kN P(z) = ρ × V(z) = (2,3 × ͳͲଷ)(9,81)(π × 0,182 × z) = (2,2966z) kN 
՛ + ∑ Fy = Ͳ 
F – 9,186535 –15 = 0 
F = 24,186535 kN 
՛ + ∑ Fy = Ͳ ሺSeçãoሻ − N – 2,2966z + 24,186535 = 0 
N = (24,186535−2,2966z) kN ı = ୒୅ = ሺଶସ,ଵ଼଺ହଷହ − ଶ,ଶଽ଺଺୸ሻ(ଵ଴య൯π × ଴,ଵ଼଴మ = ሺ૛૜ૠ, ૟ − ૛૛, ૟ܢሻ ܓ۾܉ 
Tensão 
48 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.76. A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada. Determine a maior intensidade w da 
carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na 
seção b-b ultrapasse ı = 15 MPa e ɒ = 16 MPa, respectivamente. O elemento CB tem seção transversal quadrada de 30 
mm de lado. 
 
Figura 1.76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
4VA – 1,5 × 3w = 0 
VA = 1,125w 
↶ + ∑ M୆ = Ͳ 
1,5 × 3w – 3HA = 0 
HA = 1,5w 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
HB – 1,5w = 0 H୆ = ͳ,ͷw 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
1,5w – Vb-b = 0 
Vb-b = 1,5w 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
1,125 – Nb-b = 0 
Nb-b = 1,125w 
A′ = ୅ୱୣ୬θ = ଷ଴ ×ଷ଴଴,଺ = ͳ.ͷͲͲ mmଶ 
ıୠ−ୠ = ୒ౘ−ౘ୅′ ∴ ͳͷ = ଵ,ଵଶହ୵ଵ.ହ଴଴ 
w = 20 kN/m 
ɒୠ−ୠ = ୚ౘ−ౘ୅′ ∴ ͳ͸ = ଵ,ହ୵ଵ.ହ଴଴ 
w = 16 kN/m 
Tensão 
49 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.77. O pedestal suporta uma carga P em seu centro. Se a densidade de massa do material for ρ, determine a dimensão 
radial r em função de z de modo que a tensão normal no pedestal permaneça constante. A seção transversal é circular. 
 
 Figura 1.77 σ = ୔ + ୛భ୅ = ୔ + ୛భ + ୢ୛୅ + ୢ୅ ∴ PdA + WଵdA = AdW ୢ୛ୢ୅ = ୔ + ୛భ୅ = σ ∴ dA = Ɏሺr + drሻଶ − Ɏrଶ = ʹɎrdr dW = Ɏrଶɏgdz ∴ ஠୰మ஡୥ୢ୸ଶ஠୰ୢ୰ = σ ∴ σ = ஠஡୥ୢ୸ଶୢ୰ ஡୥୸ଶσ ∫ dz୸଴ = ∫ ୢ୰୰୰మ୰భ ∴ ஡୥୸ଶσ = ln ୰୰భ ∴ r = rଵeቀಙౝమσቁ୸ σ = ୔஠୰భమ ∴ ܚ = ܚ૚܍(ૈܚ૚૛ૉ܏૛۾ )ܢ 
1.78. O raio do pedestal é definido por ݎ = (Ͳ,ͷ𝑒−଴,଴଼௬మ൯ m, onde y é dado em metros. Se o material tiver densidade 
de 2,5 Mg/m³, determine a tensão normal média no apoio. 
 
Figura 1.78 V = ∫ Ɏଷ଴ ቀͲ,ͷe−Ͳ,Ͳͺyʹቁʹ dy = ͳ,ͷͺͶͲͶ mͿ 
N = W = ρ × g × V = (2,5 × 103)(9,81)(1,58404) = 38,848 kN 
 ı୫éୢ = ୒π୰మ = ଷ଼,଼ସ଼ × ଵ଴యπ × ଴,ହమ = ૝ૢ, ૞ ܓ۾܉ 
Tensão 
50 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.79. A barra uniforme com área da seção transversal A e massa por unidade de comprimento m está apoiada por um 
pino em seu centro. Se ela girar no plano horizontal a uma velocidade angular constante 𝜔, determine a tensão normal 
média na barra em função de x. 
 
 
Figura 1.79 
 
 
 ՚ + ∑ F୶ = ma୒ N = m [ଵଶ ሺL − ʹxሻ] ωଶ [ଵସ ሺL + ʹxሻ] N = ୫ωమ଼ ሺLଶ − Ͷxଶሻ σ = ୒୅ = ܕ𝛚૛ૡۯ (ۺ૛ − ૝ܠ૛൯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão 
51 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.3 – PROBLEMAS 
1.80. O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4 kN. Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10 
mm de espessura, determine, com aproximação de 5 mm, a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de 
cisalhamento média não exceda 𝜏adm = 2,1 MPa. 
 
Figura 1.80 
 
 V = ହ୔ଵଷ = ହ × ସ × ଵ଴యଵଷ = ͳ,ͷ͵ͺ kN IJୟୢ୫ = ୚୅ = ୚୲୦ ∴ ଵ,ହଷ଼ × ଵ଴యଵ଴୦ = ʹ,ͳ ∴ h = 73,24 mm ≅ 75 mm 
1.81. A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por 
cisalhamento para os parafusos for 𝜏rup = 350 MPa. Use um fator de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 
 
Figura 1.81 
 
 IJ୰୳୮ = FS ୚୅ ∴ d = √FS ସ୚πIJ౨౫౦ = √ଶ,ହ × ସ × ଶ଴ × ଵ଴యπ × ଷହ଴ = ૚૜, ૝ૢ ܕܕ 
Tensão 
52 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.82. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é ırup = 510 MPa. Usando um fator de 
segurança FS = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga 
mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C. 
 
 Figura 1.82 
 
 
 
 
1.83. A manivela está presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm. Se o eixo for fixo e uma 
força vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo, determine a dimensão d se a tensão de cisalhamento 
admissível para a chaveta for 𝜏adm = 35 MPa. 
 
 
Figura 1.83 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −4 × 2 – 6 × 4 – 5 × 7 – 10FCD = 0 
FCD = 6,7 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FAB – 15 + 6,7 = 0 
FAB = 8,3 kN 
ı୰୳୮ = FS ୔୅ ∴ d = √FS ͶFABɎσrup d = √ଵ,଻ହ × ସ × ଼,ଷ × ଵ଴యπ × ହଵ଴ = ૟, ૙૛ ܕܕ 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
20Fa-a – 200 × 500 = 0 
Fa-a = 5 kN 
ɒୟୢ୫ = ୊౗−౗୅౗−౗ ∴ ͵ͷ = ହ(ଵ଴య൯ଶହୢ ∴ d = 5,71 mm 
Tensão 
53 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.84. O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
sombreado, que tem a menor seção transversal. Determine o menor tamanho a das duas soldas se a força aplicada á 
chapa for P = 100 kN. A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é 𝜏adm = 100 MPa. 
 
Figura 1.84 
 
 
A = 2a × 100 × cos(45°) = (141,42a) mm² 
 IJୟୢ୫ = ୚୅ ∴ ͳͲͲ = ଵ଴଴ × ଵ଴యଵସଵ,ସଶୟ ∴ a = 7,071 mm 
1.85. O tamanho do cordão de solda é a = 8 mm. Considerando que a junta falhe por cisalhamento em ambos os lados 
do bloco ao longo do plano sombreado, que é a menor seção transversal, determine a maior força P que pode ser aplicada 
à chapa. A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é 𝜏adm = 100 MPa. 
 
Figura 1.85 
 
 
A = 2 × 8 × 100 × cos(45°) = 1.131,371 mm² ɒadm = IJୟୢ୫ = ୚୅ ∴ ͳͲͲ = ୔ଵ.ଵଷଵ,ଷ଻ଵ ∴ P = 113,14 kN 
Tensão 
54 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.86. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 kN. Determine seu diâmetro d com aproximação de 
múltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximação de múltiplos de 5 mm do suporte de modo que a arruela 
não penetre ou cisalhe o suporte. A tensão normal admissível para o parafuso é ıadm = 150 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível para o material do suporte é 𝜏adm = 35 MPa. 
 
Figura 1.86 
ıୟୢ୫ = ୔୅ ∴ d = √ସ × ଶହ × ଵ଴యπ × ଵହ଴ = ͳͶ,ͷ͹ mm ≅ ૚૞ ܕܕ ɒୟୢ୫ = ୚୅ ∴ h = ଶହ × ଵ଴యଶπ × ଵଶ,ହ × ଷହ = ͻ,Ͳͻ mm ≅ ૚૙ ܕܕ 
1.87. A estrutura está sujeita a carga de 8 kN. Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de 
cisalhamento admissível para o material for𝜏adm = 42 MPa. O pino A está sujeito a cisalhamento duplo, ao passo que o 
pino B está sujeito a cisalhamento simples. 
 
 Figura 1.87 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ 
3FD – 8 × 2,1 = 0 
FD = 5,6 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −Ax + 8 = 0 
Ax = 8 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ −A୷ + ͷ,͸ = Ͳ 
Ay = 5,6 kN 
A = √A୶; + A୷; = √ͺଶ + ͷ,͸ଶ 
A = 9,765 kN 
IJୟୢ୫ = ୚ଶ୅′ ∴ d୅ = √ ଶ୅πIJ౗ౚౣ = √ଶ × ଽ,଻଺ହ × ଵ଴యπ × ସଶ = ૚૛, ૚૟૟ ܕܕ ↶ + ∑ Mୈ = Ͳ −1,5FBCsen(α) + 3Ay = 0 
FBC = 15,84 kN 
d୆ = √ ସ୊ాి஠த౗ౚౣ = √ସ × ଵହ,଼ସ × ଵ଴య஠ × ସଶ ܌۰ = ૛૚, ૢ૚૜ ܕܕ 
Tensão 
55 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.88. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de tração 
admissível ıadm = 200 MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for P = 5 kN. 
 
 Figura 1.88 
 
 
 
 
 
 
1.89. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível 
ıadm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver diâmetro de 6 mm e o cabo AC tiver diâmetro de 4 mm, determine a maior força 
P que pode ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe. 
 
 Figura 1.89՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
0,8TAC – TABsen(60°) = 0 [1] 
 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
0,6TAC + TABcos(60°) – 5 = 0 [2] 
Solucionando [1] e [2], obtem-se: 
TAB = 4,35 kN e TAC = 4,71 kN 
σୟୢ୫ = ୘ఽా୅ఽా ∴ d୅୆ = √ ସ୘ఽా஠σ౗ౚౣ = √ସ ×ସ,ଷହ × ଵ଴య ஠ ×ଶ଴଴ ܌ۯ۰ = ૞, ૛૟ ܕܕ σୟୢ୫ =
୘ఽి୅ఽి ∴ d୅େ = √ ସ୘ఽి஠σ౗ౚౣ = √ସ ×ସ,଻ଵ × ଵ଴య ஠ ×ଶ଴଴ ܌ۯ۰ = ૞, ૝ૡ ܕܕ 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ 
0,8FAC − FABcos(30°) = 0 [1] ՛ + ∑ F୷ = Ͳ 0,6FAC + FABcos(30°) – P = 0 [2] Solucionando [1] e [2], obtem-se: FAB = 0,87P e FAC = 0,941726P 
ıୟୢ୫ = ୊ఽా୅ఽా ∴ ͳͺͲ = ଴,଼଻୔πర × ଺మ 
P = 5,85 kN 
ıୟୢ୫ = ୊ఽి୅ఽి ∴ ͳͺͲ = ଴,ଽସଵ଻ଶ଺୔πర × ସమ 
P = 2,4 kN 
Tensão 
56 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.90. A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6 mm com tensão normal admissível ıadm = 168 MPa. 
Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando θ = 30° e ϕ = 45°. Despreze o 
tamanho do guincho. 
 
 Figura 1.90 
 
 
 
 
1.91. A lança é suportada pelo cabo do guincho cuja tensão normal admissível é ıadm = 168 MPa. Se a lança tiver de 
levantar lentamente uma carga de 25 kN, de θ = 20° até θ = 50°, determine o menor diâmetro do cabo com aproximação 
de múltiplos de 5 mm. O comprimento da lança AB é 6 m. Despreze o tamanho do guincho. Considere d = 3,6 m. 
 
 Figura 1.91 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ − [Tcos(60°) + W] × 6cos(45°) + Tsen(60°) × 6sen(45°) = 0 
T = 2,73206W 
ıୟୢ୫ = ୘୅ ∴ ͳ͸ͺ = ଶ,଻ଷଶ଴଺୛πర × ଺మ 
W = 1,739 kN 
tangሺʹͲ°ሻ = ͸senሺϕሻ͵,͸ + ͸cos ሺϕሻ 
(3,6 + 6cosϕ) × tang(20°) = 6sen(ϕ) 
(0,6 + cosϕ) × tang(20°) = sen(ϕ) 
1,13247cos²ϕ + 0,159cosϕ – 0,95231 = 0 
Resolvendo a equação, obtem-se: Φ = 31,842° 
α = 90° − 31,842° = 58,158° 
ȕ = 31,842° – 20º = 11,842° 
α + ȕ = 58,158° + 11,842° = 70° 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ − [Tcos(70°) + 25] × 6cos(31,842°) + Tsen(70°) × 6sen(31,842°) = 0 
T = 103,491 kN 
ıୟୢ୫ = ୘୅ ∴ d଴ = √ ସ୘πı౗ౚౣ = √ସ × ଵ଴ଷ,ସଽଵ × ଵ଴యπ × ଵ଺଼ d଴ = ʹͺ mm ≅ ૜૙ ܕܕ 
Tensão 
57 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.92. A estrutura está sujeita ao carregamento distribuído de 2 kN/m. Determine o diâmetro exigido para os pinos em 
A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for 𝜏adm = 100 MPa. Ambos os pinos estão sujeitos a 
cisalhamento duplo. 
 
 Figura 1.92 
 
 
 
 
 
 
1.93. Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem suportar é P = 150 
kN. A tensão de tração, a tensa de apoio e a tensão de cisalhamento admissível são (ıt)adm = 175 MPa, (ıa)adm = 275 MPa 
e ıadm = 115 MPa. 
 
Figura 1.93 
 
 
 
 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ 
3HA – 6 × 1,5 = 0 
HA = 3 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −3 + HB = 0 
HB = 3 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
VA + VB – 6 = 0 
VA = VB = 3 kN 
R୅ = √H୅; + V୅; = √͵ଶ + ͵ଶ = Ͷ,ʹͶ͵ kN 
IJୟୢ୫ = ୖఽଶ୅ ∴ √ ଶୖఽπIJ౗ౚౣ = √ଶ × ସ,ଶସଷ × ଵ଴యπ × ଵ଴଴ = ૞, ૛૙ ܕܕ 
ሺσୟሻୟୢ୫ = PA͵ ∴ dଷ = √ ସ୔πሺı౗ሻ౗ౚౣ = √ସ × ଵହ଴ × ଵ଴యπ × ଶ଻ହ = ૛૟, ૝ ܕܕ 
ıୟୢ୫ = ୔୅య ∴ t = ୔ı౗ౚౣπୢయ = ଵହ଴ × ଵ଴యଵଵହ × π × ଶ଺,ସ = ૚૞, ૡ ܕܕ 
 
ሺσ୲ሻୟୢ୫ = ୔୅భ dଵ = √ ସ୔ ஠ሺσ౪ሻ౗ౚౣ + dଶ; = √ସ × ଵହ଴ × ଵ଴య஠ × ଵ଻ହ + ͵Ͳଶ ܌૚ = ૝૝, ૟ ܕܕ 
Tensão 
58 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.94. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (ıa)adm = 2,8 MPa, determine os 
tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. Considere P = 7,5 kN. A dimensão das 
chapas deverá ter aproximação de 10 mm. As reações nos apoios são verticais. 
 
 Figura 1.94 
 
 
 
 
 
 
 
1.95. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (ıa)adm = 2,8 MPa, determine a carga 
P máxima que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm × 50 
mm e 100 mm × 100 mm, respectivamente. 
 
 Figura 1.95 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −10 × 1,5−15 × 3−10 × 4,5 + 4,5 FB – 7 × 7,5 = 0 
FB = 35 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FA + 35 − 10 – 10 – 15 – 10 – 7,5 = 0 
FA = 17,5 kN 
 ሺσୟሻୟୢ୫ = ୊ఽሺୟఽሻమ ∴ ʹ,ͺ = ଵ଻,ହ × ଵ଴యሺୟఽሻమ 
aA = 80 mm 
ሺσୟሻୟୢ୫ = ୊ాሺୟాሻమ ∴ ʹ,ͺ = ଷହ × ଵ଴యሺୟాሻమ 
aB = 120 mm 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −10 × 1,5 – 15 × 3 – 10 × 4,5FB – 7P = 0 F୆ = ቀ͹Ͳ͵ + ͳͶͻ Pቁ kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
FA + FB – 10 – 10 – 15 – 10 – P = 0 F୅ = ቀ͸ͷ͵ − ͷͻ Pቁ kN 
ሺıୟሻୟୢ୫ = ୊ఽ୅ఽ ʹ,ͺ = ቀలఱయ − ఱవ୔ቁ(ଵ଴య൯ହ଴ × ହ଴ 
P = 26,4 kN ሺıୟሻୟୢ୫ = ୊ా୅ా ∴ ʹ,ͺ = ቀళబయ + భరవ ୔ቁ(ଵ଴య൯ଵ଴଴ × ଵ଴଴ ∴ P = 3 kN 
 
Tensão 
59 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*1.96. Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e os diâmetros exigidos para os pinos em A e 
B se a tensão normal admissível for ıadm = 21 MPa e a tensão de cisalhamento for 𝜏adm = 28 MPa. 
 
Figura 1.96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
↶ + ∑ M୅ = Ͳ −7,5 × 0,6 – 7,5 × 1,8 + 2,4By = 0 
By = 7,5 kN 
՛ + ∑ F୷ = Ͳ 
Ay –7,5 – 7,5 + By = 0 
Ay = 7,5 kN 
↶ + ∑ Mେ = Ͳ −Bx × L × sen(60°) + 7,5 × L × cos(60°) = 0 
Bx = 4,33 kN 
՜ + ∑ F୶ = Ͳ −4,33 + Cx = 0 
Cx = 4,33 kN 
՜ + ∑ F୶ሺElemento ABሻ = Ͳ −Ax + 4,33 = 0 
Ax = 4,33 kN 
A = √A୶; + A୷; = √Ͷ,͵͵ଶ + ͹,ͷଶ = ͺ,͸͸ kN 
ሺIJୟୢ୫ሻ୅ = ୅୅ఽ ∴ d୅ = √ ସ୅πIJ౗ౚౣ = √ସ × ଼,଺଺ × ଵ଴యπ × ଶ଼ ܌ۯ = ૚ૢ, ૡ૝ ܕܕ 
d୆ = √ ଶ୆஠த౗ౚౣ = √ଶ × ଼,଺଺ × ଵ଴య஠ × ଶ଼ = ૚૝, ૙૜ ܕܕ A୆େ = ୊ాిσ౗ౚౣ = ଼,଺଺ × ଵ଴యଶଵ = ૝૚૛, ૟ ܕܕ² 
Tensão 
60 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.97. O conjunto consiste em três discos A, B e C usados para suportar a carga de 140 kN. Determine o menor diâmetro 
d1 do disco superior, o diâmetro d2do espaço entre os apoios e o diâmetro d3 do orifício no disco inferior. A tensão de 
apoio admissível para o material é (ıadm)a = 350 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é 𝜏adm = 125 MPa. 
 
 
Figura 1.97 
 
 
 
 
 
 
1.98. As tiras A e B devem ser coladas com a utilização das duas tiras C e D. Determine a espessura exigida t para C e 
D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. A largura das tiras A e B é 1,5 vezes a das tiras C e D. 
 
 
Figura 1.98 
 σ୅ = σ୆ = σେ 
 
ସ଴ሺଷ଴ሻሺଵ,ହ୵ሻ = ଶ଴୵୲ 
t = 22,5 mm 
 
ሺıୟୢ୫ሻୟ = ୔୅భ ∴ dଵ = √ ସ୔πı౗ౚౣ = √ସ × ଵସ଴ × ଵ଴యπ × ଷହ଴ = ૛૛, ૟ ܕܕ 
IJୟୢ୫ = ୔୅మ ∴ dଶ = ୔π୲IJ౗ౚౣ = ଵସ଴ × ଵ଴యπ × ଵ଴ × ଵଶହ = ૜૞, ૠ ܕܕ ሺσୟୢ୫ሻୟ = ୔୅య ∴ dଷ = √dଶଶ − ସ୔஠σ౗ౚౣ = √͵ͷ,͸ͷଶ − ସ × ଵସ଴ × ଵ଴య஠ × ଷହ଴ = ૛ૠ, ૟ ܕܕ 
Tensão 
61 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
1.99. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (ıa)adm = 2,8 MPa, determine os 
tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. A dimensão das chapas deve ter 
aproximação de múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são verticais. Considere P = 7,5 kN. 
 
 Figura 1.99 
 
 
 
 
*1.100. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (ıa)adm = 2,8 MPa, determine a carga 
máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm × 50 
mm e 100 mm × 100 mm, respectivamente.