Lista 08 Superfícies Quádricas Geometria Analitica FURG

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Lista de Exerc´ıcios 08 Superf´ıcies Qua´dricas
1. Seja a esfera de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 9. Identifique as sec¸o˜es que obtemos desta esfera a
partir dos planos:
a) pi : x = −3
b) pi : y = 4
c) pi : z = 0
2. Nos casos em que a intersec¸a˜o do plano pi com o elipso´ide Ω for uma elipse, determine seu
centro, focos, ve´rtices e excentricidade. Se for uma circunfereˆncia, determine seu centro e o
raio.
a) Ω :
x2
64
+
y2
100
+
z2
4
= 1 ; pi : y − 5 = 0
b) Ω : x2 + 9y2 + 4z2 = 36 ; pi : x+ 2
√
5 = 0
c) Ω : 4x2 + 4y2 + 9z2 − 2 = 0 ; pi : z + 13 = 0
3. Seja o elipso´ide de equac¸a˜o S :
x2
4
+
y2
9
+
z2
8
= 1.
a) Esboce o gra´fico das sec¸o˜es planas de S para os planos x = 1, y =
√
3 e z = −2.
b) Determine as equac¸o˜es dos planos que sa˜o perpendiculares aos eixos coordenados e que
sa˜o tangentes ao elipso´ide S.
4. Determine a equac¸a˜o geral do plano tangente a` esfera S de centro na origem e raio 2 que tem
o ponto P como ponto de tangeˆncia.
a) P(1, 1,
√
2)
b) P(−1,√2, 1)
c) P(1,
√
3, 0)
5. Determine os planos tangentes a` esfera S de centro na origem e raio 3 que sa˜o paralelos ao
plano x+ y − z − 2 = 0.
6. Sabendo que uma esfera tem centro na origem e sua sec¸a˜o plana obtida de sua intersec¸a˜o com
o plano x = 2 e´ a coˆnica de equac¸a˜o y2 + z2 = 9 contida nesse plano, determine a equac¸a˜o
dessa esfera.
7. Determine a equac¸a˜o do elipso´ide de centro na origem, tal que as sec¸o˜es planas paralelas ao
plano xOz sejam c´ırculos, o plano x = 3 seja tangente a` superf´ıcie e o ponto
(√
3, 2
√
3
3 ,
√
3
)
pertenc¸a ao elipso´ide.
8. Descreva a curva intersec¸a˜o do hiperbolo´ide Ω com o plano pi e determine, quando for o caso:
centro, focos, ass´ıntotas, raio.
a) Ω : x2 − 4y2 + 5z2 = 1 ; pi : z + 1√
5
= 0
b) Ω : −3x2 − 4z2 + 5y2 = −43 ; pi : y = 1
c) Ω :
x2
2
− y
2
2
− z2 = 1 ; pi : y + 2 = 0
FURG 1 Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 08 Superf´ıcies Qua´dricas
9. Seja o hiperbolo´ide de uma folha dado pela equac¸a˜o: S :
x2
4
− y
2
9
+
z2
2
= 1:
a) Esboce o gra´fico de suas sec¸o˜es planas para os planos: x =
√
2, y =
√
3 e z = −2;
b) Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole obtida ao intersectarmos a superf´ıcie com o plano z = 4.
10. Um hiperbolo´ide de duas folhas tem as seguintes propriedades: (i) suas sec¸o˜es planas paralelas
ao plano xOy sa˜o c´ırculos e elas ocorrem somente para intersec¸a˜o com planos z = k com |k| ≥
4; (ii) Tem a seguinte sec¸a˜o plana:
{
z2
32 − y
2
4 = 1
x = 3
. Determine a equac¸a˜o do hiperbolo´ide.
11. Determine as sec¸o˜es planas do parabolo´ide el´ıptico x = y
2
12 +
z2
20 obtidas de sua intersec¸a˜o com
os planos:
a) x = 5
b) y = 3
c) z = −1
12. Considere a para´bola C :
{
y = −2z2
x = 0
. Determine as equac¸o˜es da superf´ıcie de revoluc¸a˜o
obtida de C em torno do eixo Oy.
13. Determine as sec¸o˜es planas do parabolo´ide hiperbo´lico S : y = x
2
2 − z
2
18 obtidas de sua intersec¸a˜o
com os planos:
a) x = −3
b) y = 1
c) z =
√
3
14. Deˆ o valor de k e a equac¸a˜o do parabolo´ide hiperbo´lico que conte´m as sec¸o˜es
{
x2 − y2 = 1
z = k
e
{
z = −4x2
y = 0
.
15. Seja a superf´ıcie coˆnica de equac¸a˜o
x2
4
− y
2
9
− z
2
8
= 0. Determine as equac¸o˜es das sec¸o˜es nos
planos abaixo, identificando-as e especificando seus elementos.
a) x = −3
b) y = 0
c) z = 4
16. Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie coˆnica cujo eixo e´ o Ox, sua sec¸a˜o plana obtida da in-
tersec¸a˜o com o plano x = 1 e´ a coˆnica
{
y2 + z2 = 4
x = 1
e que conte´m a reta
{
z = 2x
y = 0
.
17. Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie coˆnica com ve´rtice na origem que conte´m o c´ırculo
{
x2 + z2 = 9
y = 2
.
FURG 2 Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 08 Superf´ıcies Qua´dricas
18. Considere a superf´ıcie coˆnica de equac¸a˜o S : x
2
4 +
y2
4 = z
2:
a) Determine a sec¸a˜o S no plano x = 0, identificando a geratriz de S que na˜o intersecta o
segundo e o quarto quadrantes do plano x = 0;
b) Mostre que o plano pi que passa pelo ponto P (0,−2, 1), paralelo aos vetores ~v = (1, 0, 0) e
~w = (0, 2, 1) e´ paralelo a` geratriz determinada no item anterior.
19. Determine a equac¸a˜o do cilindro obtido pela rotac¸a˜o da reta m :
{
x = 3
z = 0
em torno do eixo
Oy.
20. Determine a equac¸a˜o do cilindro obtido pela rotac¸a˜o da reta s :
{
x = 0
y = 3
em torno do eixo
Oz.
21. Determine se cada uma das equac¸o˜es abaixo representa uma superf´ıcie qua´drica, identificando-
a. Fac¸a tambe´m um esboc¸o do gra´fico correspondente a cada equac¸a˜o, mesmo para aquelas
que na˜o sa˜o qua´dricas.
a) 4x2 − 5y2 = 10z2
b) x2 − 6y2 − 24z2 − 9 = 0
c) y2 − 2z2 = 0
d) xy = 0
e) 4x2 − 9z2 + 36 = 0
f) x2 + y2 + z2 − 8 = 0
g) 4y2 − z2 − 20 = 0
h) 3x2 − 6y2 + 9z2 = 0
i) 6y2 − 3x2 + 9z2 − 1 = 0
j) −6y2 − 9z2 + 1 = 0
k) x− 6y2 + 9z2 = 0
22. Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie obtida da rotac¸a˜o da reta s :

x = 0
y = 3t
z = 2t
em torno do eixo
Oz.
23. Determine os poss´ıveis valores de A, B, C e D, para que a equac¸a˜o (A2 − 1)x2 + (B2 − 2B +
1)y2 + Cz2 −D2 = 0 seja a equac¸a˜o de:
a) um elipso´ide;
b) um hiperbolo´ide de uma folha;
c) uma superf´ıcie cil´ındrica;
d) um hiperbolo´ide de duas folhas.
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Lista de Exerc´ıcios 08 Superf´ıcies Qua´dricas
RESPOSTAS: 1) a. o ponto (−3, 0, 0); b. ∅; c. a circunfereˆncia x2 + y2 = 9; 2) a. Elipse:
centro (0, 5, 0), focos (±3√5, 5, 0), ve´rtices (±4√3, 5, 0) e (0, 5,±√3), e = √15/4; b. Elipse: centro
(−2√5, 0, 0), focos (−2√5, 0,±2√5/3), ve´rtices (−2√5, 0,±2) e (−2√5,±4/3, 0), e = √5/3; c.
Circunfereˆncia: centro (0, 0,−1/3), raio 1/2. 3) b. x = −2, x = 2, y = −3, y = 3, z = −2√2,
z = 2
√
2. 4) a. pi : x + y +
√
2z − 4 = 0; b. pi : x − √2y − z + 4 = 0; c. pi : x + √3y − 4 = 0.
5) x + y − z − 3√3 = 0 e x + y − z + 3√3 = 0. 6) x2 + y2 + z2 = 13. 7) x29 + y
2
4 +
z2
9 = 1. 8)
a. Duas retas: x = ±2y; b. Elipse de centro (0, 1, 0) e focos (±2, 1, 0); c. Hipe´rbole de centro
(0,−2, 0), focos (±3,−2, 0), ass´ıntotas r : (x, y, z) = (0,−2, 0) + t(±√2, 0, 1). 9) b. y263 − x
2
28 = 1.
10) −(x−3±
√
2)2
2 − y
2
2 +
z2
16 = 1. 11) a. elipse: y
2/60 + z2/100 = 1;x = 5; b. para´bola: z2 =
20(x− 3/4); y = 3; c. para´bola: y2 = 12(x− 1/20); z = −1. 12) y = − x21/2 − z
2
1/2 . 13) a. para´bola:
z2 = −18(y−9/2);x = −3; b. hipe´rbole: x2/2−z2/18 = 1; y = 1; c. para´bola: x2 = 2(y+1/6); z =√
3. 14) k = −4, z = y2/(1/4) − x2/(1/4). 15) a. elipse: y2/(81/4) + z2/18 = 1;x = −3; b.
duas retas: z = ±√2x; y = 0; c. hipe´rbole: x2/8 − y2/18 = 1; z = 4. 16) x2 = y2/4 + z2/4. 17)
y2 = x2/(9/4) + z2/(9/4). 18) a. S : y = 2z. 19) x2 + z2 = 9. 20) x2 + y2 = 9. 21) a. superf´ıcie
coˆnica com eixo em Ox; b. hiperbolo´ide de duas folhas ao longo de Ox; c. duas retas no plano
yOz; d. duas retas no plano xOy; e. superf´ıcie cil´ındrica hiperbo´lica ao longo de Oy; f. superf´ıcie
esfe´rica; g. superf´ıcie cil´ındrica hiperbo´lica ao longo de Ox; h. superf´ıcie coˆnica com eixo em Oy;
i. hiperbolo´ide de uma folha ao longo de Ox; j. superf´ıcie cil´ındrica el´ıptica ao longo de Ox; k.
parabolo´ide hiperbo´lico ao longo de Ox. 22) x2/9 + y2/9 − z2/4 = 0. 23) a. A < −1 ou A > 1,
B 6= 1, C > 0, D 6= 0; b. D 6= 0, B 6= 1, C > 0 e −1 < A < 1 ou C < 0 e A < −1 ou A > 1; c.
A = 1 ou A = −1 ou B = 1 ou C = 0; d. −1 < A < 1, B 6= 1, C < 0, D 6= 0.
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