roteiro pendulo balistico2

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Instituto Superior de Engenharia do Porto- Departamento de Física 
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 Laboratórios de Física 
Pêndulo Balístico 2 
 DEFI-NRM-0031 
Versão: 01 
Data: 04/10/2007 
 
 
 
Departamento de Física Página 2/6 
 
• 
 
Objectivos: 
 
• Conservação de Energia 
• Momento de Inércia 
• Determinação da velocidade inicial do projéctil pelo método exacto 
 
 
 
 
 
Introdução Teórica 
 
 
Na fig. 1 está esquematicamente representado um pêndulo balístico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Diagrama representativo do pêndulo balístico 
 
O pêndulo balístico permite determinar a velocidade inicial do projéctil, verificar relações 
energéticas nos vários tipos de colisão e a conservação de momento. 
Com este trabalho pretende-se determinar a velocidade inicial do projéctil e as diferentes 
energias em jogo durante a colisão. 
Como indicado na fig. 1, a colisão será do tipo inelástica. Como sabido, numa colisão 
inelástica não há conservação da energia cinética. Ou seja: 
 
fi EcEc ≠ 
 
No entanto, em todas as colisões há conservação de momento linear: 
 
fi PP = 
Pêndulo Balístico 2 
D
EF
I-N
R
M
-0
03
1 
m M 
M+m 
v 
 
mola 
 θcosllh −= 
 
 
θ 
( Eq. 1 ) 
( Eq. 2 ) 
 
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A variação de energia potencial do pêndulo desde a colisão e até atingir a altura máxima é 
dada por: 
 ( )θcos1−==Δ CMMgRMghEp 
 
Em que M é a massa do conjunto pêndulo e projéctil, θ o ângulo correspondente à altura 
máxima e CMR é a distância do eixo de rotação ao centro de massa indicado na fig. 2: 
 
Figura 2. Pormenor do pêndulo balístico 
 
Por seu lado, a energia cinética angular adquirida pelo pêndulo pode ser calculada da 
seguinte forma: 
 
2
2
1 ωIEci = 
 
Em que I é o momento de inércia do pêndulo e ω a velocidade angular imediatamente 
após a colisão. 
Por seu lado, o momento angular do pêndulo Pp é dado por: 
 
ωIPp = 
 
Que em função da energia cinética final vem: 
 
iIEcPp 2= 
 
Como há conservação de momento angular, este momento será igual ao momento do 
projéctil Pb imediatamente antes da colisão: 
 
vmRmRPb bb == ω2 
 
Em que m é a massa do projéctil, bR o raio do projéctil e v o valor escalar da velocidade 
do projéctil imediatamente antes da colisão. Apesar de não haver conservação de energia 
durante a colisão, após a colisão o sistema é conservativo e então, podemos escrever para 
o pêndulo: 
 ( )θcos1−=Δ⇔Δ−=Δ CMMgREcEpEc ( Eq. 8 ) 
( Eq. 3 ) 
( Eq. 4 ) 
( Eq. 5 ) 
( Eq. 6 ) 
( Eq. 7 ) 
 
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E como a energia cinética final, ou seja, quando o pêndulo atinge a altura máxima h é nula: 
 ( )θcos1−= CMi MgREc 
 
Substituindo na eq. 6 e igualando os momentos do projéctil antes da colisão e do pêndulo 
após a colisão vem: 
 
( )θcos12 −= CMb IMgRvmR 
 
Resolvendo em ordem à velocidade do projéctil: 
 
( )θcos121 −= CM
b
IMgR
mR
v 
 
Para determinar o momento de inércia I use-se o equivalente rotacional da 2ª lei de 
Newton: 
 
ατ I= 
 
Definindo τ como o binário e aceleração angular α . Observando a fig. 3: 
 
 
Figura 3. Forças aplicadas no pêndulo balístico após a colisão 
 
Facilmente se conclui que apenas a componente tangente ao movimento assegura o 
movimento acelerado do pêndulo. Segundo a direcção do movimento: 
 
θMgsenF −= 
 
Para ângulos pequenos, ou seja, inferiores a º5 , considere-se: 
 
θθ ≈sen 
 
Então, o binário τ é dado por: 
 
θτ MgRCM−= 
 
Usando as eq. 12 e 15 e resolvendo em ordem à aceleração angular α : 
 
θα
I
MgRCM−= 
 
( Eq. 9 ) 
( Eq. 11 ) 
( Eq. 10 ) 
( Eq. 12 ) 
( Eq. 13 ) 
( Eq. 14 ) 
( Eq. 15 ) 
( Eq. 16 ) 
 
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Esta solução para a aceleração angular é da mesma forma da equação para movimentos 
harmónicos simples: 
 
θωωα 222
2
)()()( −=−=−== txtx
m
k
dt
txd
 
 
Igualando as expressões 16 e 17 vem: 
 
I
MgR
I
MgR CMCM =⇔−=− 22 ωθθω 
 
E resolvendo em ordem ao momento de inércia I obtém-se finalmente: 
 
2
24
T
MgR
I CMπ= 
 
Em que T é o período do movimento harmónico do pêndulo após a colisão. 
 
 
Material Necessário 
 
• Pêndulo Balístico; 
• Balança de Precisão; 
• Conjunto de massas; 
• Bola de Aço; 
• Cronómetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento Experimental 
 
1. Verifique que o canhão se encontra firmemente fixo ao corpo do pêndulo balístico e 
que este se encontra alinhado com o cesto do pêndulo. Verifique se o pêndulo na 
vertical não toca no canhão. 
2. Afaste o pêndulo para carregar o canhão com uma das bolas de aço 
disponibilizadas. Recoloque o pêndulo e o marcador de ângulo na vertical após a 
carga do canhão. 
3. Apronte o canhão para disparar, puxando o cão do mesmo até à sua posição 
máxima. 
4. Dispare o projéctil e registe o ângulo θ máximo. Ajuste a massa do pêndulo de 
forma a garantir que o ângulo máximo registado esteja de acordo com o exposto 
atrás. Se necessário, aumente a massa do pêndulo usando o conjunto de massas 
disponibilizadas, fixando-as na parte inferior do cesto. Repita este procedimento 
para confirmar que o ângulo máximo θ obtido está de acordo com o pretendido. 
( Eq. 17 ) 
( Eq. 18 ) 
( Eq. 19 ) 
 
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5. Ajuste o marcador para um ângulo 1º a 2º menor que o ângulo médio θ observado 
no ponto anterior para diminuir o efeito do momento de inércia do marcador nos 
resultados da experiência. 
6. Dispare o projéctil e registe o ângulo θ máximo. Repita este procedimento 6 vezes, 
tendo o cuidado de colocar o marcador na mesma posição em todos os ensaios. 
Registe os valores obtidos e calcule o valor médio deθ . 
7. Meça a massa do projéctil m e registe o seu valor. Considere a massa do pêndulo 
pm = 245,59 gramas. 
8. Meça o braço do centro de massa CMR . Atente à fig. 2 para o efeito. 
9. Meça o comprimento que liga o eixo de rotação ao centro do projéctil bR . Atente à 
fig. 2 para o efeito. 
10. Afim de determinar o momento de inércia, remova o canhão desapertando os 
parafusos disponíveis para tal. Escolha um ângulo de acordo com a aproximação 
feita e largue o pêndulo. Este entrará em movimento harmónico simples com 
período T . Meça o intervalo de tempo correspondente a um número mínimo de 10 
oscilações e calcule o período T . Repita este procedimento 6 vezes. 
11. Calcule o valor médio do período T e respectivo momento de inércia médio I . 
12. Por último, determine a velocidade inicial média do projéctil v . 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
• Pasco, Balistic Pendulum, Instruction Manual for the Pasco Scientific Model ME-
6830/ME-6831