A MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO - RESPOSTAS - Vol. 2 - Cap. 1 - Progressões Geométricas

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Progressões Geométricas
1) 100 → 1,1.100 = 110 → 1,2.110 = 132
A resposta é 32%.
2) 100 → 0,9.100 = 90 → 0,8.90 = 72
A resposta é 28%.
3) 100 → 1,1.100 = 110 → 0,8.110 = 88
A resposta é 12%.
4) Sejam v e t, respectivamente, a velocidade antiga e o tempo gasto e sejam v' e
t' a velocidade e o tempo depois do aumento.
vt = v't'
vt = 1,6vt'
t' = t%5,62t625,0t
6,1
1 ==
O tempo se reduz em 37,5%.
5) n)i1(I1 +=+
12)05,01(I1 −=+
46,0195,0I 12 −≅−=
Aproximadamente 46%.
6) Sejam T o período e λ o comprimento e sejam T' o período e λ' o comprimento
depois da variação.
T'T
' λ=λ
TT2,1
' λ=λ
λ=λ 2,1'
λ' = 1,44λ = 144%λ
Devemos aumentar de 44%.
7) Sejam P a pressão e V o volume e sejam P' a pressão e V' o volume depois da
variação.
PV = P'V'
PV = P'.0,8V
P' = P%125P25,1P
8,0
1 ==
A pressão aumenta de 25%.
8) Sejam S, b e h a área, a base e a altura antes da variação e sejam S', b' e h' a
área, a base e a altura depois da variação.
S' = b'.h' = 1,1b.0,9h = 0,99.b.h = 99%S
A área diminui de 1%.
9) Os valores formam uma progressão geométrica.
a4 = a0.q4
12 000 = 18 000 q4
q = 4
3
2
a1 = a0.q = 18 000 
2
3
4 , ou seja, R$ 16 264,84.
10) Os lados são a, aq, aq2. Pelo Teorema de Pitágoras, 2222 a)aq()aq( += . Daí,
q4−q2−1 = 0 e, como q>0, q = 1 5
2
+
.
11) Se a progressão é estritamente crescente, os lados a, aq, aq2 satisfazem q>1
e
aq2 < aq+a, ou seja, q2−q−1 < 0. Ou seja, 
2
15q1 +<<
Se a progressão é estritamente decrescente, 1q
15
2 <<+ , ou seja, 1q2
15 <<−
A resposta é 
5 1
2
5 1
2
− < < +q .
12) q = 6
1
2
1
3
13
22
2
2 −− ==
a4 = a3.q = 12.2 6
1
6
1
=−
13) Sejam a, aq, aq2 os números.
a+aq+aq2 = 19
a2+(aq)2+(aq2)2 = 133
Daí, a(1+q+q2) = 19
a2(1+q2+q4) = 133
Dividindo, a(1−q+q2) = 
19
133 = 7
Daí, 2
2
qq1
qq1
+−
++ = 
7
19
q = 
2
3 ou q = 
3
2 .
Se q = 
2
3 , substituindo vem a = 4; se q = 
3
2 , substituindo vem a = 9.
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
14) Sejam x−r, x, x+r a progressão aritmética e x−r+1, x, x+r a progressão
geométrica.


 +=+−
=++++−
x
rx
1rx
x
19rxx1rx


−+=
=
)r7).(r6(36
6x
r = 3 ou r = −2.
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
15) Sejam x−6, x, x+6, x−6 os números.
6x
6x
x
6x
+
−=+
x2+12x+36 = x2−6x
x = −2
Os números são −8, −2, 4, −8.
16) Se 2p−1 é primo, os divisores de 2p−1(2p−1) são 1, 2, 22,..., 2p−1, (2p−1), 2(2p−1),
22(2p−1),..., 2p−1(2p−1).
A soma desses divisores é 1+2+22+...+2p−1+(2p−1).(1+2+22+...+2p−1) =
= 2p. (1+2+22+...+2p−1) = 2p.(2p−1) = 2. 2p−1(2p−1).
17) A k-ésima parcela da soma vale 1+10+...+10k−1 = 
9
110k − . A soma é igual a
9
n
9
110.
9
10
9
n10
9
1
9
110 nn
1k
k
n
1k
k
−−=−=− ∑∑
==
 = 
81
n91010 1n −−+ .
18) 444...488...89 = 44444 344444 214444 34444 21 1-2n1nn1-n2 4.10...4.104.108.10...8.108.109 ++++++++ + =
= 9+
9
11080
1n −− +
9
11010.4
n
n − = 
9
110.410.4 nn2 ++ = 
2n
3
110.2



 +
A raiz quadrada é 
210 1
3
. n +
 = 66...67 (n dígitos).
19) Em cada operação o número de folhas dobra. O número de folhas da pilha
depois de 33 dessas operações é 232 = 22.(210)3 ≅ 4.109.
A altura da pilha vale, aproximadamente, 4.109.0,1mm = 400km.
A resposta é D.
20) Em cada operação a quantidade de vinho reduz-se em 
p
1 . Os valores da
quantidade de vinho formam uma progressão geométrica de razão 
p
11− .
A resposta é p 1
1−

p
n
.
21a) 12 600 = 23.32.52.7
Os divisores positivos de 12 600 são os números da forma δγβα 7.5.3.2 com
α∈{0, 1, 2, 3}, β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑
δγβα
δγβα
,,,
7.5.3.2 = ∑
γβα
γβα
,,
07.5.3.2 + ∑
γβα
γβα
,,
17.5.3.2 =
= (1+7) ∑
γβα
γβα
,,
5.3.2 = 8∑
βα
βα
,
05.3.2 +8∑
βα
βα
,
15.3.2 +8∑
βα
βα
,
25.3.2 =
= 8(1+5+25)∑
βα
βα
,
3.2 = 248∑
α
α 03.2 +248∑
α
α 13.2 +248∑
α
α 23.2 =
= 248.(1+3+9) ∑
α
α2 = 3 224∑
α
α2 = 3 224(1+2+4+8) = 48 360.
21b) Os divisores ímpares e positivos de 12 600 são os números da forma
δγβ 7.5.3 com β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑
δγβ
δγβ
,,
7.5.3 = ∑
γβ
γβ
,
07.5.3 +∑
γβ
γβ
,
17.5.3 = (1+7) ∑
γβ
γβ
,
5.3 =
= 8∑
β
β 05.3 + 8∑
β
β 15.3 +8∑
β
β 25.3 = 8(1+5+25) ∑
β
β3 = 248.(1+3+9) = 3 224.
22a) 0,141414... = 0,14+0,0014+0,000014+... = 
99
14
99,0
14,0
01,01
14,0 ==− .
22b) 0,3454545... = 0,3+0,045+0,00045+0,0000045+... = 0,3+
01,01
045,0
− = 0,3+ 99,0
045,0
= 
990
45
10
3 + = 19
55
.
22c) 0,999999... = 0,9+0,09+0,009+... = 1
1,01
9,0 =−
22d) 1,71111... = 1,7+0,01+0,001+0,0001+... = 1,7+
1,01
01,0
− = =+ 9,0
01,07,1
90
1
10
17 + =
= 
77
45
.
23a) 3
3
11
2...
9
2
3
22 =
−
=+++
23b) São duas progressões geométricas de razão 27
1 . Uma tem primeiro termo 
7
1
e a outra, 27
2 . A soma vale =
−
+
− 2
2
2 7
11
7
2
7
11
7
1
 
3
16
.
23c) S = ...
16
7
8
5
4
3
2
1 ++++
 S
2
1 = ...
16
5
8
3
4
1 +++
Subtraindo, S
2
1 = ...
16
2
8
2
4
2
2
1 ++++ = 
2
3
2
11
4
2
2
1 =
−
+
e S = 3.
23d) S = 1+2x+3x2+4x3+..., −1<x<1
 xS = x+2x2+3x3+...
Subtraindo, S(1−x) = 1+x+x2+x3+... = 
x1
1
−
S = 2)x1(
1
−
23e) Grupando de três em três, obtemos =
−
=+++
8
11
4
1
...
256
1
32
1
4
1 2
7
.
24a) 5+2. =+

+ ...5.
9
4.25.
9
4 2 5+ =
−
9
41
5.
9
4.2
13 metros.
24b) O tempo que a bola gasta para, partindo do repouso, cair de uma altura h é
g
h2 . Como as alturas (em metros) das quedas são 5, ,5.
9
4 5.
9
4 2

 ,..., supondo g
= 10m/s2, os tempos de queda (em segundos) serão 1, 
2
3
2,
3
2 

 ,...
O tempo total de queda é 3
3
21
1...
3
2
3
21
2
=
−
=+

++ segundos.
A este tempo devemos adicionar o tempo gasto pela bola nas subidas, que é o
mesmo, à exceção do 1s da queda inicial.
A resposta é 5s, aproximadamente.
25a) Os lados da poligonal são hipotenusas de triângulos semelhantes na razão
(cada um para o anterior) 
a
b .
O comprimento é =
−
=+++
a
b1
a...
a
bba
2
 
a
a b
2
− .
25b) É o termo de ordem n de uma progressão geométrica de primeiro termo a e
razão 
a
b . A resposta é a
b
a
n



−1
.
26a) =
−
π=+π+π+π
2
11
...
4
1.
2
1.1. 2π.
26b) 
2
11
2...
4
1
2
112 −−
=+−+− = 4
3
.
27) Uma semelhança de triângulos fornece 
r1
r1
rr
rr
1nn
1nn
+
−=+
−
+
+ . Daí, n1n r.rr =+ . Os
raios formam uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão r. A soma
vale 
1
1
−
−
r
r
n
.
28) lim an = 300+0,3.200+0,32.300+0,33.200+... = 396
3,01
200.3,0
3,01
300
22 ≅−+−
lim bn = 200+0,3.300+0,32.200+0,33.300+... = 319
3,01
300.3,0
3,01
200
22 ≅−+−
29) Sn = 1+ ...4
1
2
1 ++ + 1n2
1
− é crescente e tem limite 2
2
11
1 =
−
1 é verdadeiro; 2, 3 e 4 são falsos; 5 é verdadeiro (basta fazer n=3).
30) S = ...
9
7
9
5
9
3
9
1
432 ++++
 S
9
1 = ...
9
5
9
3
9
1
432 +++
Subtraindo,
...
9
2
9
2
9
2
9
1S
9
8
432 ++++= = 36
5
9
11
9
2
9
1 2 =
−
+
S = 
32
5
31a) xxx....x.x.x 2
11
2
1
...
8
1
4
1
2
1
8
1
4
1
2
1
=== −+++
31b) === ++++ 3/13/2...16
1
4
1...
8
1
2
1
16/18/14/12/1 y.xy.x...y.x.y.x x y23 .
32a) Em cada operação a soma dos comprimentos restantes é 2/3 da anterior. Aresposta é 
2
3




n
.
32b) lim 
2
3




n
= 0.
32c) Não, o conjunto é infinito.
33) bn+1−bn = log an+1− log an = log 
n
1n
a
a + = log q = constante
34) rna1na
na
1na
n
1n ee
e
e
b
b === −+++ = constante
35) An = A0.qn
1600
0
0 q.A
2
A =
q = 2−1/1600
A massa se reduzirá a 2/3 se n00 q.A3
A2 =
n = 936
qlog
)3/2log( ≅
36) a = 1+10+...+10n−1 = 
9
110n −
b = 5+10n
ab+1 = 
2nnn2
3
210
9
410.410



 +=++
A raiz quadrada é 
10 2
3
333 34
n + = ... (n dígitos)
37) A2 = 5A
An = 5n−1.A = 
5 2 5
2 5 4 5
1 1
1 1
n n
n n
− −
− −




.
. .
38) a) O perímetro aumenta de 1/3 em cada estágio. Logo, os perímetros formam
uma progressão geométrica de razão 4/3. O perímetro do estágio de ordem n é
3.
4
3




n
.
b) An+1 = An + 
n
9
4
12
3 


Somando, An = 
2 3
5
3 3
20
4
9
− 


n
.
c) ∞, pois a razão da progressão é maior que 1.
d) lim [ ]n
9
4
20
33
5
32 

− = 2 3
5
.
39a) A razão da progressão é dada por 880 = 440q12. Daí, q = 21/12.
A freqüência desse dó é 440.q3 = 523 Hz, aproximadamente.
39b) 440/q2 = 392 Hz, aproximadamente.
39c) 186 = 440 qn
n ≅ −15
A nota é Fá #.
40b) L = 120+ 10 log10I
L' = 120+ 10 log10 (2I)
L'−L = 10 log10 2 ≅ 3.
A resposta é 3dB.
41a) Usando a fórmula de somação por partes,
=

∆−−=

=
−∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑ 2
1k
1k
k
1k
2
1k
k
2
k
2
100
2
1k
2
k 2
1k
1k
)1k(
2
1 −∆

 −∞
=
∑ =
= 
2k
1k 2
1)1k2(
−∞
=


∆−−∑ = 0−2+ 6822.212)3k2(21
2k
1k
2k
1k
=+−=

+−=−∆

 −∞
=
−∞
=
∑∑
41b) =−−=−−=∆= ++
=
+
==
∑∑∑ )22(2.n1.202.n2.k2.k 1n1nn
1k
k1n
n
1k
k
n
1k
k (n−1)2n+1+2.
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