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Centro Universita´rio UNA
Geometria Anal´ıtica - Produto Misto
1. Dados os vetores ~u = (3,−1, 1), ~v = (1, 2, 2) e ~w = (2, 0,−3), Calcule:
(a) ~u · (~v × ~w)
(b) ~w · (~u× ~v)
2. Verifique se sa˜o coplanares os vetores:
(a) ~u = (1,−1, 2), ~v = (2, 2, 1) e ~w = (−2, 0,−4)
(b) ~u = (2,−1, 3), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (7,−1, 4)
3. Determine o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
(a) ~u = (2,−1, k), ~v = (1, 0, 2) e ~w = (k, 3, k)
(b) ~u = (2, k, 1), ~v = (1, 2, k) e ~w = (3, 0,−3)
4. Verifique se sa˜o coplanares os pontos:
(a) A(1, 1, 0), B(−2, 1,−6), C(−1, 2,−1) e D(2,−1,−4)
(b) A(2, 1, 2), B(0, 1,−2), C(1, 0,−3) e D(3, 1,−2)
5. Calcule o valor de m para que os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2)
sejam coplanares.
6. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores ~i, ~j e ~k?
7. Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores ~u = (3,−1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (−2, 1, 5).
Determine o seu volume.
8. Calcule o valor de m para que o volume dos paralelep´ıpedo determinado pelos vetores
~u = (0,−1, 2), ~v = (−4, 2,−1) e ~w = (3,m,−2) seja igual a 33.
9. Determine m e n para que se tenha:
(a) (m,n, 2) · (4,−1, 3) = −2
(b) (m,n, 2)× (4,−1, 3) = (8,−1,−11)
(c) (m,n, 2) · ((3, 1, 2)× (0, 1,−1) = 9
Respostas
1) a) -29 b) -29 2) a) Na˜o b) Sim 3) a) 6 b) 2 ou -3 4) a) Sim
b) Na˜o 5) m = 4 6) 1 7) 17 8) m = 4 ou m = −17
4
9) a) n = 4m + 8
b) m = 3 ou n = 2 c) n = m+ 1
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