análise matemática

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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Análise Matemática 
Aula: 03 – Sequências e séries de números reais 
Professor (a): Alessandra Negrini Dalla Barba 
 
 
SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 
 
Problema 1 
Segundo Pereira e Ferreira (2008), o matemático Leonardo de Pisa (1170-1250) 
escreveu diversos trabalhos, dentre os quais podemos citar o Liber Abbaci (Livro do 
Ábaco), que trata sobre cálculo aritmético e é considerado o melhor tratado sobre 
Aritmética e Álgebra da época. Dentre os problemas contidos neste tratado podemos 
destacar o problema dos coelhos, que se refere ao número de casais em uma população 
de coelhos após doze meses, considerando-se que: 
I. No primeiro mês tem-se apenas um casal adulto; 
II. Casais reproduzem-se somente no segundo mês de vida; 
III. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo; 
IV. Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal; 
V. Os coelhos nunca morrem. 
Tal problema questiona: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de 
coelhos em um ano? 
A partir das informações apresentadas, responda aos seguintes itens: 
a) Apresente uma resolução para o problema. 
b) De que forma podemos trabalhar com este problema no Ensino Médio? Quais os 
conteúdos envolvidos na interpretação e resolução do mesmo? 
Resolução: 
a) Ao fixar como mês um o início do processo, tem-se, no início do primeiro mês, um 
único casal jovem. Já no segundo mês, esse casal será adulto. Considerando-se que 
um par adulto produz um novo par a cada mês, no início do terceiro mês existirão dois 
pares de coelhos, sendo um par adulto e outro recém-nascido. No início do quarto mês 
o par adulto produzirá mais um par, enquanto que o outro par completará um mês de 
vida e ainda não estará apto a reproduzir. Assim, existirão três pares de coelhos, sendo 
um par adulto, um par com um mês de idade e mais um par recém-nascido. No início 
do quinto mês existirão dois pares adultos, sendo que cada um já reproduziu um novo 
par e mais um par que completou um mês de vida. Logo, existirão cinco pares. No início 
do sexto mês existirão três pares adultos, sendo que cada um já produziu um novo par 
e mais dois pares que completam um mês de vida. Logo, existirão oito pares. Seguindo-
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se o mesmo raciocínio para os outros meses, obtém-se a famosa Sequência de 
Fibonacci, cujos primeiros termos são: 
1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,... 
Uma análise rápida mostra que cada termo da sequência acima é dado recursivamente 
pela expressão 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 
para 𝑛 > 2, em que 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 e 𝑛 corresponde ao número de meses. 
Podemos ainda construir uma tabela para organizar as informações a respeito das 
quantidades de pares de coelhos jovens e adultos em cada mês. 
Mês Casais jovens Casais adultos 
1 0 1 
2 1 1 
3 1 2 
4 2 3 
5 3 5 
6 5 8 
7 8 13 
8 13 21 
9 21 34 
10 34 55 
11 55 89 
12 89 144 
Sendo assim, temos que a quantidade de coelhos gerados pelo par de coelhos inicial é 
de 89 casais jovens e 143 casais adultos (pois descontamos o casal inicial), totalizando 
232 pares de coelhos. 
b) A resposta é pessoal. É possível explorar diferentes estratégias metodológicas para 
o tema envolvido na questão, como a resolução de problemas ou modelagem 
matemática, por exemplo. Em relação aos conteúdos, observamos os conceitos 
associados a progressões aritméticas, possibilitando a exploração dos diversos 
conceitos como a definição, identificação do termo geral, entre outros. 
 
Problema 2 
Observe a sequência indicada a seguir: 
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Com base na sequência representada na figura anterior, observe que é possível 
relacionar a ordem da figura com a quantidade de bolinhas necessárias para sua 
composição. 
A partir da análise da sequência proposta, responda aos seguintes itens: 
a) Preencha o seguinte quadro, relacionando a ordem (ou posição) da figura na 
sequência com a quantidade de bolinhas que a compõe: 
 
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 
Número de 
bolinhas 
 
Nomenclatura 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8 
 
b) Considerando a nomenclatura adotada no quadro anterior, identifique uma expressão 
que caracterize o termo geral desta sequência 𝑄𝑛 em função da posição 𝑛 da figura. 
c) Qual o significado da soma dos infinitos termos desta sequência? 
d) Que conceitos podem ser abordados a partir deste problema? É possível trabalhar 
com este tipo de problema no Ensino Médio? De que forma? 
Resolução: 
a) Analisando as figuras, podemos preencher o quadro da seguinte forma: 
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 
Número de 
bolinhas 
1 3 6 10 15 21 28 36 
Nomenclatura 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8 
b) Para a identificação do termo geral desta sequência 𝑄𝑛 em função da posição 𝑛 da 
figura observe inicialmente que 
𝑄1 = 1 
𝑄2 = 2 + 1 
𝑄3 = 3 + 2 + 1 
𝑄4 = 4 + 3 + 2 + 1 
⋮ 
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𝑄𝑛 = 𝑛 +⋯+ 4 + 3 + 2 + 1 
Logo, pela expressão da soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética, 
adaptada para os 𝑛 + 1 primeiros termos, teremos 
𝑄𝑛 = 𝑛 +⋯+ 4 + 3 + 2 + 1 =
(𝑛 + 1) ⋅ 𝑛
2
=
𝑛2 + 𝑛
2
 
que corresponde ao termo geral da sequência em questão. 
c) Ao somar os termos da sequência teremos 
𝑆 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 + 𝑄4 +⋯+ 𝑄𝑛 +⋯
= (1) + (2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) +⋯
+ (𝑛 +⋯+ 4 + 3 + 2 + 1) +⋯ 
Cada um dos termos desta sequência correspondem às reduzidas da série ∑𝑛, com 𝑛 
variando de 𝑛 ao infinito. Assim, conseguimos associar a sequência com a série 
indicada. 
b) A resposta é pessoal. Este tipo de problema pode ser trabalhado no Ensino Médio, 
assim, é possível explorar diferentes estratégias metodológicas para o tema envolvido 
na questão, como a resolução de problemas ou uso de materiais manipuláveis, por 
exemplo. Em relação aos conteúdos, observamos os conceitos associados a 
progressões aritméticas e noção intuitiva de série, permitindo o trabalho com a definição, 
identificação do termo geral, entre outros. 
 
Problema 3 
Para este problema você deverá iniciar com a elaboração de um desenho de um 
quadrado com uma medida de lado suficiente para sua subdivisão. Você pode 
selecionar, por exemplo, a medida de lado igual a 20 centímetros. Suponha que este 
quadrado inicial tenha área igual à unidade para auxiliar nas representações posteriores. 
Etapa 1: Em seguida, divida este quadrado em duas partes de mesma área, pinte uma 
destas partes e indique a fração que representa a faixa hachurada. 
Etapa 2: Na sequência, divida a parte do quadrado que não foi pintada em duas partes 
de mesma área, pinte uma destas partes e adicione a fração que a representa à fração 
obtida na etapa 1. 
Etapa 3: Procedendo de forma análoga à etapa 2 com a região que não foi pintada, 
divida esta região em duas partes de mesma área, pinte uma delas e adicione a fração 
que a representa à soma de frações obtida na etapa 2. 
Imaginando que este processo continue indefinidamente, responda aos seguintes itens: 
a) Escreva a soma dos 6 primeiros termos da sequência construída a partir do 
procedimento descrito a partir da etapa 1. 
b) Escreva o termo geral dessa sequência. 
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c) O que você pode observar com relação a esta soma? Registre suas observações. 
d) O que podemos inferir a respeito da soma de todos os infinitos termos da sequência 
construída anteriormente? 
Resolução: 
Após realizar os procedimentos descritos, o objetivo é que os alunos identifiquem uma 
figura semelhante a imagem seguinte: 
 
a) A soma dos 6 primeiros termos da sequência construída é dada por1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
=
63
64
 
b) Temos que 
𝑎1 =
1
2
 
𝑎2 =
1
4
=
1
22
 
𝑎3 =
1
8
=
1
23
 
⋮ 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛
 
c) A resposta é pessoal. Podem ser investigados todos os aspectos associados à 
sequência em questão, identificando padrões e regularidades e associando-os à área 
da figura. 
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d) Quando estamos trabalhando com a soma dos infinitos termos da sequência 
podemos observar que ela converge para a área do quadrado, adotada inicialmente 
como igual a 1. Nesta questão é importante propiciar aos alunos um momento de 
reflexão acerca das relações entre sequências e séries, observando que a série ∑
1
2𝑛
 é 
igual a 1, já que os limites das somas parciais é igual a 1. 
e) A resposta é pessoal. No entanto, é importante refletir se as estratégias 
metodológicas estão adequadas às propostas, buscando relacionar o estudo das séries 
com somas envolvendo termos de progressões geométricas e ideia intuitiva de limite a 
ser desenvolvida com os alunos do Ensino Médio.