Lista Otimizacao (Com solução) - Alice

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PROBLEMAS RESOLVIDOS: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
(livro: Cálculo – George F. Thomas – 10ª edição) 
1) (Minimizando o perímetro) Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja 
área é 16 pol2 e quais são suas dimensões? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (Determinando a área) Demonstre que, entre todos os retângulos com perímetro de 
8m, o de maior área é um quadrado. 
 
 
 
 
Para se ter um retângulo com perímetro de 8m, o lado deve variar de 0m a 4m (0 seria uma 
linha e 4 tb). 
3) (Inscrevendo retângulos) A figura abaixo apresenta um retângulo inscrito em um 
triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem duas unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Expresse a ordenada de P em termos de x. (Dica: escreva uma equação para a reta 
AB) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Expresse a área do retângulo em termos de x. 
 
 
c) Qual é a maior área possível para o retângulo? Quais são suas dimensões? 
 
 
4) (O maior retângulo) Um retângulo tem sua base no eixo x e seus dois vértices 
superiores na parábola y = 12 – x2. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? 
Quais são suas dimensões? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) (O melhor esquema para a cerca) Uma área retangular em uma fazenda será cercada 
por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800m de 
fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) (A cerca mais curta) Uma área retangular com 216 m2 será cercada e dividida em duas 
partes iguais por outra cerca paralela a um dos lados. Quais são as dimensões do 
retângulo externo que exigirão a menor quantidade total de cerca? Quantos metros de 
cerca serão necessários? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) (Dimensões ideais) Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com 
uma folha de papelão de 8 x 15 pol recortando quadrados congruentes dos vértices da 
folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior 
volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) (Projetando um tanque) Metalúrgicos foram contratados por uma fábrica de papel 
para projetar e construir um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem 
tampa e com 500 pés2 de capacidade. O tanque será construído soldando-se chapas de 
aço umas às outras ao longo das bordas. Como engenheiro de produção sua tarefa é 
determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque pesar o mínimo 
possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) (Fechando o primeiro quadrante) Você planeja fechar um canto do primeiro quadrante 
com um segmento de reta de 20 unidades de comprimento, que vai de (a,0) a (0,b). 
Demonstre que a área do triângulo determinado pelo segmento é maior quando a=b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) (Captando água da chuva) Um tanque retangular