Estatística Descritiva para Concursos

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 14 
Estatística Descritiva. 
14. Estatística Descritiva ......................................................................................................... 2 
14.1 Introdução ..................................................................................................................... 2 
14.2. Tipos de Variáveis ......................................................................................................... 4 
14.3. Técnicas de Descrição Gráfica .................................................................................. 5 
14.3.1. Descrição Gráfica de Variáveis Qualitativas ................................................................... 5 
14.3.2. Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Discretas ................................................. 6 
14.3.3. Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Contínuas ................................................ 8 
14.4. Caracterização de uma Distribuição de Frequências .................................. 11 
14.4.1. Medidas de Posição ........................................................................................................ 11 
14.4.2. Medidas de Dispersão .................................................................................................... 22 
14.4.3. Momentos de uma Distribuição de Frequências ............................................................ 31 
14.4.4. Medidas de Assimetria ................................................................................................... 32 
14.4.5. Medidas de Achatamento ou Curtose ............................................................................ 36 
14.5. Ramo-e-Folhas ........................................................................................................... 37 
14.6. Memorize para a prova ........................................................................................... 39 
14.7. Exercícios de Fixação ............................................................................................... 41 
14.8 Gabarito ........................................................................................................................ 47 
14.9 Resolução dos Exercícios de Fixação ................................................................. 47 
 
 
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14. Estatística Descritiva 
Prezado(a) amigo(a), iniciamos hoje uma nova parte do nosso curso, a 
Estatística. Estudaremos essa matéria ao longo de oito aulas (incluindo esta). 
Todos, ou quase todos, devem ter cursado esta disciplina quando fizeram a 
Faculdade. Provavelmente, parte do conteúdo que ensinaremos será “matéria 
nova” para a grande maioria (com exceção dos matemáticos/estatísticos que 
integram a turma). Assim, teremos que vencer, juntos, a barreira da 
familiarização com alguns conceitos/noções inéditos. O que fazer, se assuntos 
mais avançados como regressão linear múltipla e testes de hipóteses não 
paramétricos (poderíamos citar outros tópicos) têm sido cobrados nas provas? 
A atitude correta seria não estudá-los? Cair no erro do auto-engano? É claro 
que não, pois não podemos brigar com a realidade dos fatos. Temos que ser 
pragmáticos: precisamos nos adequar às exigências da(s) banca(s), e não o 
contrário. Nós mesmos não aprendemos a regressão múltipla, muito menos 
testes de hipóteses não paramétricos, nas disciplinas de Estatística oferecidas 
pela Escola Politécnica da USP e pela Escola Naval. Entendeu o tamanho da 
“encrenca” em que você se meteu? (risos!) Brincadeira ... 
 
O nosso principal objetivo é treiná-lo para “matar” qualquer questão de 
Estatística que aparecer na prova. Estamos cientes de que você não entenderá 
100% de todos os conceitos que serão apresentados. Mas isso não tem 
importância, desde que você memorize todos os bizus/macetes que serão 
ensinados! Quem disse que entender toda a matéria é pré-requisito para 
“arrebentar” em uma prova? 
 
Last but not least: fé na missão que se inicia! Estamos iniciando um trabalho 
de base em Estatística. Não temos em mente um edital específico. Mas 
certamente cobriremos a totalidade da maioria dos editais interessantes. 
 
Nesta aula, apresentamos alguns tópicos que são normalmente cobrados em 
concursos públicos, tais como gráficos, tabelas, medidas de posição e de 
variabilidade, dentre outros. A matéria é exposta após uma breve introdução 
sobre a ciência Estatística. 
 
14.1 Introdução 
 
A Estatística é a ciência que se preocupa em coletar, analisar e fazer 
inferências a partir de dados. A sua matéria-prima é um conjunto de dados. 
Ela é uma ciência meio, e não fim, sendo útil em vários campos do 
conhecimento, tais como física, engenharia, medicina, atuária, biologia, 
economia, administração, etc. 
 
Métodos estatísticos nos ajudam a entender o problema da variabilidade. Mas 
o que seria a variabilidade? A idéia é simples. Diversas observações de um 
sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado. E isto 
ocorre porque sistemas/fenômenos físicos estão sujeitos à variabilidade. 
Considere, por exemplo, o consumo mensal de energia elétrica da sua casa. 
Você observa o mesmo consumo mensal todos os meses? É claro que não! Às 
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vezes, o consumo varia consideravelmente, como nos meses de verão (devido 
ao uso de ar-condicionado, ventilador, etc.) e de inverno (por causa da 
utilização de sistemas de aquecimento, secadora de roupas, etc.). Outro 
exemplo prático seria a arrecadação mensal de tributos do governo. O governo 
precisa saber quais são as fontes potenciais de variabilidade no sistema de 
arrecadação. É aí que entra a Estatística, pois ela é capaz de descrever a 
variabilidade e de indicar quais fontes de variabilidade são mais importantes 
ou quais têm impacto significativo sobre o desempenho da arrecadação. 
 
A Estatística pode ser dividida em duas partes: a Estatística Descritiva, que 
aborda a organização e a descrição dos dados experimentais, e a Inferência 
Estatística (ou Estatística Indutiva), cujo objetivo é inferir propriedades de 
um agregado maior (a população) a partir de um conjunto menor (a amostra). 
A inferência estatística não é exata; as suas induções1 sempre possuem um 
determinado grau de incerteza. 
 
Uma população ou universo é um conjunto de elementos com pelo 
menos uma característica comum. A população pode ser finita ou infinita. 
Por exemplo, o número de pneus defeituosos produzidos em um dia por uma 
determinada fábrica, é uma população de tamanho finito. Já as observações 
obtidas pela medição diária de gases de efeito estufa representam uma 
população de tamanho infinito. A característica comum deve delimitar de forma 
exata quais os elementos que pertencem à população e quais os que não 
pertencem. Considere, por exemplo, a população dos indivíduos do sexo 
masculino inscritos no próximo concurso para Analista Técnico da Receita 
Federal. Essa população não inclui as pessoas do sexo feminino que farão o 
mesmo concurso. 
 
Depois que caracterizamos a população, procedemos ao levantamento de 
dados acerca da característica (ou características) de interesse no estudo em 
questão. Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou 
impraticável observar toda a população. Devemos então restringir nossas 
observaçõesa uma parte da população, isto é, a uma amostra proveniente 
dessa população. Uma amostra é, portanto, um subconjunto finito de uma 
população, e todos os seus elementos serão examinados para a realização do 
estudo estatístico desejado. 
 
Quanto maior a amostra, mais precisas e confiáveis serão as induções 
realizadas sobre a população. No limite, resultados 100% confiáveis podem ser 
obtidos através do exame completo da população. Na prática, isso não é 
necessário, pois induções suficientemente precisas e confiáveis podem ser 
realizadas desde que o tamanho da amostra seja corretamente dimensionado. 
 
Esperamos que você tenha entendido a nossa breve explicação sobre a 
Inferência Estatística. Voltaremos a este assunto, de forma bastante 
 
1
 A indução é um processo de raciocínio em que, partindo-se do conhecimento de uma parte, 
procura-se tirar conclusões sobre o todo. 
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detalhada, em aulas posteriores. A partir deste ponto, voltaremos a nossa 
atenção para o foco desta aula, que é o estudo da Estatística Descritiva. 
 
14.2. Tipos de Variáveis 
 
A função da Estatística Descritiva é organizar as informações contidas 
nos resultados observados. 
 
De forma geral, podemos ter cada um dos elementos de uma população ou 
amostra associado a mais de uma característica de interesse. Por exemplo, o 
conjunto dos elementos sob investigação pode ser uma amostra da população 
dos candidatos do sexo masculino inscritos no último concurso de Auditor da 
Receita Federal. Este é o conjunto dos elementos fisicamente definidos e 
considerados. Para este conjunto, as variáveis (características) de 
interesse poderiam ser: idade, peso e altura. Nesta aula, veremos apenas o 
caso de variáveis unidimensionais, em que apenas uma característica de 
interesse está associada a cada elemento do conjunto examinado. Há 
casos, porém, em que duas ou mais características precisam ser 
simultaneamente estudadas (veremos em aulas posteriores). 
 
A característica de interesse poderá ser qualitativa ou quantitativa. Tem-se, 
portanto, variáveis qualitativas ou quantitativas. 
 
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por 
tipos ou atributos, como, por exemplo: 
 
a) População: moradores de uma cidade. 
Variável: sexo (masculino ou feminino). 
 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa). 
 
Por outro lado, a variável será quantitativa quando seus valores forem 
expressos em números. As variáveis quantitativas podem ser discretas ou 
contínuas. Uma variável contínua é aquela cujos possíveis valores pertencem 
a um intervalo de números reais e que resulta de uma mensuração, como, por 
exemplo, a estatura de um indivíduo. Uma variável discreta é aquela cujos 
possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que 
resultam, freqüentemente, de uma contagem. 
 
Exemplos de variáveis discretas: 
 
a) População: casais residentes em um distrito de uma cidade. 
Variável: número de filhos. 
 
b) População: carros produzidos em uma linha de montagem. 
Variável: número de defeitos por unidade. 
 
Exemplos de variáveis contínuas: 
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a) População: detergentes de uma certa marca e tipo. 
Variável: peso líquido. 
 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: diâmetro externo. 
 
A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos, 
distribuições de frequência ou medidas associadas a essas 
distribuições, conforme veremos a seguir. 
 
14.3. Técnicas de Descrição Gráfica 
 
Primeiramente, devemos verificar as frequências dos diversos valores 
observados de uma variável. 
 
A frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) é 
definida como o número de vezes que esse valor foi observado. Seja fi a 
frequência do i-ésimo valor observado. Se o número total de elementos 
observados é n, então vale a relação 
 
(1) ∑
=
=
k
f
1i
i n 
 
em que k denota o número de diferentes valores existentes da variável. 
 
A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores 
observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores 
observados. Também podemos trabalhar com a noção de frequência relativa 
de um valor observado, definida como 
 
(2) 
n
f
p ii = . 
 
Observe que 
 
(3) ∑
=
=
k
1
1
i
ip . 
 
14.3.1. Descrição Gráfica de Variáveis Qualitativas 
 
O gráfico obtido por meio do cálculo das frequências ou frequências relativas 
poderá ser um diagrama de barras, um diagrama circular ou qualquer 
outro tipo de diagrama equivalente. 
 
Exemplo. Considere um grupo de 147 candidatos a um curso de MBA, 
classificados segundo a sua graduação, conforme a Tabela 1. 
 
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Tabela 1: formação de graduação. 
 
Formação Frequências Freq. Relativa (%) 
Engenheiros 45 30,61 
Administradores 38 25,85 
Economistas 35 23,81 
Contadores 16 10,88 
Outros 13 8,84 
Total 147 100,00 
 
 
Os dados estão representados por meio de um diagrama de barras e por um 
diagrama circular (veja as duas figuras a seguir). 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.3.2. Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Discretas 
 
A descrição gráfica de variáveis quantitativas discretas é normalmente feita 
por meio de um diagrama de barras. Como a variável é quantitativa, seus 
valores numéricos podem ser representados num eixo horizontal. Neste caso, 
as barras do diagrama serão verticais. 
 
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Exemplo. Considere a variável “número de defeitos por unidade” obtidos a 
partir de produtos retirados de uma linha de produção. Seja o conjunto de 20 
valores obtidos conforme a Tabela 2. 
 
 Tabela 2: distribuição de frequências. 
 
xi fi pi 
0 8 0,20 
1 14 0,35 
2 10 0,25 
3 4 0,10 
4 2 0,05 
5 2 0,05 
Total 40 1,00 
 
A figura abaixo mostra o diagrama de barras associado aos dados da Tabela 2. 
 
 
 
 
Também é possível representar graficamente os dados da Tabela 2 utilizando 
as frequências acumuladas, que serão denotadas por Fi. A frequência 
acumulada, em qualquer ponto do eixo horizontal (ou eixo das 
abscissas), é a soma das frequências de todos os valores menores ou 
iguais ao valor correspondente a esse ponto. De forma análoga, também 
temos as frequências relativas acumuladas Pi. A Tabela 3 ilustra as frequências 
e frequências relativas acumuladas para os dados da Tabela 2. A figura a 
seguir mostra o gráfico das frequências acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Tabela 3: frequências acumuladas. 
 
xi Fi Pi 
0 8 0,20 
1 22 0,55 
2 32 0,80 
3 36 0,90 
4 38 0,95 
5 40 1,00 
 
 
 
 
 
14.3.3. Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Contínuas 
 
O diagrama de barras não é usado na descrição gráfica de variáveis 
quantitativas contínuas2. O Exemplo a seguir ilustra a técnicausualmente 
empregada na prática. 
 
Exemplo. Considere a variável comprimento de peças produzidas em uma 
fábrica, dada em centímetros: 
 
 
10,4 10,5 10,8 10,2 10,6 
10,6 10,2 10,7 10,4 10,5 
10,3 10,5 10,4 10,7 10,4 
10,9 10,5 10,3 10,6 10,5 
10,4 10,5 10,6 10,9 10,7 
 
Na Tabela 4, temos os dados acima organizados em termos de frequências e 
de frequências relativas, simples e acumuladas. 
 
Tabela 4: distribuição das frequências e das frequências acumuladas. 
 
2
 Devido à natureza contínua da variável. 
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xi fi Fi pi Pi 
10,2 2 2 0,08 0,08 
10,3 2 4 0,08 0,16 
10,4 5 9 0,20 0,36 
10,5 6 15 0,24 0,60 
10,6 4 19 0,16 0,76 
10,7 3 22 0,12 0,88 
10,8 1 23 0,04 0,92 
10,9 2 25 0,08 1,00 
 25 1,00 
 
A próxima figura é uma representação gráfica das duas primeiras colunas da 
Tabela 4. É importante que você aprenda a interpretar corretamente o gráfico 
da figura a seguir. Por exemplo, a frequência 2 associada ao valor 10,3 quer 
dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites 
10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medição, para 10,3. 
Portanto, uma representação gráfica correta deverá associar a frequência 2 ao 
intervalo 10,25 - 10,35. Isto é feito por meio de uma figura formada com 
retângulos cujas áreas representam as frequências dos diversos 
intervalos existentes. Tal figura é denominada histograma. 
 
 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
1
2
3
4
5
6
7
x
f
 
 
 
No caso das variáveis contínuas, as frequências sempre serão associadas a 
intervalos de variação da variável e não a valores individuais. Tais intervalos 
são chamados de classes de frequências. Estas classes são usualmente 
representadas pelos seus pontos médios. 
 
Variáveis contínuas também podem ser representadas pelo polígono de 
frequências, que é obtido unindo-se os pontos médios dos patamares do 
histograma. Para completar a figura, consideram-se duas classes laterais com 
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frequência nula3. A figura a seguir ilustra o polígono de frequências 
correspondente ao histograma da figura anterior. 
 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
1
2
3
4
5
6
7
x
f
 
 
 
A figura a seguir mostra os gráficos das frequências relativas acumuladas e do 
polígono de frequências relativas acumuladas (ou ogivas percentuais4) 
relativos ao último exemplo. 
 
 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
P
 
 
 
 
3
 Exceto no caso de variáveis essencialmente positivas cujo histograma se inicia no valor zero, pois 
não haveria sentido em se considerar um intervalo com valores negativos. 
4
 O polígono de frequências acumuladas também pode ser chamado de ogiva. 
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Na prática, às vezes é necessário agrupar os dados em classes de frequência 
que englobam diversos valores da variável. A frequência de cada classe será, 
nesse caso, igual à soma das frequências de todos os valores existentes dentro 
da classe. Este procedimento corresponde a uma diminuição proposital da 
precisão com que os dados foram computados. O problema a resolver, em tais 
casos, é o de determinar qual o número k de classes a constituir, qual o 
tamanho ou amplitude h dessas classes e quais os seus limites. Seja R a 
amplitude do conjunto de dados, ou seja, a diferença entre o maior e o menor 
dos valores observados. Fixado o número k de classes, resulta 
 
(4) 
k
R
h ≈ . 
 
14.4. Caracterização de uma Distribuição de Frequências 
 
A distribuição de frequências de uma variável quantitativa também pode ser 
caracterizada por grandezas numéricas denominadas medidas da distribuição 
de frequências. As medidas buscam sumarizar as informações disponíveis 
sobre o comportamento de uma variável. 
 
Há medidas de posição, de dispersão, de assimetria e de achatamento ou 
curtose. As medidas de posição e de dispersão são as mais importantes 
na prática e servem para localizar as distribuições e caracterizar a sua 
variabilidade. 
 
14.4.1. Medidas de Posição 
 
As medidas de posição servem para localizar a distribuição de frequências 
sobre o eixo de variação da variável em questão. Estudaremos, neste texto, a 
média, a mediana e a moda. 
 
A média e a mediana indicam, por critérios diferentes, o centro da 
distribuição de frequências, ou seja, são medidas de tendência central. 
A moda, por sua vez, indica a região de maior concentração de 
frequências na distribuição. 
 
Média Aritmética 
 
Suponha que você more em São Paulo (capital) e que esteja planejando uma 
viagem de carro para o Rio de Janeiro (capital) pela rodovia BR-116 (rodovia 
Pres. Dutra) no próximo feriadão. Qual seria o tempo gasto na viagem? Bem, a 
resposta “mais exata”, do ponto de vista estatístico, uma vez que o tempo de 
viagem é uma grandeza aleatória (o tempo de viagem varia em função de 
fatores sobre os quais não temos controle tais como congestionamentos 
devidos a acidentes com veículos, fiscalizações da Polícia Rodoviária, etc.), 
seria fornecer a distribuição de frequências dos tempos de viagem de carro 
para o Rio de Janeiro (vamos admitir que você viaje de carro com alguma 
frequência para o Rio de Janeiro e que tenha coletado esse conjunto de 
dados). Porém, ninguém espera que você dê como resposta uma distribuição 
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de frequências dos tempos de viagem. O que se espera é que você forneça o 
tempo esperado ou médio que será gasto na viagem. Como calculamos a 
média de uma distribuição de frequências? Responderemos essa pergunta na 
sequência. 
 
A média aritmética, ou média, de um conjunto de n números nxxx ,...,, 21 é 
definida por (leia-se “x barra”) 
 
(5) 
n
x
n
x
n
xxx
x
n
j
j
n ∑
∑
==
+++
=
=121 ... . 
 
Exemplo. A média dos números 3, 4, 8, 11 e 13 é 
 
8,7
5
1311843
=
++++
=x 
 
Se k valores distintos observados kxxx ,...,, 21 ocorrerem com as frequências 
kfff ,...,, 21 , respectivamente, a média será 
 
(6) ∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
===
+++
+++
=
k
j
jj
k
j
jj
k
j
j
k
j
jj
k
kk px
n
xf
f
xf
fff
xfxfxf
x
1
1
1
1
21
2211
...
...
 
 
em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
 
Exemplo. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequências 3, 2, 4 e 1, 
respectivamente, a média aritmética será de 
 
8,4
1423
12)45()27()34(
=
+++
×+×+×+×
=x 
 
Mencionamos acima que a média caracteriza o centro da distribuição de 
frequências; fazendo uma analogia com a mecânica, poderíamos interpretar a 
média como sendo o “centro de gravidade” de uma distribuição de frequências. 
 
Podemos destacas as seguintes propriedades da média: 
 
a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, 
a média do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a 
variável de interesse, c um valor constante e y = cx. Então xcy = . 
b) somando-se ou subtraindo-seuma constante a todos os valores de 
uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa 
constante. Seja x a variável de interesse, c um valor constante e 
cxy ±= . Então cxy ±= . 
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Média Aritmética de Dados Agrupados 
 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de frequências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. As fórmulas (5) e (6) serão 
válidas para esses dados agrupados quando se interpretar jx como o ponto 
médio e jf como a frequência de classe correspondente. 
 
Exemplo. Seja a distribuição em classes de frequência dada na Tabela 5. 
Temos que 
 
0,55
100
500.5
===
∑
n
fx
x
ii . 
 
 
Tabela 5: cálculo da média. 
 
Classe 
(limites reais) 
fi xi xifi 
40,0 ─ 45,0 6 42,5 255 
45,0 ─ 50,0 16 47,5 760 
50,0 ─ 55,0 32 52,5 1.680 
55,0 ─ 60,0 24 57,5 1.380 
60,0 ─ 65,0 14 62,5 875 
65,0 ─ 70,0 6 67,5 405 
70,0 ─ 75,0 2 72,5 145 
 100 5.500 
 
 
Outros Tipos de Média 
 
Podemos definir outros tipos de média de um conjunto de dados, tais como a 
média geométrica gx , a média harmônica hx e a média ponderada px 
dadas por 
 
(7) n ng xxxx .... 21= , 
 
Exemplo. A média geométrica dos números 2, 4 e 8 é: 
 
464842 33 ==××=gx 
 
(8) 
n
h
xxx
n
x
1
...
11
21
+++
= , 
 
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Exemplo. A média harmônica dos números 2, 4 e 8 é: 
 
43,3
8
1
4
1
2
1
3
≈
++
=hx 
 
(9) 
n
nn
p
www
xwxwxw
x
+++
+++
=
...
...
21
2211 . 
 
em que nwww ,...,, 21 denotam fatores de ponderação ou pesos. 
 
Exemplo. O desempenho em um curso de graduação é avaliado por meio das 
notas obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). 
Sabendo-se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, 
determine a média final do aluno que obteve as seguintes notas (em uma 
escala de 0 a 10): P1 = 5,0, P2 = 4,5 e A=8,5. 
 
4,535,5
10
5,53
352
)5,83()5,45()0,52(
≈==
++
×+×+×
=px 
 
Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica 
 
A média geométrica de um conjunto de números positivos nxxx ,...,, 21 é menor 
do que ou igual à sua média aritmética, mas é maior do que ou igual à sua 
média harmônica: 
 
média harmônica ≤ média geométrica ≤ média aritmética 
 
Mediana 
 
A mediana caracteriza o centro de uma distribuição de frequências com base 
na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana é o 
valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. A mediana é o 
valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores 
valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, 
consideraremos a mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 
e (n/2) + 1 do conjunto de dados. 
 
Exemplo. A mediana dos nove valores já ordenados, 
 
12 14 15 19 20 22 26 27 30 
 
é igual a 20. A mediana dos oito valores já ordenados, 
 
12 14 15 19 20 26 27 30 
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é igual a (19+20)/2 = 19,5. 
 
 
A mediana (md) de uma distribuição em classes de frequências é dada pela 
expressão 
 
(10) md
md
a
i h
f
Fn
Lmd ×
−
+=
)2/(
 
 
em que iL é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de 
elementos do conjunto de dados, aF é a soma das frequências das classes 
anteriores à que contém a mediana, mdf é a frequência da classe que contém a 
mediana e mdh é a amplitude da classe que contém a mediana. A expressão 
(10) supõe que os valores observados da variável tenham se distribuído 
homogeneamente dentro das diversas classes. 
 
Exemplo. Considere os dados da Tabela 5, repetidos abaixo na Tabela 6. 
 
 
Tabela 6 
 
Classe 
(limites reais) 
fi 
40,0 ─ 45,0 6 
45,0 ─ 50,0 16 
50,0 ─ 55,0 32 
55,0 ─ 60,0 24 
60,0 ─ 65,0 14 
65,0 ─ 70,0 6 
70,0 ─ 75,0 2 
 100 
 
A mediana é 
 
375,545
32
2250
0,50 =×
−
+=md . 
 
Em certos casos práticos, como aqueles que envolvem distribuições de 
frequência com valores extremos, é mais conveniente usar a mediana como 
medida de tendência central, pois a média sofre influência de valores 
extremos. Neste caso, a mediana fornecerá uma melhor idéia do centro da 
distribuição de frequências da variável sob análise. 
 
A mediana de uma distribuição em classes de frequências pode ser 
geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela 
traçada divide a área sob o histograma em duas partes iguais. 
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A mediana e a média são coincidentes quando a distribuição é simétrica. Em 
distribuições assimétricas, a média tende a deslocar-se para o lado da cauda 
mais longa (vide figura abaixo). 
 
 
 
 
 
A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos 
com igual número de elementos. Há outras maneiras de se dividir os dados 
ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores 
em quatro subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil 
(Q1) ou quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo 
quartil é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) é o 
valor que separa os 25% maiores valores (veja a próxima figura). Além dos 
quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que são os valores que 
dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana 
corresponde ao quinto decil D5) e os percentis, que são os valores que 
dividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por 
P1, P2,..., P99 (a mediana é o percentil P50). 
 
De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos 
mediante subdivisões dos dados em partes iguais são denominados quantis. 
 
 
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Moda 
 
A moda é dada pelo valor mais freqüente (ou de máxima frequência). Sendo 
assim, a moda para o conjunto de dados da Tabela 2 é 1 e, no caso da Tabela 
6, a classe modal é 50,0 ─ 55,0. 
 
Pode haver, entretanto, mais de uma moda em um conjunto de valores. Se 
houver apenas uma moda, a distribuição é dita unimodal. Se houver duas, é 
bimodal. 
 
No caso de distribuições de frequência em classes de mesma amplitude, é 
comum definir-se a moda (mo) como um ponto pertencente à classe modal, 
dado por 
 
(11) h
dd
d
Lmo i
21
1
+
+= , 
 
em que iL é o limite inferior da classe modal, 1d é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, 2d é a 
diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente 
seguinte e h é a amplitude das classes. A fórmula (11) corresponde ao cálculo 
da moda pelo Método de Czuber. 
 
Exemplo. Considere os dados da Tabela 6. Então 0,50=iL , 1616321 =−=d , 
824322 =−=d, 5=h e a moda é 
 
333,535
816
16
0,50 ≈×
+
+=mo . 
 
 
A moda também pode ser calculada pelo Método de King: 
 
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h
ff
f
Lmo
antpost
post
i
+
+= , 
 
em que iL denota o limite inferior da classe modal, postf é a frequência da 
classe posterior à classe modal, antf é a frequência da classe anterior à 
classe modal e h é a amplitude da classe modal. 
 
Caso a questão da prova não especifique, deverá ser utilizado o 
método de Czuber. 
 
Relação Empírica entre a Média, a Mediana e a Moda 
 
Para as curvas de frequência unimodal moderadamente inclinadas 
(assimétricas), a seguinte relação empírica é válida 
 
(12) )(3 mdxmox −×=− 
 
ou seja, 
 
Média ─ Moda = 3(Média - Mediana). 
 
A figura abaixo mostra as posições relativas da moda, mediana e média para 
uma distribuição de frequência (levemente) inclinada para a direita. 
 
 
 
 
 
Já caiu em prova! (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC). Para 
resolver as questões de números 1 e 2, considere a tabela de frequências 
relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, 
sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para 
análise. Sabe-se que: 
 
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I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais 
a x e y, respectivamente. 
II – A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
desse intervalo). 
 
Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 
1.000,00 |---------- 2.000,00 0,10 
2.000,00 |---------- 3.000,00 x 
3.000,00 |---------- 4.000,00 y 
4.000,00 |---------- 5.000,00 0,20 
5.000,00 |---------- 6.000,00 0,10 
Total 1,00 
 
1. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é 
 
A) 70% 
B) 65% 
C) 55% 
D) 45% 
E) 40% 
 
Resolução 
 
Seja a Tabela abaixo, em que xi denota o ponto médio da classe i, pi 
representa a frequência relativa da classe i e Pi é a frequência acumulada da 
classe i. 
 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 x 0,10 + x 
3,0 |--- 4,0 3,5 y 0,10 + x + y 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,30 + x + y 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 0,40 + x + y 
Total 1,00 
 
Temos duas frequências relativas incógnitas: x e y. Logo, precisaremos montar 
um sistema de duas equações a duas incógnitas para resolver x e y. 
 
O enunciado diz que 35,3=x (em R$ mil). Portanto, 
 
)10,05,5()20,05,4(5,35,2)10,05,1(35,3 ×+×+++×=== ∑ yxpxx
i
ii 
35,355,090,05,35,215,0 =++++ yx 
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75,15,35,2 =+ yx (1) 
 
Por outro lado, sabemos que 
 
1=∑
i
ip ⇒ 00,140,0 =++ yx ⇒ 60,0=+ yx (2) 
 
Chegamos então ao sistema 
 



=+
=+
60,0
75,15,35,2
yx
yx
 
 
Cuja solução é: 35,0=x e 25,0=x . 
 
A versão final da Tabela é: 
 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
 
E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é: 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%. 
 
GABARITO: C 
 
2. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva 
mediana é 
 
A) R$ 3,120,00 
B) R$ 3,200,00 
C) R$ 3,400,00 
D) R$ 3,600,00 
E) R$ 3,800,00 
 
Resolução 
 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
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A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 – 3,0) = 1,0 
(amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da 
mediana correspondente à mediana) assim como (70% – 45%) está (50% – 
45%): 
 
45,050,0
45,070,00,1
−
−
=
X
 ⇒ 
05,0
25,00,1
=
X
 ⇒ 20,0
25,0
05,0
==X 
 
Logo: md = 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil. 
 
GABARITO: B 
 
Já caiu em prova! (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das 
seguintes observações: 
 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 
9 
 
A) 13,5 
B) 17 
C) 14,5 
D) 15,5 
E) 14 
 
Resolução 
 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a 
mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordem 
n/2 e o de ordem (n/2)+1. Por simplificação, para n par, consideraremos a 
mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 e (n/2)+1 
do conjunto de dados 
 
Total de elementos do conjunto = n = 23 (ímpar) 
 
Mediana (número ímpar de elementos) => Posição = (n+1)/2 = 24/4 = 12 
 
Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente: 
 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 
42 
 
Elemento na Posição 12 = 17 
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GABARITO: B 
 
14.4.2. Medidas de Dispersão 
 
Pense na seguinte situação: uma pessoa faz quatro refeições por dia, enquanto 
que outra não faz nenhuma refeição por dia. Na média, ambas fazem duas 
refeições por dia. Isto quer dizer que os dois indivíduos estão bem 
alimentados? A resposta óbvia é não. É para isso que servem as medidas de 
dispersão, isto é, medidas de como os dados estão agrupados: mais ou menos 
próximos entre si (mais ou menos dispersos). 
 
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados se apresentam dispersos 
em torno da região central. Desta forma, caracterizam o grau de variabilidade 
existente nos dados. As seguintes medidas de dispersão nos interessam: a 
amplitude, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o 
desvio interquartílico. 
 
Amplitude 
 
A amplitude já foi mencionada nesta aula, sendo definida como a diferença 
entre o maior valor e o menor valor do conjunto de dados: 
 
(13) minmax xxR −= . 
 
Na prática, a amplitude não é muito usada como medida de dispersão. 
 
Exemplo. A amplitude do conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 10 é 10 – 3 = 7. 
 
Variância 
 
A variância de um conjunto de dados pode ser calculada pela fórmula 
 
(14) ∑
=
−=
n
i
ix xx
n
s
1
22 )(
1
. 
 
Se kxxx ,...,, 21 ocorrerem com as frequências kfff ,...,, 21 (∑
=
=
k
f
1i
i n ), 
respectivamente, a variância5 será dada por 
 
 
5
 Em (14) e (15), consideramos que os dados se referem a uma população finita de tamanho n. 
Caso os dados estejam associados auma amostra de tamanho n, o fator n que aparece no 
denominador do lado direito de (14) e (15) deve ser substituído por n-1. A justificativa matemática 
para o uso do fator (n-1) será apresentada em outra aula, mas já podemos adiantar que ela está 
relacionada a problemas de inferência estatística. Para grandes valores de n, a diferença entre as 
duas definições torna-se desprezível. 
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(15) ∑
=
−=
k
i
iix xxf
n
s
1
22 )(
1
. 
 
A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades: 
 
a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, 
a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa 
constante. Seja x a variável de interesse, c um valor constante e y = 
cx. Então 222 xy scs = . 
b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de 
uma variável, a variância não se altera. Seja x a variável de interesse, 
c um valor constante e y = x + c. Então 22 xy ss = . 
 
Demonstraremos mais adiante que (14) pode ser reescrita na forma 
 
2
22 11 





−= ∑∑
i
i
i
ix x
n
x
n
s , 
 
que é uma fórmula “maceteada” para o cálculo da variância. 
 
Questão (INÉDITA). Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Então 
a variância desse conjunto é 
 
A) 8 
B) 20,25 
C) 18 
D) 24 
E) 22 
 
Resolução 
 
A média do conjunto é 
 
8
5
1411852
=
++++
=x 
 
e a variância 
 
.18
5
)814()811()88()85()82()( 22222
2
2 =
−+−+−+−+−
=
−
= ∑
n
xx
s
i
x 
 
GABARITO: C 
 
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Questão (INÉDITA). Sejam os conjuntos de números {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 
8, 14}, Assinale a opção com a variância dos conjuntos combinados ou 
reunidos. 
 
A) 8 
B) 20,25 
C) 18 
D) 24 
E) 22 
 
Resolução 
 
A variância dos conjuntos combinados (s2) é definida por 
 
21
1
2
2
)(
nn
xx
s
n
i
i
+
−
=
∑
= 
 
em que x é a média dos conjuntos combinados, dada por 
 
,
21
1
nn
x
x
n
i
i
+
=
∑
= 
 
em que n1 = 5 é o número de elementos do conjunto 1, n2 = 3 é o número de 
elementos do conjunto 2 e n1 + n2 = n = 8 (número de elementos resultante 
da agregação dos dois conjuntos). 
 
A média dos conjuntos combinados é igual a 
 
.8
8
64
35
14821411852
==
+
+++++++
=x 
 
Logo, a variância dos conjuntos combinados é 
 
25,20
8
)814(2)811()88(2)85()82(2)( 22222
21
2
2 =
−×+−+−×+−+−×
=
+
−
= ∑
nn
xx
s
i 
 
Solução alternativa: 
 
Média do 1º conjunto: .8
5
1411852
1 =
++++
=x 
 
Média do 2º conjunto: .8
3
1482
2 =
++
=x 
 
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Variância do 1º conjunto: 
.18
5
)814()811()88()85()82()( 22222
1
2
12
1 =
−+−+−+−+−
=
−
=
∑
n
xx
s
i 
 
Variância do 2º conjunto: .24
3
)814()88()82()( 222
2
2
22
2 =
−+−+−
=
−
= ∑
n
xx
s
i 
 
A variância dos conjuntos combinados pode ser calculada por meio da 
média ponderada das variâncias dos conjuntos: 
 
.25,20
35
243185
21
2
22
2
112 =
+
×+×
=
+
+
=
nn
snsn
s 
 
GABARITO: B 
 
Já caiu em prova! (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO - adaptada). O 
setor de recursos humanos de uma empresa tem o hábito de divulgar 
separadamente a média e a variância das notas das avaliações dos 
funcionários do sexo feminino e do masculino. Na última avaliação, os 
resultados obtidos foram: 
 
 Feminino Masculino 
Número de funcionários 20 30 
Média 6 7 
Variância 3,4 4 
 
A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, 
respectivamente, valem: 
 
A) 6,5 e 3,7 
B) 6,6 e 3,4 
C) 6,6 e 3,8 
D) 7,5 e 3,7 
E) 13,0 e 7,5 
 
Resolução 
 
Dados: n1 = 20, 1x = 6 e 
2
1s = 3,4 (conjunto feminino); n2 = 30, 2x = 7; 
2
2s = 
4 (conjunto masculino). 
 
A média dos conjuntos combinados corresponde à média ponderada das 
médias dos conjuntos: 
 
.6,6
3020
730620
21
2211 =
+
×+×
=
+
+
=
nn
xnxn
x 
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Variância dos conjuntos combinados: 
 
.8,376,3
3020
4304,320
21
2
22
2
112 ≈=
+
×+×
=
+
+
=
nn
snsn
s 
 
O resultado acima, 3,4 < (s2 = 3,76) < 4, faz sentido. Considere um conjunto 
com uma variância muito pequena e outro com uma variância muito grande, 
sendo que ambos tem aproximadamente o mesmo número de elementos. 
Então espera-se que a variância dos conjuntos combinados seja um resultado 
intermediário, ou seja, situado entre os extremos. 
 
GABARITO: C 
 
Desvio Padrão 
 
O desvio padrão de um conjunto de dados é a raiz quadrada positiva da 
variância, ou seja, 
 
(16) 2xx ss += . 
 
O desvio padrão está na mesma unidade da variável, sendo, por isso, de maior 
interesse na prática. 
 
Exemplo. Determine o desvio padrão do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. 
 
Vimos que esse conjunto possui variância igual a 18. Logo, 24,418 ≈=xs . 
 
Coeficiente de Variação 
 
O coeficiente de variação é definido como o quociente entre o desvio padrão e 
a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem: 
 
(17) 
x
s
xcv x=)( . 
 
Esta medida caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor 
médio. 
 
Exemplo. Determine o coeficiente de variação do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. 
 
O conjunto tem média 8 e desvio padrão 4,24. Portanto, %5353,0
8
24,4
)( =≈=xcv . 
 
Desvio Interquartílico 
 
O desvio interquartílico, definido por 
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(18) isQ QQd −= , 
 
em que Qd denota o desvio interquartílico, sQ é o quartil superior e iQ o quartil 
inferior, pode ser usado como uma medida de dispersão. Em distribuições mais 
dispersas, os valores dos quartis ficam mais distantes. Em distribuições 
simétricas, a distância entre o quartil inferior e a mediana é igual à distância 
entre a mediana e o quartil superior, enquanto que em distribuições 
assimétricas essas distâncias são diferentes. 
 
Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuição das alturas dos 
estudantes da Universidade de São Paulo são 165,56 cm e 178,59 cm, 
respectivamente. Calcule o desvio interquartílico dessa distribuição. 
 
03,1356,16559,178 =−=−= isQ QQd cm. 
 
Já caiu em prova! (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC). 
Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às 
medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: 
 
A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, 
tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da 
divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) 
de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética. 
C) Subtraindo um valorfixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, 
tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do 
desvio padrão dos valores anteriores. 
D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente 
positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. 
E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana 
e a moda é sempre diferente de zero. 
 
Resolução 
 
Análise das alternativas: 
 
A) A variância de um conjunto de dados é dada por 
 
n
nx
n
xx
n
x
n
xxxx
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
x
2
11
2
1
22
1
2
2
2)2()(
+−=
+−
=
−
=
∑∑∑∑
==== 
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2
11
221
2
221
2
2 112 





−=−=+−= ∑∑
∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x x
n
x
n
x
n
x
xx
n
x
s 
2
11
22 11 





−= ∑∑
==
n
i
i
n
i
ix x
n
x
n
s => Esta fórmula é importante para a prova! 
 
Considere que ix representa o salário do i-ésimo empregado. Se é concedido 
um reajuste de 10% em todos os salários (então o salário reajustado passará 
a valer ix1,1 ), tem-se que a nova variância s'x
2 é igual a 
 
2
11
2
2
11
22 1,121,1
1
1,1
1
)1,1(
1
' 





−





=





−





= ∑∑∑∑
====
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ix x
n
x
n
x
n
x
n
s 
 














−=





−





=





−





= ∑∑∑∑∑∑
======
2
11
2
2
11
2
2
11
22 1121,1
1
21,1
1
21,1
1,121,1
'
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ix x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
s 
22 21,1' xx ss = 
 
ou seja, a nova variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante (1,102 
= 1,21) ⇒ FALSA. 
 
B) O Coeficiente de Variação (CV) é definido como o quociente entre o desvio 
padrão e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem: 
 
cv(x) =
sx
x 
≠
sx
x 
 
 
 
 
 
 
2
=
sx
2
x 2
 ⇒ FALSA. 
 
C) A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades: 
 
- multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a 
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. Seja x 
a variável de interesse, c um valor constante e y = cx. Então 222 xy scs = . 
- somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma 
variável, a variância não se altera. Seja x a variável de interesse, c um valor 
constante e y = x + c. Então 22 xy ss = . 
 
Portanto, esta alternativa é VERDADEIRA. 
 
D) Dividindo todos os valores de uma série por 4, tem-se que o desvio padrão 
também ficará dividido por 4 ⇒ FALSA. 
 
E) Esta afirmação é verdadeira somente para distribuições assimétricas ⇒ 
FALSA. 
 
GABARITO: C 
 
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Diagrama de Caixa 
 
Um diagrama de caixa ou box plot é um retângulo que representa o 
desvio interquartílico. Esse retângulo indica, portanto, a faixa dos 50% dos 
valores mais típicos da distribuição. O retângulo é dividido no valor 
correspondente à mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o 
quartil superior (vide as próximas duas figuras). As observações que estiverem 
acima do limite superior ou abaixo do limite inferior estabelecidos serão 
denominados pontos exteriores e representadas por asteriscos ou pontos. 
Essas observações são destoantes das demais e podem ou não ser o que 
chamamos de outliers ou valores atípicos6. 
 
 
 
 
 
Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis: 
 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
1,7524 4,6901 5,7004 6,1768 7,3658 
 
 
A próxima figura é um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela de 
percentis acima. A cauda inferior é longa e isto indica que a distribuição é 
assimétrica. Note também a presença de outliers na parte inferior do box plot 
(são os pontos vermelhos). 
 
6
 A média aritmética é sensível a outliers. Um único valor “ruim” do conjunto de dados pode distorcer a média, ou seja, 
pode mover a média para longe do centro da distribuição de frequências. As médias geométrica e harmônica, assim 
como a aritmética, também não são robustas a outliers. Elas são úteis quando os dados são bem modelados pela 
distribuição log-normal ou quando a distribuição é fortemente assimétrica. 
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1
2
3
4
5
6
7
V
a
lo
re
s
 
 
 
A figura abaixo mostra o histograma associado ao box plot do exemplo. 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
 
_______________________________________________________ 
 
 
A próxima figura reforça a relação do box plot com o histograma. A distribuição 
da esquerda é simétrica, enquanto que a da direita é assimétrica. 
 
 
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Os box plots da figura abaixo mostram a comparação dos tamanhos das 
pétalas em duas amostras das espécies de flor-de-lis versicolor e virginica7. 
 
 
versicolor virginica
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
V
a
lo
re
s
 
 
 
A existência de um outlier nos dados da espécie versicolor é indicada pelo 
ponto vermelho na parte inferior esquerda da figura. 
 
14.4.3. Momentos de uma Distribuição de Frequências 
 
O momento de ordem t associado às observações nxxx ,...,, 21 é definido como 
 
(19) 
n
x
M
n
i
t
i
t
∑
== 1 . 
 
Define-se o momento de ordem t centrado em relação a uma constante 
a como 
 
(20) 
n
ax
M
n
i
t
i
a
t
∑
=
−
= 1
)(
. 
 
O caso do momento centrado em relação a média x é de especial 
interesse em Estatística e será designado por momento centrado de ordem 
t, dado por 
 
(21) 
n
xx
m
n
i
t
i
t
∑
=
−
= 1
)(
. 
 
7
 Conjunto de dados de Fisher. 
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As expressões (19), (20) e (21) podem ser reescritas levando-se em 
consideração as frequências dos diferentes valores existentes (lembre que 
∑
=
=
k
i
i nf
1
). Tem-se, então, respectivamente, 
 
(22) 
n
fx
M
k
i
i
t
i
t
∑
== 1 , 
 
(23) 
n
fax
M
i
k
i
t
i
a
t
∑
=
−
= 1
)(
, 
 
(24) 
n
fxx
m
k
i
i
t
i
t
∑
=
−
= 1
)(
, 
 
Observe que o momento de ordem 1 é igual à média, ou seja, 
 
(25) xM =1 , 
 
pois ∑
=
=
n
i
ix
n
M
1
1
1
 (basta aplicar (19) com t=1). 
 
O momento centrado de ordem 1 (ou de primeiraordem) é nulo 
 
(26) 01 =m , 
 
porque 0
11
)(
1
1111
1 =−=





−=





−=−= ∑∑∑∑
====
xxxnx
n
xx
n
xx
n
m
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i . 
 
O momento centrado de segunda ordem é a variância 
 
(27) 22 xsm = 
 
haja vista que, 2
1
2
2 )(
1
x
n
i
i sxx
n
m ∑
=
=−= . 
 
14.4.4. Medidas de Assimetria 
 
Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma 
distribuição. As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente 
assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas. 
 
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O momento centrado de terceira ordem pode ser usado como medida da 
assimetria de uma distribuição. Entretanto, uma medida mais conveniente de 
assimetria, por ser adimensional, é dada pelo coeficiente de assimetria (A), 
definido como a razão entre o momento centrado de terceira ordem e o 
cubo do desvio padrão: 
 
(28) .
3
3
xs
m
A = 
 
O coeficiente de assimetria (28) indica o sentido da assimetria e pode ser 
usado para comparar vários casos porque é adimensional. 
 
A assimetria também pode ser medida pelo primeiro coeficiente de 
assimetria de Pearson: 
 
(29) .1
x
p
s
mox
A
−
= 
 
em que x é a média, mo denota a moda e xs é o desvio padrão. 
 
Para evitar o emprego da moda em (29), pode-se adotar a fórmula empírica 
 
(média – moda) = 3(média - mediana), 
 
de forma que (29) pode ser reescrita como 
 
2
)(3
p
x
A
s
mdx
=
−
 
 
conhecida como segundo coeficiente de assimetria de Pearson. 
 
Uma outra medida de assimetria, denominada coeficiente quartílico de 
assimetria (Aq), é definida pela fórmula 
 
(30) 
13
13 2
QQ
QmdQ
Aq
−
+−
= . 
 
Já caiu em prova! (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC). Numa 
distribuição de frequências com assimetria negativa mais de 50% dos dados 
situam-se 
 
A) sobre a média 
B) acima da média 
C) entre a média e a moda 
D) entre a média e a mediana 
E) acima da mediana 
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Resolução 
 
Assimetria Negativa ou à Esquerda: Média < Mediana < Moda 
 
 
2
3
4
5
6
7
8
 
 
Assimetria Negativa (você puxa a seta com a mão esquerda): 
 
1) A seta puxa a média 
2) A moda está no topo 
3) A mediana está no meio 
 
Note que uma distribuição de frequências com assimetria negativa é 
alongada à esquerda. 
 
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Logo, 
numa distribuição de frequências com assimetria negativa, mais de 
50% dos dados estão acima da média (pois a média é menor do que a 
mediana). 
 
Assimetria Positiva ou à Direita: Média > Mediana > Moda ou 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
Moda 
Mediana 
Média 
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50
 
 
 
Assimetria Positiva ou à Direita (você puxa a seta com a mão direita): 
 
1) A seta puxa a média 
2) A moda está no topo 
3) A mediana está no meio 
 
GABARITO: B 
 
Já caiu em prova! (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemático 
(diagrama de caixa) apresentado abaixo representa o resumo de cinco 
números {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjunto de observações 
amostrais do atributo Y. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de 
assimetria de Pearson para a amostra em apreço. 
 
 
A) -0,269 
B) -0,500 
C) 0,000 
D) 0,294 
E) -0,294 
 
Resolução 
 
Temos cinco números: {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00}. É razoável admitir 
que eles representem as seguintes medidas: 
Moda 
Mediana 
Média 
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- Valor Mínimo = 51,00 
- Q1 = 54,75 
- Mediana (md) = 69,50 
- Q3 = 78,00 
- Valor Máximo = 95,00 
 
Note que o diagrama de caixa apresentado não representa de forma fidedigna 
as cinco medidas do atributo Y. Paciência! Não vale a pena brigar com a banca. 
O objetivo é ser aprovado no concurso! 
 
Vimos que o primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula 
 
.1
x
p
s
mox
A
−
= 
 
Entretanto, não é possível calcular o coeficiente de assimetria de Pearson com 
os dados da questão (quais são os valores da média e da moda?). O que está 
acontecendo nesta questão? Calma ... pode ser que a banca tenha alguma 
outra medida de assimetria em mente. Que tal calcular o coeficiente quartílico 
de assimetria? Não custa nada. Então vamos lá! 
 
269,0
75,5478
)50,692(75,54782
13
13 −=
−
×−+
=
−
−+
=
QQ
mdQQ
Aq . 
 
Coeficiente quartílico de assimetria = -0,269 
 
GABARITO: A 
 
14.4.5. Medidas de Achatamento ou Curtose 
 
As medidas de curtose visam caracterizar a forma da distribuição 
quanto ao seu achatamento. A referência para comparação é dada pela 
distribuição normal, modelo probabilístico teórico de grande aplicação 
prática que será visto nas próximas aulas8. Diz-se que a distribuição normal é 
mesocúrtica (veja a figura abaixo). As distribuições mais achatadas que a 
normal são platicúrticas e as menos achatadas são leptocúrticas. 
 
 
 
8
 Não fique preocupado se você nunca ouviu falar da curva normal, pois ela será vista nas próximas 
aulas. Neste momento, basta que você saiba que o formato da curva normal lembra um sino. 
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A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido 
se a distribuição for aproximadamente simétrica. Entre as possíveis 
medidas de achatamento, temos o coeficiente do momento de curtose 
(a4), definido como a razão entre o momento centrado de quarta ordem e 
a quarta potência do desvio padrão: 
 
(31) .
4
4
4
xs
m
a = 
 
Esse coeficiente é adimensional, sendo menor que três para as 
distribuições platicúrticas, igual a três para a normal e maior que três 
para as distribuições leptocúrticas. 
 
Outra medida de curtose também empregada, denominada coeficiente 
percentílico de curtose, baseia-se nos quartis e percentis e é definida por: 
 
(32) 
1090 PP
Q
K
−
= 
 
em que Q é a metade da distância interquartílica, ou seja, Q = (Q3-Q1)/2. 
 
14.5. Ramo-e-Folhas 
 
Vimos que o histograma e os gráficos em barras dão uma idéia da forma da 
distribuição da variável sob consideração. Um procedimento alternativo para 
resumir um conjunto de valores, com o objetivo de se obter uma idéia da 
forma de sua distribuição, é o diagrama de ramo-e-folhas. 
 
Exemplo 10 (baseado em questão do AFPS/2002/ESAF) Construa o 
ramo-e-folhas associado às seguintes observações: 82, 90, 90, 93, 99, 100, 
100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107, 107, 107, 107, 
110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 125, 125, 
125, 127, 130, 130, 134, 135,135, 135, 136, 140, 143, 145, 148. 
 
Não existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas a 
idéia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é 
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colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à 
direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 é o ramo e 0 e 3 são as folhas. 
 
O diagrama de ramo-e-folhas correspondente às observações amostrais deste 
exemplo é o seguinte: 
 
8 | 2 
8 | 
9 | 003 
9 | 9 
10| 0011222344 
10| 577777 
11| 013 
11| 55679 
12| 00114 
12| 5557 
13| 004 
13| 5556 
14| 03 
14| 5 
15| 
15| 8 
 
 
Na tabela abaixo, fi denota a frequência simples e Fi é a freqüência acumulada 
das observações: 
 
Ramos Folhas fi Fi 
8 2 1 1 
8 0 1 
9 003 3 4 
9 9 1 5 
10 0011222344 10 15 
10 577777 6 21 
11 013 3 24 
11 55679 5 29 
12 00114 5 34 
12 5557 4 38 
13 004 3 41 
13 5556 4 45 
14 03 2 47 
14 5 1 48 
15 0 48 
15 8 1 49 
 
 
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A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observações até a última 
folha do sétimo ramo. Note que há 49 observações no total e que a mediana 
corresponde à 1ª folha do oitavo ramo, cujo valor é 115. 
 
14.6. Memorize para a prova 
 
- A frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) 
é definida como o número de vezes que esse valor foi observado. 
 
- A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores 
observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores 
observados. 
 
- A frequência acumulada de um dado valor é igual a soma das 
frequências de todos os valores menores ou iguais ao valor em 
consideração. 
 
- Um histograma é um gráfico da distribuição de frequências de uma 
variável quantitativa. 
 
- As medidas de posição servem para localizar a distribuição de 
frequências sobre o eixo de variação da variável (eixo horizontal). 
 
- A média, a mediana e a moda são medidas de posição. 
 
- Média aritmética: ∑
=
=
+++
=
n
i
i
n x
nn
xxx
x
1
21 1... 
 
- Média geométrica: n
n
i
i
n
ng xxxxx
/1
1
21 .... 





== ∏
=
 
 
- Média harmônica: 
∑
=
=
+++
=
n
i in
h
x
n
xxx
n
x
121
11
...
11
 
 
- Média ponderada: 
∑
∑
=
==
+++
+++
=
n
i
i
n
i
ii
n
nn
p
w
xw
www
xwxwxw
x
1
1
21
2211
...
...
 
 
- A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
 
- A moda é dada pelo valor mais freqüente (ou de máxima frequência). 
 
- As medidas de dispersão caracterizam o grau de variabilidade 
existente nos dados. 
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- Variância: ∑
=
−=
n
i
ix xx
n
s
1
22 )(
1
. 
 
- Média de dois conjuntos combinados ( nnn =+ 21 ): ∑
=






+
=
n
i
ix
nn
x
121
1
 
 
- Variância de dois conjuntos combinados: 
21
2
22
2
112
nn
snsn
s
+
+
= 
 
- Desvio padrão: 2xx ss += . 
 
- As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente 
assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas. 
 
- Desvio interquartílico: isQ QQd −= 
 
- Um diagrama de caixa ou box-plot é um retângulo que representa o 
desvio interquartílico. Esse retângulo indica, portanto, a faixa dos 50% dos 
valores mais típicos da distribuição. O retângulo é dividido no valor 
correspondente à mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o 
quartil superior. 
 
- Momento de ordem t: ∑
=
=
n
i
t
it x
n
M
1
1
 
 
- Momento centrado de ordem t: ∑
=
−=
n
i
t
it xx
n
m
1
)(
1
 
 
- Coeficiente de assimetria: 
3
3
xs
m
A = 
 
- Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson: 
x
p
s
mox
A
−
=1 
 
- Segundo coeficiente de assimetria de Pearson: 
x
p
s
mdx
A
)(3
2
−
= 
 
- Coeficiente quartílico de assimetria: 
13
13 2
QQ
QmdQ
Aq
−
+−
= 
 
- As medidas de curtose visam caracterizar a forma da distribuição 
quanto ao seu achatamento. A referência para comparação é dada pela 
distribuição normal. A distribuição normal é mesocúrtica. As 
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distribuições mais achatadas que a normal são platicúrticas e as menos 
achatadas são leptocúrticas. 
 
- Coeficiente do momento de curtose (k): .
4
4
4
xs
m
a = 
 
- Coeficiente percentílico de curtose (k): 
1090 PP
Q
K
−
= em que Q = (Q3-
Q1)/2 
 
14.7. Exercícios de Fixação 
 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de 
pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) 
com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir: 
 
 
 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: 
 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. 
 
Assinale: 
 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
B) se somente a afirmativa II for verdadeira. 
C) se somente a afirmativa III for verdadeira. 
D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
 
2. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de 
desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de 
performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas 
são realizadas. 
 
Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na 
tabela a seguir: 
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Medidas 
Indicador 
Qualidade Tempestividade 
Média 50 25 
Desvio-Padrão 10,0 6,0 
Coeficiente de 
Variação (%) 
 
20 
 
24 
 
Com base na tabela, é correto afirmar que: 
 
A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance 
dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. 
B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da 
Tempestividade. 
C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da 
Tempestividade. 
D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das 
tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. 
E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. 
 
3. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot 
abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 
 
 
 
É correto afirmar que: 
 
A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres. 
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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 43B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa. 
C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos 
homens. 
D) a distribuição dos salários dos homens é atípica. 
E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens. 
 
4. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações 
sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário 
médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta: 
 
A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres. 
B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres. 
C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres. 
D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens. 
E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres. 
 
5. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de 
contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a 
média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X 
─ 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X: 
 
A) 3,0% 
B) 9,3% 
C) 17,0% 
D) 17,3% 
E) 10,0% 
 
(AFRF/2002/ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil 
do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de 
frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de 
X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. As 
questões de 6 a 11 referem-se a esses ensaios. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
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6. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
 
A) 140,10 
B) 115,50 
C) 120,00 
D) 140,00 
E) 138,00 
 
7. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
 
A) 138,00 
B) 140,00 
C) 136,67 
D) 139,01 
E) 140,66 
 
8. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à 
medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
 
A) 3/S 
B) 4/S 
C) 5/S 
D) 6/S 
E) 0 
 
9. Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
 
A) 62,5% 
B) 70,0% 
C) 50,0% 
D) 45,0% 
E) 53,4% 
 
10. Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
7 2
1
. 1.680i ii Z f= =∑ , onde fi é a frequência simples da classe i e Zi o ponto 
médio de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do 
atributo X. 
 
A) 720,00 
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B) 840,20 
C) 900,10 
D) 1200,15 
E) 560,30 
 
11. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em 
geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada 
pelo quociente 
 
90 10
Q
k
P P
=
−
 
onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os 
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da 
curtose k para a distribuição de X. 
 
A) 0,263 
B) 0,250 
C) 0,300 
D) 0,242 
E) 0,000 
 
12. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, 
demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado 
tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
 
 
 
Observação: Considere que todos os intervalos de classe de histograma são 
fechados à esquerda e abertos à direita. 
 
Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média 
aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da 
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interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a 
mediana é igual a 
 
A) R$ 100,00 
B) R$ 400,00 
C) R$ 800,00 
D) R$ 900,00 
E) R$ 1.000,00 
 
13. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto 
determinado de números positivos temos: X como a média aritmética, G 
como a média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que 
 
A) X menor ou igual a G menor ou igual a H. 
B) G maior do que X maior do que H. 
C) X menor ou igual a H menor ou igual a G. 
D) H menor ou igual a G menor ou igual a X . 
E) H maior do que G maior do que X . 
 
14. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das 
vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com 
desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores 
das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 
2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores 
das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é 
 
A) 34.000,00 
B) 50.000,00 
C) 194.000,00 
D) 207.500,00 
E) 288.000,00 
 
15. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de 
um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. 
Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades 
dessas pessoas serão, respectivamente: 
 
A) 44, 35 e 34 
B) 44, 45 e 12 
C) 44, 45 e 24 
D) 34, 35 e 12 
E) 44, 45 e 124 
 
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14.8 Gabarito 
 
1 – B 
2 – C 
3 – C 
4 – A 
5 – B 
6 – E 
7 – C 
8 – A 
9 – A 
10 – B 
11 – D 
12 – A 
13 - D 
14 – C 
15 - C 
 
14.9 Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de 
pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) 
com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir: 
 
 
 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: 
 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. 
 
Assinale: 
 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
B) se somente a afirmativa II for verdadeira. 
C) se somente a afirmativa III for verdadeira. 
D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
 
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Resolução 
 
Um diagrama de caixa ou box-plot é um retângulo que representa o 
desvio interquartílico. Esse retângulo indica, portanto, a faixa dos 50% dos 
valores mais típicos da distribuição. O retângulo é dividido no valor 
correspondente à mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o 
quartil superior. 
 
Análise das afirmativas: 
 
I- Os diagramas de caixas indicam que as medianas dois grupos A e B são 
iguais e não as suas