Equações Pedro Roberto de Lima VE1 (2018.2) F1

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Universidade Federal Fluminense – GMA
VE1 – Equac¸o˜es Diferenciais – Turma F1 – 27/09/2018
Prof. Pedro Roberto de Lima
NOME:
QUESTA˜O VALOR NOTA
1 3,00
2 3,00
3 1,50
4 2,50
TOTAL: 10
Instruc¸o˜es:
• A prova tem durac¸a˜o de 1h50min, so´ pode ser entregue apo´s 45min do inı´cio e deve conter justificativas
para todas as respostas.
• Durante a prova, e´ proibido: (i) sair da sala, (ii) comunicar-se com os colegas e (iii) usar e/ou por-
tar quaisquer tipos de materiais e/ou dispositivos, incluindo livros, apostilas, anotac¸o˜es, calculadoras,
celulares, smartphones e tablets.
QUESTO˜ES
1. [3,00] Considere as se´ries
(1)
∞∑
n=0
(−1)n
en
n!
, (2)
∞∑
n=2
(−1)n
1√
n2 − 1
, (3)
∞∑
n=0
1√
n2 + 1
.
Usando os crite´rios de convergeˆncia vistos em aula:
(a) [1,00] Determine se a se´rie (1) e´ absolutamente convergente, condicionalmente conver-
gente ou divergente.
(b) [1,00] Mostre que a se´rie (2) e´ convergente.
(c) [1,00] Mostre que a se´rie (3) e´ divergente.
2. [3,00] Considere as func¸o˜es f(x) = e−x e g(x) = x3e(−x
2).
(a) [1,00] Determine a se´rie de MacLaurin de f(x).
(b) [1,00] Determine a se´rie de MacLaurin de g(x).
(c) [1,00] Determine g(40)(0).
3. [1,50] Considere a equac¸a˜o (4x2 − 16)y ′′ − 2xy ′ + 3y = 0.
(a) [0,75] Determine os pontos ordina´rios e os pontos singulares.
(b) [0,75] Determine os pontos singulares regulares e os pontos singulares irregulares.
4. [2,50] Considere a equac¸a˜o (1− x2)y ′′ − 2xy ′ = 0.
(a) [1,75] Obtenha a fo´rmula de recorreˆncia que permite determinar as soluc¸o˜es em forma de
se´rie em torno do ponto x0 = 0.
(b) [0,50] Determine os treˆs primeiros termos na˜o nulos de uma soluc¸a˜o em forma de se´rie
em torno do ponto x0 = 0.
(c) [0,25] Neste caso e´ possı´vel determinar duas soluc¸o˜es linearmente independentes em
forma de se´ries em torno do ponto x0 = 0?